4.2.2 指数函数的图象和性质 （第2课时）（导学案）数学人教A版2019必修第一册

4.2 4.2.2第2课时　指数函数性质的应用 导学案 (1) 能熟练运用指数函数的单调性比较不同幂值的大小，掌握“同底数直接比、不同底数找中间量”的方法。 (2) 会解简单的指数不等式，能根据底数范围转化为整式不等式，含参数时能分类讨论。 (3) 能建立指数增长/衰减模型解决实际问题（如人口倍增期、森林砍伐年限），体会数学建模思想。 (4) 综合运用指数函数的单调性和值域解决复合函数的值域问题，提升逻辑推理和数学运算素养。 教学重点：利用指数函数的单调性比较幂值大小和解指数不等式，指数函数性质在实际问题中的应用（如增长/衰减模型）； 教学难点：底数不同且指数不同时的幂值比较（需灵活选择中间量），含参数的指数不等式求解（需对底数分和讨论）。 知识点　　指数型复合函数的单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 情景一：手机内存“缩水”的秘密——指数衰减的直观感知 情景描述 小明刚买了一部标注“128GB内存”的手机，使用时却发现实际可用内存只有118GB。客服解释：手机系统会占用基础内存，且随着使用时间增加，安装的APP会产生缓存文件，缓存量每月会按固定比例增长（可近似看作内存“可用空间”的衰减）。已知手机初始可用内存118GB，使用2个月后可用内存变为110GB，使用5个月后可用内存变为98GB。 小明产生疑问：如果一直不清理缓存，可用内存的减少是均匀的吗？10个月后可用内存会跌破80GB吗？我们能否通过数学方法预测可用内存的变化规律？ 设计意图 1. 贴近生活：手机内存是学生日常高频接触的场景，“内存衰减”的现象能快速引发共鸣，降低认知门槛。 2. 启发思考：通过“是否均匀减少”的疑问，引导学生发现“线性减少”与“指数衰减”的差异，自然关联指数函数“底数0<a<1时单调递减”的性质，为后续“指数衰减模型”的学习铺垫。 3. 驱动探究：“预测10个月后内存”的问题，直接指向“建立函数模型求解”的需求，激发学生运用指数函数性质解决实际问题的求知欲。 情景二：奶茶店的“会员积分”之争——指数增长的实际应用 情景描述 学校附近有两家奶茶店推出会员积分活动： · A店：首次注册送100积分，之后每月积分自动按10%的比例增长（即每月积分=上月积分×1.1）； · B店：首次注册送100积分，之后每月固定赠送20积分（即每月积分=上月积分+20）。 小红纠结该注册哪家店的会员，她计划连续使用1年（12个月），想知道1年后哪家店的积分更多。此外，她还想知道：是否存在某个月，两家店的积分会相等？如果有，是第几个月？ 设计意图 1. 生活关联性：奶茶店会员、积分兑换是学生熟悉的消费场景，“选哪家更划算”的问题具有现实决策意义，能调动学生的主动思考。 1. 对比冲突：通过“A店指数增长”与“B店线性增长”的积分规则对比，直观呈现两种增长模式的差异，让学生感受“指数增长后期增速更快”的特点，强化对“指数函数a>1时单调递增且增长迅速”性质的理解。 1. 问题分层：“1年后积分对比”可直接用单调性判断，“积分相等的月份”需转化为指数方程求解，既覆盖本节课“比较大小” “解方程”的核心知识点，又通过梯度问题引导学生逐步深入，激发探索复杂问题的兴趣。 例3比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）． 【变式】比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． 例４如图4.2-7，某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 【变式】一片森林原来的面积为,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年? 1.（20-21高一上·山东青岛·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·广东汕头·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·全国·课前预习）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 4.（23-24高一上·山东济南·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   5.（21-22高一·全国·课后作业）函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　) A． B． C． D． 6.（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 7.（23-24高一上·全国·课后作业）解不等式. 8.（多选题）（21-22高一·全国·课后作业）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 9.（多选题）（（20-21高一上·安徽淮北·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．任取，都有. B．是增函数． C．的最小值为1. D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称． 10.（多选题）（21-22高一下·安徽六安·开学考试）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．若则 D．函数的图象必过定点 1.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一上·上海青浦·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 4.（多选题）（21-22高一下·安徽六安·开学考试）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．若则 D．函数的图象必过定点 1．知识清单： (1)比较大小． (2)解不等式、方程． (3)定区间上的值域问题． (4)指数函数图象和性质的综合运用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 完成教材第118〜120页习题4.2第1〜4题、6题、10题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 4.2.2第2课时　指数函数性质的应用 导学案 (1) 能熟练运用指数函数的单调性比较不同幂值的大小，掌握“同底数直接比、不同底数找中间量”的方法。 (2) 会解简单的指数不等式，能根据底数范围转化为整式不等式，含参数时能分类讨论。 (3) 能建立指数增长/衰减模型解决实际问题（如人口倍增期、森林砍伐年限），体会数学建模思想。 (4) 综合运用指数函数的单调性和值域解决复合函数的值域问题，提升逻辑推理和数学运算素养。 教学重点：利用指数函数的单调性比较幂值大小和解指数不等式，指数函数性质在实际问题中的应用（如增长/衰减模型）； 教学难点：底数不同且指数不同时的幂值比较（需灵活选择中间量），含参数的指数不等式求解（需对底数分和讨论）。 知识点　　指数型复合函数的单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 情景一：手机内存“缩水”的秘密——指数衰减的直观感知 情景描述 小明刚买了一部标注“128GB内存”的手机，使用时却发现实际可用内存只有118GB。客服解释：手机系统会占用基础内存，且随着使用时间增加，安装的APP会产生缓存文件，缓存量每月会按固定比例增长（可近似看作内存“可用空间”的衰减）。已知手机初始可用内存118GB，使用2个月后可用内存变为110GB，使用5个月后可用内存变为98GB。 小明产生疑问：如果一直不清理缓存，可用内存的减少是均匀的吗？10个月后可用内存会跌破80GB吗？我们能否通过数学方法预测可用内存的变化规律？ 设计意图 1. 贴近生活：手机内存是学生日常高频接触的场景，“内存衰减”的现象能快速引发共鸣，降低认知门槛。 2. 启发思考：通过“是否均匀减少”的疑问，引导学生发现“线性减少”与“指数衰减”的差异，自然关联指数函数“底数0<a<1时单调递减”的性质，为后续“指数衰减模型”的学习铺垫。 3. 驱动探究：“预测10个月后内存”的问题，直接指向“建立函数模型求解”的需求，激发学生运用指数函数性质解决实际问题的求知欲。 情景二：奶茶店的“会员积分”之争——指数增长的实际应用 情景描述 学校附近有两家奶茶店推出会员积分活动： · A店：首次注册送100积分，之后每月积分自动按10%的比例增长（即每月积分=上月积分×1.1）； · B店：首次注册送100积分，之后每月固定赠送20积分（即每月积分=上月积分+20）。 小红纠结该注册哪家店的会员，她计划连续使用1年（12个月），想知道1年后哪家店的积分更多。此外，她还想知道：是否存在某个月，两家店的积分会相等？如果有，是第几个月？ 设计意图 1. 生活关联性：奶茶店会员、积分兑换是学生熟悉的消费场景，“选哪家更划算”的问题具有现实决策意义，能调动学生的主动思考。 1. 对比冲突：通过“A店指数增长”与“B店线性增长”的积分规则对比，直观呈现两种增长模式的差异，让学生感受“指数增长后期增速更快”的特点，强化对“指数函数a>1时单调递增且增长迅速”性质的理解。 1. 问题分层：“1年后积分对比”可直接用单调性判断，“积分相等的月份”需转化为指数方程求解，既覆盖本节课“比较大小” “解方程”的核心知识点，又通过梯度问题引导学生逐步深入，激发探索复杂问题的兴趣。 例3比较下列各题中两个值的大小： （1）； （2）； （3）． 分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来． 【解析】（1）和可看作函数当分别取和时所对应的两个函数值．因为底数，所以指数函数是增函数．因为，所以． （2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数． 因为，所以由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． （3）由指数函数的性质知 ， ， 所以． 【变式】比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． 【解析】(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 【感悟提升】比较幂值大小的三种类型及方法 (1)底数相同、指数不同：构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同、底数不同：分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小(或可以构造幂函数，利用幂函数单调性比较大小)． (3)底数、指数都不相同：取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． 注意：当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 典例分析 例４如图4.2-7，某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． （2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． 【解析】（１）观察图4.3-7，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． （2） 因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人． 【变式】一片森林原来的面积为,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年? 【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为,则 ,即,解得. (2)设经过年剩余面积为原来的,则 ,即,解得, 故到今年为止,已砍伐了5年. (3)设从今年开始,以后砍了年, 则年后剩余面积为.令,即 ,解得. 故今后最多还能砍伐15年. 1.（20-21高一上·山东青岛·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】∵是减函数，，所以， 又， ∴． 故选：C． 2.（23-24高一上·广东汕头·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系. 【详解】因为在R上单调递减，， 所以，故， ，故. 故选：C 3.（25-26高一上·全国·课前预习）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【知识点】指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】根据图形对称性求解． 【详解】把中的换成即可得到,故与的图象关于轴对称． 故选：A 4.（23-24高一上·山东济南·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则，所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合； 对于C和D，指数函数过定点，且递减，则，所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合. 故选：C. 5.（21-22高一·全国·课后作业）函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案． 【详解】∵函数在区间[0，2]上为单调递减函数， ∴， ∵最大值比最小值大， ∴1﹣， 解得a 故选：A． 6.（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】. 【知识点】复合函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】利用指数函数的值域可得，再利用不等式的性质即求. 【详解】∵函数， ∴函数的定义域为R，又， ∴ ∴，即， ∴函数的值域为. 故答案为：. 7.（23-24高一上·全国·课后作业）解不等式. 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】将不等式变为后，利用指数函数单调性直接求解即可. 【详解】由得：， ，解得：， 不等式的解集为. 8.（多选题）（21-22高一·全国·课后作业）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】由题意可得，结合已知条件即可求解. 【详解】由函数为减函数，得，即. 又，所以只有，满足题意. 故选：AB. 9.（多选题）（（20-21高一上·安徽淮北·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．任取，都有. B．是增函数． C．的最小值为1. D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称． 【答案】CD 【知识点】判断指数函数的单调性、指数函数图像应用、求已知指数型函数的最值、指数幂的运算 【分析】根据指数函数的性质对各选项逐一分析即可. 【详解】对于A，取时，有，故A错误； 对于B，是减函数，故B错误； 对于C，由于，且在上单调递增，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由指数函数性质可知与的图像关于轴对称，故D正确； 故选：CD 10.（多选题）（21-22高一下·安徽六安·开学考试）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．若则 D．函数的图象必过定点 【答案】BD 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，复合型函数的单调性根据同增异减来判断；C选项，要结合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确； C选项，时，由得，C错； D选项，函数中，由得，即函数图象过点，D正确． 故选：BD 1.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【解析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解 【详解】令，得函数的定义域为， ∴在上递增，在上递减， 又为减，根据同增异减的单调增区间为， 故选：D． 【点睛】本题考查了复合函数的单调区间求法，注意先求出函数的定义域，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数、求函数值 【分析】先根据奇函数的性质求出a，然后代入求解即可. 【详解】由于函数是R上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，为奇函数，满足题意， 故，故. 故选：A. 3.（23-24高一上·上海青浦·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的图象分析与判断、函数图像的识别、指数函数图像应用 【分析】根据二次函数的图象特征，结合开口方向以及的正负，即可确定与1的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意， 对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意， 对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数 不是指数函数，不符合题意， 对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意， 故选：A 4.（多选题）（21-22高一下·安徽六安·开学考试）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．若则 D．函数的图象必过定点 【答案】BD 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，复合型函数的单调性根据同增异减来判断；C选项，要结合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确； C选项，时，由得，C错； D选项，函数中，由得，即函数图象过点，D正确． 故选：BD 1．知识清单： (1)比较大小． (2)解不等式、方程． (3)定区间上的值域问题． (4)指数函数图象和性质的综合运用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 完成教材第118〜120页习题4.2第1〜4题、6题、10题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $