专题02绝对值及其综合应用10大题型48题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题02 绝对值及其综合应用 基础·固本强基 题型1 绝对值的意义与基本计算 题型2 已知绝对值求原数 题型3 绝对值的非负性 提升·进阶突破 题型4 利用绝对值的非负性求值（重点） 题型5 绝对值的化简与分类讨论 题型6 绝对值与数轴距离的结合 题型7 含多个绝对值的求值问题 拔高·压轴破难 题型8 含参数的绝对值分类讨论（难点） 题型9 绝对值之和的最小值问题（重难点） 题型10 多个绝对值的最值与范围问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 绝对值的意义与基本计算（共5小题） 【模型】|a| 表示数 a 到原点的距离：正数的绝对值是它本身，负数是它的相反数，0 的绝对值是 0。 【步骤】① 先判断这个数的符号；② 正数直接去、负数变相反数；③ 结果必须 ≥0。 【易错】绝对值的结果不可能是负数；|-5| 与 -|5| 符号别搞混；多重符号先化简再求绝对值更稳。 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）下列计算结果相等的是（     ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别计算出每个选项中两个式子的值，再比较它们是否相等． 【详解】解：A选项：，，，结果不相等， B选项：，，，结果相等， C选项：，，，结果不相等， D选项：，，，结果不相等． 3．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）下列一组数：0，，，，，，．其中是负数的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先化简含多重符号、绝对值的数，再统计负数的个数． 【详解】解：，，，． 负数有，，，共3个． 4．（26-27七年级上·全国·周测）的绝对值是_______． 【答案】2026 【详解】解：． 5．（26-27八年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：______________． 【答案】 【分析】先判断的正负，再根据绝对值的性质化简. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 题型2 已知绝对值求原数（共5小题） 【模型】|x|=a（a>0）→ x=±a，"一个绝对值对应两个原数"。 【步骤】① 确认 a 的符号（a≥0）；② 直接写出 x=a 或 x=-a；③ 代回检验 |x| 是否等于 a。 【易错】漏掉负的那个解是最高频错误；|0|=0 只有一个解；|x|=-a（a>0）无解。 6．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）若，则a的值是（     ） A．3 B． C．3或 D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或． 7．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】算出的绝对值等于，由此求出的值为． 【详解】解：， ． 8．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）若的相反数的绝对值为5，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意得 ∴或 ∴或 ∴． 9．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则x等于（     ） A．5 B． C． D．0或5 【答案】C 【分析】根据，，可得，即可根据绝对值的意义求解． 【详解】解：， ， ． 10．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， . 题型3 绝对值的非负性（共5小题） 【模型】|a|≥0 恒成立；"若干个非负数之和为 0 → 每个都为 0"。 【步骤】① 识别"绝对值（+平方等非负项）之和 = 0"的结构；② 令每个非负项分别等于 0；③ 解出字母再代回求值。 【易错】只有"和为 0"才能推出各项为 0，"和为正数"推不出；解出字母后别忘代回原式算最终结果。 11．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过举反例排除存在非负情况的选项，结合绝对值的非负性验证剩余选项． 【详解】解：当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，一定为负数，故D符合题意． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意， 故选：D． 13．（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，的值最大为． 14．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）若a是任意有理数，则式子的最大值是__________． 【答案】 2026 【分析】根据绝对值的非负性可得，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：时，， ， ； 当时，； 当时，， 的最大值为． 15．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当 ______ 时，式子 有最小值． 【答案】2027 【分析】根据绝对值的非负性即可判断取值范围求解． 【详解】解：∵ ∴ 当时，式子有最小值 此时 解得． 提升·进阶突破 题型4 利用绝对值的非负性求值（共4小题） 【模型】形如 |a-2|+|b+3|=0 → a-2=0 且 b+3=0，先定字母、再求整体。 【步骤】① 由非负性列出各"=0"的方程；② 分别解出字母；③ 代入目标代数式求值。 【易错】b+3=0 对应 b=-3，符号容易抄错；题目求 ab、a+b 还是 |a+b| 要看清再代入。 16．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，，且则式子的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的化简与计算，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性可知，，，且，因此，，解得，，由，得或，即或，又因为，且，所以，故，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 又， 或， 解得或， ，且， ， ， ． 故答案为：． 17．（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）若与互为相反数，则________，________． 【答案】 0 2 【分析】此题考查了相反数的性质，以及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解本题的关键． 利用相反数的性质列出方程，再利用绝对值的非负数即可求出的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， 解得：， 故答案为：；． 18．（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 19．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）若与互为相反数． (1)求a，b的值． (2)若，求c的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】（1）利用绝对值的非负性，结合互为相反数的两数和为0的性质列方程求解； （2）将（1）中求得的，代入等式，根据绝对值的性质列方程求解． 【详解】（1）解： ∵与互为相反数 ∴ ∵， ∴， 解得 ，； （2）解：将，代入 得 即 ∴或 解得 或 综上所述，的值为或． 题型5 绝对值的化简与分类讨论（共5小题） 【模型】含字母的绝对值化简：先定正负再去绝对值，正负不明时按"正、零、负"三类讨论。 【步骤】① 求出"零点"（绝对值内式子为 0 的值）；② 按零点分区间；③ 每段内确定符号后去绝对值。 【易错】漏掉零点处的情形；分区间化简时要用该区间内字母的实际符号，不能照抄第一段的结论。 20．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②：③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由数轴确定的正负性及绝对值大小关系，逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ， ①错误； ， ， ②错误； ， ③正确； ， ， ， ， ④错误； 综上所述，正确结论的个数是个． 21．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，结合相关运算法则逐项分析判断，即可得到答案． 【详解】解：根据数轴可知，， A.，故此选项错误，不符合题意； B.，故此选项错误，不符合题意； C. ，故此选项正确，符合题意； D. ，故此选项错误，不符合题意． 22．（22-23七年级上·全国·期末）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 【答案】0 【分析】由数轴可得a，b，c的正负及各自绝对值的大小，得出，，的正负；再根据绝对值的性质，先去掉绝对值号，再计算，得到结果． 【详解】解：由数轴可得，，，， ，，， 23．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 24．（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜、＞、＝”填空：_____ 0，_____ 0，_____ 0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据数轴判断的大小即可求解； （2）根据绝对值的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知，， ∴，，， （2）解：． 题型6 绝对值与数轴距离的结合（共5小题） 【模型】|a-b| 的几何意义是 a、b 两点间的距离——"绝对值即距离"。 【步骤】① 把式子翻译成"哪两点之间的距离"；② 在数轴上标出定点；③ 由位置直接读出结果或取值范围。 【易错】|x-2|=3 表示到 2 的距离为 3 的点，是 5 和 -1 两个点；只算右侧漏掉左侧是常见错误。 25．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）数轴上到点的距离为3的点表示的数为（ ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示有理数、两点之间的距离与绝对值的几何意义，熟记数轴上两点之间距离的表示是解决问题的关键． 根据数轴上两点距离公式，设点坐标为，则点到点的距离为，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点坐标为， ∵点到点的距离3， ， 或， 或， ∴ 表示的数为或， 故选：D． 26．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是___________． 【答案】 【详解】解：到数轴原点的距离是7的点表示的数，即绝对值是7的数，应是． 27．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为，数轴上定点对应的数是1，若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，设点A对应的数为x，则点B对应的数为，由点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设点A对应的数为x，则点B对应的数为， 根据题意得：， 解得或． 故答案为：或． 28．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上点到点的距离为，求点表示的数； (3)若数轴上点到点的距离与它到点的距离相等，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解． （2）找出数轴上与点之间的距离是4的点C表示的数即可，注意点C可在点A的左右两边； （3）根据题意可得点是线段的中点，即可求解． 【详解】（1）解：、两点之间的距离为． （2）解：设点表示的数为，则， 即，所以或， 解得或． （3）解：点到、的距离相等，说明点是线段的中点，它表示的数为． 29．（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2) 如图： (3) (4)和 【分析】（1）先根据数轴刻度确定点A、点B表示的数，再依据相反数、绝对值的定义分别计算对应结果． （2）根据数的正负和大小，确定2.5和在数轴上的位置，标出对应点C、D． （3）依据数轴上两点间距离公式，即两点所表示数的差的绝对值，计算C、D两点的距离． （4）与点C距离为个单位长度的点有两个，分别在点C的左侧和右侧，用点C表示的数分别加减即可得到对应数值． 【详解】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）解：点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是或． 题型7 含多个绝对值的求值问题（共3小题） 【模型】多个绝对值同时出现 → 分别确定每个绝对值内式子的符号，再逐一去绝对值。 【步骤】① 由条件（数轴位置、大小关系）确定每个式子的符号；② 逐个去绝对值；③ 合并同类项化简。 【易错】每个绝对值都要单独判断符号，不能用同一个符号"一揽子"处理；去完后要及时合并化简。 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质和整数性质，理解相关知识是解答关键. 根据绝对值的非负性和整数性质，和均为非负整数，且和为1，因此只有两种可能情况：且，或且，分别求解和的整数值，计算的可能结果. 【详解】解：∵，且为整数， ∴ 和均为非负整数， ∴ 可能情况如下： 情况一：且 ∵， ∴ ∵， ∴或 ∴或， ∴或； 情况二：且  ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴ ∴或 综上，的可能值为或，共个值. ∴ 故选： B. 31．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算． (1)已知，． ①若a与b异号，求的值； ②若，分别求出a与b的值； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)①的值为2或； ②，或，； (2)3 【分析】（1）①先化简绝对值，再根据a与b异号，分类求的值即可； ②先化简绝对值，再根据，可知，分类求a与b的值即可； （2）根据相反数的定义可知，确定a与b的值，然后求的值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∵a与b异号， ∴，或，， ∴或； ②∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴，或，； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 32．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如果对于有理数x，y，k，满足，则称k是x和y的“和平数”．例如，则5是和3的“和平数”． (1)若k是1和的“和平数”，求k的值； (2)若x和的“和平数”是2，且x是整数，求满足条件的所有x的值（请直接写出结果）； (3)对于整数a，若k是a和它相反数的“和平数”，则称k是a的“和平鸽数”．例如对于整数，1是它的相反数，2是和1的“和平数”，则2是的“和平鸽数”．已知是的“和平鸽数”，是的“和平鸽数”，是的“和平鸽数”．若，且，求的值． 【答案】(1)5 (2)满足条件的x的值为0，1，2； (3)的值为0或2或4． 【分析】（1）根据定义直接列式计算即可； （2）由题意得，且x是整数，根据x的取值范围分类计算即可； （3）由题意得，，，整理得到，根据，得，再利用的不同数值确定的值． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，且x是整数， 当时，，解得； 当时，，故此范围内的所有整数均满足，所以； 当时，，解得； 综上，满足条件的x的值为0，1，2； （3）解：由题意得，，， ∴， 得， ∵， ∴， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上，的值为0或2或4． 拔高·压轴破难 题型8 含参数的绝对值分类讨论（共4小题） 【模型】参数影响符号 → 以参数（或零点）为标准分情况，逐类去绝对值求解。 【步骤】① 找出决定符号的参数与零点；② 按参数范围分类；③ 每类分别化简或求值，最后汇总作答。 【易错】分类标准要"不重不漏"；最后必须汇总各类结果，不能只写其中一类。 33．（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 34．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知实数、、，满足，则______． 【答案】1或 【分析】根据题意分情况讨论即三个数都是正数以及两个负数一个正数即可求出答案，解题过程需要判断绝对值里的数正负情况． 【详解】解： ， 三个都是正的或两个负的一个正的， ①三个都是正的，则， ②为负数，为正数，则， ③为负数，为正数，则， ④为负数，为正数，则， 的值为1或． 35．（25-26七年级上·全国·期末）如果，那么 __________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简求解，由可知 a 和 b 异号，即一个为正数，一个为负数，分别讨论两种情况，利用绝对值的性质计算各分式的值，再求和即可． 【详解】解：因为 ，所以 a 和 b 的符号相反． 当， 时， 所以原式 ； 当，时，原式 ． 故答案为：． 36．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出a，b的值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）分三种情况：，都为正或，都为负或，一正一负，即可求解； （3）根据题意可得，，，，，两正一负，再化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：因为，都不为0， 所以，都为正或，都为负或，一正一负， 当，都为正时，， 当，都为负时，， 当，一正一负时，， 综上，的值为0或； （3）解：因为，． 所以，，，，，两正一负， 不妨假设， 所以 . 题型9 绝对值之和最小值问题（共6小题） 【模型】|x-a|+|x-b| 的最小值 = a、b 两点间的距离，当 x 落在 a、b 之间（含端点）时取到。 【步骤】① 把式子看成"到两定点距离之和"；② 在数轴上标出 a、b；③ 当 x 取两点之间任一值时，最小值 = |a-b|。 【易错】最小值是 |a-b| 这个数，对应的 x 是一段范围而不是唯一值；别写"x 等于中间某个数"的唯一解。 37．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 【答案】 （1），，；（2）或；（3）最小值为，；（4）应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得. 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 和的两点的距离可表示为， 故答案为，，； （2）到表示的点的距离为6的点所表示的数分别为和， 所以数轴上点所表示的数为或， 故答案为或； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米． 38．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为． 请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元/千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)或11 (2)，，，0，1；4 (3)；7 (4)菜鸟驿站建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是10元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，求解方程； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数5的点之间的距离， ∵ ∴当在5的左边时，则； ∴当在5的右边时，则； 则的值为：或11； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，或11； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数、、、0、1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：、、、0、1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民2000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∵， ∴当时，值为；当时，值为，此区间最小值为， ∴此时最低成本10（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是10元． 39．（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 【答案】（1）9，0；（2）；（3）当时，的值最小，最小值是6；（4）当点C表示的数在1和5之间(包括1和5)时，的值最小，最小值为4 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离的表示与应用，读懂题目信息，理解两点间的距离的求解是解题的关键． （1）根据数轴计算即可得解； （2）根据（1）的计算结果解答； （3）根据绝对值的性质解答； （4）根据题目信息，表示到1和5两个数的距离的最小值，从而判断出数C在1和5之间的所有的数． 【详解】解：（1）； ， 所以，从左到右依次填9，0 ． 故答案为：9；0； （2）若A，B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系为：； （3）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为6； （4）当点C表示的数在1和5之间（包括1和5）时，|的值最小，最小值为4． 40．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)利用数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b有何数量关系； (3)若点C表示的数为x，当点C在数轴上什么位置时，取得的值最小． 【答案】(1)6，2，12 (2) (3)当时，取得的值最小． 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离； （2）由（1）所填写的数字，即可得出结论； （3）根据绝对值的几何意义，可得出表示的点和表示2的点之间的任何一点均满足题意，进而即可得到结论． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 6 2 4 0 A、B两点的距离 2 6 2 12 0 故答案是：6，2，12； （2）解：由（1）可得：； （3）解：∵是点C到表示的点的距离与点C到表示2的点的距离之和， ∴和2之间的任何一点均能使取得的值最小， ∴当时，取得的值最小． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离以及绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 41．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离； (2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值； (4)若的最小值为3，求a的值． 【答案】(1)2， (2)x的值为或5 (3)x的最小整数值是 (4)或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义，将绝对值表达式转化为两个数在数轴上对应点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，表示x到2的距离为3，从而求出x的值； （3）根据绝对值的几何意义，表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和最小，为4，从而求出最小整数x的值； （4）根据绝对值的几何意义，表示x到和的距离之和，当x在和之间时，距离之和最小，为3，从而求出a的值． 【详解】（1）解：可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离； 故答案为：2，． （2）解：∵可看成数轴上表示x的点到表示2的点的距离为3， ∴x的值为或5． （3）解：∵表示x到表示1和表示的两点之间的距离之和，且最小值为4， ∴x为数轴上表示1与两点之间（包括1和）的某个点． ∴x的最小整数值是． （4）解：表示数轴上到与到-1两点之间的距离之和， 当介于与-1之间时，的值最小，其最小值为表示与表示-1的两点在数轴上的距离． 的最小值为3， ∴与的距离为3， ∴或， 解得或． 42．（19-20七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数a与b对应点之间的距离． 例1  已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为和2，即a的值为2和． 例2  已知，求的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和，即a的值为3和． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值； (4)若数轴上表示的点在与2之间，求的值； (5)当满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) (5)， 【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数形结合是解决本题关键． （1）根据绝对值的性质即可求得a值； （2）根据绝对值的性质可得或，求解即可得a的值； （3）根据绝对值的性质可得或，求解即可得a的值； （4）根据a的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果； （5）根据题意得出原式最小时a的范围，并求出最小值即可． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为或； （2）解：在数轴上与距离为的点的对应数为和，即的值为或； （3）解：， 或， 或， 或， 即的值为或； （4）解：根据题意得：，即，， 则原式； （5）解：当a满足时，最小值为． 题型10 多个绝对值的最值与范围问题（共6小题） 【模型】三个及以上的 |x-a| 求和 → 最小值在"正中间位置"（中位点）处取到，用数轴找平衡点。 【步骤】① 把各定点标上数轴；② 奇数个点：x 取正中间的点时和最小；③ 代入算出最小值。 【易错】奇数个点取中间点，偶数个点取中间两点之间（含端点）；别与"两点型"的结论混淆。 43．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，读懂题意，理解绝对值的几何意义，是解答本题的关键． 表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，由此得到答案；同理，当时，取最小值，然后化简求出结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于，利用数轴可以得到结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ①表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，最小值为，此时的取值范围为，故①不正确； ②当时，取最小值，（为大于的奇数）， 即 ， 故②正确； ③表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于， 根据图像法，可得或， 故③不正确； ④表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，即， 故④正确， 综上正确的是②④， 故选：． 44．（19-20七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 【答案】（1）1， 3 ，（2）14，2，（3）9，（4）1，9 【分析】（1）根据数轴两点间的距离用右边点表示的数减去左边点表示的数即可 （2）利用A点在3点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，利用B点在-2点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，比较大小，再求最大与最小值即可 （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，确定|a+4|=a+4，|a-5|=5-a化去绝对值再计算即可， （4）分类讨论化去绝对值符号，确定每个范围内的最大与最小值，最后找出最小的值即可． 【详解】（1）3-2=1，1-（-2）=1+2=3， （2）|a-3|=6，若a<3,3-a=6，a=-3，若a>3，a-3=6，a=9， |b+2|=3，若b<-2，-b-2=3，b=-5，若b>-2，b+2=3，b=1，-5<-3<1<9 |a-b|最大值=9-（-5）=9+5=14，|a-b|最小值=（-3）-（-5）=-3+5=2， （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，a>-4，a+4>0，a<5，a-5<0， |a+4|+|a-5|=a+4-（a-5）=a+4-a+5=9， （4）当a<-5时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a-a-5+4-a=-3a>15， 当-5≤a<1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a+a+5+4-a=10-a， 9<10-a≤15， 当1≤a<4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+4-a=a+8， 9≤a+8<12， 当a≥4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+a-4=3a≥12， 当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9． 故答案为（1）1， 3，（2）14， 2，（3）9，（4）1，9． 【点睛】本题考查主要涉及的知识为数轴与绝对值，借助数轴比较大小，化简绝对值是解题关键． 45．（25-26七年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______； (3)若，则x的值为______； (4)当______时，的值最小，且最小值是______； (5)设，当Q的值最小时，整数x所有可能的值的和为______． 【答案】(1)15； (2)； (3)或； (4)2，4； (5)2026 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）根据的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离即可求解； （2）根据的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离即可求解； （3）由题意可知表示x到和4的距离之和为7，因此分两种情况讨论即可解答； （4）根据题意可知，当时，的值最小，进而求出最小值即可； （5）数轴被，，2026分成四段，对每一段上的x取值进行讨论，去掉绝对值即可求解． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：15； （2）解：的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离， 数轴上表示x和的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知表示x到和4的距离之和为7，且， 有两种情况， 当时，，解得； 当时，， 解得， 故答案为：或； （4）解：根据题意可知，表示x到，2，3这3个数的距离最小， 当时，的值最小， 把代入，得最小值为4， 故答案为：2，4； （5）解：，当Q的值最小时，分情况讨论， 当时，， 当时，， 此时， 当时，； 当时，， 取最小值时，， 此时整数x所有可能的值为，，…，2026， ， 故答案为： 46．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）【定义新知】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离为： ．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是 ，如果 ，那么x是 ； (2)当x＝ 时，的值最小，最小值是 ． (3)当x＝ 时，的值最小，最小值是 ． (4)【解决问题】一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因配送需要，需要在该公路上建一个仓库P，用于配送这3个小区的物资．若产品的运输和包装成本为每千米2元/千份，那么仓库P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)；或 (2)2；4 (3)3；6 (4)仓库P建在居民区B和C之间时，总运输和包装成本最低，最低成本是24元 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行求解即可，根据列出绝对值方程，解绝对值方程即可； （2）表示数轴上x到、x到与x到3的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可求出结果； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出结果即可得出答案； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析得出在点B和点C之间时，总运输和包装成本最低． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是； 当时，， 解得：或； （2）解：∵表示数轴上x到、x到与x到3的距离之和， ∴当时，，且最小值为： ； （3）解：当时， ， ∵ ∴， 即； 当时， ， ∵， ∴； 即此时； 当时， ， ∵， ∴； 即此时； 当时， ， ∵， ∴； 即此时； 综上分析可知，当时，有最小值为6； （4）解：设市民广场O为原点，建立数轴，如图所示： 设仓库P所对应的数为x，A、B、C在数轴上分别表示，，1，3， 运输距离为：，其几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点、与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离的和， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 当时，， ∴的最小值为， ∵产品的运输和包装成本为每千米2元/千份， ∴最低成本为（元）， 答：仓库P建在居民区B和C之间时，总运输和包装成本最低，最低成本是24元． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． 47．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 【答案】(1)或1 (2)，，,0,1；4 (3)；7 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据绝对值的几何意义，然后画数轴，即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，当时，有最大值，然后即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离为6，在数轴上表示为： 由图可得，点表示的数为或1， ∴则的值为或1， 故答案为：或1； （2）解；根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离加上有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离之和，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离减去有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离，在数轴上表示： ∴①当时，取最小值，通过数轴可得：可以取整数有，，，0，1； ②当，可化简为；当，可化简为，此时最大值小于4；当，可化简为， 综上所述，当取最小值时，可以取整数有，，，0，1；的最大值为4， 故答案为：，，，0，1；4； （3）解：根据题意可得，表示数轴上表示数的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为7， 故答案为：；7； 48．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为 ． $专题02 绝对值及其综合应用 基础·固本强基 题型1 绝对值的意义与基本计算 题型2 已知绝对值求原数 题型3 绝对值的非负性 提升·进阶突破 题型4 利用绝对值的非负性求值（重点） 题型5 绝对值的化简与分类讨论 题型6 绝对值与数轴距离的结合 题型7 含多个绝对值的求值问题 拔高·压轴破难 题型8 含参数的绝对值分类讨论（难点） 题型9 绝对值之和的最小值问题（重难点） 题型10 多个绝对值的最值与范围问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 绝对值的意义与基本计算（共5小题） 【模型】|a| 表示数 a 到原点的距离：正数的绝对值是它本身，负数是它的相反数，0 的绝对值是 0。 【步骤】① 先判断这个数的符号；② 正数直接去、负数变相反数；③ 结果必须 ≥0。 【易错】绝对值的结果不可能是负数；|-5| 与 -|5| 符号别搞混；多重符号先化简再求绝对值更稳。 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 2．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）下列计算结果相等的是（     ）. A．与 B．与 C．与 D．与 3．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）下列一组数：0，，，，，，．其中是负数的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（26-27七年级上·全国·周测）的绝对值是_______． 5．（26-27八年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：______________． 题型2 已知绝对值求原数（共5小题） 【模型】|x|=a（a>0）→ x=±a，"一个绝对值对应两个原数"。 【步骤】① 确认 a 的符号（a≥0）；② 直接写出 x=a 或 x=-a；③ 代回检验 |x| 是否等于 a。 【易错】漏掉负的那个解是最高频错误；|0|=0 只有一个解；|x|=-a（a>0）无解。 6．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）若，则a的值是（     ） A．3 B． C．3或 D．9 7．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 8．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）若的相反数的绝对值为5，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则x等于（     ） A．5 B． C． D．0或5 10．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果，则的值为_____． 题型3 绝对值的非负性（共5小题） 【模型】|a|≥0 恒成立；"若干个非负数之和为 0 → 每个都为 0"。 【步骤】① 识别"绝对值（+平方等非负项）之和 = 0"的结构；② 令每个非负项分别等于 0；③ 解出字母再代回求值。 【易错】只有"和为 0"才能推出各项为 0，"和为正数"推不出；解出字母后别忘代回原式算最终结果。 11．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 13．（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 14．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）若a是任意有理数，则式子的最大值是__________． 15．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当 ______ 时，式子 有最小值． 提升·进阶突破 题型4 利用绝对值的非负性求值（共4小题） 【模型】形如 |a-2|+|b+3|=0 → a-2=0 且 b+3=0，先定字母、再求整体。 【步骤】① 由非负性列出各"=0"的方程；② 分别解出字母；③ 代入目标代数式求值。 【易错】b+3=0 对应 b=-3，符号容易抄错；题目求 ab、a+b 还是 |a+b| 要看清再代入。 16．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，，且则式子的值为_____． 17．（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）若与互为相反数，则________，________． 18．（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）已知，则______． 19．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）若与互为相反数． (1)求a，b的值． (2)若，求c的值． 题型5 绝对值的化简与分类讨论（共5小题） 【模型】含字母的绝对值化简：先定正负再去绝对值，正负不明时按"正、零、负"三类讨论。 【步骤】① 求出"零点"（绝对值内式子为 0 的值）；② 按零点分区间；③ 每段内确定符号后去绝对值。 【易错】漏掉零点处的情形；分区间化简时要用该区间内字母的实际符号，不能照抄第一段的结论。 20．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②：③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 22．（22-23七年级上·全国·期末）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 23．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 24．（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜、＞、＝”填空：_____ 0，_____ 0，_____ 0； (2)化简：． 题型6 绝对值与数轴距离的结合（共5小题） 【模型】|a-b| 的几何意义是 a、b 两点间的距离——"绝对值即距离"。 【步骤】① 把式子翻译成"哪两点之间的距离"；② 在数轴上标出定点；③ 由位置直接读出结果或取值范围。 【易错】|x-2|=3 表示到 2 的距离为 3 的点，是 5 和 -1 两个点；只算右侧漏掉左侧是常见错误。 25．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）数轴上到点的距离为3的点表示的数为（ ） A．1 B． C．或1 D．或 26．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是___________． 27．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为，数轴上定点对应的数是1，若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________． 28．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上点到点的距离为，求点表示的数； (3)若数轴上点到点的距离与它到点的距离相等，求点表示的数． 29．（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 题型7 含多个绝对值的求值问题（共3小题） 【模型】多个绝对值同时出现 → 分别确定每个绝对值内式子的符号，再逐一去绝对值。 【步骤】① 由条件（数轴位置、大小关系）确定每个式子的符号；② 逐个去绝对值；③ 合并同类项化简。 【易错】每个绝对值都要单独判断符号，不能用同一个符号"一揽子"处理；去完后要及时合并化简。 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）已知整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）计算． (1)已知，． ①若a与b异号，求的值； ②若，分别求出a与b的值； (2)若与互为相反数，求的值． 32．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如果对于有理数x，y，k，满足，则称k是x和y的“和平数”．例如，则5是和3的“和平数”． (1)若k是1和的“和平数”，求k的值； (2)若x和的“和平数”是2，且x是整数，求满足条件的所有x的值（请直接写出结果）； (3)对于整数a，若k是a和它相反数的“和平数”，则称k是a的“和平鸽数”．例如对于整数，1是它的相反数，2是和1的“和平数”，则2是的“和平鸽数”．已知是的“和平鸽数”，是的“和平鸽数”，是的“和平鸽数”．若，且，求的值． 拔高·压轴破难 题型8 含参数的绝对值分类讨论（共4小题） 【模型】参数影响符号 → 以参数（或零点）为标准分情况，逐类去绝对值求解。 【步骤】① 找出决定符号的参数与零点；② 按参数范围分类；③ 每类分别化简或求值，最后汇总作答。 【易错】分类标准要"不重不漏"；最后必须汇总各类结果，不能只写其中一类。 33．（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 34．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知实数、、，满足，则______． 35．（25-26七年级上·全国·期末）如果，那么 __________． 36．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 题型9 绝对值之和最小值问题（共6小题） 【模型】|x-a|+|x-b| 的最小值 = a、b 两点间的距离，当 x 落在 a、b 之间（含端点）时取到。 【步骤】① 把式子看成"到两定点距离之和"；② 在数轴上标出 a、b；③ 当 x 取两点之间任一值时，最小值 = |a-b|。 【易错】最小值是 |a-b| 这个数，对应的 x 是一段范围而不是唯一值；别写"x 等于中间某个数"的唯一解。 37．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 38．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为． 请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元/千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 39．（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 40．（23-24七年级上·广西南宁·阶段检测）已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)利用数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b有何数量关系； (3)若点C表示的数为x，当点C在数轴上什么位置时，取得的值最小． 41．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离； (2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值； (4)若的最小值为3，求a的值． 42．（19-20七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数a与b对应点之间的距离． 例1  已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为和2，即a的值为2和． 例2  已知，求的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和，即a的值为3和． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值； (4)若数轴上表示的点在与2之间，求的值； (5)当满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ 题型10 多个绝对值的最值与范围问题（共6小题） 【模型】三个及以上的 |x-a| 求和 → 最小值在"正中间位置"（中位点）处取到，用数轴找平衡点。 【步骤】① 把各定点标上数轴；② 奇数个点：x 取正中间的点时和最小；③ 代入算出最小值。 【易错】奇数个点取中间点，偶数个点取中间两点之间（含端点）；别与"两点型"的结论混淆。 43．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 44．（19-20七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 45．（25-26七年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______； (3)若，则x的值为______； (4)当______时，的值最小，且最小值是______； (5)设，当Q的值最小时，整数x所有可能的值的和为______． 46．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）【定义新知】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离为： ．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是 ，如果 ，那么x是 ； (2)当x＝ 时，的值最小，最小值是 ． (3)当x＝ 时，的值最小，最小值是 ． (4)【解决问题】一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因配送需要，需要在该公路上建一个仓库P，用于配送这3个小区的物资．若产品的运输和包装成本为每千米2元/千份，那么仓库P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 47．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 48．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． $