2026-2027学年华东师大版九年级上册数学期中测试卷（20-22章）

保密★启用前 2026-2027学年华师大版九年级上册数学期中测试卷（20-22章） 本卷满分120分，考试时间120分钟。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 评卷人 得分 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）在实数中，无理数的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题4分）在用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 5．（本题4分）下列各组线段的长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（本题4分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）当时，的化简结果是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（     ） A．或 B． C．或1 D． 9．（本题4分）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在正方形中，点E、点F分别是边的中点，连接交于点G．连接，若点O，点H分别是的中点，连接，且，则正方形的边长等于（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共24分） 11．（本题4分）方程的两个根的和为______． 12．（本题4分）如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______． 13．（本题4分）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是，则四边形面积是______． 14．（本题4分）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 15．（本题4分）如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 16．（本题4分）如图，在正方形中，点在上，，点在上，，且，则的长为______． 评卷人 得分 三、解答题（共56分） 17．（本题6分）方格纸中，的顶点坐标分别为，．以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标． 18．（本题8分）计算 (1)； (2)； (3) (4) 19．（本题6分）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 20．（本题8分）解方程 (1) (2) (3) (4) 21．（本题6分）请阅读以下材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)如图，在中，，，，平分，则的周长是________． 22．（本题6分）为在校园商贸街中赢得更大收益，小益带着组员进行了市场调研，调研发现，某文化用品商店的每个文具袋的售价比进价多8元，一个文具袋的进价与售价之和为56元，每天可售出200个，如果每个文具袋涨价1元，每天就会少卖5个． (1)该文具袋的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变，同时使得销量尽可能大的条件下，若每天销售文具袋所得的销售利润为2160元，该文具袋每个应涨价多少元？ 23．（本题8分）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则 ； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 24．（本题8分）如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长： (2)连接，求证：四边形是菱形： (3)如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年华师大版九年级上册数学期中测试卷（20-22章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B B D B D A 1．C 【分析】先化简含根号的数，再判断无理数个数． 【详解】解：，． 无理数有，，，共3个． 2．D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再对应确定，，的值． 【详解】解： ， 整理得：， 则，，． 3．B 【分析】分别计算各选项一元二次方程的根的判别式，根据判别式小于0的方程没有实数根求解即可． 【详解】解：分别计算各选项一元二次方程的根的判别式，当时，方程没有实数根． A选项：方程中，，，有实数根． B选项：方程中，，，没有实数根． C选项：方程整理为，，，有实数根． D选项：方程中，，，有实数根． 4．A 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得， ∴ 两边同时加4得， ∴ ， ∵ 方程需化为的形式， ∴ ，， ∴ ． 5．B 【分析】分别计算每组线段的平方，验证是否成立，成立则可以构成直角三角形． 【详解】解：A、 ，，，此选项不符合题意； B、 ，，，此选项符合题意； C、，，，此选项不符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 6．B 【分析】利用二次根式的运算法则及二次根式的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算正确，故本选项符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 7．D 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵， ∴，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴原式. 8．B 【分析】将代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选结果． 【详解】解：将代入，得. 整理得. 因式分解得. 解得或. ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ，即. ∴ （舍去）， ∴． 9．D 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 10．A 【分析】取的中点T，连接，证明，推出；由三角形中位线定理推出；设，则，利用勾股定理和等面积法可求出，则，，由勾股定理得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∵点E、点F分别是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点O，点H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点T，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 11．/0.5 【分析】已知一元二次方程，求两根的和，直接运用根与系数的关系计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程， 当方程有两个实根时，两根的和为， ∵方程中，，， ∴两根的和为 ． 12．12 【分析】证明，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 13． 【分析】根据位似图形的面积之比等于位似比的平方，则，据此可得答案． 【详解】解：∵以点为位似中心，作四边形的位似图形， ∴， ∵四边形的面积是， ∴四边形面积是． 14．（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 15． 【分析】根据位似比，解答即可． 【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、， 故相似比为， 故把各坐标分别乘以得得到，，． 16．20 【详解】解：作的平分线，作交于点，作交的延长线于点， ∵正方形， ∴四边形是矩形， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或， ∴的长为． 17．如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为 【详解】略 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简各项为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）分别计算系数与二次根式的乘除，再化简得到最终结果； （3）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项； （4）依次化简负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂，再合并计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4） 解： ． 19． 【分析】根据数轴判断的大小，进而即可化简求值． 【详解】解：根据数轴可知， 则，，， ∴． 20．(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）解：配方，得， 即， 开方，得， ∴，； （3）解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （4）解：因式分解，得， ∴． 21．(1)∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（）过点作，交的延长线于点，得，，，进而得到，即得，再等量代换即可求证； （）利用勾股定理得，利用（）的结论得，进而可得，，再利用勾股定理得到，最后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 22．(1)该文具袋的进价为24元，售价为32元 (2)该文具袋每个应涨价4元 【分析】（1）设一个文具袋进价为元，则一个文具袋售价为元， 根据题意，得，解方程即可． （2）设每个文具袋涨价元，则每天少卖个，实际卖个，每个文具袋获利元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设一个文具袋进价为元，则一个文具袋售价为元， 根据题意，得， 解得， 故 答：该文具袋的进价为24元，售价为32元． （2）解：设每个文具袋涨价元，则每天少卖个，实际卖个，每个文具袋获利元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 使得销量尽可能大，故舍去， 故符合题意， 答：该文具袋每个应涨价4元． 23．(1) (2) 或 (3) 的最大值为 【分析】（1）直接利用根与系数的关系计算两根之积； （2）分和两种情况，时构造一元二次方程，结合根与系数的关系化简求值； （3）根据与的表达式构造以、为根的一元二次方程，利用判别式非负列不等式求解的最大值 【详解】（1）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系得 ； （2）解：分两种情况讨论： ① 当时， ∵实数，满足，， ∴，可看作方程的两个不相等实数根， 由根与系数的关系得，， ∴； ②当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴可将，看作方程的两个实数根， ∵，为实数， ∴， 整理得， ∵， ∴， 不等式两边同时乘，得， 即， 两边开立方得， 解得， 当时，方程为，有两个相等实数根，符合题意， ∴的最大值为． 24．(1) (2)证明：如图2中， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (3)的值为或 【分析】（1）设，由矩形的性质，折叠的性质和勾股定理得出，的值，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）由矩形的性质得出，然后根据平行线分线段成比例可求出的长度，进而可求出的长度，则可证明结论； （3）分两种情况：和，分别利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质得出的长度，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，，， 由折叠的性质可知， ， ， ， ． 设，则 ， ， ， 解得 ， ； （2）略 （3）存在，理由如下： ①若， ∵四边形是菱形， ∴ ， ． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ； ②若， 过点P作交于点H， ， ． ， ， ． ， ． ∵四边形是菱形， ∴ ． ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $