专题03 代数式（期中复习课件）七年级数学上学期新教材人教版

七年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题03 代数式 人教七上 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 《代数式》在期中占分约10%～15%，是学生从算术走向代数的起始内容，以选择、填空为主，搭配求值解答题； 命题重点包含代数式识别、书写规范、列代数式、代数式求值（含整体代入）与数字图形规律探究，常结合有理数运算综合考查；基础题考查概念辨析，中档题侧重代入计算，整体代入、规律探究作为区分题； 学生主要丢分在书写格式、代入符号处理，以及不会运用整体思想，复习时要强化文字语言转代数式、符号运算和归纳推理训练，落实数感与模型观念核心素养。 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 ①能说出代数式的定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子；不含等号、不等号，单独一个数或字母也是代数式； ②能说出代数式的书写规范，数字写字母前面；乘号省略；除法写成分数；带分数化为假分数；负数、分数代入求值要加括号。 ③能列代数式：读懂文字数量关系，转化为符号式子； ④能求代数式的值，用数值代替代数式里字母，按有理数运算顺序计算结果。整体代入：不单独求字母，把某部分看成整体直接替换。 6 复习目标锚定 理解 ①理解代数式是表示数量关系的符号模型，不是等式或不等式，它只用来描述运算关系，不能出现=、＞、＜等关系符号；单独的数、字母本质也是代数式，代表一个确定或可变的量； ②理解列代数式，就是把文字描述的数量关系翻译成数学符号，核心是理清运算先后顺序，分清“和、差、积、商”以及关键词“比…多、比…少”； ③理解求代数式的值，字母只是一个“占位符号”，把数值替换进去，本质还是有理数运算；整体代入的核心：当无法求出单个字母取值时，将式子中完整的部分当成一个整体替换，简化计算，不用拆分求解； ④理解数字、图形规律探究，是从有限的几组特例里，发现不变与变化的规律，用代数式概括通用规律，实现由特殊到一般的归纳。 7 复习目标锚定 应用 ①能判断式子是不是代数式，甄别等式、不等式与代数式，纠正不规范的代数式写法； ②能观察已知条件和所求代数式之间的关联，对式子适当变形，整体替换，不用单独求出每个字母的值，解决期中中档、压轴小题； ③能通过观察数字、点阵、图形变化，归纳规律写出代数式，再利用代数式求指定项的值； ④能读懂输入输出流程，按照程序分步代入代数式计算。 8 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 10 知识体系构建 11 PART 04 核心要点精讲 考点一 代数式的概念与判定 考点二 代数式规范书写 考点三 列代数式 考点四 代数式求值 考点五 规律探究 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 （1）用加、减、乘、除、乘方等运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独一个数或一个字母，也是代数式。 考点一 代数式的概念与判定 类型 例子 单独一个数 、、 单独一个字母 、 数与字母的积 、、 数与字母的和/差 、、 含乘方 、 含除法 、 13 核心要点精讲 考点一 代数式的概念与判定 （2）不属于代数式 类型 例子 原因 等式 2x+3=7 含有等号，表示两个式子相等 不等式 3x>5 含有不等号（>,<,≥,≤,=），表示大小关系 方程 −4=0 含有未知数的等式（必须同时满足：有未知数 + 有等号） 变化关系 y=2x+1 两个变量x,y，对于x的每一个值，y有唯一值对应，用等号建立变量关系 判定口诀： 有等号不等号，就不是代数式； 只有运算符号连，数加字母才是代数式。 14 核心要点精讲 考点二 代数式规范书写 ⚠️概念辨析 （1）六大书写法则 ①数字与字母相乘：数字在前、字母在后，省略乘号； 例： 规范写为 ； ②带分数与字母相乘：必须化为假分数； 例： 规范写为 ; ③除法运算：一律写成分数形式； 例： 规范写为 ； ④字母与字母相乘：省略乘号，按顺序书写； 例： 规范写为 ; ⑤加减代数式带单位：整体加括号； 例：长 米、宽米的长方形周长写为 米 ，不可写 米； ⑥和省略不写， 例：，。 15 核心要点精讲 考点三 列代数式 ⚠️概念辨析 将文字语言精准转化为数学符号语言，核心是理清题目中的数量关系和运算顺序。 中文说法 谁先算 代数式 a 与 b 的和 先加 a+b a 与 b 的和的平方 先加再平方 a 与 b的平方和 先平方再加 + a 的 3 倍 先乘 3a a 的 3 倍与 b 的差 先 3 倍再减 3a−b a 与 b 的差的 3 倍 先差再乘 3 3(a−b) a 与 b 的差的平方 先差再平方 a 与 b的平方差 先平方再减 比 a 的 2 倍多 5 先 2 倍再加 2a+5 比 a 的 2 倍少 5 先 2 倍再减 2a−5 a 的一半与 b 的 3 倍的和 先各算再相加 +3b ⚠️记忆口诀 （1）先出现的先算，后修饰的套外面 16 核心要点精讲 考点三 列代数式 （2）数字与字母混合的翻译 情境 代数式 x 的一半 ​ a 与 b 的和的一半 ​​ a 除以 b 与 c 的和 x 与 y 的和的倒数 ​ x 与 y 的倒数和 ​+​ 17 核心要点精讲 考点三 列代数式 （3）几何图形类 图形 / 情境 代数式 三角形面积 梯形面积 ​ 半圆面积 ​ 圆锥体积 h 球体积 阴影面积（大减小） － 18 核心要点精讲 考点三 列代数式 （4）行程类 情境 代数式 路程s、速度v，求时间 速度v、时间t，求路程 vt 甲乙相向而行，速度和 +，相遇时间 追及问题，路程差d，速度差甲乙，追及时间 顺水：船速v、水速u，顺速、逆速 顺速v+u；逆速v−u 顺水走s再逆水返回，总时间 += 平均速度（往返同一段路程） = 19 核心要点精讲 考点三 列代数式 （5）数字类 情境 代数式 n 是偶数，求下一个偶数 n+2 n 是奇数，求下一个奇数 n+2 连续三个整数（中间为n） n−1, n, n+1 百位a、十位b、个位c组成三位数 100a+10b+c 两数a,b的平均数 ​ 十位y、个位x的两位数 10y+x 20 核心要点精讲 考点三 列代数式 （6）工程类 情境 代数式 甲单独a天完成，工效 （每天） 乙单独b天完成，工效 （每天） 甲乙合作工效 ​+​= 甲乙合作完成天数 ​=​ 甲先做m天，再甲乙合作n天完成 m⋅​+n(​+​)=1 甲做x天、乙做y天刚好完成 ​+​=1 21 核心要点精讲 考点四 代数式求值 ⚠️概念辨析 题目只给出一个“式子的值”（如 、），无法求出、或无需求出字母单独的值。把已知的整体式子看作一个完整的“大数字”，直接替换所求代数式中的对应部分，整体替换、快速求值。 ►模型1：直接整体替换 特征：所求代数式中，含有和已知条件完全相同的整式部分。 ►模型2：倍数整体变形 特征：所求式子与已知式子成倍数关系，需要提取公因数构造整体。 ►模型3：相反数整体变形 特征：所求式子是已知整体的相反数，符号容易出错，是期中核心易错点。 22 核心要点精讲 考点四 代数式求值 ⚠️解题步骤 第一步：观察 对比已知式和所求式，寻找相同整体或倍数、相反数关系； 第二步：变形 通过提公因式、变符号，凑出和已知一致的整体； 第三步：替换 将整体式子当作一个数，直接代入； 第四步：计算 依据有理数运算法则，算出最终结果。 ⚠️易混易错 1. 强行求解单个字母的值，浪费时间且大概率算错； 2. 相反数整体变形时漏写负号，是最高频错误； 3. 整体替换后，负数运算、乘法计算失误； 4. 不会提公因式凑整体，看不出倍数关系。 23 核心要点精讲 考点五 规律探究 ⚠️记忆口诀 从给出的前几项（特殊例子），观察、对比，找到不变量与变化量，归纳通用规律，写出第项代数式；最后可以代入1，2，3检验是否正确 ⚠️易混易错 1. 只看数值，忽略正负交替的符号； 2. 分不清项数n，把第n项算成n-1； 3. 等差规律算错常数项，忘记代入检验； 4. 图形题数错个数，漏数顶点、重复计数； 5. 通项代数式书写不规范。 24 PART 05 重难题型突破 题型一 列代数式 题型二 正（反）比例 题型三 代数式的概念 题型四 代数式的书写方法 题型五 代数式的实际意义 题型六 已知字母的值，求代数式的值 题型七 已知式子的值，求代数式的值 题型八 程序流程图与代数式求值 题型九 数字类规律探索 题型十 图形类规律探索 💡破题要诀 1. 解题步骤： ① 读题：圈出关键词，分清谁是主体量； ② 设元：看清已知字母，不用重复设； ③ 列式：判断运算顺序，该加括号一定要加； ④ 检验：反向读一遍，核对语序是否匹配式子； 2. 关键词翻译 和→；差→；积→；商→ 大、多→加；小、少→减； 几倍→乘；几分之一→除 平方：a的平方：； 平方差：； 差的平方：。 重难题型突破 题型一 列代数式 典例1 （2026·江苏盐城·中考真题）在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． A 解：个“麋鹿王”费用为元， 个“盐小勺”费用为元， 个“盐小饼”费用为元， 总金额为元． 26 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 题型一 列代数式 A 解：由题意得，该生不答或答错了道题， 则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 迁移应用 2．（26-27七年级上·湖南湘潭·开学考试）湘潭县石鼓镇油纸伞是省级非物质文化遗产．据统计，年石鼓镇油纸伞年产值约为3亿元，年年产值比年增加了亿元，年年产值约是__________ __________亿元． 解：年年产值为亿元，年年产值比年增加亿元， 年年产值为亿元． 或者： 27 重难题型突破 题型一 列代数式 迁移应用 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列表述不正确的是______ ． ①如果一辆汽车平均1小时行驶y千米，那么以这样的速度再过3小时，这辆汽车又行驶了千米； ②如果用y表示一本书的价格，那么可以表示买3本这种书的总价； ③某景区旺季门票价格是淡季票价的3倍，如果旺季票价每人为y元，那么淡季票价为每人元； ④如果一个等边三角形的边长为y厘米，那么它的周长是厘米． 解：表述①中，汽车速度，3小时行驶距离为速度乘以时间， 即千米，正确； 表述②中，书价y元，3本书总价为单价乘以数量，即元，正确； 表述③中，旺季票价是淡季票价的3倍，旺季票价为y元， 则淡季票价为元， 而非元，错误； 表述④中，等边三角形边长y厘米，周长为3倍边长，即厘米，正确． ∴不正确的是③． ③ 28 重难题型突破 题型二 正（反）比例 典例2 （26-27七年级上·辽宁·期中）长方体的体积一定时，底面积和高（ ） A . 成正比例 B．成反比例 C． 不成比例 D．无法判断 B 解：根据长方体体积公式，即长方体的体积一定时， 底面积×高的积一定， ∴底面积和高成反比例． 💡破题要诀 1. 找两个变化的量； 2. 写出等量关系式； 3. 看是商一定，还是积一定； 4. 下结论： - 商一定 → 正比例 - 积一定 → 反比例 - 和一定、差一定、平方一定 → 不成比例。 29 重难题型突破 迁移应用 1．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）下列各组中的两个量，不成反比例关系的是（ ） A．甲乙两地相距，汽车行驶的平均速度与时间 B．三角形面积是，它的一条边长与这条边上的高 C．长方形的周长是，它的长和宽 D．车间计划加工500个零件，加工时间与每天加工的零件个数 题型二 正（反）比例 解：A选项：设平均速度为，时间为， ∵（定值）， ∴二者成反比例，不符合题意； B选项：设底边长为，对应高为， ∵，即（定值）， ∴二者成反比例，不符合题意； C C选项：设长为，宽为， ∵，即（定值）， 二者和为定值，乘积不是定值， ∴二者不成反比例，符合题意； D选项： 设每天加工零件个数为，加工时间为， ∵（定值）， ∴二者成反比例，不符合题意． 30 重难题型突破 题型二 正（反）比例 迁移应用 2．（2025春•南岗区校级期中）下列关系中不成正比例关系的是（　　） A．小明跑步的速度一定，小明跑步的路程和时间 B．种子发芽率一定，发芽种子和种子总数 C．小明的年龄和体重 D．单价一定，购买物品付出的钱数与购买数量 C 解：A、路程=速度×时间，小明跑步的速度一定，即路程和时间的 比值一定，所以两个量是成正比例关系，符合题意； B、发芽种子=种子总数×种子发芽率，种子发芽率一定，即发芽种子和种子总数的比值一定，所以两个量是成正比例关系，符合题意； C、小明的年龄和体重没有一定的关系，即年龄和体重的比值不一定，故两个量不成正比例，不符合题意； D、购买物品付出的钱数=购买数量×单价，单价一定，即购买物品付出的钱数和购买数量的比值一定，所以两个量是成正比例关系，符合题意． 31 重难题型突破 题型二 正（反）比例 迁移应用 3．（2026春•南岗区校级期中）长方形的长一定，宽与面积成 比例．（填“正”或“反”） 正 解：设长方形的长为a,宽为b,则S=ab, ∵长方形的长一定，则长方形的面积和宽的比值一定， ∴成正比例关系． 32 重难题型突破 题型三 代数式的概念 典例3 （25-26六年级下·上海·期末）下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 解：A.，是数与字母经过运算得到的式子，是代数式． 故A项不符合题意． B.，单独一个字母属于代数式，是代数式．故B项不符合题意． C.，式子中含有等号，是等式，不是代数式． 故项符合题意． D.，单独一个数属于代数式，是代数式．故D项不符合题意． C 💡破题要诀 1. 看组成：只有数字、字母、四则运算、乘方； 2. 查符号：有没有等号、不等号，有就直接排除； 3. 检验特例：单独数字、单独字母，属于代数式； 4. 留意：分母可以含字母（分式，仍是代数式，只是不是整式）。 33 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子： ①、②、③、④、⑤0、⑥， 其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三 代数式的概念 C 解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 34 重难题型突破 题型三 代数式的概念 迁移应用 2．（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 B 解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式， 单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 35 重难题型突破 题型三 代数式的概念 迁移应用 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中： 2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 B 解：2是代数式；是代数式； 是代数式；是代数式； 是不等式，不是代数式； 是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 36 💡破题要诀 1. 数字与字母相乘：数字写在字母前面，省略乘号； 2. 字母与字母相乘：省略乘号，按英文字母顺序书写； 3. 带分数与字母相乘：必须化成假分数，不能保留带分数； 4. 除法运算：不用“÷”，改写成分数形式； 5. 加减形式代数式带单位：整个代数式加括号，单位写括号外； 重难题型突破 题型四 代数式的书写方法 典例4 （26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 解：的带分数系数应化为假分数，不符合书写要求． 与均将除法运算写为分数形式，符合书写要求． 中相同字母相乘应写为幂的形式，不符合书写要求． 符合要求的代数式共有2个． 37 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·云南·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 题型四 代数式的书写方法 C 解： A、正确书写形式为，故本选项不符合题意； B、正确书写形式为，故本选项不符合题意； C、书写形式正确，故本选项符合题意； D、正确书写形式为，故本选项不符合题意． 38 重难题型突破 题型四 代数式的书写方法 迁移应用 2．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 解：逐个判断式子： 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 39 重难题型突破 题型四 代数式的书写方法 迁移应用 3．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中： ①；②；③人；④；⑤． 其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 C 解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号， 因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号， 因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接， 因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个 40 重难题型突破 题型五 代数式的实际意义 典例5 （2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 C 解：A选项： 与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项： 与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项： 个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项： 个相乘对应代数式为，故D选项错误. 41 💡破题要诀 用文字语言解释代数式，就是把式子中的字母、运算，赋予现实场景中的数量，描述式子代表的实际含义。 解题步骤： 1. 设定字母：说明字母表示什么量； 2. 解读运算：读懂加减乘除、倍数关系； 3. 组织语言：语句通顺，符合现实逻辑； 4. 检查：反向代入，文字描述能不能还原成原式。 易错点： 1. 不要颠倒运算顺序：不能说成； 2. 解释要符合现实，不能写不存在的场景（如人数为负数）； 3. 答案不唯一，只要合理即可，写出一种就行； 4. 区分：是边长为的正方形面积，不是（2倍边长）。 重难题型突破 题型五 代数式的实际意义 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 题型五 代数式的实际意义 D 解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 43 重难题型突破 题型五 代数式的实际意义 迁移应用 2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义： __________ ． 解：根据代数式的意义，表示乘以，结合实际生活可构造符合要求的实例， 例如：已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为． 迁移应用 3．（2026·河南平顶山·三模）单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义： . 解：一本笔记本元，买了4本，共需元 符合题意，实例不唯一 答案不唯一 已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为． 一本笔记本元，买了4本，共需元 44 重难题型突破 题型六 已知字母的值，求代数式的值 典例6 （26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若是5，，且满足，则的值为（    ） A．3 B．3或 C．或 D．13 D 解：∵， ∴， ∵是5，， ∴， ∴． 💡破题要诀 用数值替换代数式里对应的字母，再按照有理数运算顺序计算，算出最终结果。 本质：代入替换 + 有理数计算。 含多个字母代入，注意一一对应，不要代错字母； 多个负数，每个负数都加括号。 45 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）若，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2026 题型六 已知字母的值，求代数式的值 B 解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 46 重难题型突破 题型六 已知字母的值，求代数式的值 迁移应用 2．（26-27七年级上·黑龙江·期中） 若，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． C 解：∵， ∴ ． 迁移应用 3．（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c对应的点在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． B 解：由题意得，，， 则． 47 重难题型突破 题型七 已知式子的值，求代数式的值 典例7 （26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则的值是（     ） A．0 B． C．2 D．无法确定 B 解：∵a、b 互为相反数，则； c、d 互为倒数，则 ； ∴ ． 💡破题要诀 1. 观察：对比已知式和待求式，找相同结构的整体； 2. 变形：对所求式子（或已知式子）化简、提公因式，凑出目标整体； 3. 整体代入：把整体当成一个大数字，直接替换； 4. 计算，算出结果。 易错点： 1. 添括号变号：b-a=-(a-b)，符号最容易出错； 2. 提公因式时，每一项都要提取，不要漏常数项； 3. 不要强行解方程求字母，很多时候根本求不出单独字母的值； 4. 代入整体的时候，整体如果是负数，记得加括号。 48 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则的值为（     ） A．5或 B．5或11 C．或 D．或11 题型七 已知式子的值，求代数式的值 A 解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2， ∴， 当时， ， 当时， ， 综上所述，的值为5或． 49 重难题型突破 题型七 已知式子的值，求代数式的值 迁移应用 2．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测） 若，则的值为________． 解：， 或， 或 综上所述，． 50 重难题型突破 题型七 已知式子的值，求代数式的值 迁移应用 3．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）如果互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值是______． 解： 互为相反数， ， 互为倒数， ， 是最大的负整数， ，， 51 重难题型突破 题型八 程序流程图与代数式求值 典例8 （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一个数值转换器，原理如下图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2026次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 解：根据数值转换器规则，依次计算输出结果： 第1次：输入（奇数），输出； 第2次：输入（偶数），输出； 第3次：输入（偶数），输出； 第4次：输入（偶数），输出； 第5次：输入（偶数），输出； 第6次：输入（奇数），输出； 第7次：输入（偶数），输出2； 第8次：输入（偶数），输出1；…… 观察可知，从第3次开始，输出结果以“”为一个循环周期， 先减去前2次，， 再计算余2， 即循环了674个周期后，第2个位置的数， 循环周期“”中第2个位置的数是2， 即第2026次输出的结果是2． B 52 重难题型突破 题型八 程序流程图与代数式求值 💡破题要诀 程序流程图本质：按照图中流程顺序，把输入的数代入规定代数式，一步步计算； 有判断框就根据条件选择分支计算。 图形含义： - 矩形框：处理框（执行计算、代数式运算）； - 菱形框：判断框（条件判断，二选一）； - 平行四边形：输入/输出框； - 箭头：执行顺序。 解题步骤： 1. 读流程：顺着箭头，读懂运算顺序，写出对应代数式； 2. 看有无判断： - 无菱形判断框：顺序执行，直接代入求值； 有菱形判断框：算出结果，判断是否满足条件，满足就输出，不满足则返回循环重新代入； 3. 代入计算：负数、分数代入记得加括号； 4. 检验：核对每一步计算，确认分支没有选错。 53 重难题型突破 迁移应用1．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） 题型八 程序流程图与代数式求值 A．0 B．3 C．4 D．5 解：∵， ∴． B 54 重难题型突破 题型八 程序流程图与代数式求值 迁移应用2．（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算： 若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 解：由程序计算图可得： 第一次输出结果为， 第二次输出结果为． D 55 重难题型突破 题型八 程序流程图与代数式求值 迁移应用3．（26-27七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，第2026次输出的结果为（ ） A．18 B．9 C．6 D．3 解：第1次输出结果为， 第2次输出结果为， 第3次输出结果为， 第4次输出结果为， 第5次输出结果为， 第6次输出结果为， 第7次输出结果为， …… ∴从第4次开始，输出结果在，之间循环，且偶数次输出，奇数次输出． ∵为偶数， ∴第次输出的结果为． C 56 重难题型突破 题型九 数字类规律探索 典例9 （26-27七年级上·湖南株洲·阶段检测）观察下面一列数，，，，，，，…，根据规律，第个数是__________________． 解：观察可得，这列数正负交替，偶数位的数为正，且分子固定为，分母是从开始递进的正整数， ∴第个数为． 💡破题要诀 1. 标序号：把每一项和序号对齐（第项对应，第项）; 2. 分模块：拆成三部分——符号、数字绝对值分别找规律; 3. 找规律：优先看相邻两项的差；差不变是一次规律；差依次变化再看商、平方; 4. 代入检验：把、代入你写出的式子，验证是否符合原题数字。 57 重难题型突破 迁移应用1．（25-26七年级上·北京东城·阶段检测） 一组数5，，，，1，，按规律排列，则第7个数为_________ 题型九 数字类规律探索 解：这组数中的5、、、、1可写为、、、、的形式， 发现分子都是5，分母为：1、2、3、4、5， 则第n个数的一般形式为：， 故第7个数为：． 58 重难题型突破 题型九 数字类规律探索 迁移应用2．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）通过观察：，，，，，⋯在这列数中，第7个数是 ；第个数是____ _ 解：，，， ， ，⋯， ∴第7个数是；第个数是． 59 重难题型突破 题型九 数字类规律探索 迁移应用3．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）把有理数代入得到，称为第1次操作，再将作为的值代入得到，称为第2次操作，依次类推．若，则经过第2026次操作后得到的是___________． 解：若， 则， ， ， ， ， ， ， 依次类推，可得． 60 重难题型突破 题型十 图形类规律探索 典例10 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由___________个基本图形组成，第n个图案由 ___________个基本图形组成． 解：观察图形可知： 第1个图案由4个基本图形组成，； 第2个图案由7个基本图形组成，； 第3个图案由10个基本图形组成，； ∴第10个图案由个基本图形组成； ∴第n个图案由个基本图形组成． 31 或者 61 重难题型突破 题型十 图形类规律探索 典例10 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由___________个基本图形组成，第n个图案由 ___________个基本图形组成． 31 或者 💡破题要诀 观察一组变化的图形，数出每个图形对应的数量（小正方形、火柴棒、圆点等），转化成数字序列，用含序号的代数式表示第个图形的数量。 本质：图形问题→数字规律问题。 易错点 1. 数图形的时候不要数错，仔细数第1、2、3个图，基数错，规律全错； 2. 分清提问：问第个还是第个； 3. 图形拆分时，固定部分不要重复计算； 4. 周期题：看清周期从第几个图形开始循环，不要错算起点。 62 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） 题型十 图形类规律探索 A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时，， ∴第2024个图中共有正方形的个数为6070． A 63 重难题型突破 题型十 图形类规律探索 迁移应用 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________ 个． 解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 或者 64 重难题型突破 题型十 图形类规律探索 迁移应用 3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测） 个正六边形的点数总共有 个． 解：当时，； 当时，； 当时，， 按照上述规律，个正六边形的点数总共有： ． 65 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 B 解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 67 基础固本练 2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）当时，代数式的值等于（     ） A． B．4 C． D．2 C 解：当时， ． 68 基础固本练 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦， 其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 C 解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 69 基础固本练 4．（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 D 解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式， ∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数， ∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为， ∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 70 基础固本练 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（     ） A．聪聪的年龄和体重 B．看一本书，已经看过的与未看过的页数 C．速度一定，路程和时间 D．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 解：A. 聪聪的年龄和体重乘积不固定，不成反比例． B. 已看页数与未看页数的和为总页数（一定） 乘积不一定，不成反比例． C. 速度一定时，路程÷时间=速度（一定）， 比值一定，成正比例，不成反比例． D. 长方体体积一定时，底面积×高=体积 （一定），乘积一定，成反比例． D 71 基础固本练 6．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 A 解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 72 基础固本练 7．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上的数字2所对应的点与数轴上的数字3所对应的点重合，固定数轴，将圆紧贴数轴，并且沿数轴正方向滚动，则与数轴上的数字2025重合的圆周上的数字是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 A 解：圆的周长为4个单位长度， 圆滚动一周的距离为4个单位长度， 圆每滚动一周为一个循环， 数轴上的数字分别对应的圆周上的数字为2，1，0，3， ， 数轴上的数2025将与圆周上的数字0重合． 73 基础固本练 8．（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 9．（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）若与互为倒数，，则的值为_____． 解：∵与互为倒数，， ∴，， 则 ． 10．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）某中学为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生，如果编号0508432表示“2005年入学的8班43号同学，是位女生”，那么2026年入学的6班23号男生同学编号是 ． 2606231 解：由题意得，2026年入学的6班23号男生同学编号是2606231． 74 基础固本练 11．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）有理数的除法法则为：“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．”请用字母，表示有理数的除法法则为_____________________． 解：用字母表示有理数的除法法则为：． 12．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，则______． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 1 75 基础固本练 13．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若a是最小的正整数，b的相反数等于本身，c是最大的负整数，则代数式______． 解：∵a是最小的正整数，b的相反数等于本身，c是最大的负整数， ∴，，， ∴． 14．（26-27七年级上·云南·期中）列代数式： (1)的平方与的一半的和； (2)一个两位正整数，它的十位数字是，个位数字是，写出这个两位数． （1）解：的平方与的一半的和可表示为 ； （2）解：由题意得该两位数可表示为． 76 基础固本练 15．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，互为相反数，，互为倒数，的倒数等于它本身，则式子的值是__________． 解：互为相反数， ， 互为倒数， ， 的倒数等于它本身， ， ①当时， ； ②当时， ． 或 基础固本练 16．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）已知是11的相反数，比大6． (1)直接写出___________，___________． (2)求的值． 解：（1）是11的相反数， ， 比大6， ； （2） ． 78 基础固本练 17．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）已知，且，求的值． 解：∵， ∴，， ∵， ∴或， ∴ 或． 79 基础固本练 18．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知：、互为相反数，、互为倒数，，求的值． 解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为或4． 80 基础固本练 19．（26-27七年级上·山西·期中）某科研团队需要传输一批总量固定的实验数据．数据传输时的速率（单位：）与所需时间（单位：）的关系如下表所示： 传输速率/（） 15 20 25 30 40 60 传输时间/ 240 180 ________ 120 90 ________ (1)将表格补充完整． (2)用表示这批数据的传输速率（单位：），用表示其传输时间（单位：），用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系？ （1）解：由表格可知，传输速率与传输时间之积为3600， ，； （2）解：∵ ， ∴与成反比例关系． 144 60 81 基础固本练 20．（26-27七年级上·全国·单元测试）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)若学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） （1）解：由题意得，学校需要购置的篮球总数为个． (2)解：当时， （个）． 答：需要购置82个篮球． 82 基础固本练 21．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）观察下列等式： ， 将以上三个等式的两边分别相加得： ． (1)猜想并写出_________________； (2)直接写出下式的计算结果：_______； (3)计算下式并写出计算过程：． （1）解：∵ ， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ； 83 基础固本练 21．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）观察下列等式： ， 将以上三个等式的两边分别相加得： ． (1)猜想并写出_________________； (2)直接写出下式的计算结果：_______； (3)计算下式并写出计算过程：． （3）解： ． 84 基础固本练 22．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)图1的阴影部分的面积是___________； 受此启发，得到的值___________； (2)若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发， 可求得的值为___________； (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． （1）解：正方形面积为， 部分①面积为，部分②面积为，部分③面积为， 部分④面积为，部分⑤面积为， 阴影部分面积为；∴． 85 基础固本练 22．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)图1的阴影部分的面积是___________； 受此启发，得到的值___________； (2)若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发， 可求得的值为___________； (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． （2）解：按此规律继续分割，最后一项为， ． 86 基础固本练 22．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (3)请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（要求分割方式与图1不同）． （3）解：设计如下：画一个边长为的正方形， 第一步：用一条竖直线将正方形平分为左右两个矩形，左边矩形①面积为； 第二步：用一条水平线将右边矩形平分为上下两个小矩形，上方正方形②面积为； 第三步：用一条竖直线将右下矩形平分为左右两个更小矩形，左边矩形③面积为； 第四步：用一条水平线将剩余矩形平分为上下两个，上方正方形④面积为， 剩余下方小正方形面积也为． ． 87 综合进阶练 1．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）小华在计算时，误把“+”看成了“×”，求得结果为，则的正确计算结果是（     ） A． B． C．6 D． 解：， ， ． B 88 综合进阶练 2．（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）规定一种新运算☆： ，，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． A 解：由题意得： ． 89 综合进阶练 3．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）a是不为2的有理数，我们把称为a的伴随数，如3的伴随数是，的伴随数是，已知，是的伴随数，是的伴随数，是的伴随数，…，以此类推，则等于（     ） A． B．4 C． D． 解：∵a的伴随数是，， ∴， ∴， ∴， ∴， A 由此可得，这列数每4个数为一个循环， 依次为． ∵， ∴． 90 综合进阶练 4．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）小明观察家里的地砖花纹发现，地砖的花纹中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有个花朵，第②个图案中有个花朵，第③个图案中有个花朵，，按此规律排列下去，则第个图案中花朵的个数为（     ） A． B． C． D． 解：∵第①个图案中有个花朵，， 第②个图案中有个花朵，， 第③个图案中有个花朵，， ， ∴第个图案中有个花朵， 当时，， 即第个图案中花朵的个数为． C 91 综合进阶练 5．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）天干地支纪年法是中国传统纪年方式，天干有10个，地支有12个，依次相配（甲子、乙丑、丙寅…），六十年为一循环，这就是俗称的“干支表”．   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸     地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 已知1949年为己丑年，依据上述规律推断，2026年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 解：由表格可得，天干共有10个，每10年循环一次， 地支共有12个，每12年循环一次， ∵， ，1949年为己丑年， ∴天干为己往后数第个，为丙，地支为丑往后数第个，为午， ∴2026年应为丙午年． B 92 综合进阶练 6．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为；，个位数字为…，根据其中规律可得的结果的个位数字是（     ） A． B． C． D． A 解：，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； ，个位数字为； … 个位数字变化规律： 按照每个数字循环， ， 的个位数字和为： ， 则的结果的个位数字为． 93 综合进阶练 7．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知a，b均是整数，且，则所有不同可能值的和为（     ） A． B． C．0 D．1 解：绝对值具有非负性，即任意整数的绝对值大于等于0，因此 ，， 已知， 且a，b均为整数，因此和的取值只能是0或1， 仅存在两类符合条件的情况： 第一类：， 则，， 代入代数式计算： 当时， 原式； 当时， 原式； C 当时， 原式； 当时， 原式；第二类：， 则，， 代入代数式计算： 当时， 原式； 当时， 原式； 所以，所有不同的可能值为，2，1，， 求和得： 94 综合进阶练 8．（2026·河南许昌·二模）已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________ ． 3个足球的总价格 解：已知一个足球的价格是a元， 则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 9．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如果与互为相反数，则的值为______． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴原式 ． 95 综合进阶练 10．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，互为相反数， 则__________． 解：∵，互为相反数， ∴， ∴. 11．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图，某学校“桃李餐厅”把密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是__________． 解：∵； ， ∴规律为拼接， ∵， ∴她输入的密码是244872． 244872 96 综合进阶练 12．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2026次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是________． 解：记录蚂蚁每次爬行后的位置： 第1次爬行后：； 第2次爬行后：； 第3次爬行后：； 第4次爬行后：； 第5次爬行后：； ……， 由此发现规律： 设爬行次数为k次， 当k为奇数时，则位置为； 当k为偶数时，则位置为﹒ 当爬行次数为次时， 位置为﹒ 97 综合进阶练 13．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）若有理数，，满足，，，且，， 则的值为______． 解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴，即同号， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 98 综合进阶练 解：观察可得，奇数为正，偶数为负， 每行最后一个数的绝对值是平方数， 即第行最后一个数为， ∴第11行最后一个数是， ∴第12行，左起第7个数是． 14．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）有一列数1，，3，，5，…，按如图的方式排列：第一行1个数，从第二行起每一行都比上一行多两个数．那么第12行，左起第7个数是______． 99 综合进阶练 15．（26-27七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）将有理数（不等于和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，将第二步所得相反数加． 如：有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，…，求的值是________． 解：∵有理数，∴的倒数是， 的相反数是，，即． ∵，∴的倒数是，的相反数是， ，即． ∵，∴的倒数是，的相反数是， ，即． 由此可知计算结果以，， 三个数为一个周期循环． 一个周期的和为： ， ∵， ∴ ∴ ． 100 综合进阶练 16．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测） 已知，互为相反数，，互为倒数，是绝对值最小的数 求代数式的值． 解：∵，互为相反数，，互为倒数，是绝对值最小的数， ∴，，， 101 综合进阶练 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀叫的次数加30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温（单位：）． (1)用代数式表示该地当时的气温； (2)当蟋蟀叫的次数分别是80，100和120时，该地当时的气温大约是多少？ (1)解：设蟋蟀叫的次数为，则该地当时的气温为； （2）解：当时， 该地当时的气温大约是； 当时， 该地当时的气温大约是； 当时， 该地当时的气温大约是． 102 综合进阶练 18．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． （1）解：由规律得： 第7个数为，第8个数为256； （2）解：第①行第n个数为a； 第②行为第①行对应的数加1， 即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的倍， 即第n个数为； （3）解：每行中第10个数的和为： ． 103 综合进阶练 19．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________________； 第50个等式：___________________________； (2)运用你发现的规律 求的值． （1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ， ……， ∴第个等式： ， 当时， 第50个等式： ； 104 综合进阶练 19．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… 按照以上规律，解决下列问题： （2）解： ． (2)运用你发现的规律 求的值． 105 综合进阶练 20．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． （1）解： ， ； 106 (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 综合进阶练 设 则 即 化简得 ②－①得：即_____； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： 107 综合进阶练 (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． ②设，则： ∴ ∴． 108 $