专题04 整式的加减（期中复习课件）七年级数学上学期新教材人教版

七年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题04 整式的加减 人教七上 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 《整式的加减》是七上期中考试的计算核心，分值占比约25%~40%，主要考查概念辨析（单项式/多项式/整式的判定、系数与次数的识别）、同类项参数求解、去括号与合并同类项三大基础，以及化简求值大题、"与某字母无关"型问题、整体代入、图形周长/分段计费列式等拉分题型； 期中易错集中在去括号负号处理、同类项合并误加指数、代入负数忘加括号等环节，复习应优先死磕去括号变号与化简求值步骤，稳拿概念与参数题，再练熟无关型和实际应用列式。 试题常结合有理数运算设置符号陷阱，学生主要丢分点集中在去括号漏变号、系数次数判断出错，复习要强化运算步骤规范，落实符号意识与模型观念，熟练掌握先化简再求值、整体代入的代数方法。 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 ①能说出单项式的定义，单项式的系数和次数；多项式的定义，多项式的项和次数；整式的定义； ②能说出同类项的定义； ③能说出去括号法则，添括号法则，括号前是“+”，去掉括号，括号内各项不变号；括号前是“-”，去掉括号，括号内每一项全部变号；括号外有数字因数，要用分配律，乘遍括号里每一项； ④能说出合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 理解 ①理解去括号法则本质是乘法分配律； ②理解整式加减的本质：化简多项式，把复杂式子化为最简整式，方便后续代入求值。化简求值优先先化简，后代入，可以简化计算，减少运算出错； ③理解多项式不含某项”“代数式的值与字母取值无关”：含义是这一项无论字母取何值，这一项的值都是0，所以该项的系数必须等于0。 6 复习目标锚定 应用 ①能辨别整式、单项式、多项式；准确找出单项式的系数、次数，判定多项式是几次几项式；区分整式与分母含字母的式子； ②会判断同类项，利用同类项定义列等式，求解字母参数的值； ③熟练运用去括号、合并同类项法则进行整式加减运算；括号外有系数时，不漏乘、不错号； ④化简求值题型：先化简整式，再代入数值计算；负数、分数代入时添加括号，可结合整体代入简化运算； ⑤处理参数题型：多项式不含某一项、代数式的值与字母无关，令对应项的系数等于0，求解参数； ⑥实际问题：读懂文字、图形中的数量关系，列出整式，利用整式加减化简，解决周长、面积、销售数量等实际问题。 7 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 9 知识体系构建 10 PART 04 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 考点二 同类项 考点三 去括号与添括号 考点四 整式的加减运算 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 （1）单项式 ①概念：由数字与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 考点一 整式的概念与判定 判定维度 判断标准 示例 一看运算 只能含乘法（含乘方），不能加、减、除 ✔3x2　✘3x + 2 二看分母 分母中不能含字母（含字母则为分式，非单项式） ✔x　✘ 三看特列 单独的数（如 −5、π）和单独的字母（如 a、x）都是单项式 ✔−7、π、m 12 核心要点精讲 ⚠️易混易错 考点一 整式的概念与判定 易错点 正误判断 原因 ​ 是单项式 ✅正确 等价于 ​x，系数是 ，分母无字母 是单项式 ❌错误 分母含字母，是分式 π 是单项式 ✅正确 π 是常数（数字），单独的数 x−y 是单项式 ❌错误 含减法运算，是多项式 3y 是单项式 ✅正确 数字与字母的乘积 0 是单项式 ✅正确 单独的一个数 13 核心要点精讲 ②系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 考点一 整式的概念与判定 步骤 操作 示例 ① 写成分数形式 将系数明确写出 − ​a ② 提取数字部分 数字（含符号）就是系数 系数为 − ​ ③ 注意隐含 "1" 字母前无数字时系数为 1 或 - 1 x 的系数是 1；−x 的系数是 −1 ④ π是常数 π 视为数字，不是字母 2πr 的系数是 2π 14 核心要点精讲 ③次数：单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 考点一 整式的概念与判定 规则 说明 示例 只算字母的指数 数字的指数不算 中， 是数字，次数只看 x 的指数 3 所有字母指数相加 每个字母的指数都要加 z 的次数 =2+3+1=6 常数次数为 0 单独的数没有字母，次数为 0 −5 的次数是 0 单独字母次数为 1 字母无显式指数时，指数为 1 a 的次数是 1 15 核心要点精讲 （2）多项式 ①概念：几个单项式的和叫做多项式。 考点一 整式的概念与判定 判定维度 判断标准 示例 一看运算 必须含加法运算 （减法视为加负数） ✅ 3x+2   ❌ 3x⋅2（这是单项式） 二看项数 至少含两个单项式 ✅ a+b   ❌ 单独一个 5x（这是单项式） 三看结构 每一项都是单项式 ✅ −2x+1   ❌ （分式不是单项式） 16 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 ⚠️易混易错 易错点 正误判断 原因 3x+2 是多项式 ✅ 正确 两个单项式 3x 和 2 的和 是多项式 ❌ 错误 只有一项，是单项式 a−b 是多项式 ✅ 正确 等价于 a+(−b)，两个单项式的和 ​+2 是多项式 ❌ 错误 ​不是单项式（分母含字母） 0 是多项式 ❌ 错误 0 是单项式，不是多项式（多项式至少两项） 2y−3xy+1 是多项式 ✅ 正确 三个单项式的和 17 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 ②多项式的项与常数项 多项式中，每个单项式叫做多项式的项。多项式中，不含字母的项叫做常数项。 步骤 操作 示例：2 −3x+5 ① 找加号 以加号为分隔 2 、−3x、+5 ② 带符号 每一项连同前面的符号一起看 三项分别为 2 、−3x、+5 ③ 数项数 数一数共有几项 共 3 项 ④ 找常数 找出不含字母的项 常数项是 5 18 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 ③多项式的次数： 多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 步骤 操作 示例：4y−2+7x−1 ① 逐项算次数 计算每一项的次数 4y:3+1=4;  −2:2;  7x:1;  −1:0 ② 找最高次 比较各项次数，取最大值 最高是 4 ③ 定次数 最高次项的次数就是多项式的次数 多项式次数为 4 19 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 ④多项式的命名 维度 规则 示例：2−5+3x−1 次数 多项式的次数 最高次项 2是 3 次 → 三次 项数 多项式的项数 共 4 项 → 四项式 组合 次数 + "次" + 项数 + "项式" 三次四项式 20 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 （3）整式：单项式与多项式统称为整式。 口诀 含义 "分母无字母" 分母中出现字母→分式→不是整式 "单项式 + 多项式" 整式只有这两类 "加减都行，分母干净" 可以有加减（多项式），但分母不能含字母 21 核心要点精讲 考点一 整式的概念与判定 ⚠️易混易错 代数式 是否为整式 原因 3x+2 ✅是 多项式 ✅是 等价于 ​x，分母无字母 ❌否 分母含字母，是分式 π ✅是 单项式 ​ ❌否 分母含字母c ​ ✅是 等价于 ​​x+​​y，分母是常数 x ❌否 根号下含字母（初中阶段不视为整式） 0 ✅是 单项式 22 核心要点精讲 考点二 同类项 ⚠️概念辨析 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）判定标准 维度 标准 示例 字母相同 出现的字母种类一致 3y 与 −5y ✅；3y 与 3x ❌ 指数相同 对应字母的指数一一相等 a 与 −2a ✅；a 与 b ❌ 系数无关 系数可以不同 100x 与 −0.5x ✅ 字母顺序无关 乘法交换律 2xy 与 −3yx ✅ 23 核心要点精讲 考点二 同类项 （3）合并同类项 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （4）运算步骤 步骤 操作 示例：3+2x−5+x ① 找 找出同类项（可用不同标记） 3 与 −5；2x 与 x ② 移 利用交换律移到一起（可选） (3−5)+(2x+x) ③ 合 系数相加，字母不变 −2+3x ④ 查 检查是否还有同类项 无，完成 24 核心要点精讲 考点三 去括号与添括号 ⚠️概念辨析 （1）去括号法则 括号前符号 法则 示例 “+” 去掉括号和 “+”， 括号内各项不变号 +(3a−2b)=3a−2b “−” 去掉括号和 “−”， 括号内各项都变号 −(3a−2b)=−3a+2b 25 核心要点精讲 考点三 去括号与添括号 （2）添括号法则 括号前符号 法则 示例 “+” 添上括号和 “+”， 括号内各项不变号 3a−2b=+(3a−2b) “−” 添上括号和 “−”， 括号内各项都变号 3a−2b=−(−3a+2b) 26 核心要点精讲 考点四 整式的加减运算 ⚠️概念辨析 （1）核心原理：整式的加减本质上是去括号 + 合并同类项。 （2）整式加减实际应用常见题型 题型 方法 列式表示数量 根据题意列出整式 化简后求值 先化简整式，再代入数值 比较大小 作差法：A−B>0⇒A>B 探索规律 列出整式后化简找规律 27 PART 05 重难题型突破 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 升（降）幂排列 题型九 整式的判断 题型十 同类项的判断 题型十一 已知同类项求参数的值 题型十二 合并同类项 题型十三 去括号 题型十四 添括号 题型十五 整式的加减运算 题型十六 整式加减中的化简求值题 题型十七 整式加减中的无关问题 题型十八 整式加减的应用 题型十九 带有字母的绝对值的化简 28 重难题型突破 题型一 单项式的判断 典例1 （25-26七年级上·广东·阶段检测）下列各式中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． B 解：A、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； B、是数与字母的乘积，是单项式，故本选项符合题意； C、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； D、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意． 💡破题要诀 有加减不是单项式，分母带字母不是单项式； 单独数字字母，数与字母的积才是单项式。 29 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 题型一 单项式的判断 D 解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 30 重难题型突破 题型一 单项式的判断 迁移应用 2．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个 31 重难题型突破 题型一 单项式的判断 迁移应用 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 C 解：是单独的数，属于单项式； 是两个单项式的差，不属于单项式； 是字母的积，属于单项式； 是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 32 重难题型突破 题型二 单项式的系数、次数 典例2 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 B 解：． ∵该式的数字因数为9，∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 💡破题要诀 系数：数字因数全带走，符号1和π别漏； 次数：字母指数加一加，省略的指数1不能忘，常数零次记心头。 33 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A．的系数是 B．是5次单项式 C．是多项式 D．的常数项是3 题型二 单项式的系数、次数 C 解：A.的系数是，故该选项不正确，不符合题意； B.是3次单项式，故该选项不正确，不符合题意； C.是多项式，故该选项正确，符合题意； D.的常数项是，故该选项不正确，不符合题意. 34 重难题型突破 题型二 单项式的系数、次数 迁移应用 2．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测） 单项式的系数和次数分别是（ ） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 A 解：单项式的数字因数是，所以系数是； 所有字母指数的和是，所以次数是5． 迁移应用 3．（26-27七年级上·四川·期中） 单项式的系数是___________，次数是___________． 3 解：单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． 35 重难题型突破 题型三 写出满足某些特征的单项式 典例3 （25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． C 解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 36 重难题型突破 题型三 写出满足某些特征的单项式 💡破题要诀 1. 审题，圈画全部限制条件 常见条件：单项式次数、系数、所含字母、系数正负、系数是整数/分数等； 2. 拆分字母指数（指数为正整数） 总次数 = 各个字母指数相加，指数必须是正整数； 3. 组合系数+字母部分，写出单项式 系数写最前面，紧跟字母及其指数； 4. 回头检验（必做） ① 核对系数，符号、数值是否符合； ② 把所有字母指数相加，验证总次数； ③ 确认只含要求的字母，不多、不少； ④ 确认是单项式（没有加减，分母无字母）。 37 重难题型突破 迁移应用 1．（2026·河南许昌·一模）写出一个含有字母的单项式：_____ ． 题型三 写出满足某些特征的单项式 解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式， 例如：，、等符合要求的结果都正确． 2．（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________ （写出一个即可）． 解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和， 因此可构造单项式如， 其中系数为，次数为； 其他符合条件的有（系数为，次数为） 或（系数为，次数为）等． （答案不唯一） 38 重难题型突破 题型三 写出满足某些特征的单项式 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________ ． 解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为 （答案不唯一） 39 重难题型突破 题型四 单项式规律题 典例4 （26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式： ，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． D 解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推可知第个代数式是． 40 重难题型突破 题型四 单项式规律题 💡破题要诀 分拆符号、系数、字母指数，三部分单独找规律 1. 符号规律 看正负交替： - 第1项负、第2项正：(-1) n - 第1项正、第2项负：(-1) (n+1) n代表项数（第n项）； 2. 系数绝对值规律 观察系数绝对值：等差、等比、自然数序列，写出第n项的系数表达式。 3. 字母、指数规律 ① 看固定含有哪些字母； ② 单独看每个字母的指数，指数大多随项数n递增； ③ 分别写出每个字母的指数关于n的关系式。 4. 合并三部分 符号 × 系数绝对值 × 字母部分，得到第n个单项式。 5. 检验代入n=1、n=2，验证是否和题目给出的前几项一致。 41 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 题型四 单项式规律题 C 解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 42 重难题型突破 题型四 单项式规律题 迁移应用 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成 ，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． D 解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项的指数为5，第3项的指数为8， 第4项的指数为，第5项的指数为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 43 重难题型突破 题型四 单项式规律题 迁移应用 3．（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式： ，第个代数式是（     ） A． B． C． D． B 解：第1个代数式为，系数， 第2个代数式为，系数， 第3个代数式为，系数， 第4个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第n个代数式的系数为， 即第n个代数式是． 44 重难题型突破 题型五 多项式的判断 典例5 （25-26七年级上·江苏扬州·期末） 下列说法： 多项式是二次三项式； 单项式的系数是； 5是单项式； 是多项式．其中正确的有（   ） A． B． C． D． C 解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 💡破题要诀 1. 先拆分式子：把式子以+、-隔开，拆成多个部分； 2. 检查每一部分都必须是单项式； 3. 所有单项式合起来做加减，才是多项式； 4. 只要分母含有字母，直接排除，不是多项式。 45 重难题型突破 迁移应用 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 题型五 多项式的判断 D 解：A．的最高次项是，次数为，共有个项， 是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式， 判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和， 即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 46 重难题型突破 题型五 多项式的判断 迁移应用 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 B 解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式， 两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 47 重难题型突破 题型五 多项式的判断 迁移应用 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 C 解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式， 因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数， 因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为， 因此一次项的系数为，D错误． 48 重难题型突破 题型六 多项式的项、项数或次数 典例6 （25-26七年级上·广东·阶段检测） 多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， A 解：多项式次数取各项次数最大值，、次数均为3， 故次数为3；常数项是不含字母的项． 💡破题要诀 （1）找"项"的破题要诀："看到加减号就切一刀，切出来的每块就是一个项" 多项式 切割方式 各项 3−2x+1 3∣−2x∣+1 3、−2x、+1 −a+b−c −a∣+b∣−c −a、+b、−c −+2xy−5 ∣−∣+2xy∣−5 、−、+2xy、−5 −3+2m−7 −3∣+2m∣−7 −3、+2m、−7 49 重难题型突破 题型六 多项式的项、项数或次数 （2）找"项数"的破题要诀 步骤1：用加减号切开 步骤2：数有几块 → 就是几项 步骤3：注意！常数项也算一项 多项式 切法 项数 3x+2 2 块 2 项（二项式） −2ab+ 3 块 3 项（三项式） −+x−1 3 块 3 项 5 1 块 1 项 x3−2+x−4 4 块 4 项 （3）找"次数"的破题要诀 步骤1：找出多项式的每一项 步骤2：分别算出每一项的次数（字母指数求和） 步骤3：取最大值 → 就是多项式的次数。 50 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·四川·期中）多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型六 多项式的项、项数或次数 B 解：由题意可得，多项式有个单项式，所以共有项； 单项式中次数最高的项是，它的次数是，即为该多项式的次数． 迁移应用2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项 ，项数是___ ． 解：分别计算多项式中每个项的次数： ∵常数项的次数为，的次数为， 的次数为，的次数为， ∴比较得， ∴次数最高项是，该多项式共包含个单项式，因此项数是． 51 重难题型突破 题型六 多项式的项、项数或次数 迁移应用3．（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的各项系数之积为__________． 3 解：多项式的各项系数之积为： . 52 💡破题要诀 多项式的“命名”规则，次数 + 项数 = 完整称呼： 几次几项式，次数在前项数后。 重难题型突破 题型七 多项式系数、指数中字母求值 典例7 （26-27七年级上·北京·期中）多项式是______次____项式． 三 解：∵多项式中，的次数为 的次数为，常数项的次数为，∴最高次数为，故为三次多项式， ∵共有项，∴是三项式， ∴多项式是三次三项式． 三 多项式 次数 项数 称呼 3x+2 1次 2 项（二项式） 一次二项式 +2ab+ 2次 3 项（三项式） 二次三项式 −1 2次 2项 二次二项式 5 0次 1 项 常数项 −2+x−4 3次 4 项 三次四项式 53 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末） 若多项式是关于的二次二项式，则________． 题型七 多项式系数、指数中字母求值 解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项， 最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 54 重难题型突破 题型七 多项式系数、指数中字母求值 迁移应用2．（25-26七年级上·河南信阳·期末） 多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 解：多项式是关于 ， 的六次三项式， 因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数， 多项式变为，只有两项，不符合三项式要求，故， 55 重难题型突破 题型七 多项式系数、指数中字母求值 迁移应用3．（25-26七年级上·陕西汉中·期中） 已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 56 重难题型突破 题型八 升（降）幂排列 典例8 （25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． B 解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 💡破题要诀 第1步：锁定目标字母（题目指定的那个）； 第2步：逐项找出该字母的指数； 第3步：按升/降序排列各项； 第4步：带着符号搬家（符号跟着项走！）； 第5步：检查首项符号（首项不能有"+"）。 57 重难题型突破 迁移应用1．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测） 把多项式按照字母升幂排列时， 从左到右第二项是：_____． 题型八 升（降）幂排列 解：把多项式按照字母升幂排列为 ， 即从左到右第二项是． 迁移应用2．（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为 。 解：多项式按字母的降幂排列为 ． 58 重难题型突破 题型八 升（降）幂排列 迁移应用3．（25-26七年级上·上海·期中） 整式按a降幂排列的结果是 ________________________ ． 解：确定多项式中各项的指数分别为 ， 按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得： 59 重难题型突破 题型九 整式的判断 典例9 （25-26七年级上·河南开封·期末） 在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 C 解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母，对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个 💡破题要诀 分母里不含字母的代数式，就是整式。 60 重难题型突破 迁移应用1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九 整式的判断 D 解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 迁移应用2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末） 在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． B 解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）；是数与字母的积，属于单项式（整式）；是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式），∴整式的个数有个， 61 重难题型突破 题型九 整式的判断 迁移应用3．（25-26七年级上·山东菏泽·期末） 式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 C 解：∵整式是单项式和多项式的统称， 且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 62 重难题型突破 题型十 同类项的判断 典例10 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x C 解：A、与中 x、y 的指数不同，A 错； B、与所含字母不同，B 错； C、与所含字母相同（n 的指数都是 1，m 的指数都是 2），是同类项，C 正确； D、5是常数项，与x不是同类项，D 错． 💡破题要诀 1. 圈出两组式子里面全部字母，对比字母种类是否一模一样； 2. 逐个核对相同字母的指数是否相等； 3. 两项都是常数 → 直接判定为同类项； 4. 两条条件有一条不满足，就不是同类项。 63 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 题型十 同类项的判断 C 解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 64 重难题型突破 题型十 同类项的判断 迁移应用 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 D 解：A、和所含字母相同， 但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 65 重难题型突破 题型十 同类项的判断 迁移应用 3．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． B 解：A、与中字母的指数对应不相同， 不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同， 不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同， 不是同类项，故选项不符合题意． 66 重难题型突破 题型十一 已知同类项求参数的值 典例11 （26-27七年级上·四川·期中）若与是同类项，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． A 解： 与是同类项， ，， 解得，． 💡破题要诀 1. 找准两个单项式里对应的相同字母； 2. 令相同字母的指数相等，列出方程； 3. 解方程，求出参数； 4. 检验：把求得参数代回去，核对指数是否一致。 67 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十一 已知同类项求参数的值 B 解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 迁移应用 2．（25-26七年级上·广东·阶段检测）若与是同类项，则___________． 解：由与是同类项，得出， ． 68 重难题型突破 题型十一 已知同类项求参数的值 迁移应用 3．（26-27七年级上·上海·期中）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 69 重难题型突破 题型十二 合并同类项 典例12 （26-27七年级上·全国·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． D 💡破题要诀 第1步：找 → 找出多项式中的所有同类项； 第2步：标 → 用不同标记标出各组同类项； 第3步：移 → 利用交换律把同类项移到一起； 第4步：合 → 系数相加，字母部分照搬； 第5步：查 → 检查是否彻底合并、符号是否正确。 解：A．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 70 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十二 合并同类项 C 解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 71 重难题型突破 题型十二 合并同类项 迁移应用 2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． D 解：选项A，与y不是同类项，因为它们所含字母不同， 不能直接合并，该选项错误，不符合题意； 选项B，与是同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变，可得，而不是，该选项错误，不符合题意； 选项C，根据去括号法则，当括号前是“”号时，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，所以，而不是，该选项错误，不符合题意； 选项D，与是同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变，可得，该选项正确，符合题意． 72 重难题型突破 题型十二 合并同类项 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． B 解：，故A错误； ，，，故B正确； ，故C错误； ， 与结果不同，故D错误. 73 重难题型突破 题型十三 去括号 典例13 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列去括号中，正确的是（     ） A． B． C． D． C 💡破题要诀 括号前正号，去括不变号； 括号前负号，全部都变号； 外面有数乘，分配不漏乘。 解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 74 重难题型突破 迁移应用 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十三 去括号 C 解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 75 重难题型突破 题型十三 去括号 迁移应用 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号： ①； ②； ③； ④．其中正确的共有______个． 3 解：①，括号前是负号， 去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号， 去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 76 重难题型突破 题型十三 去括号 迁移应用 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 77 重难题型突破 题型十四 添括号 典例14 （25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． D 💡破题要诀 1. 确定要括起来的部分； 2. 看清新添括号前面的符号； 3. 括号前为“-”，括号内每一项正负全部反转； 括号前为“+”，内部各项符号保持原样； 4. 检验：去括号还原，看是否和原式一致。 解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 78 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十四 添括号 B 解：A、， 故原选项添括号错误，不符合题意； B、， 故原选项添括号正确，符合题意； C、， 故原选项添括号错误，不符合题意； D、， 故原选项添括号错误，不符合题意； 79 重难题型突破 题型十四 添括号 迁移应用 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． D 解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 80 重难题型突破 题型十四 添括号 迁移应用 3．（26-27七年级上·全国·课后作业） 在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 解：（1）； （2）． 81 重难题型突破 题型十五 整式的加减运算 典例15 （24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) （2）解： （3）解： (3) 解：（1） 82 重难题型突破 题型十五 整式的加减运算 💡破题要诀 1. 去括号：有括号优先去括号。括号前正号不变号；括号前负号，内部各项全变号；括号外有数字因数，用分配律逐项相乘，不漏乘； 2. 找同类项：标记所有同类项，移动项时连带前面的符号； 3. 合并同类项：同类项系数相加减，字母、字母指数保持不变；不是同类项直接保留； 4. 整理结果：一般按某个字母升幂或降幂排列（题目无要求可不排）； 5. 检查符号、漏项、合并是否彻底。 典例15 （24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 83 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简： (1) (2) 题型十五 整式的加减运算 解：（2） . 解：（1） . 84 重难题型突破 题型十五 整式的加减运算 迁移应用 2．（26-27七年级上·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 解：（1） ； 解：（2） ． 85 重难题型突破 题型十五 整式的加减运算 迁移应用 3．（26-27七年级上·福建·期中）计算 (1) (2) (3) （3）解：原式 ． （1）解：原式； （2）解：原式 ； 86 重难题型突破 题型十六 整式加减中的化简求值题 典例16 （26-27七年级上·河南·期中）先化简，再求值： ，其中，． 解： 将，代入，原式． 💡破题要诀 1. 化简（优先做） 有括号先去括号，再合并同类项，化为最简整式。 千万不要直接把数值代入原式计算，原式复杂容易算错。 2. 代入数值 看清字母对应的数值，负数、分数代入必须加上括号。 3. 计算结果 按照有理数运算法则算出最终数值。 4. 检验：核对化简过程、代入的数据、乘方计算。 87 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值： ，其中，． 题型十六 整式加减中的化简求值题 解：原式 ． 当，时， 原式 ． 88 重难题型突破 题型十六 整式加减中的化简求值题 迁移应用 2．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值： ，其中． 解： ， 将代入得： 原式 ． 89 重难题型突破 题型十六 整式加减中的化简求值题 迁移应用 3．（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 解： ； ∵，， ∴原式． 90 重难题型突破 题型十七 整式加减中的无关问题 典例17 （25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式 不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． D 解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 💡破题要诀 1. 化简整式：去括号，合并同类项，整理成标准多项式形式； 2. 分离目标字母的项，提取对应字母的系数； 3. 令该字母的系数 = 0，列方程； 4. 解方程求出参数； 5. 检验：把参数代回，含目标字母项系数为0。 91 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·甘肃·期中）关于的多项式 不含二次项，求的值． 题型十七 整式加减中的无关问题 解：关于的多项式不含二次项， 且， ∴， ∴ ． 92 重难题型突破 题型十七 整式加减中的无关问题 迁移应用 2．（22-23七年级上·全国·期末） 如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 93 重难题型突破 题型十七 整式加减中的无关问题 迁移应用 3．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测） 已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． （1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知： ， 的值与的取值无关， ， 解得． 94 解： ， 被墨水遮住的一项应是. 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 典例18 （26-27七年级上·上海·单元测试） 是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），求被墨水遮住的一项． 95 重难题型突破 💡破题要诀 整式加减的应用，本质就是把生活/几何/实际场景翻译成代数式，再做加减化简。 万变不离其宗：列式子 → 去括号 → 合并同类项 → 化简求值。 常见应用类型 1. 几何类（周长、面积） 长方形、正方形等图形，用字母表示边长，列式计算周长或面积，再化简。 注意：周长、面积公式不能记错。 2. 销售问题 利润、售价、数量之间的关系，用整式表达收入、成本。 3. 文字数量关系：根据描述直接写出两个量的和差。 题型十八 整式加减的应用 典例18 （26-27七年级上·上海·单元测试） 是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），求被墨水遮住的一项． 96 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？ 题型十八 整式加减的应用 终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨， 则从A市仓库运到Y市的水泥为吨， 从B市仓库运到X市的水泥为吨， 从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为，所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 97 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 迁移应用 2．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ （1）解：设， ， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1， d取最小值5，则c最小值为2， 最小的“叁叁数”是4125； 4125 98 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 迁移应用 2．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ （2）解：设，， ． ， ， 99 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 ， ，， ， 除以5的余数为1，， 或， 当时，不是“叁叁数”舍去， 当时，， ， 或或或， 即或或或， ∵b，c均为正整数， 或（舍） ， 若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则s的值为6314． 100 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 迁移应用 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 101 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 迁移应用 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． （1）解： ； 当， ∴ ． 102 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 迁移应用 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． （2）解：设，则，，． ； 所以，的值为． 103 重难题型突破 题型十八 整式加减的应用 迁移应用 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 104 重难题型突破 题型十九 带有字母的绝对值的化简 典例19 （26-27七年级上·北京·期中）有理数，，在数轴上的位置如图：   (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． （1）解：由题意得： ，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 105 重难题型突破 💡破题要诀 判断字母的正负，再脱绝对值符号。绝对值的性质：。 第1步：找 → 找出所有绝对值符号内的式子； 第2步：判 → 判断每个式子的正负（或零点）； 第3步：分 → 按正负分区讨论（零点分段法）； 第4步：脱 → 按规则去掉绝对值符号； 第5步：合 → 化简合并同类项。 题型十九 带有字母的绝对值的化简 典例19 （26-27七年级上·北京·期中）有理数，，在数轴上的位置如图：   (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 106 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，且满足，，，. 题型十九 带有字母的绝对值的化简 (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. （1）解： ， ，， ，，， ， ， 则； （2）解：由题可知， ，， ， 原式. 𝒂 107 重难题型突破 题型十九 带有字母的绝对值的化简 2．（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． （1）解：由数轴可知，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 108 3．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且．  (1)把、、、按照从大到小的顺序用“”连接起来是______ __ ______ __ ； (2)填空：________；________；________； （用“”或“”或“”填空） (3)化简代数式：． 重难题型突破 题型十九 带有字母的绝对值的化简 （1）解：，且在原点左边，在原点右边， ，； （2）解：， ，， ， ； （3）解：根据数轴可得， ， ． 109 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．x的系数为0 B．是整式 C．1是单项式 D．系数是4 C 解：x的系数为1，A选项说法错误； 整式的分母中不含字母，分母含字母， 是分式不是整式，B选项说法错误； 单独的一个数是单项式，1是单项式，C选项说法正确； 的系数是，D选项说法错误． 111 基础固本练 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 B 解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为， ∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 112 基础固本练 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 A 解：A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 113 基础固本练 4．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测） 定义运算“”：，下列结论正确的是（     ） A． B．不存在有理数，使 C． D．对任意有理数，都有 D 解：A． ，此选项不正确； B． ， ， 当即时，此选项不正确； C． ， 此选项不正确； D． ，，，此选项正确． 114 基础固本练 5．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 D 解： ， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 115 基础固本练 6．（26-27七年级上·宁夏·期中）长方形的周长为 ，一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 解：∵长方形周长为， ∴一组邻边的和为， ∵一边长为， ∴另一边长为． C 116 7．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（     ）   A． B． C． D． 基础固本练 解：由数轴可知，，且， ∴，， 故选项A、B、C不成立，不符合题意； ∵异号， ∴，故选项D成立，符合题意． D 117 基础固本练 8．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）将数，填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 解：设中间“○”中的数为x，则左边“□”中的数为， 右边“□”中的数为， 两个数相加的结果是， 当中间“○”中的数每增加2， 此时两个数相加的结果是， 根据题意，得 ， 所以结果减少了14． A 118 基础固本练 9．（2026·河南平顶山·一模）请写出一个系数为，次数为的单项式：_______ ． （答案不唯一） 解：系数为，次数为的单项式可以写为． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_______________ ． 解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中） 若与是同类项，则的值是________． 4 解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等， ∴，， ∴， ∴． 119 基础固本练 12．（25-26七年级上·广东·阶段检测）计算：___________． 解： ． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律， 第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 120 基础固本练 14．（26-27七年级上·安徽·期中）若，则___． 2 解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 121 基础固本练 15．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． （2） ． 解：（1） ． 122 基础固本练 16．（26-27七年级上·陕西·期中）化简． (1)化简：； (2)先化简，再求值： ，其中，． （1）解：原式； （2）解：原式 ， ，， 原式． 123 基础固本练 17．（26-27七年级上·北京·期中） 如果，，且，求． 解：∵， ∴ ． 124 基础固本练 18．（26-27七年级上·广东·期中）父亲看到嘉悦在做一道数学题： “化简：”． 请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” （1）解：原式 ∵标准答案是常数， ∴ 解得：． （2）由（1）可知： 原式， 把代入， 得：， 解得：． 125 19．（26-27七年级上·四川·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：  (1)将下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ___________， ___________， ___________； (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 基础固本练 （1）解：由题意可知：，， ∴，， ∴，，； （2）解： ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴，解得：． 126 基础固本练 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． （1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． 127 基础固本练 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． （2）解：设， 由图可知：， ， 含x项的系数为0， 即， ． 128 综合进阶练 1．（26-27七年级上·陕西·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 D 解：A. 的次数为4，故本选项不符合题意； B. 多项式的一次项是，故本选项不符合题意； C. 单项式的系数是1，故本选项不符合题意； D. 多项式是二次三项式，故本选项符合题意． 129 综合进阶练 2．（25-26九年级下·重庆綦江·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式； 时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， 若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． 当时，， ∴， 所有满足的有： 或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 130 综合进阶练 2．（25-26九年级下·重庆綦江·阶段检测）已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式； 时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，正确； 枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共个； 时，由得：满足条件的整式有个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共个， 总共有个，错误． 综上，正确的说法有个． C 131 综合进阶练 3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． D 132 综合进阶练 4．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测） 若，，则的值为（     ） A． B． C． D． A 解：， ，，， 原式， ， ，，中负数的个数为偶数（个或个）， ， ，，不可能全正，也不可能全负， ，，中有个负数，个正数， ， 原式． 133 综合进阶练 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，互为相反数，则（     ） A． B． C． D． A 解：∵，互为相反数，∴. ∴ ． 6．（26-27七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（     ） A． B． C． D． 解：由图知，，， ，，，故A选项正确． A 134 综合进阶练 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 B 解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ， ∴，∴ ， 按分类讨论： 当 时，，得整式，共1个，是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ， 对应整式为 ，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ， 对应整式为，，，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，得 ，其余系数为0， 对应整式 ，共1个，是单项式； 验证说法：① 单项式共有 个，故①正确； ② 各对应整式个数为 ，不存在有且仅有2个的，故②错误； ③ 整式总个数为 个，不是10个，故③错误； 综上，正确的说法共1个 135 综合进阶练 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测） 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足． 下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：由题可知，，为正整数， ，故的值为、、， 由单项式定义可知， ， 代入等式左侧： ， 则， 当， ， 代入整式后得到单项式， 当，， 此时不是整数，舍去， 当， ， 代入整式后得到单项式， 得到2个单项式，因此说法①错误． 136 综合进阶练 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测） 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足． 下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 ②时，， 的值为、、， 条件式子为： ，为整数， 即 或， 当，或， 代入整式后得到：， 当，或， 代入整式后得到：，， 当，或， 代入整式后得到：，； 将上述全部整式相加求和： 故说法②正确 137 综合进阶练 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测） 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足． 下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 ③当时，二次整式， ， 整式， 、为整数．条件： ， 代入， ， 设（为整数）， 对上述等式变形得： ， 由绝对值的非负性可知， ， 求解得； 对每个整数， 的整数解为的个数， 138 综合进阶练 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测） 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足． 下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 接下来逐个枚举： 1.时：， ，，共1个 2.时：， ， ，，共个； 3.时：， ， ，，共个； 4.时：， ， ，，共个； 5.时：， ， ，，共个； 139 综合进阶练 8．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测） 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足． 下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.时：， ， ，，共个； 7.时：， ， ，，共个； 8.时：， ， ，共个； 9.时：， ， ，共个； 总个数为： 说法③正确． 综上所述，正确的个数为2 C 140 综合进阶练 9．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴， 解得： ， ∴. 10．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式 的值为________． 解：∵， ∴ ． 141 综合进阶练 11．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是__________ ． 解：原多项式为： ， 则正确的答案是： ． 142 综合进阶练 12．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）有理数在数轴上的表示如图所示，那么化简结果为______． 解：由数轴可得，， ，， ． 143 综合进阶练 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表 按此规律，当输入9时，输出结果为___________， 从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有_______个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出               … 解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， 因为输出结果的系数依次为1，2，3，5，8，13， …，输出结果的次数依次为1，2，3，5，8，…， 所以从第2个输出的结果开始，系数与次数按偶数，奇数，奇数循环， 则， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1351个． 1351 144 综合进阶练 14．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个． 解：当，时， ，满足， ，为整数． 满足条件的组合为： ； ， 共个满足条件的整式． 已知，，， 所有系数为整数，为正整数，系数共个， 因此最小系数和为： ． 计算得只能取， 时最小和大于， 无符合条件的整式． 1．当时： ，， 得，为正整数， 因此，对应个满足条件的整式． 145 综合进阶练 14．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，且均为整数，n为正整数．若，则满足条件的整式A共有__________个；若，则满足条件的整式共有__________个． 2．当时： ，，按分类： 时，，，得，，共个； 时，，，得，，共个； 时，最小系数和为，无符合条件的组合； 因此时共个满足条件的整式． 3．当时： ，， 最小系数和为， 刚好等于，仅个组合满足条件，因此共个满足条件的整式． 综上，满足条件的整式总个数为． 146 综合进阶练 15．（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项： (1) (2) 解：（1） =； （2） = =． 147 综合进阶练 16．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值： ，其中，． 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 148 综合进阶练 17．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中） 已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． （1）解： ， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 149 综合进阶练 18．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为　　；　 (2)如图2所示，则幻和为　　　　　； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为　　　　． 解：（1）∵幻和恰好等于中心数的3倍， ∴幻和为． （2）∵幻和恰好等于中心数的3倍， ∴幻和为． 150 综合进阶练 18．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为　　　　． （3）∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∵， ∴， ， 整理得，． ∴． 151 综合进阶练 19．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一个四位正整数，我们规定：个位数字比十位数字大2，千位数字比百位数字也大2，则称数为“完美数”． (1)请判断5613、7546是不是“完美数”，请说明理由； (2)一个“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n，将“完美数”M的个位数字移到最左边，得到一个新的四位数N． ①“完美数”M是否一定能被11整除？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明； ②若m、n满足，求的值． （1）解： 因为， ， 所以5613不是“完美数”； 因为， ， 所以7546是“完美数”； (2)①能，理由如下： 因为“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n， 所以“完美数”M的千位数字是，十位数字是， “完美数”M是 ， 所以“完美数”M一定能被11整除； 152 综合进阶练 19．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一个四位正整数，我们规定：个位数字比十位数字大2，千位数字比百位数字也大2，则称数为“完美数”． (1)请判断5613、7546是不是“完美数”，请说明理由； (2)一个“完美数”M的百位数字是m，个位数字是n，将“完美数”M的个位数字移到最左边，得到一个新的四位数N． ①“完美数”M是否一定能被11整除？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明； ②若m、n满足，求的值． ②新的四位数N为： ， 因为，、为之间的整数， 若，， 解得，，（不合题意，舍去） 同理，，（不合题意，舍去） 若，， 解得，，  此时 ， 若，， 解得，， 此时 ， 综上的值为或． 153 $