专题01 有理数（期中复习课件）七年级数学上学期新教材人教版

七年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题01 有理数 新人教版 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 一、核心考点 考点 内容 命题方向 正负数 用正负数表示相反意义的量 情境化 有理数分类 整数、分数、非负整数、非正数、非负数等（0是高频易错点） 概念辨析 数轴 三要素；数轴上点的平移、两点之间距离计算 数形结合 相反数 相反数、多重符号化简 基础知识 绝对值 代数意义 + 几何意义（距离） 数形结合、 分类讨论 有理数大小比较 两个负数比较大小. 基础+易错 4 期中考情透视 二、命题特色 1.侧重数形结合：根据数轴上点的位置，判断式子、字母的正负； 2.侧重分类讨论：已知绝对值求数（双解）、含字母的绝对值化简、利用绝对值非负性求参数； 3.情境化命题：账单收支、海拔、温度、误差范围、古代正负术、格子运动等真实情境或文化情境. 5 期中考情透视 三、易错清单 1.概念误区：看到带负号的数就直接当成负数（如不一定是负数）; 2.分类错误：0的归类出错（0既不是正数，也不是负数；0属于整数、非负数、非正数）; 3.大小比较：两个负数比较大小，比较规则记反（绝对值大的反而小）; 4.数轴距离：求距离不加绝对值；已知一点到原点/另一点距离，漏掉左右两个解; 5.绝对值化简：遇到含字母绝对值，不先判断字母正负，直接去绝对值符号. 6 期中考情透视 四、主线思路 层 级 目 标 内 容 备 注 逻辑主线 建立统一认知 负数直觉→数轴直观→绝对值距离感→大小比较规则 用数轴串联所有概念 第一层（优先） 基础零失误 概念辨析+数形转化：0分类、多重符号、数轴识图判正负、距离基础、负数比大小、误差情境 先攻克， 确保不失分 第二层（中档） 能力提升 分类讨论：双解、数轴动点基础、含字母绝对值化简、绝对值非负性求参 适度挑战 拓展（选做） 综合拔高 复杂数轴动点、多字母符号判断 不强制全员掌握 7 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 一、识记知识 1.能说出正数、负数、整数、分数、有理数的定义，会把给定的数正确归入相应的集合内，会识别边界词（非负数、非正数、非负整数、非正整数）； 2.能按照数轴三要素（原点、正方向、单位长度）正确画出数轴，并在数轴上表示出各数； 3.能说出相反数、绝对值、倒数的定义，以及符号表示； 4.能利用数轴比较大小，能利用绝对值比较负数的大小。 9 复习目标锚定 二、理解概念 1.理解0不是只表示“什么也没有”，它是正数与负数的分界，可以表示特定的意义； 2.理解正负数本质是给现实里的“盈/亏、零上/零下、向东/向西”贴符号； 3.理解相反数考的是“只有符号不同”，不是“前面带负号”，"" 可以是正数、可以是负数、可以是0，字母一进来就不能再看表面符号； 4.绝对值要双视角：几何上是距离（所以恒非负），代数上是分段，见到含字母绝对值先判内部正负再去符号； 5.理解两个负数比大小是思维拐点：小学“数大就大”，这里离原点越远反而越小，本质是先把负数转成正数比绝对值，再反向判断。 10 复习目标锚定 三、解决问题 1.能解决数轴上点的平移与距离问题； 2.能结合数轴化简含绝对值的式子； 3.能利用绝对值的非负性、绝对值的几何意义进行解题。 11 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 13 PART 04 核心要点精讲 考点一有理数的分类 考点二 数轴 考点三相反数 考点四绝对值 考点五有理数的大小比较 核心要点精讲 考点一 有理数的分类 1.概念辨析 （1）按定义分 （2）按正负分 15 核心要点精讲 考点一 有理数的分类 ⚠记忆要诀 （1）0的四大作用 （2）边界词辨析 作用 举例与说明 表示数的性质 0是有理数、整数、自然数 表示没有 加油50L记作+50L，不加油不消耗即为0 表示某种客观状态 0℃表示冰水混合物的冰点 正负数的分界 0是正数与负数的分界点 词汇 包含哪些 易错 非负整数 正整数和0 漏掉0 非正整数 负整数和0 漏掉0 非负数 正数和0 不是正整数 非正数 负数和0 不是负整数 不小于0 大于等于0 漏掉0 不大于0 小于等于0 漏掉0 16 核心要点精讲 考点一 有理数的分类 ⚠避坑指南 易混点 正/误 反例/说明 带“-”号的就是负数 错误 是正数，当是时，正数 不带“+”号的数就是负数 错误 0既没有“+”号，也没有“-”号，但不是负数 0是正数 错误 0既不是正数，也不是负数 0是整数 正确 0是整数，也是有理数 是有理数 错误 无限不循环小数，不是有理数 3.1415926是有理数 正确 有限小数是有理数 0.3333·····是有理数 正确 无限循环小数是有理数 10%是分数 正确 百分数属于分数 17 核心要点精讲 考点二 数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 ⚠概念辨析 1.三要素缺一不可：原点、正方向和单位长度； 2.一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数。 ⚠核心关系 结论 公式/说明 点在原点右侧   点在原点左侧   、 两点之间的距离   点向右平移个单位   点向左平移个单位 18 核心要点精讲 考点二 数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 ⚠避坑指南 易混点 正/误 反例/说明 数轴上的点都是有理数 错误 也能在数轴上表示，但不是有理数 有理数都能在数轴上表示 正确 每个有理数都有唯一一个对应点与之对应 原点左边的数都是负数 正确 原点左侧的数都小于0 距离原点3个单位的数只有3 错误 还有-3，原点左侧和右侧各有一个 19 核心要点精讲 考点三 相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 ⚠概念辨析 相反数是对两个数来说的，只能成对出现。 ⚠记忆口诀 多重符号的化简：偶正奇负 数字前面“−”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负。 ⚠避坑指南 避坑指南 ❌ ❌ 易混点 正/误 反例/说明 是负数 错误 时，是正数 相反数等于本身的数只有0 正确 只有0的相反数是其本身 一个数的相反数一定比本身小 错误 负数的相反数大于本身 20 核心要点精讲 考点四绝对值 ⚠概念辨析 （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，数a的绝对值记作， （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 21 核心要点精讲 考点五有理数的大小比较 ⚠记忆口诀 （1）数轴法：数轴上，右边的数比左边的数大； （2）法则法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （3）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4）作差法：若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，则a<b； （5）中间量法。 22 PART 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 0的意义 题型四 有理数的分类 题型五 带“非”字的有理数 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的移动 题型十 数轴上的规律探究 题型十一 相反数的定义 题型十二 化简多重符号 题型十三 绝对值的几何意义 题型十四 绝对值的非负性 题型十五 数轴动点问题 重难题型突破 题型一 正负数的定义 典例1 （26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）下列各数中为负数的是（     ） 破题要诀 大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数，也不是负数。 A．-8 ， B. 0 C. 3 D. A 解：−8是负数，3,π 是正数，0既不是正数，也不是负数. 24 重难题型突破 题型一 正负数的定义 迁移应用 1.(26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）在−2，2，−5，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 2.(26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）在−3，0，，−1.5，+8中，负数的个数是（   ） B 3.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在−5，0，3，−2.4这四个数中，正数是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A．−5 B．0 C．3 D．−2.4 C 25 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·河南周口·阶段检测）不具有相反意义的量是（     ） A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱 B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元 C．5000个产品中有20个不合格产品 D．新疆白天气温零上25°C，晚上的气温零下2°C 破题要诀 ① 找基准：谁被当成“标准量/0点”（标准身高、海平面、0时、约定方向、标准质量） ② 定正方向：题干说“上升/盈利/向东/收入”哪个为正（没明说就自己约定，但必须说明） ③ 翻相反方向为负：下降/亏损/向西/支出 → 统统带负号 ④ 数值=偏离基准的量，带符号写出。 C 题型二 相反意义的量 26 重难题型突破 题型二 相反意义的量 迁移应用 1.（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作+6元，那么“支出6元”记作（     ）元 A． B．-6 C．0.6 D．6 B 2.（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示是某用户微信支付情况，－100表示的意思是（    ） A．发出红包100元 B．收入100元 C．余额100元 D．拍到100元红包 A 3.（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）如果增产10吨，记作+10吨，那么−15吨表示 ． 减产15吨 27 重难题型突破 典例1 （25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 破题要诀 0是整数，是自然数，是有理数，是非负数，是非整数，既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，相反数等于本身的唯一数，温度 0℃不是没有温度，是冰水混合的刻度基准，海拔 0 m不是没有高度。 C 题型三 0的意义 28 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）体育课上，全班男同学进行了100米测验，合格成绩为15秒，下表是某小组10名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．这个小组男生的合格率为（     ） C 3.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0既不是正数，也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤非正整数是有理数．其中正确的有（     ） 题型三 0的意义 −0.8 −1 +0.2 0 −0.7 +0.6 −0.4 +0.1 −0.5 +0.3 A．40% B．50% C．60% D．70% 2.（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．一个正数的前面加上负号就是负数 B．不是正数的数一定是负数 C．0℃表示没有温度 D．数7没有符号 A `A．1 个 B．2个 C．3个 D．5个 B 29 重难题型突破 典例1（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）下列各数：5,−32,1.03003,211,0,−2π,0.323232⋯，其中有理数有_____个 破题要诀 分类先定"尺子"，再防"边界" 要诀一：两种"尺子"分开用，不混搭 要诀二：分数 = 有限小数 + 无限循环小数 要诀三：0 的归属 题型四 有理数的分类 6 30 重难题型突破 迁移应用1 （26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①−13；②0.1；③−2.23；④+27；⑤0；⑥−45，⑦−15%；⑧−112，⑨227． 整数集 { …}； 非负数集 { …}； 负有理数集 { …}． 题型四 有理数的分类 ①， ④， ⑤ ②， ④， ⑤， ⑨ ①， ③， ⑥， ⑦， ⑧ 31 重难题型突破 迁移应用2 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： −2.25，+16，，−4，3.14，0，227， ，0.15 整数集合 { }； 非负数集合 { }； 正分数集合 { }． 题型四 有理数的分类 +16，−4，0，… −2.25， ，−4， ， … 3.14，，0.15，… 32 重难题型突破 迁移应用3 （26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①5，②−2，③1.4，④，⑤，⑥0，⑦−3.14159，⑧25%，⑨27 正有理数： （ ） 非负整数： （ 　　） 负分数： （ 　 　） 整数： （ 　 　） 题型四 有理数的分类 ① ③ ⑧ ⑨ ① ⑥ ④ ⑤ ⑦ ① ② ⑥ 33 重难题型突破 典例1（26-27七年级上·全国·单元复习）在−1.3，0，0.3，，，−2，中，非负有理数有（    ） A．5个 ， B．4个 ， C．3个， D．2个 破题要诀 题型五 带“非”字的有理数 C 34 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在+8,0,,,2023,−5,0.26,11.3中，非负整数有__________个． 题型五 带“非”字的有理数 3 2.（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）在−5，0，−1，6这四个有理数中，非负数有_________个． 2 3.（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、−0.010010001,,,,15,300%,0，其中正整数有a个,有理数有b个，非正数有c个，则a+b+c=______． 13 35 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·北京东城·阶段检测）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（     ） A．−1 B．−1.5 C． D．−4.2 破题要诀 在数轴上找有理数对应的点的步骤 1. 判符号 → 正向右、负向左 2. 取绝对值 → 确定离原点几个单位 3. 定位置 → 整数直接落刻度；分数/小数按比例分格 题型六 用数轴上的点表示有理数 C 36 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，O为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（     ） A．3， B．−3 ， C．5 ， D．−5 2.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上AB两点之间的距离为6，A表示的数是3，则点B表示的数是（     ） A．−6， B．−5 ， C．−4 D．−3 B D 3.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，数轴上被阴影盖住的点表示的分数可能是________．（写出一个即可） 题型六 用数轴上的点表示有理数 37 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来： −3， 0， 1.5， ， 2， −2.5 破题要诀 通用解题三步法 1. 全部画到数轴上（先标原点、单位） 2. 从左到右依次读出各点（左小右大） 3. 用"<"连接（从小到大）或用">"连接（从大到小） 题型七 利用数轴比较大小 解：表示如图 −3<−2.5<<0<1.5<2 38 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在数轴上画出表示−1.5、2、−3、，0这些数的点，并按从小到大的顺序，用“<”把这些数连接起来． 题型七 利用数轴比较大小 解：表示如图所示 用“<”连接为：−3<−1.5<0<2< 39 重难题型突破 迁移应用 2.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：0，1.5，，+6，−5，并将这些数用“<”号连接． 题型七 利用数轴比较大小 解：表示如图所示 用“<”连接为：5<<0<1.5<+6 40 重难题型突破 迁移应用 3.（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是−3，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来． 2.5，，，． 题型七 利用数轴比较大小 解：（1）如图所示 用“<”连接为：<<<2.5 （2）表示如图所示 41 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·安徽·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是−3． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上一点C与点B的距离为3个单位长度，求点C表示的数． 破题要诀 数轴上点Aa、点 Bb的距离：AB== 本质：两点坐标之差的绝对值（与顺序无关）。 题型八 数轴上两点之间的距离 解：（1）标出原点如图所示 4 （2）当点C在点B的左侧时，点C表示的数为4−3=1； 当点C在点B的右侧时，点C表示的数为4+3=7， ∴点C所表示的数为1或7． 42 重难题型突破 迁移应用 1.（2026·河北廊坊·二模）已知数轴上点A表示的数是−2，点B表示的数是3，则点A，B之间的距离是________． 题型八 数轴上两点之间的距离 5 2.（2026·陕西咸阳·三模）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示−1，则点A、B之间的距离是___． 3 解：∵ 数轴上点A表示的数是−2，点B表示的数是3， ∴ 点A，B之间的距离为：3−(−2)=5． 解：由图可知，点 A 表示的数为 2，点 B表示的数为−1． ∴ 点A、B之间的距离是==3． 43 迁移应用 3.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即 ，也可以说表示数轴上数与数0的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使=2024成立的的值； 重难题型突破 题型八 数轴上两点之间的距离 解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024， ∴或； 44 重难题型突破 题型八 数轴上两点之间的距离 解：有最大值3，此时x的值为2，理由如下： 因为， 所以当时，取得最大值， 所以令，解得， 所以代数式的最大值为3，此时的值为； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； 45 重难题型突破 题型八 数轴上两点之间的距离 解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和， ∴当1≤≤3时，有最小值，即1和3之间的距离，即2． (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　． 46 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数−3和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（      ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 破题要诀 数轴上点A(a)向右移动k(k>0)个单位，则为a+k；向左移动k(k>0)个单位，则为a-k。 题型九 数轴上点的移动 A 解： P、Q相向而行相遇所用时间为8÷2+3=1.6（秒）． 点P从−3出发向右运动走过的路程为2×1.6=3.2， 故相遇时点P表示的数为−3+3.2=0.2． 47 重难题型突破 迁移应用 1.（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点A向右移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（    ） A．−5 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示−1的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A．−1+2π B．1−π C．1−2π D．−1+π 题型九 数轴上点的移动 C A 48 重难题型突破 迁移应用 3.（20-21六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移m(m>0)个单位长度，点A所表示的数是 ． 题型九 数轴上点的移动 -4 -2 3 -5 −4+m或−4−m 49 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 破题要诀 1. 找周期：算出几次移动为一个循环； 2. 求余数：总次数 ÷ 周期，得到商和余数； 3. 判断位置： 余数=0 → 对应周期最后一个位置， 余数≠0 → 对应周期里第「余数」个位置； 4. 算出数轴对应的数；本质：余数定位，不用一步步枚举全部点。 题型十 数轴上的规律探究 C 50 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A,B,C,D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的−2026所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 题型十 数轴上的规律探究 D 51 重难题型突破 迁移应用 2.（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形ABCD的边BC在数轴上，点B、C对应的数分别为−2和−1，且边CD=2．若长方形ABCD沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚90°，第1次绕着点C顺时针翻滚后，点D落在数轴上，对应的数为1；第2次绕点D顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚2026次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 题型十 数轴上的规律探究 3038 52 重难题型突破 典例1 （湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）−2025的相反数是（     ） A．−2025 B．−5202 C．5202 D．2025 破题要诀 只有符号不同的两个数互为相反数。 题型十一 相反数的定义 D 53 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的相反数是（     ） A． B． C． D． 题型十一 相反数的定义 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．+（+6）与6 B．−（−6）与−6 C．−（+6）与−6 D．+（−6）与−6 3．（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）若,,，则,,,中最小的是_______． 𝑩 𝑩 54 重难题型突破 典例1 （26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 破题要诀 核心口诀：负号个数，奇负偶正。 只数式子里面负号“−”的数量，正号可以直接忽略。 1. 负号有偶数个 → 结果为正； 2. 负号有奇数个 → 结果为负； 题型十二 化简多重符号 C 55 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：−(−4)=________． 2．（26-27七年级上·广东珠海·阶段检测）化简：−[−(−5)]=________． 3．（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）−{−[−(+2)]}＝______． 题型十二 化简多重符号 4 -5 -2 56 重难题型突破 典例1 （2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点A到原点的距离是（     ） A．3 B．−3 C． D． 破题要诀 a表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 题型十三 绝对值的几何意义 A 57 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）若，则______． 2．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当=_________时，∣∣有最小值_________． 1 2 解：∵任意实数的绝对值为非负数， ∴， ∴当时，取得最小值． 解方程，得， 此时， 即式子的最小值为． 题型十三 绝对值的几何意义 58 重难题型突破 典例1 （23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则=_______ 破题要诀 任何数的绝对值都大于或等于0，即为非负数，即； 若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须等于0。 题型十四 绝对值的非负性 -64 解：，,， ∴,， ∴,， ∴. 59 重难题型突破 迁移应用 1.（26-27七年级·全国·暑假作业）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 2026 题型十四 绝对值的非负性 5 60 重难题型突破 典例1 （24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，点A与点D在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为AD=45． 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 题型十五 数轴动点问题 61 重难题型突破 题型十五 数轴动点问题 (2)探索2：动点P从点A出发，运动18秒至点B和点C之间时，求点P表示的数？ 62 重难题型突破 题型十五 数轴动点问题 (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间． 63 重难题型突破 破题要诀 1.数轴上动点问题五要素 （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远。 题型十五 数轴动点问题 (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间． 64 重难题型突破 3.数轴动点题的解题步骤 （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； （3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型十五 数轴动点问题 65 迁移应用 （（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点P，使得点P分别到另外两点的距离之和等于n，则称点P为另外两点的“n格距点”． 如图，数轴上点A表示的数是−2，点B表示的数是3． 例如：若点P表示的数是−1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4=5，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是−3，则n的值为______； 重难题型突破 题型十五 数轴动点问题 7 66 重难题型突破 题型十五 数轴动点问题 (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“n格距点”，则n最小为______，这样的整点P有______个； 5 6 67 重难题型突破 题型十五 数轴动点问题 (3)若动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，动点R从点B出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，两点同时出发，运动时间为t秒．是否存在t，使得点Q是点A、R的“7格距点”？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 68 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1.（26-27七年级上·陕西安康·阶段检测）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． D 2.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）下列有理数大小比较，正确的是（     ） A．−2>−1 B．0<−3 C．−12<−13 D．5<−6 C C 70 基础固本练 4.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）在−2.5，，0，−3这四个数中，属于正有理数的是（     ） A．−2.5 B． C．0 D．−3 5.（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某机构检测4个排球质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列选项中，最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． B B 71 基础固本练 6.（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．任何一个有理数的绝对值都是正数 C．0是最小的整数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 7.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）离原点的距离为7的点表示的数是（     ） A．7 B．−7 C．7或−7 D．不存在 D C 8.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）离原点的距离为7的点表示的数是（     ） A．7 B．−7 C．7或−7 D．不存在 B 72 基础固本练 9.（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）我国是最早认识和使用负数的国家．早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：在计算过程中遇到相反意义的量，以正数和负数来区分它们，足球比赛中，如果我们记进球数5个为+5，那么失球数3个应记为_____． 10.（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）某蓄水池的标准水位记为0m，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么水面低于标准水位0.3m可表示为_________m． 11.（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）比较大小：−14________−25． −3 −3 > 12.（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）−1的相反数为_____；0的绝对值为_____；比较大小：−23______−34．（选填“>”“<”或“=”） 1 0 > 73 基础固本练 13.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在下列数15,,0,0.15,−30,−12.8,,+20,−60中，属于整数的有_______个． 14.（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如果a是有理数，那么的最小值是______． 15.（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条2026.26厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 5 2026 2027 74 基础固本练 16.（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，且a+b=0． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点A与点C距离8个单位长度，点B与点C距离5个单位长度，则c的值为_____． ② 6.5 解：（1）∵a+b=0， ∴a,b互为相反数， ∵点A、B对应的数分别是a、b， ∴原点在第②部分. （2）∵点A与点C距离8个单位长度，点B与点C距离5个单位长度， ∴点A与点B距离3个单位长度， ∵点A、B对应的数分别是a、b，且a+b=0， ∴b=1.5， 又∵点B与点C距离5个单位长度，点C对应的数 ∴c=1.5+5=6.5． 75 基础固本练 17.（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①3.2048，②，③，④0，,⑥−3.7，⑦ π，⑧，⑨ 正数集： {                  } 整数集： {           } 负分数集：{              } 有理数集：{     } ① ② ⑤ ⑦ ⑧ ④ ⑤ ⑨ ③ ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑧ ⑨ 76 基础固本练 18.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）下面是一个不完整的数轴， (1)请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上； (2)将下列各数按从小到大的顺序用“<”号连接起来． 解：(1)将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上如图： 77 基础固本练 19.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和4两点之间的距离是_________，数轴上2和−3的两点之间的距离是______． 3 5 78 基础固本练 (2)数轴上表示和1的两点之间的距离表示为_________，的几何意义是_________． 79 基础固本练 (3)求出当时的值． 80 基础固本练 (4)若，则能取到的最大值是__________． 81 基础固本练 (5)求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数值． 82 基础固本练 20.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则x=______． 5或-1 83 基础固本练 (3)求的最小值． 84 综合进阶练 1.（26-27七年级上·河北·期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，−a，b，−b按照从小到大的顺序排列是（     ） A．−b<−a<a<b B．−a<−b<a<b C.−b<b<−a<a D．−b<a<−a<b D 2.（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法中，错误的有（     ） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④0是最小的有理数；⑤−1是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 85 综合进阶练 3.（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A．−2 B．1 C．2 D．3 B 4.（（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则ab=−1；④若ab=−1，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ C 5.（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，，，，，，都不为零，并且>>>，把四个数用“<”号连接为（     ） A．c<a<d<b B．a<c<b<d C．a<b<c<d D．a<c<d<b D 86 综合进阶练 6.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②−a一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 D A 7.（2026七年级上·全国·专题练习）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q中绝对值最大的数是（     ） A．m B．n C．p D．q 87 综合进阶练 8.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知x是有理数，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 D D 9.（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在−3与−2之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 88 综合进阶练 10.（22-23七年级上·全国·期末）若a、b、c、d 四个数满足 ，则a、b、c、d 四个数的大小关系为（    ） A．a>c>b>d B．b>d>a>c C．d>b>a>c D．c>a>b>d D 11.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“ ”表示−723，则“ ”所表示的数是__________． -652 89 综合进阶练 12.（26-27七年级上·天津·阶段检测）如果m是负数，且=10，那么m=______． 13.（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点A′，则A′点表示的数是_________． −10 14.（2026七年级上·全国·专题练习）的最大值是______. 3 15.（2026七年级上·全国·专题练习）若，则满足条件的整数有_____个． 8 90 综合进阶练 16.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）把下列各有理数填入相应的集合内： (1)负有理数集合：{ …}； (2)整数集合：{ …}； (3)负分数集合：{ …}； (4)非负有理数集合：{ …}． 91 综合进阶练 17.（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）如图，点A，B在数轴上． (1)点A表示___________，点B表示___________． (2)已知下列各有理数： ，请在数轴上标出这些数表示的点，并用“<”号把这些数连接起来． -1 3 (2)解：在数轴上标出如图， 用“<”号把这些数连接起来: 92 综合进阶练 18.（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示2与−1的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数2对应的点与负数−1对应的点之间的距离，试探索： (1)= ______；如果=2，则=______． 3 3或 (2)求的最小值，并求此时的取值范围； 93 综合进阶练 (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 94 $