4.4 二次函数与一元二次方程的关系（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 导入新课 我们学过了一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0的关系，你还记得吗？ 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根的情况有谁来决定？ 根的判别式 Δ=b²-4ac ①Δ0：方程有两个不相等的实数根 ②Δ=0：方程有两个相等的实数根 ③Δ0：方程没有实数根 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，知道抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根（重点） 掌握抛物线与 x 轴交点个数与判别式 Δ 的对应关系 （重点） 能利用二次函数图象求一元二次方程的近似根，体会数形结合思想（难点） 新知探究 问题1：你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？交点坐标是多少？ 观察二次函数 y = x2– 2x – 3 的图象。 问题2：二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2 – 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？ y = x2– 2x – 3 问题3：二次函数 y = x2– 2x – 3与 x 轴交点的横坐标与一元二次方程 x2 – 2x – 3 ＝ 0 的根有什么关系？ 小组合作学习 时间：5分钟 展示学习成果 新知探究 问题2：二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2 – 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？ y = x2– 2x – 3 (-1，0) (3，0) 问题1：你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？交点坐标是多少？ 两个交点 二次函数y = x2– 2x – 3 一元二次方程0 = x2– 2x – 3 一元二次方程是对应的二次函数y=0时的情况 新知探究 问题3：二次函数 y = x2– 2x – 3与 x 轴交点的横坐标与一元二次方程 x2 – 2x – 3 ＝ 0 的根有什么关系？ y = x2– 2x – 3 (-1，0) (3，0) (-1，0) 当 x ＝ -1 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 一元二次方程 x ＝ -1是一元二次方程x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根 y = x2– 2x – 3的图象与x轴交点的横坐标 方程x2 – 2x – 3 ＝ 0 的根。 同理x ＝3是一元二次方程x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根 你能得到什么结论？ 一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 方程角度 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 中，当 y＝0 时， x 的值 数 函数角度 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标 形 总结归纳 新知探究 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标 一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 新知探究 说一说 二次函数 y = x2– 2x – 3， y = x2－6x + 9 ， y = x2－2x + 2 的图象如图所示。 y = x2－6x + 9 y = x2－2x + 2 y = x2－2x -3 (1)每个图象与x轴有几个交点? (2)根据二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的根，请分别说出一元二次方程x2– 2x – 3=0，x2－6x + 9 =0，x2－2x + 2 =0 根的情况。 两个交点 一个交点 没有交点 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 而一元二次方程根的情况是由根的判别式决定的，这说明什么？ 新知探究 总结归纳 b²-4ac的取值 b²-4ac>0 b²-4ac=0 b²-4ac<0 二 次 函 数 y=ax²+bx+c 的大致图象 a>0 a<0 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴 的交点情况   一元二次方程 ax²+bx+c= 0 的根的情况 有两个交点，分别为 (x₁，0)，(x₂，0) 只有一个交点， 为(-，0) 没有 交点 两个不相等的实数根： x₁、x ₂= 两个相等的实数根 x₁=x₂= - 没有 实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 典例分析 解： 设二次函数 y = x2－2x－1. 画出二次函数 y = x2－2x－1的图像. 发现：抛物线与 x 轴的一个交点在－1和 0 之间，另一个交点在 2 和 3 之间. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点 的横坐标约为－0.4 或 2.4，即一元二次方程 x2－2x－1 = 0的实数根为x1 ≈ 0.4， x2 ≈ 2.4. 例1 求一元二次方程x 2 -2x -1 =0 的根的近似值（精确到0 .1）. 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标 一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 y=x 2 -2x -1的图象与x轴交点的横坐标 例2 如图，小李扔铅球时，若将铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数 的图象来刻画，其中x（m）是铅球离初始位置的水平距离，y（m）是铅球离地面的高度. 典例分析 （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离 初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m？若 能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 已知y求x 典例分析 解 :(1)由函数的表达式得 即 x2－6x + 5 = 0， 解得 x1= 1， x2= 5. 即当铅球离地面的高度为 2.1m 时，它离初 始位置的水平距离是 1m 或 5m. (2)由函数的表达式得 即 x2－6x + 9 = 0， 解得 x1= x2= 3. 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3m. (3)由函数的表达式得 即 x2－6x + 14 = 0， 因为 Δ = (－6)2－4×1×14=－20 < 0，所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3m. 基础巩固题 新知应用 1. 二次函数的图象与 轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 2.二次函数的图象与 轴有一个公共点，则对应 的一元二次方程 的根的情况是( ) B A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 判别式 Δ=b²-4c Δ=2²-4 判别式 Δ=b²-4c=0 基础巩固题 新知应用 3.一元二次方程的两根分别是， ，则 二次函数的图象与 轴的交点坐标是________________。 和 4.二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是(　　) A. k＜3 B. k＜3 且 k≠0 C. k≤3 D. k≤3 且 k≠0 D 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 判别式 Δ=b²-4c0 k0 判别式 Δ=(-6)²-40 k≤3 基础巩固题 新知应用 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 5.根据下列表格的对应值: 基础巩固题 新知应用 6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程 ax2+bx+c-3=0根的情况是( ) A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D 没有实数根 x y O 1 2 D y=ax2+bx+c 基础巩固题 新知应用 7.试判断下列函数的图象与x 轴的交点情况： （1）y =x 2-x -2；（2）y =9x 2+12x +4；（3）y =x 2-2x +3. 解 (1) y = x2－x－2 Δ = b2－4ac = (－1)2－4×1×(－2) = 9 > 0 函数图像与 x 轴有两个不同的交点. (2) y = 9x2 + 12x + 4； Δ = b2－4ac = 122－4×9×4 = 0 函数图像与 x 轴有一个交点. (3) y = x2－2x + 3 Δ = b2－4ac = (－2)2－4×1×3 = －8 < 0 函数图像与 x 轴没有交点. 判别式判断 基础巩固题 新知应用 8.用图象法求一元二次方程x 2+x -1 =0 的根的近似值（精确到0.1） 解 设二次函数 y = x2 + x－1. 画出二次函数 y = x2 + x－1的图像. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－1.6 或 0.6，即一元二次方程 x2 + x－1 = 0的实数根为x1 ≈ －1.6， x2 ≈ 0.6. 基础巩固题 新知应用 9. 已知二次函数 的图象如图 所示，利用图象解答下列各题： ， （2）方程 的根是_______________； （3）方程 的根是_________________； （1）方程 的根是_________； ， ， （4）方程 的根是____________； （5）方程 的根的情况是什么？ 解：此方程无实数根。 基础巩固题 新知应用 10.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.已知可以用 的图象刻画该公司今年的累积利润 y(万元)与销售时间x(月)之间的关系，如右图所示. 试根据图象提供的信息，回答下列问题： （1）该公司亏损了几个月？几月末开始盈利？ （2）求截止到几月末公司累积利润达到30 万元. （3）该公司第8 月末所获利润是多少？ 基础巩固题 新知应用 解：(1)亏损期数是 3 个月，4 月末开始盈利. (2)由函数的表达式得 即 x2－4x － 60 = 0， 解得 x1=10， x2= －6(舍去). 答：截止到 10 月末公司累计利润达到 30 万元. (3) 由函数的表达式得 16 － 10.5 = 5.5 (万元) 答：该公司第 8 月末所获利润是 5.5 万元. 能力提升题 新知应用 11.已知二次函数y=x2 +(2m+1)x+m2 的图像与x轴有两个不同的交点． (1)求m的取值范围； (2)当这两个不同的交点的横坐标的平方和为7时, 求m的值. 解: (1)∵函数图像与x轴有两个不同的交点, ∴b2 -4ac>0, 即(2m+1)2 -4m2 =4m+1>0,∴m>. (2)设函数图像与x轴的两个不同的交点的横坐标为x1 , x2 , 则x1 +x2 =-2m-1, x1 x2 =m2 .∵x21 +x22 =7,∴(x1 +x2 )2 -2x1 x2 =7, ∴(-2m-1)2 -2m 2 =7,解得m1 =1, m2 =-3. 又∵m>. , ∴m=1. b²-4ac>0 x21 +x22 =7 根与系数的关系 能力提升题 新知应用 12．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋1(m是常数)． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴没有公共点； (2)把该抛物线沿y轴向下平移a个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，求a的值． 解：(1)证明：∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋1)＝4m2－4m2－4 ＝－4＜0，　 ∴方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数解．　 即不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋1的图象与x轴没有公共点．　 证明b²-4ac0 能力提升题 新知应用 (2)y＝x2－2mx＋m2＋1＝(x－m)2＋1. 把函数y＝(x－m)2＋1的图象沿y轴向下平移1个单位长度后， 得到函数y＝(x－m)2的图象， 它的顶点坐标是(m，0)，则这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 即把函数y＝x2－2mx＋m2＋1的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． 故a＝1.　 课堂小结 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根 二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与x轴 的交点情况 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 有两个交点 有两个不相等的实数根 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根的情况 b²-4ac>0 b²-4ac=0 b²-4ac<0 用图象法求一元二次方程的近似根 感谢聆听! $