4.4 二次函数与一元二次方程的关系 专题11 二次函数的图形与字母系数之间的关系-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦二次函数图象与字母系数的关系，涵盖开口方向、坐标轴交点、对称轴、特殊点等类型，通过各地期中期末例题及解题过程，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融入新定义题型（如“心心相印”函数）和综合判断问题，培养学生的创新意识（数学眼光）与推理能力（数学思维），通过具体实例引导学生用数学语言表达关系，助力学生提升分析解决问题能力，也为教师提供丰富教学资源。

2 第4章　二次函数 专题11　二次函数的图象与字母系数之间的关系 3 1. 已知二次函数y=ax2−3x+a2−9的图象开口向下，且经过坐标原点，那么a等于 （　　） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3或-3 类型1　根据函数图象的开口方向判断字母系数 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 4 2.（长沙浏阳期中）若二次函数y=（m+2）x的图象开口向上，则m= ________. 2 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 5 3. （湘西州期中）二次函数y=（a+2）x2+11x-6的图象是一条开口向下的抛物线，请你写一个合适的a值，a=________________. -3（答案不唯一） 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 6 4. 已知二次函数y=x2-4x+m（m为常数）的图象与y轴的交点为（0，-1），则m的值为 （　　） A. 0 B. 1 C. -1 D. 4 类型2　根据函数图象与坐标轴的交点判断字母系数 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 7 5.（长沙期中）已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　） A. k>- B. k<- C. k≥- D. k>-且k≠0 D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6. （岳阳平江期中）若二次函数y=x2+2mx+9的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 3 B. -3 C. ±3 D. ±3 D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 9 7. 关于x的函数y=ax2+（2a+1）x+a-1的图象与坐标轴有两个交点，则a的取值有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 10 8. （株洲茶陵期末）若二次函数y=x2-x+c（c是常数）的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是______________. c> 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 11 9. 已知二次函数y=x2+2mx+2图象的对称轴是直线x=2，求实数m的取值. 类型3　根据函数图象的对称轴判断字母系数 解：因为二次函数y=x2+2mx+2图象的对称轴是直线x=2， 所以=2，解得m=-2. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 12 10. 已知二次函数y=a（x-h）2+k在平面直角坐标系上的图象经过（0，5），（10，8）两点. 若a<0，0<h<10，则h可能的取值是（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 类型4　根据函数图象的特殊点判断字母系数 D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 11. （衡阳校级阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，0）和（1，4），且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3<m<4，那么a的取值可能是 （　　） A. -2 B. 1 C. 2 D. - D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（长沙期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是 （　　） A. c>0 B. b>0 C. a+b+c<4a-2b+c D. 2a+b>0 类型5　综合判断字母系数 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 13. （永州校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下4个结论： ①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c>0；④b2-4ac>0. 其中正确的结论有 （　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 14. （永州新田期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴是直线x=1，分析下列结论： ①3a+c>0；②（a+c）2<b2；③a+3b+9c>0；④若-1<x<2，则ax2+bx+c>0；⑤a2m2+abm≤a（a+b）. 其中正确的结论有________（填序号）. ②③ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+8的图象分别交x轴于 A，B（4，0）两点，交y轴于点C，且tan∠ACB=3. 求二次函数的表达式. 解：如图，过点B作BD⊥AC交AC于点D，交y轴于点E，则∠BDC=90°. 因为tan∠ACB==3，所以BD=3CD. 令x=0，则y=8，所以C（0，8），所以OC=8. 因为B（4，0），所以OB=4，所以BC==4. 因为BD2+CD2=BC2， 所以（3CD）2+CD2=80，解得CD=2，所以BD=6. 因为∠BEO=∠CED， ∠BOE=∠CDE=90°，所以△BEO∽△CED，所以（负值已舍 去），所以BE=CE. 因为OE==，OE+CE=OC，所以 +CE=8，解得CE=−20（不合题意，舍去）或CE=4，所以OE=OC−CE=4， 所以OB=OE，所以∠OBE=45°，所以∠CAO=90°−∠DBO=45°，所以OA=OC=8，所以 A（−8，0）. 把A（−8，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+8，得 解得 所以二次函数的表达式为y=−x2−x+8. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 16. [新定义·新概念问题]在数学上，我们约定：若两个二次函数图象关于原点对称，则称这两个函数互为“心心相印”函数. （1）已知二次函数y1=a1x2+b1x+c1和y2=a2x2+b2x+c2互为“心心相印”函数，求下列各式的值. ①=_______；②若b2≠0，则=_______；③（c1+c2）2 027=_______. （2）已知二次函数y3=ax2+bx+c（a>0）与y4互为“心心相印”函数，函数y3的图象的顶点为M，函数y4的图象与y轴交于点N，MN⫽x轴，直线y=与y3的图象交于A，B两点，与y4的图象交于C，D两点. 若线段AB，CD，MN可构成以AB为斜边的直角三角形，且当-1≤x≤4时，二次函数y3=ax2+bx+c（a>0）的最小值为-2，求a，b的值. -1 1 0 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 解：（2）将二次函数y3=ax2+bx+c（a>0）化为y3=a（x-k）2+h，则顶点M的坐标为 （k，h），二次函数y4的表达式为y4=-a（x+k）2-h. 在y4=-a（x+k）2-h中， 当x=0时，y4=-ak2-h，所以N（0，-ak2-h）. 因为MN⫽x轴，所以-ak2-h=h，MN=，所以h=-ak2，所以y3=a（x-k）2-ak2，y4=-a（x+k）2+ak2. 联立 得x2-2kx+k2-=0，所以xA+xB=2k，xAxB=k2-，所以AB2=（xA-xB）2=（xA+xB）2-4xAxB=4k2-4=2k2+2. 联立得x2+2kx+k2+=0，所以xC+xD=-2k， 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 xC xD =k2+，所以CD2=（xC-xD）2=（xC+xD）2-4xC xD =4k2-4=2k2-2. 因为线段AB，CD，MN可构成以AB为斜边的直角三角形，所以AB2=CD2+MN2， 所以2k2+2=2k2-2+k2，解得k1=2，k2=-2. 当k=2时，y3=a（x-2）2-2a， 此时二次函数y3的图象的对称轴为直线x=2. 又因为a>0，所以二次函数的图象开口向上. 因为当-1≤x≤4时，二次函数y3=ax2+bx+c（a>0）的最小值为-2，所以-2=a·（2-2）2-2a，解得a=1，此时y3=（x-2）2-2=x2-4x+2，所以b=-4. 当k=-2时，y3=a（x+2）2-2a， 此时二次函数y3的图象的对称轴为直线x=-2. 又因为a>0，所以二次函数的图象开口向上. 因为当-1≤x≤4时，二次函数y3=ax2+bx+c（a>0）的最小值为 -2，所以-2=a·（-1+2）2-2a，解得a=2，此时y3=2（x+2）2-4=2x2+8x+4，所以b=8. 综上所述，a=1，b=-4或a=2，b=8. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $