专题06 反比例函数与一次函数的综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题06 反比例函数与一次函数的综合 考点01 求解析式与交点坐标及面积 考点02 利用图象求方程、不等式的解集 考点03 反比例函数k的几何意义与综合变换 考点01 求解析式与交点坐标及面积 1．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 3．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 考点02 利用图象求方程、不等式的解集 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 7．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集______． (3)点是轴上一点，若的面积是，求点的坐标． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求出该反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式：的解集． 10．“数形结合”是一种重要的数学思想．八上教材中，我们曾用函数观点看方程也就是利用一次函数的图像求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图像交点的问题． (1)方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题，请直接写出一对符合要求的和的函数表达式； (2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (3)关于的方程（为非零常数，其中）的根的情况，下列经论中正确的是（   ） A．一个实数根B．二个实数根 C．三个实数根D．无实数根 考点03 反比例函数k的几何意义与综合变换 11．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 12．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 13．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 15．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、． (1)点为对角线上一点且在反比例函数图象上，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； (2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； (3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数与一次函数的综合 考点01 求解析式与交点坐标及面积 考点02 利用图象求方程、不等式的解集 考点03 反比例函数k的几何意义与综合变换 考点01 求解析式与交点坐标及面积 1．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 3．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：当或时，； （3）解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 考点02 利用图象求方程、不等式的解集 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 7．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集______． (3)点是轴上一点，若的面积是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，再求出坐标，把点、代入一次函数解析式，列方程组求出、； （2）一次函数图象在反比例函数图象上方对应的自变量取值范围就是不等式解集； （3）先求直线与轴交点的坐标，设点的坐标为，用分割法把拆成两个三角形，将面积相加列方程，然后用绝对值求解． 【详解】（1）解：点、在反比例函数的图像上， 将代入， 可得， 则反比例函数的解析式为， 将代入， 可得， 则点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）解：已知两个函数的交点为，， 故的解集为或． （3）解：如图，设直线与轴交于点，点的坐标为， 据（1）可知直线的解析式为， 当时，， 则点的坐标为， 可得， 则， 解得，即， 可得或， 解得或， 故点的坐标为或． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求出该反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据图象找到一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 反比例函数的解析式为． 把代入，得． 把，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，故的解集为：或． 10．“数形结合”是一种重要的数学思想．八上教材中，我们曾用函数观点看方程也就是利用一次函数的图像求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图像交点的问题． (1)方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题，请直接写出一对符合要求的和的函数表达式； (2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (3)关于的方程（为非零常数，其中）的根的情况，下列经论中正确的是（   ） A．一个实数根B．二个实数根 C．三个实数根D．无实数根 【答案】(1)， (2)个 (3)A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）将方程两边同时除以得：即可； （2）将方程方程两边同时除以得：，分情况画图即可得出结论； （3）将方程方程转化为，结合图形即可得出结论； 能正确的将方程转化为两个函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵且， ∴方程两边同时除以得：， ∴，； （2）∵且， ∴方程两边同时除以得：， 令，， 画图可得： ∴由此可知：方程的解有个； （3）∵（为非零常数，其中） ∴方程两边同时除以得：， ∴， 令，， ∵为非零常数，其中 ∴，， ∴一次函数的图像是一条直线，经过一、二、四或二、三、四象限， 画图可得： 或 ∴关于的方程只有一个实数根． 故选：A． 考点03 反比例函数k的几何意义与综合变换 11．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 12．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 【答案】6 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作轴于C，轴于D， ∴轴， ∵M是AB的中点， ∴， 设，， 代入得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可求解； （2）先求得直线与轴的交点的坐标，再利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质证得，求得，同理，据此求解即可． 【详解】（1）解：①将代入中，得， ∴， 将代入中，得， 解得； ②令， 解得：，， 把代入得， ∴点，点， 由图象得，关于的不等式的解集为或； （2）解：由（1）得， 记直线交轴于点， 令，则， ∴， ∵的面积为5， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和， 根据（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 同理：， ∵线段与反比例函数的图象有交点， ∴将，分别代入中， ∴或， ∴或， ∴或， ∵交点在第三象限， ∴． 15．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、． (1)点为对角线上一点且在反比例函数图象上，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； (2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； (3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 【答案】(1) (2)存在，点的横坐标为或 (3)或 【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可； （）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解； （）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可； 【详解】（1）解：如图，过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：存在，理由： 当在下方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，连接，，， ∵，， ∴点到的距离等于点到的距离，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 当在上方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，同理①知， 同理（）得：直线的解析式为，且，， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 综上可得，点的横坐标为或； （3）解：∵， ∴，， 如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴； 当，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理可证：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得（不合，舍去）或； 综上，符合条件的的值为或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $