专题八 椭圆《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题八 椭圆 全国各地市期中真题精选 · 5 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 椭圆定义与标准方程 椭圆定义与标准方程 · 椭圆方程条件与充要关系 · 含参方程表示椭圆 2026华中师大一附中期中 4 题 椭圆几何性质 椭圆几何性质 · 椭圆几何性质（范围应用） · 圆柱截面椭圆 2025钱塘联盟期中 6 题 离心率 离心率 · 向量条件求离心率 2026武汉部分重点中学期中 5 题 焦点三角形 焦点三角形 · 焦点三角形周长 2025广州天河外国语期中 5 题 椭圆定义转化与几何应用 圆锥曲线综合 · 椭圆定义与几何性质综合 · 圆的弦长与椭圆轨迹及面积 · 椭圆光学性质综合 · 椭圆定义与离心率范围 2026长郡中学期中 7 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 椭圆定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹，即 （）；两定点叫焦点。 2. 标准方程：焦点在 轴时 （），焦点在 轴时分母大小对调；始终有 。 3. 几何要素：顶点 、，长轴长 、短轴长 、焦距 ；范围 ，。 4. 离心率：， 越大椭圆越扁；离心率刻画椭圆的扁圆程度，与位置无关。 5. 焦点三角形：椭圆上一点与两焦点构成的 ，其周长为 ，边角计算离不开定义与余弦定理。 ▍二、法则与公式 1. 焦点坐标：焦点在 轴时 、，其中 。 2. 离心率常用变形：，条件含角度、边比时化为 、（或 ）的齐次式求解。 3. 焦点三角形面积：（），配合定义 与余弦定理使用。 4. 椭圆上一点 到焦点距离的范围：（近日点与远日点）。 5. 共焦点的椭圆系：（ 为参数），已知焦点求方程时优先。 ▍三、方法技巧 1. 求标准方程两定：先定焦点位置（分类讨论的来源），再定 、；给两点坐标直接代入待定系数。 2. 求离心率：把几何条件（角度、边比、周长）全部翻译成 与 的关系，凑出齐次式解出 ，最后核对 。 3. 焦点三角形三步：用定义写出两边之和 → 余弦定理建立边角关系 → 面积用 或 。 4. 椭圆上两点距离最值：转化为到焦点距离（定义）或参数化后用二次函数、均值不等式求最值。 5. 综合多选题：逐项独立验证，性质类选项用几何意义（对称、范围）快速排除。 ▍四、易错警示 1. 忽略定义的约束：若 ，轨迹不存在（ 时为线段）而非椭圆，求轨迹方程必须检验。 2. 焦点位置不分类：只写 一种形式，漏掉焦点在 轴的解，应对两种位置分别求或说明。 3. 离心率范围写错：椭圆的 ，解出 的根必须舍去，与双曲线混记。 4. 记混：椭圆是"和"的关系（），与双曲线（）方向相反。 5. 焦点三角形中忽略 ：直接对三边用余弦定理而不联立定义，导致无法消元；定义是消边的核心工具。 　椭圆定义与标准方程 方法要领　定义法：动点到两定点距离之和为定值 且 ；待定系数先定焦点位置（看分母大小），勿忘 。 【例】（2026华中师大一附中期中 3）以椭圆 的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原椭圆的两个焦点及短轴的两个端点，由新椭圆四个顶点的位置确定焦点所在轴与 的值，即可写出标准方程. 【详解】由椭圆 知 ，， ∴，焦点为 和 ，短轴的两个端点为 和 ， 由题意知所求椭圆的四个顶点为 、、、，它们都在坐标轴上， ∵新椭圆的长轴端点为 ，短轴端点为 ，∴新椭圆的焦点在 轴上，且 ，， ∴所求椭圆方程为 .故选：A. 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 2）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在 轴上的椭圆标准方程特征列出不等式求解即可. 【详解】∵方程 表示焦点在 轴上的椭圆， ∴分母均为正且 轴下方分母较大，即 ， 解得 ，∴ 的取值范围是 .故选：D. 【练2】（2026山东省实验期中 3）已知曲线 ，设 ， 曲线 是焦点在坐标轴上的椭圆，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出 的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】∵方程 表示焦点在坐标轴上的椭圆， ∴，解得 且 ， ∴由 成立能推出 成立，而由 成立不能推出 成立（当 时方程表示圆 ）， ∴ 是 的必要不充分条件.故选：B. 【练3】（2026东北育才学校期中 12）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 ______ 【答案】 【分析】根据椭圆方程的特征：分母均为正且不相等，列不等式组求解. 【详解】∵方程 表示椭圆， ∴，解得 且 ， ∴ 的取值范围为 . 故答案为：. 　椭圆几何性质 方法要领　标准式读 得顶点、范围、焦距；含参椭圆先按焦点位置分类，再各自求范围。 【例】（2025钱塘联盟期中 9）已知椭圆 ，则（　　）（多选） A．椭圆 的长轴长为 B．当 时，椭圆的焦点在 轴上 C．椭圆的焦距可能为 6 D．椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BD 【分析】根据椭圆标准方程的形式与焦点位置分 与 两种情况讨论，逐项判断即可. 【详解】对于 A，若 ，解得 ，此时方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 ， 长轴长为 ，故 A 错误； 对于 B，当 时，椭圆方程为 ，分母 ，表示焦点在 轴上的椭圆，故 B 正确； 对于 C，由 A 知当 时，，焦距 ， 由 解得 ，不满足 ，舍去； 若 ，可得 ，此时焦点在 轴上，， 由 解得 ，不满足 ，舍去， ∴不存在焦距为 6 的椭圆，故 C 错误； 对于 D，无论焦点在哪个轴上，都有 ， ∴ 为定值，即短轴长与长轴长的平方和为定值，故 D 正确. 故选：BD. 【练1】（2023湖南师大附中期中 2）曲线 与曲线 （ 且 ）的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】由 且 得 ，判断第二条曲线表示焦点在 轴上的椭圆，分别求出两曲线的 ，，，再比较长轴长、短轴长、焦距与离心率. 【详解】解：曲线 的焦点在 轴上，其中 ，， ∴，长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ； ∵ 且 ，∴， ∴曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，其中 ，， ∴，焦距为 ，与第一条曲线的焦距相等； 而长轴长 、短轴长 、离心率 都随 的变化而变化，与第一条曲线不相等. ∴两曲线的焦距相等.故选：C. 【练2】（2027唐河一高月考 9）已知两椭圆 和 ，则（　　）（多选） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【分析】先把两个方程都化为标准形式，再逐一求焦点、离心率、顶点与对称性，逐项判断. 【详解】解：椭圆 ，，，则 ，焦点在 轴上； 椭圆 ，，，则 ，焦点在 轴上. 对于 A：两椭圆的焦点分别在 轴、 轴上，焦点不相同，A 错误； 对于 B：，，离心率相等，B 正确； 对于 C：椭圆 的顶点为 ，，椭圆 的顶点为 ，，顶点不完全相同，C 错误； 对于 D：两椭圆都关于 轴、 轴对称，且关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，D 正确. 故选：BD. 【练3】（2026长郡中学期中 5）已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的最大距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆平行于直线 的切线方程，再利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】设椭圆平行于直线 的切线为 ， 代入椭圆方程 得 ， ∵相切，∴，解得 ， ∴切线方程为 ， ∵直线 在椭圆上方，∴它与切线 之间的距离即为所求最大距离， 由两平行线间距离公式得 .故选：B. 【练4】（2026华中师大一附中期中 4）已知 ， 两点的坐标分别是 ，， 是椭圆 上一点， 若 为直角三角形，则满足条件的点 的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】按 的直角顶点位置分类，结合以原点 为圆心、 长为半径的圆与椭圆的交点情况得答案. 【详解】椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ， ∴点 恰为该椭圆的左、右焦点， 当 或 是直角顶点时，直线 ， 与椭圆各有 2 个交点，共 4 个交点， 此时符合条件的点 有 4 个； 当点 为直角顶点时，由直角三角形斜边中线定理得 ， ∴以原点 为圆心、1 为半径的圆与椭圆的交点即为短轴端点，共 2 个，此时点 有 2 个， ∴满足条件的点 的个数为 .故选：C. 【练5】（2026成都石室中学期中 6）如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为 ，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆的长轴长等于 2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为 3 【答案】D 【分析】由圆柱斜截面性质得短半轴 等于底面半径、长半轴 ，求出 后逐项判断. 【详解】由圆柱斜截面性质，截面椭圆的短半轴 等于底面圆半径 ，∴， 截面与底面夹角 ，∴长半轴 ， ∴. 对于 A，椭圆的长轴长为 ，A 错误； 对于 B，离心率 ，B 错误； 对于 C，椭圆的标准方程为 ，不是 ，C 错误； 对于 D，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为 ，D 正确.故选：D. 　离心率 方法要领　一切条件最终化为 的齐次关系：椭圆 ；含直角、角度条件用边角互化或定义转化。 【例】（2026武汉部分重点中学期中 5）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， 是椭圆外一点，直线 的倾斜角为 ，，线段 的中点在 上，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件判定 为等边三角形，设 的中点为 ，由等边三角形性质得 ，再由椭圆定义即可求离心率. 【详解】令椭圆半焦距为 ，设线段 的中点为 ，连接 ， ∵ 且 ，∴ 为等边三角形， ∵ 为 的中点，∴ 且 ， 在直角三角形中由等边三角形中线长（即高）得 ， ∵ 在椭圆 上，∴由椭圆定义得 ， ∴离心率 .故选：B. 【练1】（2025广州天河外国语期中 4）已知椭圆 的离心率为 ，则 （　　） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】分 和 两种情况确定焦点位置，由离心率列方程求出 . 【详解】由题意知焦点位置不确定，分两种情况： 当 时，焦点在 轴上，此时 ，， ∴，即 ，解得 ； 当 时，焦点在 轴上，此时 ，， ∴，即 ，解得 ； 综上： 或 .故选：C. 【练2】（2025钱塘联盟期中 6）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，焦距为 2，若直线 与椭圆交于点 ，满足 ，则离心率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦距确定 在直线上，再分点 在 轴上方与下方讨论角的大小，结合正弦定理及离心率定义计算即可. 【详解】由椭圆焦距为 2 得 ，故直线 经过点 ， 若点 在 轴上方，则直线 的倾斜角为 ，即 ， 又 ，则 ， 此时 ，两角方向不符，舍去； 若点 在 轴下方，则直线 的倾斜角为 ，其补角为 ，即 ， 又 ，则 ， ∴三角形内角和为 ，得 ， 在 中由正弦定理得 ， ∴由离心率定义得 .故选：C. 【练3】（2027唐河一高月考 8）已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点，延长 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设焦距为 ，由 用 表示点 的坐标，代入椭圆方程结合 求离心率. 【详解】解：设椭圆 的焦距为 ，，则 ，， ∴，， ∵，∴，即 ， ∴. ∵点 在椭圆 上，∴，即 ， ∴， ∴椭圆 的离心率 .故选：B. 【练4】（2026东北育才学校期中 8）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 ， 在 上，且满足 ，，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 得 且 ，取 的中点 ，则四边形 为平行四边形，把数量积用 与 表示求出 ，再由椭圆定义与余弦定理求 . 【详解】由 得 ，且 ， 取 的中点 ，则 ，且 ， ∴四边形 为平行四边形，∴，且 ，故 ， ∵，而 ，， 又 ，，且 ， ∴， 由 得 ，∴， 由椭圆定义 ，又 ，∴， ∵，∴，即 ， 在 与 中分别由余弦定理得 ， 整理得 ，即 ， ∴离心率 .故选：B. 　焦点三角形 方法要领　 用定义 结合余弦定理，面积可用 。 【例】（2025广州天河外国语期中 10）已知点 为椭圆 的左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 ， 两点，点 是椭圆上异于 ， 的一点，直线 ， 的斜率分别为 ，，椭圆的离心率为 ，若 ，，则（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设右焦点为 ，由椭圆对称性知 为平行四边形，结合定义与余弦定理求 判断 AB；再设 坐标，用点差法求 判断 CD. 【详解】连接 ，，根据椭圆的对称性可知四边形 为平行四边形， ∴，且 ， ∵，∴由椭圆定义 ，得 ， 即 ，， 在 中由余弦定理得 ， 化简得 ，即 ，∴（负值舍去），故 A 错误，B 正确； 设 ，，则 ， ∴，， ∴， 又 ，，两式相减得 ， ∴， ∵，∴，得 ， ∴，故 C 错误，D 正确.故选：BD. 【练1】（2026巴蜀中学期中 5）已知 、 是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆上一点且满足 ，则 （　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由椭圆定义得 ，在焦点三角形中结合余弦定理求得 ，进而可得 . 【详解】由椭圆方程得 ，，∴，即 ， 由椭圆定义知 ，则 ， 即 ， 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，解得 ， ∴， ∴，即 ， ∴.故选：C. 【练2】（2026山东省实验期中 13）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，离心率为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，且 的周长为 16，则椭圆 的方程为 ______ 【答案】 【分析】由椭圆定义知 的周长为 ，结合离心率求出 ，再由 得方程. 【详解】∵ 过 ，∴， 由椭圆定义 ，， ∴ 的周长为 ， 得 .∵离心率为 ，∴，得 ， ∴，∴椭圆 的方程为 . 故答案为：. 【练3】（2026长郡中学期中 8）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点，，且 ，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，则 ，利用椭圆定义及勾股定理解得 ，再表示出 ，由补角关系列余弦定理方程解得 ，即可求离心率. 【详解】设 ，∵，设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， 由椭圆定义可知 ，， ∵ 三点共线且 在 之间，∴，解得 ， ∴，， 在 中，由 得 ， 在 中，由余弦定理得 ， ∵点 在直线 上且分居 两侧，∴， ∴，即 ， 整理得 ，即 ，解得 ， ∴椭圆离心率 .故选：D. 【练4】（2025广州天河外国语期中 8）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆 于 两点.若 的内切圆的周长为 ，则直线 的方程是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】由内切圆周长求出半径，结合椭圆定义将 的面积用 与周长表示；再设 联立椭圆方程，用韦达定理表示面积，建立方程解出 即可. 【详解】设 内切圆的圆心为 ，半径为 ， 由周长 得 ， 由面积分割法得 ， 由椭圆的定义知 ， ∴， 由 ，，易知直线 的斜率不为 0，设 ， 联立 ，消去 化简得 ， 判别式 ，设 ，， 则 ，， ∴， 令 ，两边平方得 ， 整理得 ，解得 （负根舍去），即 ， ∴直线 的方程为 ，即 或 .故选：D. 　椭圆定义转化与几何应用 方法要领　综合多选逐项验证，性质类用几何意义减少运算；涉及距离和差先考虑椭圆定义转化。 【例】（2026长郡中学期中 19）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上一动点，且 的最大值为 6. (1)求椭圆 的方程； (2)已知直线 与椭圆 交于 两点. （i）求 的取值范围； （ii）已知点 ，直线 与直线 分别交于点 ，平面内是否存在一定点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)（i） 或 ；（ii）存在，. 【分析】(1)利用椭圆定义和基本不等式求 ，结合离心率求解；(2)（i）直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解；（ii）用 表示出 的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，再由平行四边形对角线互相平分求解. 【详解】解：(1)∵椭圆的离心率为 ，∴， 由椭圆定义知 ， 由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即 为短轴端点时等号成立， ∴ 的最大值为 ，故 ， ∴，∴， ∴椭圆 的方程为 . (2)（i）设 ， 联立 ，消去 得 ， 由直线与椭圆交于两点知 ，即 ， ∴ 或 . （ii）存在点 使得四边形 为平行四边形，理由如下： ∵ 在椭圆上，∴易知 ，设直线 的方程为 ， 令 ，得 ，同理 ， 由（i）知 ，， ∴， ∴， ∴线段 的中点坐标为 ， 连接 ，若四边形 为平行四边形，则对角线 的中点也是 ， ∵，∴，解得 ，， ∴存在定点 ，使得四边形 为平行四边形. 【练1】（2026宁波六校联盟期中 10）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 6，， 分别是椭圆的左、右焦点， 是一个定点， 是椭圆 上的动点，则（　　）（多选） A．焦距为 4 B．椭圆 的标准方程为 C． D． 的最大值为 【答案】ACD 【分析】由条件求出 判断 AB；由两点间距离公式判断 C；利用椭圆定义把 转化为 ，由三角形两边之差小于第三边求最大值判断 D. 【详解】由 ，解得 ，，， ∴焦距 ，椭圆 的标准方程为 ，故 A 正确，B 错误； ∵，，∴，故 C 正确； 由椭圆定义 ， ∴， 当 三点共线且 在 与 之间时取等号，故 D 正确.故选：ACD. 【练2】（2026成都石室中学期中 17）如图，已知圆 ，点 ， 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线与线段 相交于点 . (1)过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； (2)求动点 的轨迹方程； (3)设（2）中曲线为 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的面积. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】(1)由弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在讨论；(2)由垂直平分线性质得 ，结合 得 为定值，由椭圆定义写方程；(3)联立直线与椭圆，用韦达定理与弦长公式求 ，再由点到直线距离求面积. 【详解】解：(1)圆 的圆心为 ，半径 ，设圆心到直线 的距离为 ， 由弦长 得 ， 若直线 斜率不存在，则 ，圆心到它的距离为 ，符合题意； 若斜率存在，设 ，则 ，化简得 ，无解， ∴直线 的方程为 . (2)由垂直平分线性质知 ， ∵，∴ 为定值， 又 ，由椭圆定义，动点 的轨迹是以 为焦点、长轴长 的椭圆， ∴，，，∴动点 的轨迹方程为 . (3)设 ，，联立 ， 将 代入椭圆方程得 ，即 ， 判别式 ，且 ，， 由弦长公式 ， 点 到直线 的距离 ， ∴. 【练3】（2026华中师大一附中期中 11）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，直线 与椭圆交于 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．点 到点 的距离的最大值为 C． 的外接圆半径的最小值为 D．若直线 过点 ，且椭圆上存在一点 ，使得 ，其中 ，则 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程求得 判断 A；设 用二次函数求 最大值判断 B；由正弦定理将外接圆半径转化为求 的最大值，再用余弦定理与基本不等式判断 C；由向量关系结合韦达定理表示出 再求范围判断 D. 【详解】对于 A：由椭圆标准方程 得 ，，， ∴，，，A 正确； 对于 B：设 ，则 ，且 ，即 ， ∴， ∴当 时 取最大值 ，B 错误； 对于 C：在 中，由正弦定理得 ，其中 为外接圆半径， ∴，要使 最小只需 最大， 由椭圆定义知 ， 由余弦定理与完全平方得 ， 由基本不等式 （当且仅当 时等号成立）， ∴，即 ， 当 时 最大，此时 ，C 正确； 对于 D：直线 过点 ，即 ，设 ， 由 得 ，， ∵ 在椭圆上，∴，展开并利用 在椭圆上化简得 ， 联立 得 ，显然 ， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴，得 ，D 正确. 故选：ACD. 【练4】（2026成都石室中学期中 8）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点.设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，从焦点 发出的光线先后经过椭圆上的 ， 两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点 ；过点 作 的外角的角平分线的垂线 ， 交直线 于点 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 面积的最大值为 6 B． 的最小值为 C． 的轨迹方程为 D． 的最小值为 8 【答案】C 【分析】设 联立椭圆，用面积公式与换元求 面积最大值判断 A；由 用乘 1 法与基本不等式求 的最小值判断 B；由角平分线与垂直得 ，从而 为定值，判断 C；由焦半径范围判断 D. 【详解】由椭圆方程得 ，，∴，. 对于 A，设直线 ，联立椭圆方程得 ，判别式恒正， 设 ，，则 ，， ∴， 令 ，则 ， ∵函数 在 上单调递增，∴ 时 最大为 ，A 错误； 对于 B，∵， ∴ ， 当且仅当 时取等号，∴最小值为 ，B 错误； 对于 C，∵ 垂直于 外角的平分线，且 过 ， 由等腰三角形性质得 ， ∴ 为定值， ∴点 的轨迹是以 为圆心、4 为半径的圆（去掉与 轴的交点），方程为 ，C 正确； 对于 D，由 C 知 ，而 为椭圆上非顶点一点时 ，即 ， ∴，无最小值，D 错误.故选：C. 【练5】（2026辽宁七校协作体期中 11）已知椭圆 的左焦点为 ，半焦距长为 1，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）（多选） A． 的最小值为 B．椭圆 的短轴长可能为 2 C．椭圆 的离心率的取值范围为 D．若 ，则椭圆 的长轴长为 【答案】CD 【分析】由 与半焦距 1 知 轴；A 项由椭圆定义与三点共线求最值；B 项由 在椭圆内得 ；C 项由 放缩离心率；D 项由向量关系求 坐标后由定义求长轴. 【详解】由半焦距为 1 得 ，，∵，∴ 轴，. 对于 A，， 当 三点共线且 在 与 之间时取等号（此时 在直线 上且存在）， ∴最小值为 而非 ，A 错误； 对于 B，∵ 在椭圆内部，∴把 代入得 ，特别地 ，∴短轴长 ，不可能为 2，B 错误； 对于 C，∵ 在椭圆内，∴， ∴，∴，C 正确； 对于 D，∵，∴ 为 的中点， 由 ， 得 ， ∴长轴长 ，D 正确. 故选：CD. 【练6】（2026武汉部分重点中学期中 19）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，且 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作直线与椭圆 交于点 ，且点 在第一象限，直线 与直线 交于点 ，过点 且平行于 的直线与直线 交于点 . （i）若 ，求直线 的斜率； （ii） 轴上是否存在定点 ，使得 ？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)（i）1；（ii）存在，. 【分析】(1)由 与 联立求解；(2)（i）由 且 共线得 ，代入椭圆求 坐标，进而求 坐标与斜率；（ii）先由（i）猜想 平分 （），设 表示 坐标，分斜率存在与否验证角平分，再借助相似三角形得定点. 【详解】解：(1)由题意， 为左顶点， 为右焦点，∴， 又 ，即 ，∴， 联立 ，解得 ，，则 ， ∴椭圆 的方程为 . (2)（i）由 ，且 三点共线于直线 ，∴ 的横坐标与 的横坐标关于 对称，即 ， 将 代入椭圆方程得 ，解得 ，又 在第一象限，∴， 由 得直线 的方程为 ，即 ， 令 得 ，故 ，又 ， ∴直线 的斜率 . （ii）存在，定点为 ，理由如下： 设直线 与 轴的交点为 ，由（i）猜想 平分 ， 由直线 不与 轴重合，可设 ，， 联立 ，消去 得 ， ∴，即 ， 将直线 与直线 联立，得 ，则 ， ①当 轴时，即（i）的情形 ，此时 成立； ②当 斜率存在时，在 中，， ∴由二倍角公式得 ， 又 ， ∴，故 ，即 ； ∵，∴，， ∴，∴， 设点 关于直线 的对称点为 ， 由 且 得 ， ∴，又 ， ∴，∴， ∴ 轴上存在定点 ，使得 . 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025抚顺四方高中期中 3）已知椭圆 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆 的焦点位置得出关于 的不等式组，解不等式组即可. 【详解】∵椭圆 的焦点在 轴上， ∴两个分母均为正且 轴下方分母较大，即 ， 解得 .故选：A. 2．（6分）（2027唐河一高月考 2）下列椭圆中形状更接近于圆的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，离心率越小椭圆越接近于圆，比较大小即可. 【详解】解：对于 A，，，则 ，∴； 对于 B，，，则 ，∴； 对于 C，，，则 ，∴； 对于 D，，，则 ，∴. ∵，且离心率越小椭圆越接近于圆， ∴椭圆 的形状更接近于圆. 故选：D. 3．（6分）（2026雅礼教育集团期中 5）已知 是椭圆 上一点，， 是其左、右焦点，若 ，则 的面积为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】由椭圆定义得 ，再由勾股定理联立方程组求得 ，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】解：椭圆 中 ，，∴，， ∵点 在椭圆上，∴由椭圆定义得 ， 又 ，∴由勾股定理得 ， 联立方程组 ， 由完全平方关系得 ，即 ， ∴ 的面积 . 故选：C. 4．（6分）（2026华中师大一附中期中 6）设椭圆 的左焦点为 ，若 ， 是椭圆上的两个动点，则 周长的最大值为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】设右焦点为 ，由椭圆定义将周长转化为 ，再由三点共线时取最值求解. 【详解】由椭圆方程 知 ，，，左焦点 ，设右焦点为 ， 由椭圆定义知 ，， ∴ 的周长为 ， ∵，当且仅当 三点共线时等号成立， ∴周长 ，即 周长的最大值为 20.故选：D. 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025抚顺四方高中期中 9）若方程 表示椭圆，则 的值可以为（　　）（多选） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组，求出 的取值范围，结合选项判断. 【详解】∵方程 表示椭圆， ∴， 解得 且 ， 结合选项， 的值可以为 3 和 8.故选：BD. 6．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 10）已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ，，直线 与椭圆 交于 ， 两点，则（　　）（多选） A．椭圆 的焦距为 1 B． 为定值 C．直线 和 的斜率的乘积为 D．当以 ，，， 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【答案】BC 【分析】由椭圆基本量求焦距判断 A；利用椭圆的对称性转化长度判断 B；设出 坐标由点在椭圆上消参求斜率之积判断 C；由平行四边形性质求出 的坐标，再求面积判断 D. 【详解】对于 A，由 ， 得 ，∴焦距为 ，故 A 错误； 对于 B，设椭圆的左焦点为 ，由椭圆的对称性知 ， ∴ 为定值，故 B 正确； 对于 D，由题意得 ，且 ， ∵四边形 为平行四边形，∴，可得点 的横坐标为 ， 代入椭圆方程得 ，解得 ，即 ， ∴平行四边形的面积为 ，故 D 错误； 对于 C，由 ，由对称性设 ，，则 ，即 ， ∴，故 C 正确. 故选：BC. 7．（6分）（2026巴蜀中学期中 11）已知椭圆 ， 是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 的最大值是 4 B． 的最大值是 4 C． 取最小值时，点 的坐标为 D．若 也在抛物线 上，则 到点 的最小距离为 【答案】ACD 【分析】由椭圆定义结合基本不等式判断 A；将数量积用 （或 ）表示后求最值判断 B；利用 判断 C；由抛物线定义将距离转化为 ，再用基本不等式判断 D. 【详解】由 得 ，，，即 ，，， 对于 A：由椭圆定义得 ， ∴，当且仅当 时等号成立，A 正确； 对于 B：，， ∴， 又 ，∴， ∵，∴当 时取最大值 3，B 错误； 对于 C：由柯西不等式（或均值不等式）得 ， 即 ，当且仅当 时取等号， 将 代入 ，解得 或 ， ∴当 ， 时 取最小值，C 正确； 对于 D：∵ 在抛物线 上，由抛物线定义， 到焦点 的距离等于 到准线的距离 ， ∵，∴， ∴， 当且仅当 即 时等号成立，D 正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026华中师大一附中期中 12）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过 作平行于 轴的直线交 于 两点，若 ，，则椭圆的方程为 ______ 【答案】 【分析】利用椭圆对称性求出 ，由椭圆定义求出 ，进而求出 ，即可求出椭圆的方程. 【详解】由题意知 轴，且 关于 轴对称，∴， 在 中，由椭圆定义得 ，解得 ， 由勾股定理得 ，∴， ∴， ∴椭圆的方程为 . 9．（6分）（2025抚顺四方高中期中 14）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上任意一点， 为圆 上任意一点，则 的最小值为 ______ 【答案】 【分析】根据三角形三边关系可得 ，再结合椭圆定义将 化为 ，结合图形的几何性质即可求得最小值. 【详解】由椭圆方程 知 ，，∴，故 ，， ∵ 在椭圆 上，∴由椭圆定义得 ， ∴， 又 为圆 上的点，圆 的半径为 1，∴，当且仅当 三点共线且 在线段 上时取等号， 由三角形两边之和大于第三边得 ，当且仅当 在线段 上时取等号， 而 ， ∴， ∴ 的最小值为 . 10．（6分）（2026华中师大一附中期中 14）已知 为椭圆 的上顶点，点 、 的坐标分别为 和 ，点 、 分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且 ，直线 和 的斜率之差为 ，，则椭圆的离心率为 ______ 【答案】 【分析】由 及椭圆对称性得 关于原点对称，设出坐标，由斜率之差和夹角条件求出 点坐标，代入椭圆方程即可求离心率. 【详解】解：∵ 为椭圆 的上顶点，∴设 ， ∵， 关于原点对称，且 ， 分别位于第一、三象限， ∴由椭圆关于原点的对称性得 关于原点对称，设 ，， ∴，， 由斜率之差为 得 ，解得 ， ∵，∴由两直线夹角公式得 ， 即 ，代入 得 ， ∵ 在椭圆上，∴，即 ，解得 ， ∴椭圆的离心率 . 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2026武汉部分重点中学期中 17）已知椭圆 的长半轴长等于焦距，且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)设椭圆 的左、右顶点分别为点 ，，过椭圆 的右焦点 作一条直线与椭圆交于 两点，求四边形 面积的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)由 与点 在椭圆上联立求解；(2)设 ，联立椭圆方程由韦达定理得 ，将四边形面积表示为 ，换元后由函数单调性求取值范围. 【详解】解：(1)由椭圆的长半轴长等于焦距，得 ， 又椭圆过点 ，得 ，且 ， 联立解得 ，， ∴椭圆 的方程为 . (2)当直线 与 轴重合时，四边形 显然不存在， 不妨设直线 ，，， 将直线方程与椭圆 联立，得 ， 判别式 恒成立，且 异号， 由韦达定理得 ，， ∵，∴由面积分割法得 ， 令 ，则 ， ∵函数 在 上单调递增，∴，且 ， ∴四边形 面积的取值范围为 . 12．（15分）（2026东北育才学校期中 17）已知椭圆 ，设 为椭圆上一点，， 分别为椭圆的左、右焦点，且 ，. (1)求 的值； (2)若 ，斜率为 的直线 经过右焦点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点.如果以线段 为直径的圆经过左焦点 ，求直线 的斜率 . 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)设 ，，由椭圆定义与余弦定理得 ，代入面积公式求 ；(2)设 联立椭圆，由直径所对圆周角为直角得 ，代入韦达定理解出 . 【详解】解：(1)设 ，，由椭圆定义得 ，设半焦距为 ，则 ， 在 中由余弦定理得 ， ∴，即 ， 又 ，∴. (2)由 ， 得 ，椭圆 的方程为 ，右焦点 ， 设直线 的方程为 ，，， 联立 ，消去 得 ， ∵直线过右焦点，判别式 恒成立，且 ，， ∵以 为直径的圆经过 ，∴ 对应的圆周角 ，即 ， ∵，∴，， ∴ ， 代入韦达定理得 ， 两边乘 展开整理得 ，解得 ， ∴直线 的斜率 . 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题八 椭圆 全国各地市期中真题精选 · 5 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 椭圆定义与标准方程 椭圆定义与标准方程 · 椭圆方程条件与充要关系 · 含参方程表示椭圆 2026华中师大一附中期中 4 题 椭圆几何性质 椭圆几何性质 · 椭圆几何性质（范围应用） · 圆柱截面椭圆 2025钱塘联盟期中 6 题 离心率 离心率 · 向量条件求离心率 2026武汉部分重点中学期中 5 题 焦点三角形 焦点三角形 · 焦点三角形周长 2025广州天河外国语期中 5 题 椭圆定义转化与几何应用 圆锥曲线综合 · 椭圆定义与几何性质综合 · 圆的弦长与椭圆轨迹及面积 · 椭圆光学性质综合 · 椭圆定义与离心率范围 2026长郡中学期中 7 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 椭圆定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹，即 （）；两定点叫焦点。 2. 标准方程：焦点在 轴时 （），焦点在 轴时分母大小对调；始终有 。 3. 几何要素：顶点 、，长轴长 、短轴长 、焦距 ；范围 ，。 4. 离心率：， 越大椭圆越扁；离心率刻画椭圆的扁圆程度，与位置无关。 5. 焦点三角形：椭圆上一点与两焦点构成的 ，其周长为 ，边角计算离不开定义与余弦定理。 ▍二、法则与公式 1. 焦点坐标：焦点在 轴时 、，其中 。 2. 离心率常用变形：，条件含角度、边比时化为 、（或 ）的齐次式求解。 3. 焦点三角形面积：（），配合定义 与余弦定理使用。 4. 椭圆上一点 到焦点距离的范围：（近日点与远日点）。 5. 共焦点的椭圆系：（ 为参数），已知焦点求方程时优先。 ▍三、方法技巧 1. 求标准方程两定：先定焦点位置（分类讨论的来源），再定 、；给两点坐标直接代入待定系数。 2. 求离心率：把几何条件（角度、边比、周长）全部翻译成 与 的关系，凑出齐次式解出 ，最后核对 。 3. 焦点三角形三步：用定义写出两边之和 → 余弦定理建立边角关系 → 面积用 或 。 4. 椭圆上两点距离最值：转化为到焦点距离（定义）或参数化后用二次函数、均值不等式求最值。 5. 综合多选题：逐项独立验证，性质类选项用几何意义（对称、范围）快速排除。 ▍四、易错警示 1. 忽略定义的约束：若 ，轨迹不存在（ 时为线段）而非椭圆，求轨迹方程必须检验。 2. 焦点位置不分类：只写 一种形式，漏掉焦点在 轴的解，应对两种位置分别求或说明。 3. 离心率范围写错：椭圆的 ，解出 的根必须舍去，与双曲线混记。 4. 记混：椭圆是"和"的关系（），与双曲线（）方向相反。 5. 焦点三角形中忽略 ：直接对三边用余弦定理而不联立定义，导致无法消元；定义是消边的核心工具。 　椭圆定义与标准方程 方法要领　定义法：动点到两定点距离之和为定值 且 ；待定系数先定焦点位置（看分母大小），勿忘 。 【例】（2026华中师大一附中期中 3）以椭圆 的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 2）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026山东省实验期中 3）已知曲线 ，设 ， 曲线 是焦点在坐标轴上的椭圆，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026东北育才学校期中 12）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　椭圆几何性质 方法要领　标准式读 得顶点、范围、焦距；含参椭圆先按焦点位置分类，再各自求范围。 【例】（2025钱塘联盟期中 9）已知椭圆 ，则（　　）（多选） A．椭圆 的长轴长为 B．当 时，椭圆的焦点在 轴上 C．椭圆的焦距可能为 6 D．椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2023湖南师大附中期中 2）曲线 与曲线 （ 且 ）的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027唐河一高月考 9）已知两椭圆 和 ，则（　　）（多选） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026长郡中学期中 5）已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的最大距离为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026华中师大一附中期中 4）已知 ， 两点的坐标分别是 ，， 是椭圆 上一点， 若 为直角三角形，则满足条件的点 的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2026成都石室中学期中 6）如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为 ，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆的长轴长等于 2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为 3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　离心率 方法要领　一切条件最终化为 的齐次关系：椭圆 ；含直角、角度条件用边角互化或定义转化。 【例】（2026武汉部分重点中学期中 5）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， 是椭圆外一点，直线 的倾斜角为 ，，线段 的中点在 上，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025广州天河外国语期中 4）已知椭圆 的离心率为 ，则 （　　） A． B． 或 C． 或 D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025钱塘联盟期中 6）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，焦距为 2，若直线 与椭圆交于点 ，满足 ，则离心率是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027唐河一高月考 8）已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点，延长 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026东北育才学校期中 8）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 ， 在 上，且满足 ，，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　焦点三角形 方法要领　 用定义 结合余弦定理，面积可用 。 【例】（2025广州天河外国语期中 10）已知点 为椭圆 的左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 ， 两点，点 是椭圆上异于 ， 的一点，直线 ， 的斜率分别为 ，，椭圆的离心率为 ，若 ，，则（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026巴蜀中学期中 5）已知 、 是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆上一点且满足 ，则 （　　） A．2 B．3 C．4 D．5 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026山东省实验期中 13）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，离心率为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，且 的周长为 16，则椭圆 的方程为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026长郡中学期中 8）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点，，且 ，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025广州天河外国语期中 8）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆 于 两点.若 的内切圆的周长为 ，则直线 的方程是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　椭圆定义转化与几何应用 方法要领　综合多选逐项验证，性质类用几何意义减少运算；涉及距离和差先考虑椭圆定义转化。 【例】（2026长郡中学期中 19）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上一动点，且 的最大值为 6. (1)求椭圆 的方程； (2)已知直线 与椭圆 交于 两点. （i）求 的取值范围； （ii）已知点 ，直线 与直线 分别交于点 ，平面内是否存在一定点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026宁波六校联盟期中 10）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 6，， 分别是椭圆的左、右焦点， 是一个定点， 是椭圆 上的动点，则（　　）（多选） A．焦距为 4 B．椭圆 的标准方程为 C． D． 的最大值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026成都石室中学期中 17）如图，已知圆 ，点 ， 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线与线段 相交于点 . (1)过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； (2)求动点 的轨迹方程； (3)设（2）中曲线为 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的面积. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026华中师大一附中期中 11）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，直线 与椭圆交于 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．点 到点 的距离的最大值为 C． 的外接圆半径的最小值为 D．若直线 过点 ，且椭圆上存在一点 ，使得 ，其中 ，则 的取值范围为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026成都石室中学期中 8）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点.设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，从焦点 发出的光线先后经过椭圆上的 ， 两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点 ；过点 作 的外角的角平分线的垂线 ， 交直线 于点 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 面积的最大值为 6 B． 的最小值为 C． 的轨迹方程为 D． 的最小值为 8 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2026辽宁七校协作体期中 11）已知椭圆 的左焦点为 ，半焦距长为 1，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）（多选） A． 的最小值为 B．椭圆 的短轴长可能为 2 C．椭圆 的离心率的取值范围为 D．若 ，则椭圆 的长轴长为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2026武汉部分重点中学期中 19）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，且 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作直线与椭圆 交于点 ，且点 在第一象限，直线 与直线 交于点 ，过点 且平行于 的直线与直线 交于点 . （i）若 ，求直线 的斜率； （ii） 轴上是否存在定点 ，使得 ？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025抚顺四方高中期中 3）已知椭圆 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2027唐河一高月考 2）下列椭圆中形状更接近于圆的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026雅礼教育集团期中 5）已知 是椭圆 上一点，， 是其左、右焦点，若 ，则 的面积为（　　） A． B． C．4 D．5 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026华中师大一附中期中 6）设椭圆 的左焦点为 ，若 ， 是椭圆上的两个动点，则 周长的最大值为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025抚顺四方高中期中 9）若方程 表示椭圆，则 的值可以为（　　）（多选） A．1 B．3 C．6 D．8 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 10）已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ，，直线 与椭圆 交于 ， 两点，则（　　）（多选） A．椭圆 的焦距为 1 B． 为定值 C．直线 和 的斜率的乘积为 D．当以 ，，， 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2026巴蜀中学期中 11）已知椭圆 ， 是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 的最大值是 4 B． 的最大值是 4 C． 取最小值时，点 的坐标为 D．若 也在抛物线 上，则 到点 的最小距离为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026华中师大一附中期中 12）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过 作平行于 轴的直线交 于 两点，若 ，，则椭圆的方程为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025抚顺四方高中期中 14）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上任意一点， 为圆 上任意一点，则 的最小值为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2026华中师大一附中期中 14）已知 为椭圆 的上顶点，点 、 的坐标分别为 和 ，点 、 分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且 ，直线 和 的斜率之差为 ，，则椭圆的离心率为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2026武汉部分重点中学期中 17）已知椭圆 的长半轴长等于焦距，且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)设椭圆 的左、右顶点分别为点 ，，过椭圆 的右焦点 作一条直线与椭圆交于 两点，求四边形 面积的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2026东北育才学校期中 17）已知椭圆 ，设 为椭圆上一点，， 分别为椭圆的左、右焦点，且 ，. (1)求 的值； (2)若 ，斜率为 的直线 经过右焦点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点.如果以线段 为直径的圆经过左焦点 ，求直线 的斜率 . ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $