精品解析：江苏省无锡市第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

无锡市第一中学2026-2027学年度第一学期阶段性质量检测试卷 高二数学 2026．10 一、单选题（40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆被直线平分，则m的值是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量不一定相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 4. 已知复数满足条件，则的最小值为 （ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（       ） A. B. C. D. 6. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A. B. C. D. 7. 设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线系，对于下列四个命题，正确的是（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 不存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 二、多选题（18分） 9. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 的取值范围为 D. 当时，圆面积为 10. 已知动直线：过定点，下列命题正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 原点到直线的距离的最大值为 C. 若直线与轴、轴分别交于、两点，则使的面积为的直线共有四条 D. 若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，则的最小值为 11. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A. B. C. 二面角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（15分） 12. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 13. 已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 14. 已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为___________． 四、解答题（77分） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 17. 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，A为坐标原点．将矩形折叠，使A点落在线段上（包括端点），落点记为G． （1）若折痕所在直线的斜率为k，求点G的坐标及折痕所在直线方程（结果均用k表示）； （2）当时，求折痕长的最大值； （3）当时，折痕为线段，设，试求t的最大值． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 19. 已知点，，平面内满足的点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线：被曲线截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程； （3）为圆：上的任意一点，过点向曲线引切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有符合条件的定点的坐标，并求出相应的定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2026-2027学年度第一学期阶段性质量检测试卷 高二数学 2026．10 一、单选题（40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知圆被直线平分，则m的值是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆被直线平分，即直线一定过圆心即可求出. 【详解】圆的圆心坐标为， 又圆被直线平分， 该直线一定过圆心，即，解得. 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量不一定相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的方向是任意的，它们不一定相等，A正确； 对于B，在正方体中，对角面是矩形，则，B正确； 对于C，空间向量满足，则，C正确； 对于D，空间向量满足，而向量的方向不一定相同，因此向量不一定相等，D错误. 4. 已知复数满足条件，则的最小值为 （ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】 由复数满足条件，即， 得复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上． 而的几何意义为原点到圆的点的距离． 的最小值为圆的圆心与原点的连线段的长度减去半径， 圆的圆心与原点的连线段的长度为， 则的最小值为，故选项C正确． 5. 已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由已知得，则， 因为直线的方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为： . 6. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 7. 设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到与始终垂直，即，则，由基本不等式，得到求解. 【详解】直线：过定点，直线：过定点， 因为， 所以与始终垂直，又是两条直线的交点， ∴， ∴. 由，可得， 则， 即有，当且仅当时，上式取得等号， ∴周长的最大值为. 故选：D 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系的应用以及基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 8. 设直线系，对于下列四个命题，正确的是（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 不存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，据此可判断选项正误；对于BC，由题设可得直线系表示圆：的全体切线，据此可得答案；对于D，由BC分析结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，令，又令，故此时两直线的交点为，将其代入方程得：，而此式不是恒成立的，故所求的定点不存在，故A错误； 对于BC，注意到到直线：距离为，则该直线系表示圆的全体切线，则圆内部所有点均未在M中的任一条直线上，故B错误； 又对于任意整数，该圆存在外切正边形，满足其所有边均在M中的直线上，故C正确； 对于D，如下图，与均可构成正三角形，但显然正三角形面积不等，故D错误. 二、多选题（18分） 9. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 的取值范围为 D. 当时，圆面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由平行设出直线方程，利用待定系数法求解判断A；求出横纵截距判断B；利用二次方程表示圆的条件列式判断C；求出圆的半径判断D. 【详解】对于A，设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此过点且与直线平行的直线方程是，A正确； 对于B，直线在轴上的截距分别为，它们不相等，B错误； 对于C，由圆：，即， 则，即，C正确； 对于D，当时，圆的半径，则圆的面积为，D错误. 10. 已知动直线：过定点，下列命题正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 原点到直线的距离的最大值为 C. 若直线与轴、轴分别交于、两点，则使的面积为的直线共有四条 D. 若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标； 对于B，利用原点到直线的距离的最大值为即可求解；对于C，分别求出的坐标，表示出的面积，化简即可求解； 对于D，利用直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可 【详解】对于A，直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． 对于B，原点到直线的距离的最大值为,故B正确； 对于C，显然，， 所以， 化简可得， 当时，由化简可得：，解得：，此时存在一条直线， 当时，由化简可得：，因为，所以方程有两个不等的实数根，此时存在两条直线， 综上，若直线与轴、轴分别交于、两点，则使的面积为的直线共有三条，故C不正确； 对于D，因为直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值，故D正确. 11. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A. B. C. 二面角的余弦值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设，，结合已知条件求得，再依次讨论各选项即可求得答案; 【详解】由题意，，因为为等腰直角三角形且， 所以，又，， 以为原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 设，由，， 由，得， 由，得， 由，得， 所以， 选项A：，，， 所以，故选项A正确； 选项B：是中点，则，， ，，故选项B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 由，取，则，， 所以， 由图可知，二面角为钝角，（在底面的投影与位于直线()的异侧），所以其余弦值为负， 所以其余弦值为，故选项C正确； 选项D：三棱锥的高，底面面积， 体积，故选项D正确. 三、填空题（15分） 12. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 13. 已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图， 所以. 故答案为：. 14. 已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出定点的坐标，由条件可得点三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】由，可得定点， 因为，所以三点共线，且， 所以为过点的直线与圆的交点， 设线段的中点为，则， ， 因为表示点到直线的距离和， 表示点到直线的距离， 分别过点作与直线垂直，垂足为， 则，即， 因为，直线过点，所以， 所以点在以为直径的圆上，方程为， 所以点到直线的距离的最小值为， 即，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题（77分） 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． （1）求异面直线与所成的角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求解异面直线夹角的余弦值 （2）结合（1），利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为平面，底面为矩形，所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，且为的中点， 则， 所以. 设异面直线与所成的角为， 则. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的法向量为， 则，即.，令，则， 所以平面的一个法向量为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1）; （2）或. 【解析】 【分析】（1）法一：求出的垂直平分线方程，求得直线和的交点可得圆心坐标，再求出半径可得圆的标准方程； 法二：设出圆的标准方程，利用待定系数法解出圆心坐标和半径，可得结果； 法三：设出圆的一般方程，求出未知数可得结果； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，利用弦长公式列方程即可得出结果. 【小问1详解】 法一： 因为，且的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得， 故圆心的坐标为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 法二： 设圆的方程为. 由已知得，解得， 所以圆的标准方程为. 法三： 设圆的一般方程为， 由已知得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程，即. 【小问2详解】 设圆心到所求直线的距离为， 由弦长公式得，故， ①当直线的斜率不存在时， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意. ②当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则，整理得，解得， 此时直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 17. 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别落在x轴、y轴的正半轴上，A为坐标原点．将矩形折叠，使A点落在线段上（包括端点），落点记为G． （1）若折痕所在直线的斜率为k，求点G的坐标及折痕所在直线方程（结果均用k表示）； （2）当时，求折痕长的最大值； （3）当时，折痕为线段，设，试求t的最大值． 【答案】（1），； （2） ； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A点落在G点，则与折痕所在直线的斜率相乘为，从而得到G点的坐标关于的表达式，写出折痕所在的直线方程 （2）当时，分析可得折痕交在和轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于的表达式，结合的范围求出最大值 （3）当时，折痕交在和轴上，求出PQ的表达式，代入求出关于的表达式，结合的范围求出的最大值 【小问1详解】 ①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 所以A与G关于折痕所在的直线对称， 有， 故G点坐标为， 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为， 因为在上，所以， 则, 折痕所在的直线方程，即， 由①②得折痕所在的直线方程为：； 【小问2详解】 当时，折痕的长为2， 当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍） 当时，由折痕所在的直线方程为：，令，解得：, 因为,所以,所以折痕与轴的交点在点及其右侧，在矩形的外部， 令，解得：,因为,所以, 所以折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于， 折痕长度的最大值为 ， 而， 故折痕长度的最大值为 ； 【小问3详解】 当时，由折痕所在的直线方程为：，令，解得：, 因为,所以,所以折痕与轴的交点在线段上， 令，解得：,因为,所以, 所以折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于， ， ， ， 当且仅当时取“”号， 当时，t取最大值，t的最大值是． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明：连接，因为在平面ABC内的射影为， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为菱形，故⊥， 因为D，E分别是线段，的中点，所以， 故⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥平面，⊥，又平行四边形为菱形，故⊥，又，从而得到线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，利用点到平面的距离向量公式求出答案； （3）设，求出，求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，从而得到，换元后，得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为⊥，D是线段的中点， 所以由三线合一可得， 又，故为等边三角形， ， 由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为， 点到平面BDE的距离； 【小问3详解】 点F为线段上的动点（不包括端点），设， ，则，故，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又平面的一个法向量为， 故， 令， 则， 因为，故， ， 平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 19. 已知点，，平面内满足的点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线：被曲线截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程； （3）为圆：上的任意一点，过点向曲线引切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有符合条件的定点的坐标，并求出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 或 （3）存在，定点，定值；定点，定值 【解析】 【分析】（1）距离比值型轨迹问题，直接用坐标翻译，利用距离条件列式化简（阿波罗尼斯圆）； （2）联立直线与圆的方程保证两个交点存在并得到参数k取值范围，根据直径圆过原点得到垂直关系，利用垂直向量坐标表示结合韦达定理，整理出关于k的方程求解并检验； （3）利用距离公式得到，用切线长公式化简，用点Q在圆E上消去二次项，根据多项式恒等、系数成比例求解定点与定值. 【小问1详解】 由题意得，设， ，整理得， 曲线C为圆心在原点，半径的圆，曲线C：. 【小问2详解】 或 设， ，整理得， ，解得， 由韦达定理得， 又以为直径的圆过坐标原点，故,有， 整理得，解得， 直线方程： 或 【小问3详解】 设， ， QS是圆E上的点Q向单位圆C引的一条切线，则有， 又点Q在圆E上，，整理得， ， ， 令，为定值，有 ， 故，由第一式与第二式解得， 代入第三式解得或， 当时，，定点，定值； 当时，，定点，定值； 综上所述，存在定点，定值；定点，定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $