专题02 实数和二次根式32大题型96题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题02 实数和二次根式（32大题型96题） 基础·固本强基 题型1 求平方根、立方根 题型2 平方根的非负性（重点） 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 平方根、立方根的实际应用 题型5 无理数的大小估算 题型6 实数的相关问题 题型7 二次根式有意义的条件（重点） 题型8 求二次根式的值与参数 题型9 利用二次根式的性质化简（重点） 题型10 最简二次根式与同类二次根式（重点） 题型11 二次根式的混合运算 题型12 二次根式的化简求值（重点） 题型13 二次根式的实际应用 提升·进阶突破 题型14 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型15 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型16 与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型17 与立方根有关的规律探索题（重点） 题型18 无理数整数部分的有关计算 题型19 实数的综合问题 题型20 复合二次根式的化简（重点） 题型21 分母有理化（重点） 题型22 二次根式的化简求值综合（重点） 题型23 二次根式综合应用（重点） 题型24 实数的混合运算 题型25 新定义下的实数运算（重点） 题型26 与实数运算相关的规律题（重点） 拔高·压轴破难 题型27 实数的规律探索（难点） 题型28 二次根式的性质化简压轴（难点） 题型29 分母有理化压轴（难点） 题型30 二次根式的大小比较压轴（难点） 题型31 二次根式与图形结合（难点） 题型32 二次根式的新定义压轴（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求平方根、立方根（共3小题） 【易错】平方根有正负两个，算术平方根只取非负；立方根符号和原数一致。常把平方根只写正数；混淆和a的平方根；负数没有平方根，但负数有立方根，概念易混淆。 1．（26-27八年级上·广东深圳·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得或， 解得或； （2）解：， 移项，得，     开立方，得， 移项计算，， 解得． 2．（26-27八年级上·河南新乡·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数来解答即可； （2）求出代数式的值，再计算立方根即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ， ． （2）解：当，时， ， 的立方根为． 3．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为________ 【答案】 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 题型2 平方根的非负性（共3小题） 4．（25-26七年级下·吉林·期中）已知，试求的值． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）若，则_____________． 【答案】 【分析】利用非负数的性质解题，几个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出、、的值，再计算三者的和即可． 【详解】解∵，，，且， ∴，，， 解得，，， ∴． 6．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 题型3 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 【易错】找相邻完全平方数夹逼，只估算被开方数。估算时平方算错；扩大缩小方向搞反；区分和a；容易把估算成 2，忽略是 2 点几，混淆被开方数与根式值。 7．（2023·山东日照·模拟预测）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法，找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 因此的值在和之间． 8．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 9．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 题型4 平方根、立方根的实际应用（共3小题） 【易错】实际问题一般取算术平方根，舍去负根。求出平方根不取舍，保留负值；单位不统一；审题分不清边长、面积的关系，列算式时平方、开平方颠倒。 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为. (2) 解：不能裁出想要的正方形纸片，理由如下： ∵原长方形纸片的宽为， ∴用这张纸片裁出一个正方形纸片，则面积的最大值为， ∵， ∴小明不能够裁出想要的正方形纸片． 【分析】（1）根据长宽比设未知数，列方程求解得到长和宽； （2）通过比较面积大小判断能否裁出． 【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，宽为，其中 由题意得： 整理得，即 因为长度为正，所以舍去负值，得 因此长为，宽为； （2）略 11．（25-26七年级下·河北保定·期末）图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设小正方形的边长的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：设小正方形的边长的长度为m， 裁剪得到的直角三角形直角边长为2和1，拼成的大正方形面积为， ，即, 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小正方形的边长的长度为． 12．（26-27八年级上·河南驻马店·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个小正方体的体积，再根据正方体棱长等于体积的立方根计算棱长． 【详解】解：∵二阶魔方总体积为，一共包含个小正方体． ∴每个小正方体体积 设小正方体棱长为，则 每个小正方体的棱长为． 题型5 无理数的大小估算（共3小题） 【易错】夹逼法确定范围，可同时平方比较正数。估算时计算完全平方出错；负数比较大小忘记反转不等号；直接凭感觉判断，没有平方或者立方转化，估算区间偏大。 13．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】先根据无理数的估算可得，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知，点所表示的数与最接近． 14．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）若，则的最大整数解为__________． 【答案】 【分析】先估算的大小范围，再根据找出最大整数即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴的最大整数解为． 15．（26-27八年级上·广东梅州·期中）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式，例如：，则的整数部分为 ___________， 小数部分为 ___________ ． 【答案】 / 【分析】找到和相邻的两个完全平方数，估算出的取值范围，即可确定整数部分，原数减去整数部分得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为， 小数部分为． 题型6 实数的相关问题（共3小题） 【易错】区分有理数、无理数，无理数是无限不循环小数。误把带根号的都当成无理数，如；混淆有限小数、无限循环小数；π 类常数识别出错，看形式不看化简结果。 16．（26-27八年级上·河南周口·期中）下列关于的叙述，错误的是（     ） A．是12的算术平方根 B．是实数 C．在数轴上可以找到表示的点 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义可判断A，根据实数的定义可判断B，根据数轴与实数的对应关系可判断C，根据有理数与无理数的定义可判断D． 【详解】解：A、是12的算术平方根，原说法正确，不符合题意； B、是实数，原说法正确，不符合题意； C、在数轴上可以找到表示的点，原说法正确，不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无理数，原说法错误，符合题意． 17．（26-27八年级上·福建漳州·期中）下列说法正确的是（     ） A．的相反数是 B．的相反数是 C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义、绝对值的意义、立方根的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、的相反数是，错误； B、的相反数是，错误； C、∵，∴，∴，错误； D、∵，∴，正确． 18．（25-26七年级下·吉林·期中）数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为，且， ∴， ∵点C在数轴正半轴上，到原点的距离等于的长度， ∴点C表示的数为. 题型7 二次根式有意义的条件（共3小题） 【易错】被开方数≥0，分母含根式还要分母≠0。只写大于 0，漏掉等于 0；多个根式时所有被开方数都要≥0；分式加根式复合题型，漏掉分母不为 0 条件。 19．（26-27八年级上·四川成都·期中）如果，那么________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，可求出的值，再代入求出，最后计算即可． 【详解】解：二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∵ ，且 ， ∴ 且 ， ∴ ， 把代入原式得 ， ∴ ． 20．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）已知、都是实数且满足，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式组求出的值，再代入求出，计算得到的值即可． 【详解】解：满足， ∴， 解①得；解②得， ∴， 当时，， ∴． 21．（26-27八年级上·吉林长春·期中）使代数式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴． 题型8 求二次根式的值与参数（共3小题） 【易错】代入前保证被开方数非负，负数不能直接开平方。代值不加括号；参数求解后不检验；忽略隐藏限制条件，算出参数后，导致根式无意义，不做舍去。 22．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为________． 【答案】 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 23．（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知是一个正整数，是整数，则的最小值为（     ） A．7 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据是整数，可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∵是正整数， ∴的最小值为． 24．（25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 题型9 利用二次根式的性质化简（共3小题） 25．（26-27九年级上·四川遂宁·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 26．（26-27八年级上·山西太原·期中）根据以下表格中的数据： 可求出（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． ， ． 故选：A． 27．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，结合绝对值的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得． 题型10 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 【易错】最简根式要求被开方数不含分母、不含开得尽方因数；同类根式要先化简再判断。不化简直接判定；被开方数有分数不处理；合并同类根式错合并根号内部分。 28．（26-27九年级上·山西临汾·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，判断解答即可． 【详解】解：，，被开方数均含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 的被开方数含分母，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 29．（25-26八年级下·河南许昌·期末）若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 30．（26-27八年级上·甘肃白银·期中）若能与最简二次根式合并同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】先化简，根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，列出等式求解即可． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，且，二者为同类二次根式， 被开方数相等，即， 解得． 题型11 二次根式的混合运算（共3小题） 【易错】运算顺序同整式，乘法公式照常使用，结果化为最简二次根式。加减直接合并根号内数字；去括号符号出错；乘除运算未先化简，计算后忘记分母有理化。 31．（26-27八年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，再运用二次根式的除法运算法则，然后合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、二次根式的乘法运算进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 33．（25-26八年级下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型12 二次根式的化简求值（共3小题） 34．（225-26八年级下·河南洛阳·期中）已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 35．（225-26八年级上·福建泉州·期中）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 36．（225-26八年级上·四川内江·期中）已知，那么____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 题型13 二次根式的实际应用（共3小题） 37．（26-27八年级上·河南郑州·期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入，化简二次根式得到结果． 【详解】解：将代入，得， 即鸡蛋落到地面所用的时间是． 38．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积求出边长，确定长方形的长和宽，利用面积的和差关系求解即可． 【详解】解： 两个正方形的面积分别为 和， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积和为． 39．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为_______． 【答案】 【详解】解：，，， ， ． 提升·进阶突破 题型14 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 40．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）已知，则________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 且 ，，， ，，， ． 41．