第2章 二次函数（单元自测卷）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 3.将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4.已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 5.已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6.关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 7.同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．  B．    C．   D．   8.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 9.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图1，在中，，E为边上一动点，作，交于点D，连接．记，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ）      A．当时，的长最小 B．的面积最大为 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.二次函数的图象经过，则________． 12.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 13.已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的根情况是 ．    14.二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 15.二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 16.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 18.（6分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．（8分）已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 20.（8分）已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 21.（10分）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 22.（10分）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 23．（12分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 24．（12分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 二次函数（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B D C D D C C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4 12．（答案不唯一） 13．有两个相等的实数根 14．四 15．或 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） 解：（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （4分） （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．（6分） 18．（6分）（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得，（1分） 解得，（2分） ∴抛物线的解析式为；（3分） （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9；（4分） 又当时，； 当时，；（5分） 所以，当时，．（6分） 19．（8分）解：（1）证明：令，则， ，（2分） ∵， ∴，（3分） 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（4分） （2）解：代入得，， 解得， 当时，，（5分） 令，则， 解得，，（7分） ∴另一个交点的坐标为．（8分） 20．（8分）（1）设直线的解析式为 ， 解得 直线的解析式为，（2分） 抛物线过点 抛物线的函数解析式为；（3分） （2）直线与抛物线相交于B，C两点，， 即 解得 当时， （4分） 直线 令，得 （5分） 所以 （6分） 当时， （8分） 21．（10分）（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为，（2分） 把点，代入得： ， 解得：，（4分） ∴二次函数的表达式为；（5分） （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2，（6分） 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形，（8分） ∴四边形的面积为．（10分） 22．（10分）（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， ∵正常水位时，水面宽， ∴、， 代入得：，（1分） ∵水位上升后，水面宽， ∴、，， 代入得：， ∴ 解得，（2分） ∵， ∴抛物线的函数表达式为；（3分） （2）解：当时，，即正常水位在处， ∵水面宽8米， ∴当时，，（5分） ∴水位上升高度为；（6分） （3）解：由题意得，正常水位下，船宽，即船的左右边缘在处， ∴当时，，（8分） ∴桥在处的高度为：，（9分） ∵， ∴船不能安全通过此桥．（10分） 23．（12分）（1）解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴．（3分） ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数．（4分） （2）解：．（6分） ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542．（7分） 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元．（8分） （3）解：令，则， 整理得，（9分） 解得，， 对应售价为（元）或（元），（10分） ∵二次函数开口向下， ∴当时，，（11分） 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元．（12分） 24．（12分）（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为．（2分） 令，则， 解得，， ，，（3分） ； （4分）                        （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为，（5分） 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ，（6分） ∵， ∴当时，线段的长有最大值，（7分） 此时， ∴点M的坐标为； （8分）                   ②存在点M，（9分）  ， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）；（,10分）  当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去），（11分）  综上所述，m的值为或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 2.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D说法错误，不符合题意． 3.将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 4.已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 5.已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标分别为和， 观察图象，当时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集为． 6.关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，可优先判断涉及增减性的选项，再验证其余选项． 【详解】解：函数图象的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 当时，对于方程，， ∵， ∴，函数图象与轴一定有两个交点，故B正确，不符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点，故C正确，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，时，随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 7.同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．  B．    C．   D．   【答案】D 【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误； C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确； 故选：D． 8.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 9.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与y轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象和其顶点，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 即，故②正确； 顶点坐标为， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，顶点纵坐标为， 函数最大值为， ， 抛物线与直线无交点， 方程无实数根，故④正确； 当时，取最大值， 对于任意实数，都有， ， 即， 当时，，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 10.如图1，在中，，E为边上一动点，作，交于点D，连接．记，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ）      A．当时，的长最小 B．的面积最大为 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象获取关键点坐标，确定的长度及函数解析式；利用三角形面积公式及三角函数求出的度数；构建长度关于的函数关系式，利用二次函数性质判断的最小值情况． 【详解】由图2可知，函数图象过点和， 当时，，即点与点重合， ， 故C选项说法正确； 由图象对称性可知，对称轴为直线， 当时，取得最大值， 设， 将点代入得：， 解得， ， 当时，， 故B选项说法正确； ， ， 在中，， ， ， 故D选项说法正确； 在中，， ，抛物线开口向上， 当时，最小， 即最小， ， 当时，的长不是最小， 故A选项说法错误． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.二次函数的图象经过，则________． 【答案】 【分析】将点坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴代入得， 解得． 12.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三个性质确定二次函数的解析式形式和参数取值范围，即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵函数图象的顶点在轴上， ∴设二次函数的解析式为， ∵该函数图象的形状与的图象相同， ∴， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴，且对称轴， ∴取，可得满足所有性质的二次函数为． 13.已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的根情况是 ．    【答案】有两个相等的实数根 【分析】根据图象中二次函数的最小值为，可得的根的情况． 【详解】解：由图象可知，二次函数最小值为， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故答案为：有两个相等的实数根． 14.二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】四 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的对称轴， ， 当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴， ， ，， 点在第四象限． 15.二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 16.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 18.（6分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 19．（8分）已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式； （1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明； （2）代入到，求出k的值，进而求出另一个交点的坐标． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 20.（8分）已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标， 【详解】（1）设直线的解析式为 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线过点 抛物线的函数解析式为； （2）直线与抛物线相交于B，C两点，， 即 解得 当时， 直线 令，得 所以 当时， 21.（10分）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题： （1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可； （2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 22.（10分）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 【分析】（1）设抛物线解析式为，由正常水位得、，代入得；水位上升后，得、，，由且，解得，进而得到解析式； （2）正常水位时，得；水面宽时，代入得，进而即可求出水位上升的高度； （3）船宽时，代入得，桥在处高度为，再进行比较即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， ∵正常水位时，水面宽， ∴、， 代入得：， ∵水位上升后，水面宽， ∴、，， 代入得：， ∴ 解得， ∵， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，，即正常水位在处， ∵水面宽8米， ∴当时，， ∴水位上升高度为； （3）解：由题意得，正常水位下，船宽，即船的左右边缘在处， ∴当时，， ∴桥在处的高度为：， ∵， ∴船不能安全通过此桥． 23．（12分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 【分析】（1）根据“月利润=每件利润×月销售量”的等量关系列函数解析式，结合售价上限与x为正整数的条件确定自变量取值范围． （2）用配方法将二次函数化为顶点式，结合x的整数性与取值范围确定最大利润及对应售价． （3）令，解一元二次方程得到对应x值，进而得到售价；结合二次函数的开口方向确定利润不低于3500元的售价范围． 【详解】（1）解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴． ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数． （2）解：． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542． 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 对应售价为（元）或（元）， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元． 24．（12分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．        学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 3.将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4.已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 5.已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6.关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 7.同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．B．   C．   D．   8.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 9.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第9题图 第10题图 10.如图1，在中，，E为边上一动点，作，交于点D，连接．记，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ） A．当时，的长最小 B．的面积最大为 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.二次函数的图象经过，则________． 12.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 13.已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的根情况是 ．    第13题图 第14题图 第16题图 14.二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 15.二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 16.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 18.（6分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．（8分）已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 20.（8分）已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 21.（10分）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 22.（10分）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 23．（12分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 24．（12分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $