28.2 相似三角形（第3课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 （第3课时）相似三角形的判定应用 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 一条乘积等式，怎样变成几何条件 已知正线段满足。把它改写为连接与的比例式。 答：。 两边同时除以正数。 这个比例可联系两组夹着公共角的边。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 本课的证明路线 角的目标 先寻找能产生等角的相似三角形。 乘积的目标 先把乘积等式改写为对应边比例。 选判定 两角、两边及夹角、三边，依据已知条件选择。 结束时 检查所证的角或线段是否就是题目所求。 例题讲解 例 3 如图，已知：点分别在线段和上，，是与的交点。求证：。 答：选择与。 由已知，。 两组边的夹角均为。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 3 如图，已知：点分别在线段和上，，是与的交点。求证：。 答：，故。 两边对应成比例，夹角公共。 对应角给出。 由共线关系改写为含的角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 3 如图，已知：点分别在线段和上，，是与的交点。求证：。 答：。 。 ，为对顶角。 比较的第三个角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 3 如图，已知：点分别在线段和上，，是与的交点。求证：。 答：也可利用等角的补角相等。 相似给出。 与互补。 与互补，故相等。 方法：相似的对应角可通过邻补角转成目标角。 注意：先确认三点共线和射线的方向。 例题讲解 变式 例 3 ，，且。求并判断是否在边内部。 答：；，在内部。 。 解得，再与整边比较。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 变式 例 3 已知。与对应的角是什么？写出与对应边的比例。 答：；。 对应顺序为。 因此，点角对应点角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 直角三角形中作斜边上的高 图形：在中，，。 得到：图中有三个直角三角形。 寻找等角：公共锐角与同角的余角相等，可用于两角判定。 例题讲解 例 4 如图，已知：在中，，是边上的高。求证：。 答：目标可改写为。 目标同时出现。 分别观察两个小直角三角形。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 4 如图，已知：在中，，是边上的高。求证：。 答：。 。 。 所以，由两角判定相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 4 如图，已知：在中，，是边上的高。求证：。 答：。 由，得。 交叉相乘，得到所证等式。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 思考：证明第一条直角边关系 如图，已知：在中，，是边上的高。求证：。尝试证明。 答：。 ，公共。 ，故。 交叉相乘，得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 思考：证明第二条直角边关系 如图，已知：在中，，是边上的高。求证：。尝试证明。 答：。 ，公共。 ，故。 交叉相乘，得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 思考：由两条关系推出勾股定理 如图，已知：在中，，是边上的高。求证：。由及推出勾股定理。 答：。 两式相加，提取公因式。 。 因为，所以结论成立。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 三条关系分别对应哪条线段 斜边上的高：：高是斜边两部分的比例中项。 直角边AC：：与靠近的那一段对应。 直角边BC：：与靠近的那一段对应。 注意：这些关系都建立在直角三角形及斜边上的高这一条件上。 例题讲解 示例：由斜边两部分求高 ，，。求。 答：。 。 线段长为正，所以。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 示例：同时求两条直角边 ，，。求。 答：，。 。 ；。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 变式 示例变式：已知两条直角边 ，，。求。 答：。 先用勾股定理得。 ，。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 辨析 辨析：关系式要放回图形检查 （1）只要，就有。 × 还须原三角形在处为直角。 （2）应等于。 × 对应的是靠近的。 （3）求得后，线段。 √ 线段长度取正值。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 课堂练习 练习1 如图，已知：。求证：。 答：，故。 已知恰为三组对应边成比例。 从两相等角中减去公共角。 得到。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习1 如图，已知：。求证：。 答：，故。 由比例得。 结合，用两边及夹角判定。 对应角相等，得到所证结论。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，，平分交于点。（1）求证：；（2）求的长。 答：，。 等腰三角形两底角相等。 。 角平分线把分成两个。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，，平分交于点。（1）求证：；（2）求的长。 答：。 。 。 用两角判定，对应。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，，平分交于点。（1）求证：；（2）求的长。 答：设，则，。 中，故。 中，故。 因此。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，，平分交于点。（1）求证：；（2）求的长。 答：。 由相似，，即。 整理得。 舍去负根，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 黄金三角形中的比例 角度结构：顶角、底角的等腰三角形，角平分线产生相似的小三角形。 长度结构：当腰长为时，底边长为。 检验：所得底边长在与之间，与一致。 课堂总结 相似判定 推理应用 乘积变比例 先确定要比较的两个三角形 公共角补足夹角条件 角的转化 对应角、对顶角 内角和、邻补角 直角三角形 一条斜边高形成三个相似三角形 由边比推出平方关系 黄金三角形 36°、72°、72° 相似关系建立一元二次方程 特别提醒：平方关系须明确直角与斜边高，不能脱离图形套用。 针对训练 训练1 填空：改写比例 正线段满足。填写，使两组三角形边对应。 答：。 解 两边除以。 检验交叉相乘后能否回到原式。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练2 判断与纠错 （1）乘积相等能改写成比例，但分母不能为。 √ 线段长度为正可合法作除法。 （2）相似结论可以不写对应顺序。 × 错误顺序会导致边比错误。 （3）直角三角形的任意一条高都满足。 × 这里必须是斜边上的高。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 针对训练 训练3 计算：比例中项 ，，。求。 答：。 。 线段长取正，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 从目标选择关系 方法1　乘积目标 ① 先把乘积等式改写成比例。 ② 比例中四条边帮助定位三角形。 方法2　平方目标 ① 确认图中是否有斜边上的高。 ② 用相似推导相应的平方关系。 针对训练 训练4 计算：高与一段斜边 ，，。求。 答：。 ，得。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练5 计算：由直角边求射影 ，，。求。 答：。 。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练6 证明：两条直角边的平方比 ，。证明。 答：。 ，。 两式相除，约去共同正因子。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 同一图中的多种数量关系 方法1　先求整边 ① 已知两段时先相加。 ② 已知直角边时先考虑勾股定理。 方法2　使用商的关系 ① 把两个平方关系分别写出。 ② 相除前检查公共因子非零。 针对训练 训练7 综合：已知斜边上的分点 ，，。求。 答：。 。 ，。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练8 证明：等腰与高 ，，且。证明。 答：。 ，。 由，得。 两边长均正，故。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练9 综合：黄金三角形的放大 ，。求等腰三角形的底边长。 答：。 该三角形与腰长为1的黄金三角形由AA相似。 对应边放大4倍，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 等长与特殊角的作用 方法1　等长推出对称结论 ① 比较两个含相同整边的平方关系。 ② 由平方相等及正值推出长度相等。 方法2　特殊角引入相似 ① 先算等腰三角形两底角。 ② 角平分线常产生另一组相同角。 针对训练 训练10 开放题：构造一组整数长度 在直角三角形中，为斜边高。请给出一组正整数，满足，并验证。 答：例如。 。 取即可。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练11 应用：屋架中的竖直支杆 一个屋架截面为直角三角形，屋顶处为直角，横梁水平，支杆垂直横梁。米，米。求支杆长度。 答：米。 确认是直角三角形斜边上的高。 。 方法：把支杆识别为斜边上的高。 注意：屋顶夹角为90°是使用关系的关键条件。 针对训练 训练12 应用：垂直支撑测量 一块直角三角形展示板，斜边长分米，一条直角边长分米。从直角顶点向斜边安装垂直支撑。求支撑长度及垂足分成的两段长度。 答：两段为分米；支撑长分米。 先求。 。 。 方法：先求射影，再用高的平方关系。 注意：对应到6分米直角边的是同端的斜边一段。 方法总结 实际支撑问题的建模 方法1　确认直角位置 ① 找到作为斜边的底梁或边框。 ② 支杆必须垂直该斜边。 方法2　选择计算次序 ① 优先求已知直角边对应的射影。 ② 再求余段，最后求高的正值。 $