（25-26八年级上·全国·期中）已知实数，，满足，请完成下列解答： (1)求，，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据绝对值、平方、算术平方根的非负性和非负数的性质即可求解； （2）先化简多项式，再将，，的值代入化简后的式子计算求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，． （2）解： 将，，代入得 42．（26-27八年级上·四川·期中）已知满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性可得，进而得到，所以可化简为，即可求出． 【详解】解：， 根据算术平方根的非负性，， ， ， ， ． 可化简为， ， ， ． 题型15 求算术平方根的整数部分和小数部分（共3小题） 43．（25-26七年级下·河南焦作·期末）的算术平方根为，的整数部分为，则的立方根为__________． 【答案】2 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值．再估算无理数得到的值．最后计算的立方根即可． 【详解】解：，的算术平方根为． ． ，即． 的整数部分． ． 的立方根为． 的立方根为． 44．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）先判断及，进而可求解； （2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解； （3）设，根据正方形的面积为 ，由，，当较小时，省略，得 ，进而可求解； 【详解】（1）解：①， ， 整数部分的值为； ②， ， 整数部分的值为． （2）∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． （3）∵面积为的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ∵， ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． 45．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， ∴的整数部分为2，小数部分为 请回答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)6； (2)2 【分析】（1）根据题目的例子求解即可； （2）根据题目的例子求出的小数部分和的整数部分，进而可得a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为6，小数部分为； （2）解：，， ∴，， ∴的小数部分为，的整数部分为9， ∴， ∴ ． 题型16 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 46．（26-27八年级上·河南周口·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 【答案】(1)规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 （2）根据（1）中的发现的规律， 47．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 48．（26-27八年级上·广东梅州·期中）按要求解答 (1)填表： 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 100 … (2)规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位； ②当时，若正数越大，则 ． (3)尝试运用：已知， ，求的值． 【答案】(1) 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 10 100 … (2)①两，左（或右），一；②越大 (3) 【分析】（1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； 【详解】（1）解：； 填表略； （2）解：①由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； ②由表格可知，当时，若正数越大，则越大． （3）解：， ， ． 题型17 与立方根有关的规律探索题（共3小题） 49．（26-27八年级上·河南驻马店·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)0 (3)0 【分析】（1）观察题干的过程，即可作答； （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答； （3）根据（2）的结论得出，解方程求出x，再求出立方根． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④． ∴写出一个类似的等式为：（答案不唯一）； （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； （3）解：与的值互为相反数， ， 解得：， 的立方根是0． 50．（26-27八年级上·河南平顶山·期中）观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 51．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 题型18 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 52．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． (1)求和正数的值； (2)若的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，再代入计算的值； （2）先由立方根的定义求，再估算的范围得到整数部分，最后计算的算术平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 53．（26-27八年级上·河南鹤壁·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 54．（26-27八年级上·福建泉州·期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 题型19 实数的综合问题（共3小题） 55．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)π (2)，理由如下： 因为， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆的周长为π个单位长度， ∴点对应的数是π． （2）略 56．（26-27八年级上·河南开封·期中）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给方法比较大小即可； （2）根据题干所给方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)方案二省料，选择方案二． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）由“比差法”计算与的差，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小即可； （3）利用“比差法”进行计算即可； （4）用代数式表示方案一、方案二的用料面积，再根据“比差法”进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ， ， ， 即； （4）解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，则方案一用料的面积为，方案二用料的面积为， ， 而型钢板的面积比型钢板大，即，也就是， ∴， ∴方案二省料，选择方案二． 题型20 复合二次根式的化简（共3小题） 58．（26-27八年级上·山东青岛·期中）因为，所以的算术平方根是，则的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将表达式配成完全平方形式求解． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 59．（24-25九年级下·福建福州·期中）数学上有一种根号内又带根号的数，它们能够通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．依据上面的方法，化简的结果是_________． 【答案】 / 【分析】将根号内的式子变形整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解： ． 60．（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读材料： 小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如． 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中均为正整数）， 则有， 故． 这样小明就找到了把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，则_____，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：； (3)若，且均为正整数，求a的值； (4)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1)， (2)31，12，2，3（答案不唯一） (3)a的值为13或7 (4) 【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可； （2）设，，根据，，即可求解； （3）根据完全平方公式求出，，则，根据为正整数得出或，再求出a即可． （4）由条件可得，再根据题干所给方法，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， 设，，则，， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∴， ∵均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为13或7． （4）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∵均为正整数， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， ∴． 题型21 分母有理化（共3小题） 61．（26-27九年级上·上海·自主招生）已知，其中为整数，，则_____． 【答案】 【分析】先对原式分母有理化，再估算原式的取值范围，结合的条件确定整数的值． 【详解】解：， 设，则： ， ， ，即，可得， 又，， ，可得， ， 根据题意，为整数，，变形得： ，其中，即，符合条件，， ． 62．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数a、c满足，则________． 【答案】 【分析】将原式变形配方，利用平方和二次根式的非负性求出和的值，再代入计算目标式． 【详解】解：∵， ∴对等式变形整理得 ， ∵（二次根式有意义时，）， ∴上式可化为 ， ∵平方数和二次根式均为非负数，两个非负数的和为， ∴， ∴， 解得，， ∴， 代入得 ． 63．（25-26九年级上·山西·期中）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】（1）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （2）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （3）根据（2）的规律对每一项进行裂项，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 ． 题型22 二次根式的化简求值综合（共3小题） 64．（25-26八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可求出； （2）对和进行求和，通过化简平方即可求出． 【详解】（1）解：已知， ， ． （2）解：据（1）可知，， 则， 可得，即， 解得． 65．（25-26八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 【答案】(1) (2)①；，2025 【分析】（1）先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可； （2）①由题意易得，则，然后可得，进而代入求解即可； ②由①及根据整体思想可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①； ② ； ． 66．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 题型23 二次根式综合应用（共3小题） 67．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，把一块长方形场地按图中方式划分，长方形被分为四块：、、、6． (1)求长方形场地的长（水平边）和宽（竖直边）（用含 x 的代数式表示）； (2)若，求长方形场地的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)长：，宽：； (2) 【详解】（1）解：长，宽； （2）解：面积为． 68．（26-27八年级上·广东梅州·期中）如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长是 ； (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个不拼接的长方形，能否使裁出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)不能裁出长、宽之比为，且面积为的长方形纸片 【分析】（1）由题意可得大正方形的面积为，即可得大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为，则，可得，再计算长方形的长，可得，即可判断． 【详解】（1）解：∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． （2）解：不能裁出长、宽之比为，且面积为的长方形纸片，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴不能裁出长、宽之比为，且面积为的长方形纸片． 69．（26-27八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果精确到） (2)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的小玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：该玩具在坠落地面时所带能量会伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 在中，当时，，解得， 把，，代入得， ∵， ∴该玩具在坠落地面时所带能量会伤害到楼下无防护的行人． 【分析】（1）把代入中计算即可； （2）把代入中求出h的值，进而求出E的值，再与65比较即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间； （2）略 题型24 实数的混合运算（共3小题） 70．（26-27八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 71．（24-25八年级上·上海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质，立方根，算术平方根，有理数的加减运算，解答即可． （2）根据二次根式的性质，立方根，算术平方根，绝对值的化简，二次根式的加减运算，解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 72．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 题型25 新定义下的实数运算（共3小题） 73．（26-27八年级上·河南郑州·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是_____； (2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，已知，且，求值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“衍生数对”的定义求解即可； （2）根据“衍生数对”的定义可得，据此可得答案； （3）根据“衍生数对”的定义可得，，据此求出m、n的值，则可求出b的值． 【详解】（1）解：由题意得，数对的“衍生数对”是，即； （2）解：∵数对的“衍生数对”是， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵数对的“衍生数对”是，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 74．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）新考向  我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（     ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】A 【详解】解：． ∵ ，为有理数，是最简二次根式， ∴ 该数是型无理数． 75．（26-27八年级上·吉林长春·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)若，则满足题意的的所有整数值为______； (3)如图，数轴上表示和的对应点分别为点，，点是的中点，点为原点，设点表示的数为，试求的值． 【答案】(1)； (2)，，，， (3) 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的正整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴根据根整数的定义得；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴满足题意的的所有整数值为，，，，； （3）解：根据题意得 ， ∴， ∴ ， ∴． 题型26 与实数运算相关的规律题（共3小题） 76．（26-27八年级上·辽宁锦州·期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 【答案】 【分析】根据题目给定的操作规则，逐步对进行操作，直到得到结果，统计操作次数即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，对任意正整数，每次操作得到，其中表示不大于的最大整数，逐步操作如下： 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 操作次后得到，因此操作次数为． 77．（26-27八年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 【答案】 89 【分析】（1）根据题意可得规律（n为大于等于2的正整数），据此可得答案； （2）根据（1）的规律可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于等于2的正整数） ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 78．（26-27九年级上·河南新乡·期中）观察下列等式：；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为________． 【答案】 【分析】通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式，即可得解． 【详解】解：； ②； ③． 根据题中等式的规律可得：， ∴． 拔高·压轴破难 题型27 实数的规律探索（共3小题） 79．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【答案】 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 80．（25-26七年级下·安徽六安·期中）设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 81．（24-25九年级上·福建莆田·期中）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 题型28 二次根式的性质化简压轴（共3小题） 82．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第2026个等式是__________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)第个等式为： 证明：左边 ∴左边=右边 成立 【分析】（1）根据前4个等式的规律可得第2026个等式； （2）由（1）的规律可得第个等式为，再证明左边=右边即可． 【详解】（1）解：因为第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 故可得第2026个等式为； （2）略 83．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 84．（25-26八年级下·山东烟台·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)【猜想】=______，并验证； (2)【推理证明】分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确； (3)【创新应用】按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据题意及（2）中发现的规律得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， （n为大于等于2的整数）； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 题型29 分母有理化压轴（共3小题） 85．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知为实数，则的最大值为 _____ ． 【答案】 【分析】先换元令，由为实数得，将原式转化为关于的函数，通过分子有理化判断式子的变化情况，即可得到最大值． 【详解】解：令， ∵是实数， ∴， ∴ 当时，和都随的增大而增大， ∴整个式子随的增大而减小， ∴当时，原式取得最大值， 将代入得，最大值为 86．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可； （2）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可． 【详解】（1） ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ． 87．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，求的值为 ____． 【答案】 【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，， ∴ ． 题型30 二次根式的大小比较压轴（共3小题） 88．（26-27八年级上·辽宁锦州·期中）已知，，，比较x、y的大小________． 【答案】 【分析】对，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，利用正数的倒数越大原数越小的规律比较大小. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ 正数中，倒数越大，原数越小， ∴ . 89．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 90．（25-26八年级下·广西钦州·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决下列问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小： 填写“”，“”或“”)； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 题型31 二次根式与图形结合（共3小题） 91．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 92．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 93．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．根据上述材料，解答下列问题： (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，并说明理由； (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为、，求出第三条边长． 【答案】(1) 此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵ ， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； (2)第三边的长为2或或． 【分析】（1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设第三边为x， ∵是奇异三角形， ∴或或， 解得或（舍去）；或（舍去）；或（舍去）； 三边为：2、、，其中，能组成三角形； 、、，其中，能组成三角形； 、、，其中，能组成三角形； 综上所述，第三边的长为2或或． 题型32 二次根式的新定义压轴（共3小题） 94．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算，规定：（其中x、y为任意实数，a、b均为非零常数），例如．若，，则下列结论：①，；②若，则；③若，则满足要求的正整数x与y的值仅有1组；④若，其中，则y的最大值为．所有正确结论的序号为________． 【答案】①②④ 【分析】先根据已知条件列二元一次方程组求出和的值，判断①，再依次根据新运算规则，对②③④分别化简判断，得到正确结论． 【详解】解：由得，即， 由得，即， 解方程组得，故①正确； ∴ 若，则，整理得，故②正确． 若，则，整理得， 要求均为正整数，则，且， ∴， ∴不存在满足条件的正整数，故③错误． ， ， 若， 则， 解得， 因此的最大值为，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号为①②④． 95．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得的值，得出，再代入代数式求解即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 96．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数和二次根式（32大题型96题） 基础·固本强基 题型1 求平方根、立方根 题型2 平方根的非负性（重点） 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 平方根、立方根的实际应用 题型5 无理数的大小估算 题型6 实数的相关问题 题型7 二次根式有意义的条件（重点） 题型8 求二次根式的值与参数 题型9 利用二次根式的性质化简（重点） 题型10 最简二次根式与同类二次根式（重点） 题型11 二次根式的混合运算 题型12 二次根式的化简求值（重点） 题型13 二次根式的实际应用 提升·进阶突破 题型14 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型15 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型16 与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型17 与立方根有关的规律探索题（重点） 题型18 无理数整数部分的有关计算 题型19 实数的综合问题 题型20 复合二次根式的化简（重点） 题型21 分母有理化（重点） 题型22 二次根式的化简求值综合（重点） 题型23 二次根式综合应用（重点） 题型24 实数的混合运算 题型25 新定义下的实数运算（重点） 题型26 与实数运算相关的规律题（重点） 拔高·压轴破难 题型27 实数的规律探索（难点） 题型28 二次根式的性质化简压轴（难点） 题型29 分母有理化压轴（难点） 题型30 二次根式的大小比较压轴（难点） 题型31 二次根式与图形结合（难点） 题型32 二次根式的新定义压轴（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求平方根、立方根（共3小题） 【易错】平方根有正负两个，算术平方根只取非负；立方根符号和原数一致。常把平方根只写正数；混淆和a的平方根；负数没有平方根，但负数有立方根，概念易混淆。 1．（26-27八年级上·广东深圳·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 2．（26-27八年级上·河南新乡·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的立方根． 3．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为________ 题型2 平方根的非负性（共3小题） 4．（25-26七年级下·吉林·期中）已知，试求的值． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）若，则_____________． 6．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 题型3 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 【易错】找相邻完全平方数夹逼，只估算被开方数。估算时平方算错；扩大缩小方向搞反；区分和a；容易把估算成 2，忽略是 2 点几，混淆被开方数与根式值。 7．（2023·山东日照·模拟预测）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 8．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 9．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型4 平方根、立方根的实际应用（共3小题） 【易错】实际问题一般取算术平方根，舍去负根。求出平方根不取舍，保留负值；单位不统一；审题分不清边长、面积的关系，列算式时平方、开平方颠倒。 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 11．（25-26七年级下·河北保定·期末）图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 12．（26-27八年级上·河南驻马店·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 题型5 无理数的大小估算（共3小题） 【易错】夹逼法确定范围，可同时平方比较正数。估算时计算完全平方出错；负数比较大小忘记反转不等号；直接凭感觉判断，没有平方或者立方转化，估算区间偏大。 13．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 14．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）若，则的最大整数解为__________． 15．（26-27八年级上·广东梅州·期中）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式，例如：，则的整数部分为 ___________， 小数部分为 ___________ ． 题型6 实数的相关问题（共3小题） 【易错】区分有理数、无理数，无理数是无限不循环小数。误把带根号的都当成无理数，如；混淆有限小数、无限循环小数；π 类常数识别出错，看形式不看化简结果。 16．（26-27八年级上·河南周口·期中）下列关于的叙述，错误的是（     ） A．是12的算术平方根 B．是实数 C．在数轴上可以找到表示的点 D．是有理数 17．（26-27八年级上·福建漳州·期中）下列说法正确的是（     ） A．的相反数是 B．的相反数是 C． D． 18．（25-26七年级下·吉林·期中）数轴的正半轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为1和，点C到原点O的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数为（     ） A．1 B． C． D．或 题型7 二次根式有意义的条件（共3小题） 【易错】被开方数≥0，分母含根式还要分母≠0。只写大于 0，漏掉等于 0；多个根式时所有被开方数都要≥0；分式加根式复合题型，漏掉分母不为 0 条件。 19．（26-27八年级上·四川成都·期中）如果，那么________． 20．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）已知、都是实数且满足，则的值为________． 21．（26-27八年级上·吉林长春·期中）使代数式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 求二次根式的值与参数（共3小题） 【易错】代入前保证被开方数非负，负数不能直接开平方。代值不加括号；参数求解后不检验；忽略隐藏限制条件，算出参数后，导致根式无意义，不做舍去。 22．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为________． 23．（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知是一个正整数，是整数，则的最小值为（     ） A．7 B．4 C．2 D．1 24．（25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 题型9 利用二次根式的性质化简（共3小题） 25．（26-27九年级上·四川遂宁·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________． 26．（26-27八年级上·山西太原·期中）根据以下表格中的数据： 可求出（     ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型10 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 【易错】最简根式要求被开方数不含分母、不含开得尽方因数；同类根式要先化简再判断。不化简直接判定；被开方数有分数不处理；合并同类根式错合并根号内部分。 28．（26-27九年级上·山西临汾·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·河南许昌·期末）若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 30．（26-27八年级上·甘肃白银·期中）若能与最简二次根式合并同类二次根式，则x的值为______． 题型11 二次根式的混合运算（共3小题） 【易错】运算顺序同整式，乘法公式照常使用，结果化为最简二次根式。加减直接合并根号内数字；去括号符号出错；乘除运算未先化简，计算后忘记分母有理化。 31．（26-27八年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 32．（26-27八年级上·湖南·期中）计算： (1)； (2)． 33．（25-26八年级下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)． 题型12 二次根式的化简求值（共3小题） 34．（225-26八年级下·河南洛阳·期中）已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 35．（225-26八年级上·福建泉州·期中）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 36．（225-26八年级上·四川内江·期中）已知，那么____________． 题型13 二次根式的实际应用（共3小题） 37．（26-27八年级上·河南郑州·期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是（     ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 39．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c，，，，则的面积为_______． 提升·进阶突破 题型14 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 40．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）已知，则________． 41．（25-26八年级上·全国·期中）已知实数，，满足，请完成下列解答： (1)求，，的值； (2)求代数式的值． 42．（26-27八年级上·四川·期中）已知满足，则的值为______． 题型15 求算术平方根的整数部分和小数部分（共3小题） 43．（25-26七年级下·河南焦作·期末）的算术平方根为，的整数部分为，则的立方根为__________． 44．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 45．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， ∴的整数部分为2，小数部分为 请回答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 题型16 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 46．（26-27八年级上·河南周口·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 47．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，，，则______（用、、来表示）． 48．（26-27八年级上·广东梅州·期中）按要求解答 (1)填表： 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 100 … (2)规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位； ②当时，若正数越大，则 ． (3)尝试运用：已知， ，求的值． 题型17 与立方根有关的规律探索题（共3小题） 49．（26-27八年级上·河南驻马店·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 50．（26-27八年级上·河南平顶山·期中）观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 51．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 题型18 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 52．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． (1)求和正数的值； (2)若的整数部分为，求的算术平方根． 53．（26-27八年级上·河南鹤壁·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 54．（26-27八年级上·福建泉州·期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 题型19 实数的综合问题（共3小题） 55．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 56．（26-27八年级上·河南开封·期中）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 57．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 题型20 复合二次根式的化简（共3小题） 58．（26-27八年级上·山东青岛·期中）因为，所以的算术平方根是，则的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 59．（24-25九年级下·福建福州·期中）数学上有一种根号内又带根号的数，它们能够通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．依据上面的方法，化简的结果是_________． 60．（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读材料： 小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如． 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中均为正整数）， 则有， 故． 这样小明就找到了把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，则_____，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：； (3)若，且均为正整数，求a的值； (4)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 题型21 分母有理化（共3小题） 61．（26-27九年级上·上海·自主招生）已知，其中为整数，，则_____． 62．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数a、c满足，则________． 63．（25-26九年级上·山西·期中）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 题型22 二次根式的化简求值综合（共3小题） 64．（25-26八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 65．（25-26八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 66．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 题型23 二次根式综合应用（共3小题） 67．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，把一块长方形场地按图中方式划分，长方形被分为四块：、、、6． (1)求长方形场地的长（水平边）和宽（竖直边）（用含 x 的代数式表示）； (2)若，求长方形场地的面积（结果保留根号）． 68．（26-27八年级上·广东梅州·期中）如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长是 ； (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个不拼接的长方形，能否使裁出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？（参考数据：，，） 69．（26-27八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果精确到） (2)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的小玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 题型24 实数的混合运算（共3小题） 70．（26-27八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 71．（24-25八年级上·上海·期中）计算： (1) (2) 72．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 题型25 新定义下的实数运算（共3小题） 73．（26-27八年级上·河南郑州·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是_____； (2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，已知，且，求值． 74．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）新考向  我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（     ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 75．（26-27八年级上·吉林长春·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)若，则满足题意的的所有整数值为______； (3)如图，数轴上表示和的对应点分别为点，，点是的中点，点为原点，设点表示的数为，试求的值． 题型26 与实数运算相关的规律题（共3小题） 76．（26-27八年级上·辽宁锦州·期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 77．（26-27八年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 78．（26-27九年级上·河南新乡·期中）观察下列等式：；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为________． 拔高·压轴破难 题型27 实数的规律探索（共3小题） 79．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 80．（25-26七年级下·安徽六安·期中）设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 81．（24-25九年级上·福建莆田·期中）设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型28 二次根式的性质化简压轴（共3小题） 82．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第2026个等式是__________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性． 83．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 84．（25-26八年级下·山东烟台·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)【猜想】=______，并验证； (2)【推理证明】分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确； (3)【创新应用】按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 题型29 分母有理化压轴（共3小题） 85．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知为实数，则的最大值为 _____ ． 86．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 87．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，求的值为 ____． 题型30 二次根式的大小比较压轴（共3小题） 88．（26-27八年级上·辽宁锦州·期中）已知，，，比较x、y的大小________． 89．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 90．（25-26八年级下·广西钦州·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决下列问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小： 填写“”，“”或“”)； (3)计算：． 题型31 二次根式与图形结合（共3小题） 91．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 92．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 93．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．根据上述材料，解答下列问题： (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，并说明理由； (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为、，求出第三条边长． 题型32 二次根式的新定义压轴（共3小题） 94．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算，规定：（其中x、y为任意实数，a、b均为非零常数），例如．若，，则下列结论：①，；②若，则；③若，则满足要求的正整数x与y的值仅有1组；④若，其中，则y的最大值为．所有正确结论的序号为________． 95．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 96．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $