精品解析：江西南昌天行创世纪学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

天行创世纪2026-2027学年高二数学10月月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~椭圆及其标准方程. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 3. 已知直线与平行，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【详解】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 5. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离 A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】由椭圆知椭圆长轴长为设椭圆另一个焦点为，根据椭圆定义得：故选D 6. 在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可. 【详解】   如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可， 圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，此时， 所以“将军饮马”的最短路程为． 故选：D． 7. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（ ） A. - B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设 ，其几何意义为阴影部分内的点 与定点 连线的斜率，结合图形求出斜率 的取值范围即可判断. 【详解】由题意可知， 表示阴影部分内的动点 与定点 连线的斜率，记为. 观察图形可知，大圆方程为，定点 为大圆与轴正半轴的交点. 阴影部分主要由三部分边界围成，分别讨论斜率的取值范围： ①当点位于第一象限的阴影部分（即半圆 ）时： 设直线的方程为，即 . 当直线与该半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，解得 或 . 结合图形可知，当切点在第一象限时， 取得最小值 ； 当点为原点 时，. 故此部分 的取值范围是 . ②当点位于第二象限的阴影部分时：此时 ，则 . 当点在轴上时，； 当点为时，. 结合图形连续性，此部分 的取值范围是 . ③当点位于第三象限的阴影部分时：此时 ，则 ，故 . 当点 在 轴上时，； 当点 为 时（该点为大圆与小圆的公共点），. 故此部分 的取值范围是 . 综上所述， 的取值范围是 . 因为 ，所以 的值不可能是 . 8. 已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 点坐标为 B. C. 右焦点坐标为 D. 椭圆的方程为 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线性质结合面积求出c，得到A点坐标，代入椭圆方程联立解出参数，逐一验证选项． 【详解】由题意知，是直角在点的直角三角形，是中点，由直角三角形的性质得， ， 直线倾斜角为，故点， 则，解得， 故，故A正确； 把代入椭圆方程得，解得， 故，故B错误； 右焦点坐标为，故C正确； 椭圆方程为，故D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论错误的是（ ） A. 直线l的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线l的距离是1 D. 过点与直线l平行的直线方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【详解】对于选项A，直线的斜率为，倾斜角为，故A错误； 对于选项B，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，故B错误； 对于选项C，点到直线的距离为，故C错误； 对于选项D，设与直线平行的直线方程为， 因为它过，所以，则. 所以过与直线平行的直线方程是，故D正确， 10. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征列出不等式组，求解得到的取值范围，再逐一判断选项即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故BCD满足. 11. 已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. 的周长小于 D. 满足是直角三角形的点P有4个 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由椭圆方程求得基本参数，结合椭圆定义、余弦定理、轨迹交点等知识逐一判断选项. 【详解】由椭圆，可知椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 选项A：若，则为椭圆短轴端点，此时，， 在中，，故，A正确； 选项B：椭圆上点对两焦点的张角最大值在短轴端点处取得， 由余弦定理得， 故，即的最大值为，B正确； 选项C：的周长为，C正确； 选项D：分三类讨论：①直角在：过作轴垂线交椭圆得2个点； ②直角在：同理得2个点；③直角在：在以为直径的圆上， 由于该圆的半径为，且圆心和椭圆中心重合，，故该圆与椭圆将有4个交点， 由此可知满足是直角三角形的点P共有8个，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 13. 若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】联立直线方程，得，则交点， 交点在圆的内部，则，即， 展开整理得，解得， 故实数的取值范围为． 14. 已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，设线段MN的中点为，求出，知道的轨迹.求圆上的点到直线的最短距离，再结合图形可解. 【详解】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点且与直线：垂直． （1）求直线的方程； （2）若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【小问1详解】 由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. 【小问2详解】 联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； （2）焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程，代入已知两点用待定系数法求解参数； （2）设不含焦点位置限制的椭圆一般方程，代入两点求解参数后整理为标准方程. 【小问1详解】 已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 【小问2详解】 由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 17. 设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为点在椭圆上， 所以， 因为，，． 所以， 所以，即椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，因为的面积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 所以点的坐标为或或或. 18. 已知圆过与两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 【答案】（1） 圆的标准方程为 （2） 切线的方程为或 【解析】 【分析】 （1）设圆心坐标，利用圆心在给定直线上、圆上两点到圆心距离相等的性质求解圆心和半径，得到圆的方程； （2）分切线斜率存在、不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为. 因为圆心在直线上，故，即. 又圆过点和，两点到圆心的距离均等于半径， 因此  ，展开化简得，即. 将代入，解得，，即圆心坐标为. 而半径，因此圆的方程为 ， 【小问2详解】 圆心到该点的距离为，故该点在圆外，存在两条切线. 若切线斜率不存在，此时切线方程为， 圆心到直线的距离为， 符合切线要求，故是切线方程. 若切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 整理为标准形式. 由圆心到切线的距离等于半径，得  ，即， 两边平方化简得，解得. 将代入切线方程，整理得. 综上，切线的方程为或. 19. 已知圆和圆，点. （1）若圆与圆内切，求的值； （2）若圆上存在点，使，求的取值范围； （3）过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 【答案】（1） （2） （3） 设，则， 联立得：， 设，， ，， 以替换可得：，， ， 直线的方程为，即：， 当时，， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据两圆内切的条件列出方程求解； （2）由条件化简可得的轨迹方程，然后根据两圆有公共点，利用圆心距与半径之间的关系列出不等式求解即可； （3）设，联立圆的方程，由根与系数的关系可得弦中点的坐标，同理得出点坐标，求出直线的方程，即可得证. 【小问1详解】 因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. 【小问2详解】 设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天行创世纪2026-2027学年高二数学10月月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~椭圆及其标准方程. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与平行，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离 A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 6. 在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（    ） A. B. C. D. 7. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（ ） A. - B. -1 C. 0 D. 1 8. 已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 点坐标为 B. C. 右焦点坐标为 D. 椭圆的方程为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论错误的是（ ） A. 直线l的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线l的距离是1 D. 过点与直线l平行的直线方程是 10. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. 的周长小于 D. 满足是直角三角形的点P有4个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 13. 若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 14. 已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点且与直线：垂直． （1）求直线的方程； （2）若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； （2）焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 17. 设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 18. 已知圆过与两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 19. 已知圆和圆，点. （1）若圆与圆内切，求的值； （2）若圆上存在点，使，求的取值范围； （3）过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $