4.2.2指数函数的图象和性质（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图象和性质（导学案） 1、掌握指数函数图象画法，理解指数函数单调性、过定点等性质，能利用图象与性质比较大小、求解简单不等式。 2、通过描点作图、分类讨论底数，经历观察图象、归纳性质的过程，提升数形结合、分类讨论的数学思维。 3、感受图象与代数性质的内在联系，体会指数函数在现实增长模型中的价值，养成严谨观察、归纳推理的习惯。 重点：掌握指数函数图象画法，理解指数函数定义域、值域、单调性等性质，能利用图象性质比较大小。 难点：辨析底数对指数函数图象变化的影响，灵活运用指数函数性质解决简单不等式、数形结合类问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】指数函数及其性质 （1）概念：函数______称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点______，即时， 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 在上是______ 在上是______ 问题1：你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？ 探究一、指数函数的图象 问题2：请同学们在同一平面直角坐标系中画出和、和的图象。 探究一、指数函数的性质 问题3：能否根据这四个特殊的指数函数图象，概括出指数函数，且图象性质？ 追问1：观察这两个图象整体，说说之间的关联。 问题4：你能不通过列表描点连线大致画出的图象吗？ 追问1:在轴右侧，对于同一，图象的高低与底数有什么关系吗？ 追问2:在轴左侧呢？ 追问3:在轴右侧，对于同一，图象与轴距离和底数有什么关系吗？ 问题4：你能不通过列表描点连线大致画出的图象吗？ 例3：比较下列各题中两个值的大小： (1) (2)，； (3) 例4：如图，某城市人口呈指数增长。 (1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 【题型1：指数函数的图象问题】 1、已知，，，，则在同一个平面直角坐标系内，它们的图象为（ ）. 2、已知，，则函数的图象必定不经过（ ）. 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3、如图所示是指数函数①，②，③，④的图象，则与的大小关系是（ ） 4、函数的图象大致为(　　) 【题型2：图象过定点问题】 1、 的图象恒过定点___________. 【知识点拨】 （且）图象恒过定点（0,1） 的图象恒过定点___________. 的图象恒过定点(3,3)，则的最小值为_____________. 【题型3：幂指数比较大小】 1、比较下列各题中两个值的大小： (1),; (2),; (3), 2、已知,则的大小关系是（ ）. B C D 【知识点拨】 比较指数幂大小的三种类型及处理方法： 【题型4：解不等式】 1、求满足下列条件的的取值范围： (1); (2); (3)> 【知识点拨】 利用单调性解不等式的步骤： (1)化同底：将不等式两边都化成底数相同的指数式。 (2)去底：根据底数的取值，利用指数型函数的单调性去掉底数。 (3)解不等式：求解由指数构成的不等式的解集。 提醒：若底数不确定，则需进行分类讨论。 2、(1)解不等式; (2)已知，求的取值范围。 3、不等式>的解集为_________。 【题型5：指数函数的定义域和值域】 1、求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) 2、求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) . 一、单选题 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 4．若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 6．函数的图象可能是（   ） A． B．C． D． 7．，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 11．已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象关于点中心对称 B． C．函数的单调递减区间为， D．已知数列满足，且，则 三、填空题 12．若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 13．已知，则的最小值为_________. 14．放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里。 四、解答题 15．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 16．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 17．已知函数（且）经过点． (1)求的值； (2)①求值；②若，求的值． (3)画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 18．已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由。 19．对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． (1)若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． (2)若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． (3)若函数，求的最大值与俏值． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的图象和性质（导学案）（解析版） 1、掌握指数函数图象画法，理解指数函数单调性、过定点等性质，能利用图象与性质比较大小、求解简单不等式。 2、通过描点作图、分类讨论底数，经历观察图象、归纳性质的过程，提升数形结合、分类讨论的数学思维。 3、感受图象与代数性质的内在联系，体会指数函数在现实增长模型中的价值，养成严谨观察、归纳推理的习惯。 重点：掌握指数函数图象画法，理解指数函数定义域、值域、单调性等性质，能利用图象性质比较大小。 难点：辨析底数对指数函数图象变化的影响，灵活运用指数函数性质解决简单不等式、数形结合类问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】指数函数及其性质 （1）概念：函数______称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点______，即时， 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 在上是______ 在上是______ 【答案】 （且） 增函数 减函数 问题1：你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？ 【答案】 探究一、指数函数的图象 问题2：请同学们在同一平面直角坐标系中画出和、和的图象。 【答案】怎样画函数图像呢？ 1.列表 描点法：列表→描点→连线 探究一、指数函数的性质 问题3：能否根据这四个特殊的指数函数图象，概括出指数函数，且图象性质？ 【答案】 追问1：观察这两个图象整体，说说之间的关联。 【答案】 问题4：你能不通过列表描点连线大致画出的图象吗？ 【答案】略 追问1:在轴右侧，对于同一，图象的高低与底数有什么关系吗？ 【答案】,底大图高 追问2:在轴左侧呢？ 【答案】,反之 追问3:在轴右侧，对于同一，图象与轴距离和底数有什么关系吗？ 【答案】底数越大，离轴越近 问题4：你能不通过列表描点连线大致画出的图象吗？ 【答案】选取底数的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象如下： 例3：比较下列各题中两个值的大小： (1) (2)，； (3) 【分析】同底不同指的两个值比较大小可以利用指数函数的单调性判断。 解：(1)∵在定义域上单调递增而，∴. (2)∵在定义域上单调递减而，∴. (3)∵在定义域上单调递增而,∴ 又∵在定义域上单调递减而,∴ 综上，. 例4：如图，某城市人口呈指数增长。 (1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 解：(1)观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人， 经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年。 (2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番。因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人。 【题型1：指数函数的图象问题】 1、已知，，，，则在同一个平面直角坐标系内，它们的图象为（ ）. 【答案】： 2、已知，，则函数的图象必定不经过（ ）. 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【答案】： 3、如图所示是指数函数①，②，③，④的图象，则与的大小关系是（ ） 【答案】： 4、函数的图象大致为(　　) 【答案】：D 【题型2：图象过定点问题】 的图象恒过定点___________. 【答案】： 【知识点拨】 （且）图象恒过定点（0,1） 的图象恒过定点___________. 【答案】： 的图象恒过定点(3,3)，则的最小值为_____________. 【答案】： 【题型3：幂指数比较大小】 1、比较下列各题中两个值的大小： (1),; (2),; (3), 解：(1) (2). (3). 2、已知,则的大小关系是（ ）. B C D 【答案】： 【知识点拨】 比较指数幂大小的三种类型及处理方法： 【题型4：解不等式】 1、求满足下列条件的的取值范围： (1); (2); (3)> 解：(1)的取值范围是： (2)的取值范围是： (3)的取值范围是：当 当0< 【知识点拨】 利用单调性解不等式的步骤： (1)化同底：将不等式两边都化成底数相同的指数式。 (2)去底：根据底数的取值，利用指数型函数的单调性去掉底数。 (3)解不等式：求解由指数构成的不等式的解集。 提醒：若底数不确定，则需进行分类讨论。 2、(1)解不等式; (2)已知，求的取值范围。 解：(1)的取值范围是： (2)当时，的取值范围是： 当时，的取值范围是： 3、不等式>的解集为_________。 【答案】： (1,2) 【题型5：指数函数的定义域和值域】 1、求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) 解：(1)定义域：.值域：. (2)定义域：.值域：. (3)定义域：.值域：. 2、求下列函数的定义域和值域： (1) (2); (3) . 解：(1)定义域：.值域：. (2)定义域：.值域：. (3)定义域：.值域：. 一、单选题 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求集合，，所以， 再求集合，，因为，所以，所以， 因此的区间为. 2．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出指数函数和一次函数的大致图象，再根据不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围，进而数形结合即可得到答案． 【详解】由是上单调递增的指数函数，且，， 又是上单调递增的一次函数，且，， 所以与的大致图象如下： 则不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围， 数形结合，不等式的解集为． 3．若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值。 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 4．若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若在R上单调递增， 则，解得，即的取值范围是. 5．若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【答案】C 【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项 【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称 对任意，有 ， 因此为奇函数，排除B、D选项； 因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立； 所以，为上的减函数，为上的增函数； 所以，为上的增函数，排除A选项， 所以，为奇函数，且为上的增函数. 6．函数的图象可能是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值代入排除A、D，再分析函数在 时函数值的变化趋势，即可确定函数图象。 【详解】令 ， 则，根据选项图象可排除 A、D； 当 时，因， ，但指数函数 的增长速度远快于幂函数 ， 则 ，由图知显然 B项不满足，C项符合。 7．，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定函数为奇函数且在上单调递增，利用性质脱去对应法则，转化为一次不等式即可求解。 【详解】因为，则函数定义域为， 又因为，所以为奇函数；又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增。 由，得，则， 解得：，所以不等式的解集为. 8．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项。 【详解】记，，，显然有， 在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设， 由图可知，当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是. 二、多选题 9．若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性得到，结合不等式的性质及作差法判断即可。 【详解】因为，所以，． 对于A，若，则不等式不成立； 对于B，因为，所以成立； 对于C，若，，则不等式不成立； 对于D，因为，所以，不等式成立． 10．已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义即可判断奇函数，利用分离常数及已知函数单调性结合复合函数思想即可判断B选项和C选项，利用特殊值即可验证D选项． 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B选项，由， 令，则，， 因为，所以，，，则， 所以的值域为，故B正确； 对于C选项，由选项B的分析可知， 由是在上的增函数，由复合函数的单调性可得是在上单调递增，故C正确； 对于D选项，因为若，不妨令，，则，故D错误． 11．已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象关于点中心对称 B． C．函数的单调递减区间为， D．已知数列满足，且，则 【答案】ACD 【分析】根据奇函数及偶函数的性质，利用替换思想可判断A，再由周期性判断B，利用对称的性质及周期性判断C，根据函数性质计算数列各项判断D. 【详解】由为偶函数可得， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以， 所以两式相加可得， 故函数的图象关于点中心对称，故A正确； 由，可得，故函数周期为， 所以， ，即，故B错误； 因为当时，单调递增，又为上奇函数， 所以当时，单调递增， 又由知函数图象关于轴对称， 所以函数在时单调递减，又函数周期为， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由可知，， ，，，可知，故D正确。 三、填空题 12．若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 13．已知，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】由， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为 14．放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里。 【答案】 【分析】由题意建立方程解得，得到的解析式，即可求出. 【详解】由题意可知，，即， 代入得：，故. 四、解答题 15．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，， 定义域为. ，， 的值域为. （2）定义域为. ， ， 此函数的值域为. （3），， ， 定义域为. ，. 又，. ， ，此函数的值域为. 16．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可。 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 17．已知函数（且）经过点． (1)求的值； (2)①求值；②若，求的值． (3)画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 【答案】(1)2 (2)①；②6 (3)函数图象为： 值域为，单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）直接将点代入函数解析式即可求解； （2）①先得到，再代值计算即可； ②由题设建立方程即可求解； （3）先得到，根据指数函数的图象画图即可，再根据图象求解值域及单调区间。 【详解】（1）由题意，得， 而且，则. （2）①由（1）知，， 则，即. ②由，解得. （3）由（1）知，， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 18．已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由。 【答案】(1)； (2)； (3)的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数。 【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求； （2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题； （3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶。 【详解】（1）当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. （2）由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. （3）略 19．对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． (1)若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． (2)若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． (3)若函数，求的最大值与俏值． 【答案】(1) 对，，当且仅当时等号成立， 因此，函数在上有最小值，故函数为俏函数，是的一个俏值， 对任意大于的正整数，函数在上有最小值，故都不是的俏值， 综上所述，是俏函数，且是其唯一的俏值。 (2)是俏函数，理由如下： 设，的图象可由的图象向右平移个单位得到， 因为定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 所以定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 不妨设，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，又因为的值域为，所以， 故是俏函数，是它的一个俏值。 (3)最大值为，俏值为 【分析】（1）先求的最小值并找出一个俏值证明其是俏函数，再证明该俏值的唯一性； （2）先分析函数的单调性及值域，再根据俏函数的定义证明； （3）先将转换为一个二次函数与的复合函数，可求得最大值，再结合二次函数及的单调性和对称性，分类讨论，确定俏值。 【详解】（1）略 （2）略 （3）经化简，函数， 设，则由基本不等式得当且仅当时等号成立， 对，，，则恒成立， 所以的图象关于对称， 对，且， 则， 因为，所以，，即， 因此，即， 因此在上单调递减，在上单调递增， 且代入可得，，，可大致画出图象， 因此存在，使得，此时可取最大值； 由二次函数的性质可知，在时单调递增，在时单调递减， 即越大，则越小，而，，， 而当时，且单调递增，所以单调递增， 因此对于， 当时，，所以此时在区间上没有最小值； 当时，此时有最小值，所以是的一个俏值； 当时，此时有最小值，所以不是的俏值； 当时，因，所以，所以都不是的俏值. 综上所述，的最大值为，俏值为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $