2026--2027学年人教版九年级数学上册阶段自测试题（第25～28章）

阶段自测试题（第25~28章） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 4．为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，这种药品平均每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．若是方程 的一个根，则的值为（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 8．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A．10 B． C． D． 11．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 12．抛物线的对称轴是_________． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 15．若实数同时满足，则的值为_____． 16．如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为_________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 19．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 21．丹东玫瑰香葡萄从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价格收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． (1)求个体户将这批葡萄存放10天后出售，可获得利润是多少元？ (2)为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完？ (3)求个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得利润是405元？ 22．如图，将绕着点E顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，和相交于点O． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为H，若，，求的面积． 23．已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点． (1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值； (2)连结，若，求的面积； (3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由． 24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B D C D C C B 题号 11 答案 C 1．B 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握两种图形的判定标准（轴对称图形需沿直线折叠重合，中心对称图形需旋转后与自身重合）是解题的关键．先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再逐一判断各选项是否满足 “沿直线折叠重合” 和 “旋转后与自身重合” 的条件，进而选出正确答案． A．既无对称轴，旋转也不与自身重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B．有对称轴，沿对称轴折叠可重合；旋转后与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．有对称轴，是轴对称图形，但旋转后不与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．既无对称轴，旋转也不与自身重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．A 一元二次方程需同时满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 解：A.符合一元二次方程的定义，符合题意； B.含两个未知数，不符合题意； C.是一元一次方程，不符合题意； D.分母含未知数，不符合题意． 3．A 解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 4．B 根据两次连续降价后的价格等量关系列方程求解即可． 解：设平均每次降价的百分率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则这种药品平均每次降价的百分率为． 5．D 本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 6．C 连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 7．D 利用方程根的定义，将所求代数式通过方程变形降次，逐步化简计算． 解：是方程的根， ，且， ，， 将等式两边同时除以m得，， 则， 原式． 8．C 设反比例函数解析式为，根据得出反比例函数解析式，从而求解点坐标，最终求得底部直径的长为倍的点横坐标． 解：根据题意可知，设反比例函数解析式为， 将代入，可得， 反比例函数解析式为． ， 当时，， ． 故答案为：C． 9．C ①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 10．B 连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得： ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．C 解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 12． 直线 已知抛物线的一般式，利用二次函数对称轴公式即可计算得到结果. 解：∵抛物线解析式中，， ∴抛物线的对称轴为直线. 13． 已知一元二次方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式非负，代入方程系数列不等式求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 即， 解得：． 14．4 如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 15．1 根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果． 解： 实数，同时满足 ， ， ， ， 解得， ，，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ． 16． 连接，过点作于点，于点，证明，得出，从而确定点在的平分线上运动，根据垂线段最短可知当时最小． 解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在和中 ， ∴ ∴， ∴点在的平分线上， ∴， 当时，的值最小，此时是等腰直角三角形， ∴， 故的最小值为． 17．(1)， (2)， （1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求，点的坐标为． （1）略 （2）略 19．(1) (2) 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． （1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 20．(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3)9 （1）根据B的坐标求出m，再求出A，将A，B坐标代入一次函数表达式求出k，b即可； （2）表示一次函数的图象在反比例函数图象上方，数形结合即可得到答案； （3）过点作直线与轴平行，交直线于点，求出E的坐标，根据即可求解． 本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据图象解不等式，及一次函数与反比例函数图象相交产生的三角形面积，掌握相关基本方法是解题关键． （1）解：∵点在的图象上， ， ∴反比例函数表达式为， ∵点在的图象上， ， ∴点的坐标为， ∵点，点在的图象上， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图知，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或； （3）解：过点作直线与轴平行，交直线于点，则点与点的纵坐标相同， 对于直线，当时，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 21．(1)160元 (2)10天 (3)45天 （1）根据利润=销售总金额天的总费用-成本列式计算即可； （2）根据销售金额天后的市场价×可售葡萄的总质量列方程求解即可； （3）根据利润=销售总金额天的总费用-成本，列出方程，求解即可． （1）解：由题意可得： 元， ∴可获得利润是160元； （2）设在x天后一次性出售完， ， 解得：，（舍）， ∴需要在10天后一次性出售完； （3）设将这批葡萄存放y天后出售， 由题意可得：， 解得：， ∴将这批葡萄存放45天后出售，可获得利润是405元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用；理解销售总金额和利润的意义，得到销售总金额和总利润的等量关系是解决本题的关键． 22．(1)证明：由旋转的性质可得， ∵，， ∴； (2)14 （1）根据旋转的性质得到，再根据平角的定义和三角形内角和定理证明即可； （2）根据旋转的性质可得，求出的面积即可得到答案． （1）略 （2）解：由旋转的性质可得， ∵，， ∴， ∴． 23．(1)1 (2)1 (3)不变， （1）设点的坐标为，先证明四边形是平行四边形，则， 因此可得的坐标为，再代入即可求解； （2）过点作轴于点，如图1，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）过点作轴于点，与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案． （1）解：设点的坐标为， ∵四边形是平行四边形 ， ， ∴四边形是平行四边形 的坐标为 ； （2）解：过点作轴于点，如图1， 轴， ， ， ， 当时，由反比例函数k的几何意义知，， ∴， 即， 而与共高， ； （3）解：不改变． 理由如下：过点作轴于点，与轴交于点，则， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ， ∴ ， 解得 异号，， ， ， ∴与同底等高 对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 （1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． （1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 学科网（北京）股份有限公司 $