4.5.2 二次函数的应用（2）（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数的应用（2） 湘教·九年级上册 知识回顾 总利润 ＝ 总售价－________ 或总利润 ＝ 每件商品利润×___________． 总成本　 销售总量　 一般地，因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低(高) 点，所以当 x = ________时，二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 有最小(大) 值____________. 例1 如图4.5-2，用 8m 长的铝材做一个“日”字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积最大？最大面积是多少？(假设铝材的宽度不计) 图4.5-2 解 由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的透光面积 S 随矩形一边长的变化而变化，依次设窗框的宽为 x m，则窗框的高为 ，其中 探究新知 于是，窗框的透光面积为 配方，得 当x = 时，S 取最大值 . 这时高为 因此，当窗框的宽为 m，高为 2m 时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为 . 1. 如图，学校准备在图书馆后面的场地上建一个矩形自行车车棚 ABCD，一边利用图书馆的后墙(墙足够长)，现有总长为 24m 的铁围栏，如果要围成面积为 72m2 的自行车车棚，求 AB 的长． 针对训练 解 设 AB = x m，则 AD = 根据题意，得 整理，得 x2 － 24x + 144 = 0. 解得 x1 = x2 = 12. 答：AB 的长为 12m. 2. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建总长为 50m 的围墙.设饲养室的长为 x (单位：m)，占地面积为 y (单位：m2). (1) 如图①，饲养室的长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ (1) 如图①，饲养室的长 x 为多少时，占地面积 y 最大？ 解根据题意，得 整理，得 所以当 x = 25 时，y 最大， 答：饲养室的长为 25m 时，占地面积 y 最大. (2)如图②，现要求在图中所示位置留 2m 宽的门，且 仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比 (1) 中的长多 2m 就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确. 解：根据题意，得 整理，得 所以当 x = 26 时，y 最大， 因为26－25 =1≠ 2，所以小敏的说法不正确. 即饲养室的长 x 为 26m 时，占地面积 y 大. 例2 某玩具店引进一批进价为 20元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件．当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 解 设每件商品的销售单价上涨 x (0 ≤ x ≤ 18) 元， 则每月减少的销售量为 10x 件，实际销售量为 (180－10x)件， 单件利润为(30 + x－20 )元. 进价/元 售价/元 数量/件 利润 现价 20 30 180 涨价 20 30 + x 180-10x 将一个月内获取的商品总利润记为 y 元，则 y = (10 + x )(180－10x ) = －10x2 + 80x + 1800 = －10 ( x－4 )2 + 1960 当 x = 4，即销售单价为 34元时，y 取最大值 1960. 答：当销售单价定为 34元时，该店在一个月内能获得最大利润 1960元. 归 纳 利用二次函数解决销售利润问题： ①根据题意找出或列出“成本”“售价”“销量”所表示的数或代数式； ②根据“总利润 = (售价－成本) ×销量”或“总利润 = 售价×销量－总成本” 列函数解析式(若涉及“每每问题”，则“每降 a 元，多卖 b 件” 表示的数量关系为“多卖的数量= ×降价的金额”)； ③根据题干信息及实际意义，确定自变量的取值范围. ④ 通过配方法将函数解析式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量取值范围内的最值：若对称轴在自变量的取值范围内，则当抛物线开口向上时，在顶点处函数取得最小值，自变量取值离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近函数值越小；当抛物线开口向下时，在顶点处函数取得最大值，自变量取值离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小. 归 纳 利用二次函数解决销售利润问题： 针对训练 1. 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元)与销售单价 x (元)之间的关系满足 y ＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，价格需满足15 ≤ x ≤ 22，那么一周可获得最大利润是 ( ) D A. 20元 B. 1508元 C. 1550元 D. 1558元 2. 某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门 规定其销售单价不低于 30 元，不高于 60 元.销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月的销售量为 80 件，而当销售单价每降低 5 元时，平均每月能多售出 10 件. 同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元. 设销售单价为 x 元，平均月销售量为 y 件. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围. 解：根据题意，得 所以 y =－2x + 200 (30 ≤ x ≤ 60) (2) 当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 解：设每月获得的利润为 w 元. 由题意，得 w = (x－30)(－2x+200)－450 整理，得 w = －2(x－65)2 + 2000. 所以当 x < 65 时，w 随 x 增大而增大. 因为 30 ≤ x ≤ 60，所以当x = 60，w有最大值为1950. 答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是 1950元. 1. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，若池底长方形的周长为100 m，则池底的最大面积是 ( ) B 练习 A. 600m2 B. 625m2 C. 650m2 D. 675m2 2.小妍想将一根 72cm 长的彩带剪成两段， 分别围成两个正方形， 则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？ 此时的面积和为多少？ 解 设剪断后一段彩带长为 x cm，则另一段彩带长为 (72-x) cm. 当 x = 36 时，面积和有最小值为 162. 答：当剪的彩带长度都为 36cm 时两个正方形面积和最小，最小为162cm2. 3. 果农计划对果园加大种植密度，据测算，果园的总产量 y(个) 与增种果树的棵数 x (棵) 之间的函数表达式为 y ＝ －5x2 ＋100x ＋60000 ， 要使总产量在 60320 个以上，需要增种果树的棵数范围是 ( ) C A. 4 ≤ x ≤ 16 B. x ≥ 6 或 x ≤ 16 C. 4 ＜x＜16 D. x＞6 或 x＜16 4. 如图，一个一面用墙、三面用篱笆围成的矩形花圃ABCD 的面积为 S m2 与墙垂直的 AB 边长为 x m. 花圃被其中间的一道篱笆隔成两个小矩形，若墙可利用的最大长度为13m，篱笆总长为 24m. (1) 求 S 与 x 之间的关系式，并指出自变量的取值范围. 解 依题意，得 S = (24－3x)x = －3x2 + 24x 因为 x > 0，且 0 < 24－3x ≤ 13 所以 所以 S = －3x2 + 24x (2) 当围成的花圃的面积为 45m2时，求 AB 的长. 解 当围成的花圃的面积为 45m2时，得 45 = －3x2 + 24x 解得 x1=5，x2=3. 因为 ，所以 x = 5. 答：当围成的花圃的面积为 45m2时， AB 的长为 5m. (3) 当 x 为何值时，围成的花圃ABCD的面积最大？ 最大面积是多少？ 解： S = －3x2 + 24x 整理后，得 S = －3(x－4)2+48 所以当 x = 4 时，S 取最大值 48. 答：当 x 为 4 时，围成的花圃ABCD的面积最大，最大面积是 48m2. 课堂小结 一般步骤： 1. 根据实际问题建立二次函数的关系式； 2. 确定自变量取值范围； 3. 求出实际问题的最值. 用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题. $