专题01 有理数概念与混合运算（高效培优期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01 有理数概念与混合运算 考点01 有理数混合运算 考点02 简便运算与巧算 考点03 有理数混合运算的实际应用 考点04 程序框图与有理数计算 考点05 新定义运算 考点06 有理数乘方的应用与规律探索 考点01 有理数混合运算 1．（25-26七年级上·安徽·期中）计算： (1) (2)． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算 (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2) 6．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 7．（23-24七年级上·安徽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 考点02 简便运算与巧算 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 12．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列等式：，，… (1)仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______； (2)直接写出下面算式的结果：______； (3)探究并计算：． 考点03 有理数混合运算的实际应用 13．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）2025年国庆，全国从1日到8日放假八天，各地景区游人如织．其中因为《黑神话》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的八天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为_______万人，八天假期里，游客人数最多的是10月_______日，达到_______万人．游客人数超过万人的天数有_______天． (2)在国庆八天，该风景区一共接待了多少游客？（结果四舍五入到千人） 14．（25-26七年级上·安徽·期中）小明在数学课堂上学习了可以用正数和负数来表示意义相反的量，于是他放学乘坐公交车回家时， 尝试用此方法记录公交车在某些站点上下车的人数，其中上车人数记为“”，下车人数记为“”． 已知公交车从A站出发时，车上连同司机和小明在内共有34人，小明记录了后续5个站点B，C，D，E，F的上下车人数情况，并整理成下列表格． B站 C站 D站 E站 F站 请你根据以上信息回答下列问题： (1)公交车刚行驶到达C 站时，车上共有多少人？（还未上下车） (2)若公交车的核载人数（包括司机在内的最大载客量）是48人，请通过计算说明公交车在B站与F站之间的行驶途中是否有超载行为． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）有10筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0 1 1.5 筐数 1 2 3 1 2 1 (1)10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重_______千克． (2)这10筐白菜实际总重量为多少千克？ 16．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小旭在求2025年共有多少天时，他发现，如果直接把各月份的天数相加，比较麻烦，于是，他先将2025年12个月份的天数与30天比较，超出天数用正数表示，不足天数用负数表示，结果如下： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 0 0 0 0 (1)请你按照小旭的思路，求2025年共有多少天？ (2)如果2025年1月1日是星期三，那么2026年1月1日是星期几？ 17．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程依次为（单位：）： (1)请通过计算说明小虫最后是否回到原点O； (2)小虫在爬行过程中，距离出发点O最远是______； (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励3粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 18．（25-26七年级上·安徽六安·期中）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出________脐橙； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； (3)若电商以6元的价格购进脐橙，又按10元出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？ 19．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）今年国庆、中秋假期期间（10月1日至10月8日）某景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），已知9月30日到该景区旅游的有1万人． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化/万人 (1)国庆、中秋假期期间该景区游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)国庆、中秋假期期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票价格为每人20元，求国庆、中秋假期期间该景区门票的总收入． 20．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月30日小李团队在直播间卖了茶干，接下来国庆8天假中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．下表是假期8天的销量变化情况（单位：）： 10月 1 2 3 4 5 6 7 8 实际销售量比前一天的变化量 (1)国庆假期8天中的销量不超过9月30日的销量有______天； (2)这个国庆假期中销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少？ (3)如果茶干售价为20元/，求国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入． 考点04 程序框图与有理数计算 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图是一个数据运算程序，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，…，以此类推，第2024次输出的结果是（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 22．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 23．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4时，则输出的结果为______； （2）若输出的结果为，则输入的值可以是______．（写出一个即可） 24．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得______； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有______个． 25．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是____________； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道，则输入的数n是____________．      考点05 新定义运算 26．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 27．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为______； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为_____． 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 29．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 考点06 有理数乘方的应用与规律探索 31．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 32．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 33．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 34．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式：，根据其中的规律可得： （1）计算：，则个位上的数字为______； （2）若，则的个位上数字为______． 35．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）一个不透明的盒子中装有2026个硬币（大小完全相同），现依次取出这2026个硬币，正面朝上记为“1”，反面朝上记为“”． （1）若取出的硬币正面有1013个，则这2026个数字之积为_________； （2）若取出的硬币正面有个，则这2026个数字之积可表示为_________．（用含的代数式表示） 36．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 37．（24-25七年级上·安徽池州·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：探索以上等式的规律，解决下列问题： (1)__________； (2)完成第个等式的填空：（   ） (3)利用上述结论，计算． 38．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 39．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 40．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲，乙两位同学求 的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；    乙同学的方法： ① ② ②①即可…. 请同学们帮助乙同学完成之后的步骤，并求出S的值。 (3)请借助甲或乙同学的方法，求出的值． 41．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 42．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码，例如：明码A对应暗码1…明码Z对应暗码26，以此类推．若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“I”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数概念与混合运算 考点01 有理数混合运算 考点02 简便运算与巧算 考点03 有理数混合运算的实际应用 考点04 程序框图与有理数计算 考点05 新定义运算 考点06 有理数乘方的应用与规律探索 考点01 有理数混合运算 1．（25-26七年级上·安徽·期中）计算： (1) (2)． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算 (1)； (2)． 【详解】（1） （2） 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 6．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（23-24七年级上·安徽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 考点02 简便运算与巧算 8．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故甲同学计算错误； 乙和丙的计算没有问题； 故答案为：甲； （2）解：观察计算过程，丙的解法最简捷， 故答案为：丙； （3）解：先求原式的倒数： ， ∵为的倒数， ∴． 12．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列等式：，，… (1)仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______； (2)直接写出下面算式的结果：______； (3)探究并计算：． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ． 考点03 有理数混合运算的实际应用 13．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）2025年国庆，全国从1日到8日放假八天，各地景区游人如织．其中因为《黑神话》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的八天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为_______万人，八天假期里，游客人数最多的是10月_______日，达到_______万人．游客人数超过万人的天数有_______天． (2)在国庆八天，该风景区一共接待了多少游客？（结果四舍五入到千人） 【详解】（1）解：万人， 10月3日的人数为万人； 10月1日的人数为万人， 10月2日的人数为万人， 10月3日的人数为：万人， 10月4日的人数为：万人， 10月5日的人数为：万人， 10月6日的人数为：万人， 10月7日的人数为：万人 10月8日的人数为：万人， ∴八天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数超过万人的天数有5天； 故答案为：；2；；5； （2）解：万人， ∴该风景区在这八天内大约一共接待了万游客． 14．（25-26七年级上·安徽·期中）小明在数学课堂上学习了可以用正数和负数来表示意义相反的量，于是他放学乘坐公交车回家时， 尝试用此方法记录公交车在某些站点上下车的人数，其中上车人数记为“”，下车人数记为“”． 已知公交车从A站出发时，车上连同司机和小明在内共有34人，小明记录了后续5个站点B，C，D，E，F的上下车人数情况，并整理成下列表格． B站 C站 D站 E站 F站 请你根据以上信息回答下列问题： (1)公交车刚行驶到达C 站时，车上共有多少人？（还未上下车） (2)若公交车的核载人数（包括司机在内的最大载客量）是48人，请通过计算说明公交车在B站与F站之间的行驶途中是否有超载行为． 【详解】（1）解：（人）， 则公交车刚行驶到达C站时，车上共有37人； (2)公交车在B站与F站之间的行驶途中没有超载行为，理由如下： 公交车从B站行驶到C 站的途中，车上有（人）； 从C站行驶到D站的途中，车上有（人）； 从D 站行驶到E 站的途中，车上有（人）； 从E站行驶到F 站的途中，车上有（人）， 行驶途中的最大乘载人数是45人，， 所以公交车在B站与F 站之间的行驶途中没有超载行为． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）有10筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0 1 1.5 筐数 1 2 3 1 2 1 (1)10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重_______千克． (2)这10筐白菜实际总重量为多少千克？ 【详解】（1）解：最重的一筐差值为1.5千克，最轻的一筐差值为千克， （千克） 所以最重的一筐比最轻的一筐重3.5千克． （2）解：标准总重量为（千克） 总差值为： （千克） 实际总重量为（千克） 答：这10筐白菜实际总重量为248千克． 16．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小旭在求2025年共有多少天时，他发现，如果直接把各月份的天数相加，比较麻烦，于是，他先将2025年12个月份的天数与30天比较，超出天数用正数表示，不足天数用负数表示，结果如下： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 0 0 0 0 (1)请你按照小旭的思路，求2025年共有多少天？ (2)如果2025年1月1日是星期三，那么2026年1月1日是星期几？ 【详解】（1）解： （天）， （天）， 答：2025年共有365天． （2）解：因为每个星期有7天， ， 即365天按照每星期7天一组，共分成52组，还余1天， 因为2025年1月1日是星期三， 所以每组7天按照（三、四、五、六、日、一、二）重复排列， 余1天（即2025年最后一天）是星期三． 因此2026年1月1日是星期四． 17．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程依次为（单位：）： (1)请通过计算说明小虫最后是否回到原点O； (2)小虫在爬行过程中，距离出发点O最远是______； (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励3粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【详解】（1）解：∵， ∴小虫最后回到出发点O； （2）解：第一次爬行距离出发点是， 第二次爬行距离出发点是， 第三次爬行距离出发点是， 第四次爬行距离出发点是， 第五次爬行距离出发点是， 第六次爬行距离出发点是， 第七次爬行距离出发点是， 从上面可以看出小虫离开出发点最远时是； 故答案为：12； （3）解：小虫爬行的总路程为： ， ∴（粒）， 答：小虫一共得到162粒芝麻． 18．（25-26七年级上·安徽六安·期中）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出________脐橙； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙； (3)若电商以6元的价格购进脐橙，又按10元出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？ 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：607； （2）解：由题意得，， 故答案为：30； （3）解：由题意得， （元） 答：电商本周一共赚了5680元． 19．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）今年国庆、中秋假期期间（10月1日至10月8日）某景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），已知9月30日到该景区旅游的有1万人． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化/万人 (1)国庆、中秋假期期间该景区游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)国庆、中秋假期期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票价格为每人20元，求国庆、中秋假期期间该景区门票的总收入． 【详解】（1）解：由表格可知，10月1日该景区游客人数为（万人）， 10月2日该景区游客人数为（万人）， 10月3日该景区游客人数为（万人）， 10月4日该景区游客人数为（万人）， 10月5日该景区游客人数为（万人）， 10月6日该景区游客人数为（万人）， 10月7日该景区游客人数为（万人）， 10月8日该景区游客人数为（万人）， 所以国庆、中秋假期期间该景区游客人数最多的是10月3日，有万人． （2）解： （万人）， 答：国庆、中秋假期期间该景区平均每天接待万人． （3）解： （元）， 答：国庆、中秋假期期间该景区门票的总收入为元． 20．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月30日小李团队在直播间卖了茶干，接下来国庆8天假中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．下表是假期8天的销量变化情况（单位：）： 10月 1 2 3 4 5 6 7 8 实际销售量比前一天的变化量 (1)国庆假期8天中的销量不超过9月30日的销量有______天； (2)这个国庆假期中销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少？ (3)如果茶干售价为20元/，求国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入． 【详解】（1）解：10月1日：， 10月2日：， 10月3日：， 10月4日：， 10月5日：， 10月6日：， 10月7日：， 10月8日：， 不超过180的有5天． 故答案为：5． （2）由（1）得，销量最高的是10月2日，销量最低的是10月7日； 所以销量最多的一天比销量最少的一天多销售：． （3）（元）． 答：国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入为28900元． 考点04 程序框图与有理数计算 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图是一个数据运算程序，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，…，以此类推，第2024次输出的结果是（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 【答案】A 【详解】解：第1次输出的结果是5， 第2次输出的结果是16， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， ……， 以此类推，可知从第4次输出开始，每3次输出为一个循环，输出的结果依次为4，2，1， ∵， ∴第2024次输出的结果是2， 故选：A． 22．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 23．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4时，则输出的结果为______； （2）若输出的结果为，则输入的值可以是______．（写出一个即可） 【详解】解：（1）， ， 的相反数为1，1是正数， 1的倒数为1，故输出的结果为1； 故答案为：1； （2）当是取倒数输出时，则取相反数的结果为， 故要取相反数的时候的结果为， ∵， ∴可以作为第一次输入的数，也可以作为第二次输入的输，则此时第一次输入的数为； 当取绝对值输出时，则取相反数的结果为， 同理可得故要取相反数的时候的结果为， ∵， ∴可以作为第一次输入的数，也可以作为第二次输入的输，则此时第一次输入的数为； 故答案为：3（答案不唯一）． 24．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1． （1）如：取自然数1，经过3步运算可得______； （2）如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有______个． 【详解】（1）解：，，， ∴取自然数1，经过3步运算可得， 故答案为：1； （2）解：运用逆推法， ∵第7步运算可得到1， ∴第6步得到的数为， 第5步得到的数为， 第4步得到的数为， 第3步得到的数为， 第2步得到的数为或， 第1步得到的数为或， 则m的值为：或或或， ∴符合条件的的值为：或或或， 故答案为：4． 25．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是____________； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道，则输入的数n是____________．      【详解】解：（1）当输入数字为5时， ， ， 的相反数是2，是正数， 其倒数为，输出结果， 故答案为：； （2）若输入有理数为n，输出的结果是5， ①当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么，，符合题意； 若为非正数， 其绝对值为n，结果为5， 那么，，符合题意； ②当时， 加上，即为， 当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么， 解得：，，符合题意； 若为非正数， 其绝对值为，结果为5， 那么，，不符合题意； 当时， 加上，即为， 当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么， 解得：，，不符合题意； 若为非正数， 其绝对值为，结果为5， 那么，，不符合题意； 综上，输入的数n是或5或， 故答案为：或5或 考点05 新定义运算 26．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为______； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为_____． 【详解】（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：； 故答案为：5； （2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值； 的最小值； 的最小值； 的最小值是， ∴的最小值为． 故答案为：55． 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 29．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 考点06 有理数乘方的应用与规律探索 31．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 【答案】B 【详解】解：由题意，得：1的个数比的个数多25个， 的个数为， ， ． 故选B． 32．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【答案】1 【详解】解：，，，，，… 可以发现：个位数字依次为1、3、7、5，每4个循环一次， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为1． 故答案为：1． 33．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 【详解】解：（1）七进制数转换为十进制数的计算过程为： ． 故答案为：66． （2）计算2的幂次：，． 由于， 即， 因此十进制数1029在二进制下是11位数． 故答案为：11． 34．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式：，根据其中的规律可得： （1）计算：，则个位上的数字为______； （2）若，则的个位上数字为______． 【详解】解：（1）∵的个位数字按7，9，3，1循环，周期为4， ∴，对应循环中第4个数字1， ∴的个位数字为1. （2）∵个位数字循环周期为4，每个循环个位数字之和为，个位为0， 又∵共2025项， 余1，即前2024项（506个循环）的个位数字之和的个位为0，剩余一项的个位数字为7， ∴的个位数字为7. 35．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）一个不透明的盒子中装有2026个硬币（大小完全相同），现依次取出这2026个硬币，正面朝上记为“1”，反面朝上记为“”． （1）若取出的硬币正面有1013个，则这2026个数字之积为_________； （2）若取出的硬币正面有个，则这2026个数字之积可表示为_________．（用含的代数式表示） 【详解】解：（1）总硬币数为2026，正面有1013个，则反面有个， 积为， 故答案为：； （2）总硬币数为2026，正面有n个，则反面有个， 积为， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【详解】（1）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ； （3）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， ， ． 37．（24-25七年级上·安徽池州·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：探索以上等式的规律，解决下列问题： (1)__________； (2)完成第个等式的填空：（   ） (3)利用上述结论，计算． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 则第4个等式：； （2）解：由题意可得，； （3）解： ． 38．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 39．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：如图所示： 准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011； (3)不能，理由如下： ∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 40．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲，乙两位同学求 的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；    乙同学的方法： ① ② ②①即可…. 请同学们帮助乙同学完成之后的步骤，并求出S的值。 (3)请借助甲或乙同学的方法，求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：． （2）解：②①，得． （3）解：令①， ②， ②①，得， ∴． 41．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 42．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码，例如：明码A对应暗码1…明码Z对应暗码26，以此类推．若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“I”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， ①第一行代表的二进制的数字为，第二行代表的二进制数字为； ②转换成十进制数为； 同理，转换成十进制数为10； 转换成十进制数为27； 转换成十进制数为21； 转换成十进制数为08； 小辉同学的准考证号为：2410272108； （2）解：①转换成十进制数为22； 转换成十进制数为29； 转换成十进制数为2； 转换成十进制数为12； 转换成十进制数为6； 根据转换规则，图2中从左到右五列对应的明码分别是，空格，，，； ②二维码如下图所示： L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为， 同理其他字母表示的二进制分别为，，， 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $