第三章 一元一次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制六年级上册

2026-2027学年六年级上册数学单元自测 第三章 一元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 3．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 6．以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 8．如果是关于的一元一次方程，那么的值为________． 9．已知是一元一次方程的解，则的值是__． 10．在数轴上，点表示的数是，到点的距离是2个单位长度的点所表示的数是______． 11．某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 12.长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为____________． 13．已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 14．规定：用表示大于的最小整数，如，，等；用表示小于或者等于的最大整数，如，，等，如果整数x满足，那么为_____． 15．小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为______． 16．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是__________． 17．规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为______． 18．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要4小时；排一池水，单开乙管需要5小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则______小时后水开始溢出水池． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）解方程． (1) (2) 20．（本题6分）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 21．（本题6分）小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得出的解是，试求的值和原方程的解． 22．（本题6分）时代到了！据推测，网速可以达到10240兆/秒，比网速的100倍还要多240兆．网速是多少兆/秒？（列方程解答） 23．（本题8分）学生在课上探究方程的解法，小亮的解法如下： 解．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是__________（请写具体这一次变换方式）：该变形的依据是__________； (2)请判断小亮同学的解法是否正确，如果正确请说明理由，如果不正确请指出错误步骤（填写序号），并正确解出方程． 24．（本题8分）两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 25．（本题9分）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 26．（本题9分）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年六年级上册数学单元自测 第三章 一元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； B、方程中未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、方程是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解、代数式的概念、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程和代数式的概念．A选项含有二次项，不是一元一次方程；B选项含有等号，是方程不是代数式；C选项代入验证成立；D选项常数项不是一次式，即可作答． 【详解】解：A、方程不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有等号，是方程，不是代数式，故该选项不符合题意； C、当时，等式左边，等式右边，∵左边=右边，故是方程的解，故该选项符合题意； D、8是常数，没有未知数，则8不是一次式，故该选项不符合题意； 故选：C 3．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握等式的基本性质． 根据等式的基本性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，等式成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式成立，由此验证选项即可． 【详解】解：若，则两边同时乘以，得， 两边同时加 1，得，成立，故A正确； 若，则成立，但不一定等于，故B错误； 若，则分母为零，无意义，故C错误； 由，得（当），而非，故D错误． 故选：A． 4．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 5．若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据方程无解，可知含的系数为，常数不为，据此求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当，时，方程有无数个解， 当，时，方程无解， 当时，方程有唯一解， 故选：B． 6．以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键，先解出的解，然后对选项逐一求解，验证即可． 【详解】解：， ， ， ． A．， ， ， ， ，故不符合题意； B．， ，故不符合题意； C．， ， ， ， ，故不符合题意； D． ， ， ， ，故符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意，数的相反数为，加上的即，由此列方程即可． 【详解】解：数的相反数是，这个数的是g， 根据题意可得． 故答案为：． 8．如果是关于的一元一次方程，那么的值为________． 【答案】4 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1且系数不为0，通过解绝对值方程并验证系数即可得出m的值． 【详解】解：由于方程是关于x的一元一次方程，因此x的指数必须等于1，且系数不能为0， 解，得或，即或； 当时，系数，方程变为，不成立，故不符合； 当时，系数，指数，满足条件． 故答案为：4． 9．已知是一元一次方程的解，则的值是__． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义与解的应用，先根据一元一次方程的定义确定二次项系数为，求出的值，再结合方程的解代入等式得到与的关系，最后整体代入是解题的关键． 【详解】解：因为方程是一元一次方程， 所以二次项系数，解得； 将代入方程，得， 代入，有，即， 所以； ， 则， 所以． 故答案为：． 10．在数轴上，点表示的数是，到点的距离是2个单位长度的点所表示的数是______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，其他问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分点B在点A右侧和左侧两种情况讨论，分别求出点B表示的数． 【详解】解：设点B表示的数为， 则点B到点A的距离为． 当点B在点A右侧时，， 解得：； 当点B在点A左侧时，， 解得：． 故答案为：或． 11．某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲与乙合作3天后，又单独做了天，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可知，甲一共工作天，乙一共工作3天，最后根据甲、乙的工作总量之和为1列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12.长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为____________． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握长方形的周长公式是解题的关键． 首先表示出长方形的宽，然后根据周长为7厘米列出方程即可解答． 【详解】解：长方形的长为厘米，则它的宽厘米，根据题意得 ， 故答案为：． 13．已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 【答案】2 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，根据方程的解的定义用a表示出x是解题的关键. 将a看作已知数求出方程的解，表示出x，根据方程的解为正整数，确定出正整数a的最小值即可． 【详解】解： 方程移项合并得：， 解得：， ∵x为正整数，a为正整数，必须被9整除．余7， ∴a的最小值为2． 故答案为：2 14．规定：用表示大于的最小整数，如，，等；用表示小于或者等于的最大整数，如，，等，如果整数x满足，那么为_____． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义运算． 根据定义可知，对于整数，，，代入方程求解． 【详解】解：∵是整数，表示大于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 15．小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为______． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【详解】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 16．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是__________． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出，再将代入中计算即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”． 又关于的一元一次方程是“平安方程”， ， 将代入中，有，解得． 故答案为：． 17．规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为______． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的是一元一次方程，掌握新运算定义是解题关键．根据新运算的定义，将等式 转化为关于的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 解得， 故答案为：． 18．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要4小时；排一池水，单开乙管需要5小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则______小时后水开始溢出水池． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先计算出第一次甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水，然后再计算后面的几次，直到发现这一次结束后再加下一次中先开甲多长时间后水池内水的体积超过1即可． 【详解】解：由题意可得，甲水管1小时进水，丙水管1小时进水， 乙水管1小时排水，丁水管1小时排水， 打开甲水管1小时后池内的水为：， 打开乙水管1小时后池内的水为：， 打开丙水管1小时后池内的水为：， 打开丁水管1小时后池内的水为：， 则第二次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第三次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第四次打开甲水管1小时后池内的水为： ， 设第四次，甲打开小时，水池内的水正好满了， ， 解得， 每次需要4小时， 水开始溢出水池的时间为：（小时）， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】（1）解： ；..............................3分 （2）解： ．..............................6分 20．（本题6分）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出第二个方程的解，再将该解代入第一个方程，通过解一元一次方程即可求出m的值. 【详解】解：由方程 ..............................3分 ∵关于y的方程与方程的解相同 ∴将代入得 解得...............................6分 21．（本题6分）小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得出的解是，试求的值和原方程的解． 【答案】， 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据题意可知，是方程的解，把代入方程求出a，即可得到原来的方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意知，是方程的解， ，..............................2分 解得：， 原方程为，..............................4分 解得：， 的值为15，原方程的解为．..............................6分 22．（本题6分）时代到了！据推测，网速可以达到10240兆/秒，比网速的100倍还要多240兆．网速是多少兆/秒？（列方程解答） 【答案】100兆/秒 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设网速是x兆/秒，根据“网速可以达到10240兆/秒，比网速的100倍还要多240兆”列方程求解即可． 【详解】解：设网速是x兆/秒， ，..............................3分 ， ， ， ， 答：网速是100兆/秒．..............................6分 23．（本题8分）学生在课上探究方程的解法，小亮的解法如下： 解．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是__________（请写具体这一次变换方式）：该变形的依据是__________； (2)请判断小亮同学的解法是否正确，如果正确请说明理由，如果不正确请指出错误步骤（填写序号），并正确解出方程． 【答案】(1) 方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）；.............2分 (2)不正确，错误步骤是③，，正确解法如下： ，..............................4分 ， ， ，..............................6分 ， ．..............................8分 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、等式的性质2 【分析】本题考查的知识点是等式的基本性质、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． （1）观察原方程到①式的变化，根据等式的基本性质确定变形方式和依据； （2）按照解一元一次方程的步骤，依次分析每一步，找出错误步骤并改正即可． 【详解】（1）解：小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是方程两边同时除以，该变形的依据是等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）． 故答案为：方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）． （2）略 24．（本题8分）两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 【答案】 1吨 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设原来每桶油重吨，根据剩余油量相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来每桶油重吨， 第一桶用去吨，剩余 吨，第二桶用去吨，剩余吨，..............................2分 由题意，剩余油量相等， ∴ ，..............................4分 两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 即 ， 解得 ， 故原来两桶油各重1吨．..............................8分 25．（本题9分）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，为使m最大，应取最大的、而且是7的倍数的负数，即，进而得解． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；..............................3分 （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：；..............................6分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为．..............................9分 26．（本题9分）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8；..............................3分 （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠；..............................6分 （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等．..............................9分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年六年级上册数学单元自测 第三章 一元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 3．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 6．以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 8．如果是关于的一元一次方程，那么的值为________． 9．已知是一元一次方程的解，则的值是__． 10．在数轴上，点表示的数是，到点的距离是2个单位长度的点所表示的数是______． 11．某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 12. 长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为____________． 13．已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 14．规定：用表示大于的最小整数，如，，等；用表示小于或者等于的最大整数，如，，等，如果整数x满足，那么为_____． 15．小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为______． 16．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是__________． 17．规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为______． 18．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要4小时；排一池水，单开乙管需要5小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则______小时后水开始溢出水池． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）解方程． (1) (2) 20．（本题6分）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 21．（本题6分）小明在解关于的方程时，误将“”看作“”，得出的解是，试求的值和原方程的解． 22．（本题6分）时代到了！据推测，网速可以达到10240兆/秒，比网速的100倍还要多240兆．网速是多少兆/秒？（列方程解答） 23．（本题8分）学生在课上探究方程的解法，小亮的解法如下： 解．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是__________（请写具体这一次变换方式）：该变形的依据是__________； (2)请判断小亮同学的解法是否正确，如果正确请说明理由，如果不正确请指出错误步骤（填写序号），并正确解出方程． 24．（本题8分）两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 25．（本题9分）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 26．（本题9分）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年六年级上册数学单元自测 第三章 一元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A A B D 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7． 8. 4 9． 10． 或 11． 12． 13． 2 14． -2 15． 16． 17. -1 18. 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）【答案】(1) (2) 解：【详解】（1）解： ；..............................3分 （2）解： ．..............................6分 20．（本题6分）【答案】 【详解】解：由方程 ..............................3分 ∵关于y的方程与方程的解相同 ∴将代入得 解得...............................6分 21．（本题6分）【答案】， 【详解】解：由题意知，是方程的解， ，..............................2分 解得：， 原方程为，..............................4分 解得：， 的值为15，原方程的解为．..............................6分 22．（本题6分）【答案】100兆/秒 【详解】【详解】解：设网速是x兆/秒， ，..............................3分 ， ， ， ， 答：网速是100兆/秒．..............................6分 23．（本题8分）【答案】(1) 方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）；.............2分 (2)不正确，错误步骤是③，，正确解法如下： ， ， ， ， ， ． 【详解】1）解：小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是方程两边同时除以，该变形的依据是等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）． 故答案为：方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）．..............................2分 (2)不正确，错误步骤是③，，正确解法如下： ，..............................4分 ， ， ，..............................6分 ， ．..............................8分 24．（本题8分）【答案】1吨 解：设原来每桶油重吨， 第一桶用去吨，剩余 吨，第二桶用去吨，剩余吨，..............................2分 由题意，剩余油量相等， ∴ ，..............................4分 两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 即 ， 解得 ， 故原来两桶油各重1吨．..............................8分 25．（本题9分）【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；..............................3分 （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：；..............................6分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为．..............................9分 26．（本题9分）【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8；..............................3分 （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠；..............................6分 （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等．..............................9分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $