4.3.2对数的运算（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.3.2 对数的运算（导学案）（解析版） 1、掌握对数的运算法则，能利用法则、换底公式进行对数化简与求值运算。 2、经历对数运算法则的推导过程，体会指数与对数的互化思想，提升逻辑推理能力。 3、感受指数、对数内在的统一联系，养成严谨运算、规范书写的学习习惯。 重点：掌握对数运算法则，能熟练进行对数的加减乘除运算，会运用换底公式化简、求值对数表达式。 难点：理解对数运算法则推导逻辑，辨析公式易混易错点，灵活选用公式解决变形与综合计算问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】对数的性质： ①______；②______；③______；④______（，且）． （2）对数的运算法则 如果且，，，那么 ①______； ②______； ③______（）； ④______（，且）． （3）对数的重要公式 ①换底公式：______（a，b均大于零且不等于1，）； ②，推广______均大于零且不等于1，． 【答案】 0 1 N b （2） 探究一、对数的运算性质 问题1：你能根据指数与对数的关系以及指数运算性质，证明以上对数运算性质吗？ （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）证明：设，于是，由对数的定义得到 ， ， ∴，其中且，，0. 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘。 （2）证明：设，于是， 由对数的定义得到 ， ， ∴，其中且，，0. 即：同底对数相减，底数不变，真数相除。 （3）证明设 ∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： ∴. 如果，且，，，那么 ① 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘。 ② 即：同底对数相减，底数不变，真数相除. ③ 即：真数的次数可以提到对数前作为系数. 探究二、对数的换底公式 问题2：通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论。 (1)； (2)； (3). 证明(1)： 证明(2)：∵∴ 证明(3)： 【知识点拨】 对数换底公式的重要推论： 换底公式：（ ，且；；，且 ） 对数换底公式的重要推论： ，且；，且 。 ，且；,, 。 ，，，，且 。 特别地， 。 【例3】求下列各式的值：(1) (2). 【分析】① ② ③ 解： 5219. 【例4】写用表示 【分析】① ② ③ 解： 【题型1：对数的运算性质及应用】 1、计算下列各式： ①② 解：①原式 ②原式 2、求下列各式的值： （1）； （2）. 解：（1） （2）原式 . 3、化简下列各式 ； ； 解：（1）原式 （2）原式 4、若则 等于（ ）. . . . . 【答案】A 5、设，则 . . . . 【答案】： 6、已知，，请用表示下列各式： ① ②； ③ ； ④ 【答案】：① ② ③ ④ 7、已知，，且.用，及表示下列各式： (1) ； (2) ；(3) 解：(1) (2) . 【题型2：换底公式及其应用】 1、求值： ； 解：（1）原式 （2）原式 2、计算的值。 解：原式 3、若则的值为_______. 解：由已知可得即， ∴即 4、计算 解：(2)原式 【题型3：对数与指数的综合运用】 1、已知用表示的值。 解：∵∴ 于是 2、若，且， 解：设，则且， 所以 ，， ，则 ， 即，所以 。 一、单选题 1．若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误。 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由求出，再代入目标式，利用对数换底公式计算即得。 【详解】令可得，则. 3．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示。 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确。 5．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将用对数的换底公式和运算性质进行变形，得到的范围，再求出的范围，即可判断。 【详解】 , 所以， ， 分析充分性： 若，因为，所以不能推出，所以充分性不成立； 分析必要性： 若，因为，，所以可以推出，所以必要性成立。 6．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 7．已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的转化得，再利用换底公式即可求解。 【详解】由，，得. 所以. 8．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】D 【详解】设，设它的位数为，根据位数定义，存在整数，满足， 则， 由，得，因为， 所以， 故，且，所以， 所以的位数是. 二、多选题 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误。 10．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 11．已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数为偶函数可判断。 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则， 因为，为偶函数． 当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，即，故D正确。 三、填空题 12．已知函数，求________． 【答案】1 【详解】由题意可得，. 13．已知，，若，且，则__________． 【答案】/1.5 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 14．已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 【答案】/ 【分析】构造函数，将条件不等式化成，由题意推得，借助于得到，由求出即可求得答案。 【详解】设，因在上连续，则在上连续， 且，即函数为上的偶函数。 由可得， 若，则可取遍一切实数，即对于，即为常函数。 因，则①， 又因②， 将代入①，得， 将②代入上式，可得， 故. 四、解答题 15．计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 16．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ； （2）（方法一）； （方法二）． 17．（1）解方程：． （2）若，求关于的函数表达式． （3）若二次函数是偶函数，且，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据指数幂的运算性质结合对数的性质可求的值； （2）法1：分离常数后反解结合指对数转化可求关于的函数表达式；法2：去分母反解结合指对数转化可求关于的函数表达式； （3）利用待定系数法可求的值。 【详解】（1）因为， 所以，则，所以． （2）法1：因为， 所以，即， 则，所以y关于x的函数表达式为． 法2：因为，所以， 即，则，所以， 则，所以y关于x的函数表达式为． （3）依题意设． 因为是偶函数，所以由，得， 所以， 所以，解得． 18．已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】先利用指对数互化公式，再由对数运算性质与换底公式化简所求式，代入整理即得。 【详解】（1）因为,所以. 所以; （2）. 19．已知函数，其中且． (1)设．若，求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，根据求出的值，代入即可得出的值； （2）根据指数函数的单调性缩小的取值范围，将原式转化为，即可求出的取值范围. 【详解】（1）时，， 由得， . （2）当时，根据指数函数的性质，此时在单调递增， 即当时，的值域为，不符合条件； 当时，根据指数函数的性质，此时在单调递减， 当时，恒成立， 所以， 解得， ， ， 即实数的取值范围. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 对数的运算（导学案） 1、掌握对数的运算法则，能利用法则、换底公式进行对数化简与求值运算。 2、经历对数运算法则的推导过程，体会指数与对数的互化思想，提升逻辑推理能力。 3、感受指数、对数内在的统一联系，养成严谨运算、规范书写的学习习惯。 重点：掌握对数运算法则，能熟练进行对数的加减乘除运算，会运用换底公式化简、求值对数表达式。 难点：理解对数运算法则推导逻辑，辨析公式易混易错点，灵活选用公式解决变形与综合计算问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】对数的性质： ①______；②______；③______；④______（，且）． （2）对数的运算法则 如果且，，，那么 ①______； ②______； ③______（）； ④______（，且）． （3）对数的重要公式 ①换底公式：______（a，b均大于零且不等于1，）； ②，推广______均大于零且不等于1，． 探究一、对数的运算性质 问题1：你能根据指数与对数的关系以及指数运算性质，证明以上对数运算性质吗？ （1）； （2）； （3）. 探究二、对数的换底公式 问题2：通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论。 (1)； (2)； (3). 【知识点拨】 对数换底公式的重要推论： 换底公式：（ ，且；；，且 ） 对数换底公式的重要推论： ，且；，且 。 ，且；,, 。 ，，，，且 。 特别地， 。 【例3】求下列各式的值：(1) (2). 【例4】写用表示 【题型1：对数的运算性质及应用】 1、计算下列各式： ①② 2、求下列各式的值： （1）； （2）. 3、化简下列各式 ； ； 4、若则 等于（ ）. . . . . 5、设，则 . . . . 6、已知，，请用表示下列各式： ① ②； ③ ； ④ 7、已知，，且.用，及表示下列各式： (1) ； (2) ；(3) 【题型2：换底公式及其应用】 1、求值： ； 2、计算的值。 3、若则的值为_______. 4、计算 【题型3：对数与指数的综合运用】 1、已知用表示的值。 2、若，且， 一、单选题 1．若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（    ） A． B． C． D． 7．已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 二、多选题 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 三、填空题 12．已知函数，求________． 13．已知，，若，且，则__________． 14．已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 四、解答题 15．计算： (1) (2)． (3) 16．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 17．（1）解方程：． （2）若，求关于的函数表达式． （3）若二次函数是偶函数，且，求t的值． 18．已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 19．已知函数，其中且． (1)设．若，求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $