专题04 全等三角形的经典模型14大题型56题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题04 全等三角形的经典模型（14大题型56题） 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型 题型4 倍长中线模型（重点） 题型5 截长补短模型（重点） 题型6 一线三等角（内k、外k）（重点） 题型7 手拉手模型（重点） 题型8 半角模型（重点） 题型9 对角互补模型（重点） 题型10 角平分线模型（重点） 题型11 动点型全等模型 题型12 全等模型综合（难点） 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（难点） 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型（共3小题） 【模型】两三角形共用一条边或一个角；相交产生对顶角模型。挖掘图中隐藏等量，搭配已知条件，用 SSS、SAS、AAS、ASA 证明全等。 【步骤】先观察图形找出公共边、公共角或对顶角，标注等量，结合题目已知条件，匹配判定定理，规范书写全等证明过程。 【易错】漏看图形隐含条件；书写时不写公共边 / 角依据；找错对应顶点，造成边角不匹配，导致全等证明错误。 1．（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图，、相交于点，且．求证：． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知，，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型2 平移模型（共3小题） 【模型】平移模型：一个三角形沿直线平移得到另一三角形，对应边平行且相等，对应角相等，常利用平行线推出内错角相等，构造全等条件。 【步骤】观察平移前后图形，找出对应边、对应角，借助平行线得到等角，结合已知条件，选用 SAS 或 ASA 证明三角形全等。 【易错】误把非对应边角匹配；忽略平行线才能推导内错角；证明全等时顶点对应关系写错，导致结论出错。 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有______（填序号）． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 题型3 翻折模型（共3小题） 【模型】翻折模型是三角形沿直线对折重合，翻折前后两三角形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴，常出现等线段、等角、垂直关系。 【步骤】看清翻折前后对应部分，标出相等边角，利用全等得到等量关系，结合内角和、勾股定理，列式求解角度或线段长度。 【易错】找错翻折后的对应边角；忽略翻折产生的隐藏相等线段；计算角度时，容易漏算重叠部分角度。 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，平分，，试判断和、之间的数量关系． 【操作与发现】小明发现，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决如图 根据小明的发现，写出和、之间的数量关系并证明这个结论. 8．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则__________． 9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【例题再现】 滨滨同学通过学习等腰三角形的相关知识，独立完成了一道教材中的数学问题，并写出了部分证明过程． 如图①，是的中线，且，求证：． 证明：∵是的中线，∴， ∵，∴，∴，______．（依据） 在中，， ∴，即：． （1）请补全滨滨同学的证明过程和推理依据； ______，依据：______； 【思维迁移】 （2）如图②，在中，，D是上的一点，且．求证：； 【拓展运用】 （3）通过推理不难发现，在中，，当D是的中点时，； 请利用上述结论，完成下面的证明题． 如图③，在中，，D是的中点，将沿直线翻折，得到，，，连接，当时，求的长． 题型4 倍长中线模型（共3小题） 【模型】倍长中线模型，延长三角形中线至一倍长度，连接端点构造 SAS 全等，把分散的线段、角转移，集中到同一个三角形内求解。 【步骤】延长中线使延长段等于原中线，标记相等线段，证明三角形全等，转化边角条件，再结合三角形性质计算或证明结论。 【易错】未写延长辅助线规范表述；盲目套用模型；全等时找错对应边角，线段转化时忽略三边关系检验。 10．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，中线的长为偶数，则=______． 11．（26-27八年级上·吉林·期中）如图 ，在中，为 边上的中线，延长 到点，使；连接，． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 12．（26-27七年级上·山东淄博·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ； (2)求得的取值范围是 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 (3)如图2，在四边形中，，的平分线交于E，连接，且平分，猜想： ①的度数； ②，，的数量关系，说明理由． 题型5 截长补短模型（共3小题） 【模型】截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段构造等长，借助全等转化线段。 【步骤】观察求证的线段和差关系，选择截长或补短作辅助线，构造全等三角形，通过边角等量代换完成证明。 【易错】辅助线作法描述不规范；选错截 / 补短方式；不会利用全等转移线段，混淆线段之间的加减关系。 13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 14．（18-19七年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 15．（26-27八年级上·福建莆田·期中）综合探究 【问题发现】 (1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，求的度数． 题型6 一线三等角（内k、外k）（共3小题） 【模型】同一直线上存在三个相等的角，利用外角定理推导出两组等角，构造全等或相似三角形，多用于求线段长、证明线段相等。 【步骤】先在直线上找出三个等角，利用外角证明角相等，确定对应边角，选用判定定理证全等或相似，再计算求解。 【易错】不会利用外角推导等角；混淆全等与相似；对应顶点写错，错把无关角当作模型内的相等角使用。 16．（26-27八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为______． 17．（26-27八年级上·四川自贡·期中）如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 18．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）已知，中，为直线上一动点． (1)如图1，当点在线段上时，连接，在直线右侧作，且．过点作于，请补全图形并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接，在直线右侧作，且．连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接，在直线右侧作，且，连接交直线于，若，则的值为______． 题型7 手拉手模型（共3小题） 【模型】共顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型，顶角相等，两腰对应相等，可证 SAS 全等，拉手线相等，两拉手线夹角等于公共顶角。 【步骤】找到公共顶点，由等腰推出两组等边，推导旋转顶角相等，利用 SAS 证全等，转化边角，求解线段长度与夹角度数。 【易错】找错对应 “拉手边”；直接默认夹角等于顶角；书写全等顶点不对应，忽略角度需要推导证明。 19．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【综合运用】如图，在，中和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：为的中点； (3)求与的数量关系． 20．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 21．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，连接． (1)如图1，若，，求证：是等边三角形； (2)在（1）的条件下，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是钝角，交于点F，，垂足为E，，，，求的面积． 题型8 半角模型（共3小题） 【模型】半角模型：正方形或等腰三角形中，共顶点大角内包含一个等于其一半的小角，通过旋转构造全等，实现线段转移，证明线段和差关系 【步骤】将三角形旋转，构造等角等边，证明得到一组全等三角形，进行线段等量代换，结合已知条件完成证明或长度计算。 【易错】忽略大角与半角的数量关系；旋转后找错对应边角；不验证点的位置，直接套用模型结论。 22．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    23．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 24．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 题型9 对角互补模型（共3小题） 【模型】对角互补模型，四边形一组对角相加为 180°，常搭配邻边相等，作垂线或旋转构造全等，实现角与线段的等量转化。 【步骤】识别对角互补、邻边相等条件，作双垂线或旋转构造三角形全等，代换边角，进而证明线段相等、求解角度。 【易错】无邻边相等直接套用；不会利用补角推导等角；辅助线构造不当，搞错全等的对应边角。 25．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 26．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 27．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 题型10 角平分线模型（共3小题） 【模型】角平分线模型，利用角相等构造全等。常见三种辅助线：向两边作垂线、截等线段、作平行线，得到相等边角，用于线段、角度证明。 【步骤】先识别角平分线，选择合适辅助线，标记相等角与线段，结合判定定理证明全等，完成线段等量代换与角度计算。 【易错】角平分线性质定理条件漏写垂直；辅助线描述不规范；找错对应边角，直接主观认定线段相等缺少证明。 28．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）解决下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（C为的中点） (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于点E，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数； (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)如图4，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为______． 29．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 30．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 题型11 动点型全等模型（共3小题） 【模型】动点型全等模型，点在线段、射线或坐标轴上移动，动态改变图形，分类讨论不同位置，寻找满足全等的边角条件，求动点位置或时间。 【步骤】分析动点运动路程与速度，分类列出全等的边角组合，设未知数列式计算，最后检验结果是否符合图形位置，舍去不合理答案。 【易错】漏写动点多情况讨论；忽略动点取值范围；全等顶点对应搞错，算出结果不检验，保留不合理解。 31．（26-27八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 32．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 33．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 题型12 全等模型综合（共3小题） 34．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． (1)已知，，请在图1或图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 (2)在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 35．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 36．（26-27八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 【问题背景】 (1)如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 (2)如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 (3)如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（共10小题） 37．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 38．（26-27八年级上·陕西榆林·期中）如图，在等腰中，，，点在边上，连接于点交的延长线于点．若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（26-27八年级上·全国·期中）如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 40．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在与中，，，，与相交于点，若，，则的度数为________． 41．（26-27八年级上·山西忻州·期中）项目式学习 某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点，之间的距离米； ②准备一根长为3米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米． 说明 ，，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 42．（26-27八年级上·山东聊城·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，．求证：． (2)如图，将（1）中的条件改为： ，，，三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么试猜想、、之间的关系并说明理由． 43．（26-27八年级上·湖北荆州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)求证：，； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点． ①求证：； ②当，直接写出的长． 44．（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)的取值范围是________； 【灵活运用】 (3)如图3，，，，，点为的中点，试说明：； 45．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【数学理解】 (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（共10小题） 46．（26-27八年级上·福建莆田·期中）【问题背景】 (1)如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【拓展应用】 (2)如图所示，在和中，，，，连接，作边上的高，延长交于点H．若，求的面积． 47．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 49．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为________． 50．（26-27八年级上·湖北宜昌·期中）如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米／秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米／秒时，能够在某一时刻使与全等． 51．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则___________；___________ 52．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 53．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 54．（26-27七年级上·山东淄博·期中）解答题 (1)如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； (2)拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 55．（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 56．（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形的经典模型（14大题型56题） 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型 题型4 倍长中线模型（重点） 题型5 截长补短模型（重点） 题型6 一线三等角（内k、外k）（重点） 题型7 手拉手模型（重点） 题型8 半角模型（重点） 题型9 对角互补模型（重点） 题型10 角平分线模型（重点） 题型11 动点型全等模型 题型12 全等模型综合（难点） 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（难点） 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型（共3小题） 【模型】两三角形共用一条边或一个角；相交产生对顶角模型。挖掘图中隐藏等量，搭配已知条件，用 SSS、SAS、AAS、ASA 证明全等。 【步骤】先观察图形找出公共边、公共角或对顶角，标注等量，结合题目已知条件，匹配判定定理，规范书写全等证明过程。 【易错】漏看图形隐含条件；书写时不写公共边 / 角依据；找错对应顶点，造成边角不匹配，导致全等证明错误。 1．（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图，、相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质．根据，可得，，结合，可证明，即可得到． 【详解】略 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键在于根据已知条件和全等三角形的判定方法来确定所需添加的条件． 已知公共边及一组对应角相等，可再添加一组对应边相等构成，如即可． 【详解】解：已知在和中，， 且两个三角形有公共边，即， 添加条件， 此时满足“边角边”（）判定定理， 即可以证明， 所以这个条件可以是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知，，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 题型2 平移模型（共3小题） 【模型】平移模型：一个三角形沿直线平移得到另一三角形，对应边平行且相等，对应角相等，常利用平行线推出内错角相等，构造全等条件。 【步骤】观察平移前后图形，找出对应边、对应角，借助平行线得到等角，结合已知条件，选用 SAS 或 ASA 证明三角形全等。 【易错】误把非对应边角匹配；忽略平行线才能推导内错角；证明全等时顶点对应关系写错，导致结论出错。 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】解：沿直角边所在直线向右平移得到， ∴， ∴，，，而与不一定相等， ∴①②③⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) ①解：与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 题型3 翻折模型（共3小题） 【模型】翻折模型是三角形沿直线对折重合，翻折前后两三角形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴，常出现等线段、等角、垂直关系。 【步骤】看清翻折前后对应部分，标出相等边角，利用全等得到等量关系，结合内角和、勾股定理，列式求解角度或线段长度。 【易错】找错翻折后的对应边角；忽略翻折产生的隐藏相等线段；计算角度时，容易漏算重叠部分角度。 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，平分，，试判断和、之间的数量关系． 【操作与发现】小明发现，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决如图 根据小明的发现，写出和、之间的数量关系并证明这个结论. 【答案】 结论：； 理由：如图，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结． 平分， ， 在和中， ； ， ， ； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结，证明，进而根据等角对等边得出结论，即可求解． 【详解】略 8．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，根据等边对等角，求出，折叠性质，得到，证明，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【例题再现】 滨滨同学通过学习等腰三角形的相关知识，独立完成了一道教材中的数学问题，并写出了部分证明过程． 如图①，是的中线，且，求证：． 证明：∵是的中线，∴， ∵，∴，∴，______．（依据） 在中，， ∴，即：． （1）请补全滨滨同学的证明过程和推理依据； ______，依据：______； 【思维迁移】 （2）如图②，在中，，D是上的一点，且．求证：； 【拓展运用】 （3）通过推理不难发现，在中，，当D是的中点时，； 请利用上述结论，完成下面的证明题． 如图③，在中，，D是的中点，将沿直线翻折，得到，，，连接，当时，求的长． 【答案】（1），等边对等角 （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）3 【分析】本题考查等腰三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边对等角的性质进行解答即可； （2）通过三角形内角和定理得，，再通过等腰三角形性质得，进而可得证； （3）过点D作交于点N，先证得为等边三角形，再通过证得，进而可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，，（等边对等角） 在中，， ∴，即：． 故答案为：，等边对等角； （2） 略 （3）过点D作交于点N， ∵，D是的中点， ∴， ∴， 由翻折可知： ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴． 题型4 倍长中线模型（共3小题） 【模型】倍长中线模型，延长三角形中线至一倍长度，连接端点构造 SAS 全等，把分散的线段、角转移，集中到同一个三角形内求解。 【步骤】延长中线使延长段等于原中线，标记相等线段，证明三角形全等，转化边角条件，再结合三角形性质计算或证明结论。 【易错】未写延长辅助线规范表述；盲目套用模型；全等时找错对应边角，线段转化时忽略三边关系检验。 10．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，中线的长为偶数，则=______． 【答案】2 【分析】利用倍长中线法构造全等三角形，利用三角形的三边关系求出的范围，即可得出结果. 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵的长为偶数， ∴. 11．（26-27八年级上·吉林·期中）如图 ，在中，为 边上的中线，延长 到点，使；连接，． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明： 是边上中线， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （2）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， 在中，用三边关系， 即， 化简得． 12．（26-27七年级上·山东淄博·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ； (2)求得的取值范围是 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 (3)如图2，在四边形中，，的平分线交于E，连接，且平分，猜想： ①的度数； ②，，的数量关系，说明理由． 【答案】(1)SAS (2) (3)①； ②，理由如下： 如图2，延长交的延长线于F， ， ， 平分， ， 在与中，， ， ，， ， ， 在与中，， ， ， 【分析】（1）根据，，，得出和全等即可； （2）根据（1）得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形三边关系，得出，求出即可； （3）①根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，，进而得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数； ②延长交的延长线于点，根据①得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：在和中， ， ； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，， 由三角形三边关系定理得：， ； （3）解：①， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ； ②略 题型5 截长补短模型（共3小题） 【模型】截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段构造等长，借助全等转化线段。 【步骤】观察求证的线段和差关系，选择截长或补短作辅助线，构造全等三角形，通过边角等量代换完成证明。 【易错】辅助线作法描述不规范；选错截 / 补短方式；不会利用全等转移线段，混淆线段之间的加减关系。 13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 14．（18-19七年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）； （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2） 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．（26-27八年级上·福建莆田·期中）综合探究 【问题发现】 (1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，求的度数． 【答案】(1) (2)解：，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； ∴ ， ∴； (3) 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即可得出结果； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， （2）略 （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ∴ ∴. 题型6 一线三等角（内k、外k）（共3小题） 【模型】同一直线上存在三个相等的角，利用外角定理推导出两组等角，构造全等或相似三角形，多用于求线段长、证明线段相等。 【步骤】先在直线上找出三个等角，利用外角证明角相等，确定对应边角，选用判定定理证全等或相似，再计算求解。 【易错】不会利用外角推导等角；混淆全等与相似；对应顶点写错，错把无关角当作模型内的相等角使用。 16．（26-27八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】过点作于点，构造全等三角形和，利用全等三角形对应边相等得出，，则线段的长为线段，，之和． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ． ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ． 17．（26-27八年级上·四川自贡·期中）如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质可得，，，，，再结合线段的和差、平行线的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，，，，故①正确； ∴，，故③正确； ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，即，故②正确； 综上所述，正确的有①②③④． 18．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）已知，中，为直线上一动点． (1)如图1，当点在线段上时，连接，在直线右侧作，且．过点作于，请补全图形并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接，在直线右侧作，且．连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接，在直线右侧作，且，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】(1)补全图形如下： 证明如下： ， ， ， ， 又， ， ， ， ； (2)证明：过点作于点，如图所示： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； (3)或 【分析】（1）结合已知得，再由两个三角形全等的判定定理得出，最后利用全等的性质求证即可； （2）过点作于点，由垂直定义，再结合已知证得，推出，再证得，最后利用全等的性质求证即可； （3）根据题意，分两种情况：当点在的延长线上时；当点在线段上时；在不同情况下构造全等三角形，由全等三角形的性质得出相关线段关系，再分别求出和的面积代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据题意，当点在直线上时，分两种情况： 当点在的延长线上时，作交的延长线于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ∴； 当点在线段上时，作交于点，如图所示： 设，则， ， ， ， ，， ∴， 综上所述，或． 题型7 手拉手模型（共3小题） 【模型】共顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型，顶角相等，两腰对应相等，可证 SAS 全等，拉手线相等，两拉手线夹角等于公共顶角。 【步骤】找到公共顶点，由等腰推出两组等边，推导旋转顶角相等，利用 SAS 证全等，转化边角，求解线段长度与夹角度数。 【易错】找错对应 “拉手边”；直接默认夹角等于顶角；书写全等顶点不对应，忽略角度需要推导证明。 19．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【综合运用】如图，在，中和分别为等边三角形，与相交于点F，连接并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：为的中点； (3)求与的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴，， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ，即； (2) 证明：由（1）知， ， ， 又∵， ∴为的垂直平分线， 为的中点； (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定以及圆周角定理是解题的关键． （1）根据题意，先证，再证即可求解； （2）先证，继而可得为的垂直平分线，由此得证； （3）设，由题可知，得到，结合，可得，即． 【详解】（1）略 （2）略 （3）设， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 【答案】 （1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 21．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，连接． (1)如图1，若，，求证：是等边三角形； (2)在（1）的条件下，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是钝角，交于点F，，垂足为E，，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴是等边三角形，则． ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形； (2) 解：． 理由如下：∵与均是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，再根据有一个角等于的三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）证明，推出，据此即可证明； （3）延长，作与其相交于点G，使得，证明，则，再利用等腰三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长，作与其相交于点G，使得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴，则， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型8 半角模型（共3小题） 【模型】半角模型：正方形或等腰三角形中，共顶点大角内包含一个等于其一半的小角，通过旋转构造全等，实现线段转移，证明线段和差关系 【步骤】将三角形旋转，构造等角等边，证明得到一组全等三角形，进行线段等量代换，结合已知条件完成证明或长度计算。 【易错】忽略大角与半角的数量关系；旋转后找错对应边角；不验证点的位置，直接套用模型结论。 22．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】 【初步探索】； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】略 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 24．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 题型9 对角互补模型（共3小题） 【模型】对角互补模型，四边形一组对角相加为 180°，常搭配邻边相等，作垂线或旋转构造全等，实现角与线段的等量转化。 【步骤】识别对角互补、邻边相等条件，作双垂线或旋转构造三角形全等，代换边角，进而证明线段相等、求解角度。 【易错】无邻边相等直接套用；不会利用补角推导等角；辅助线构造不当，搞错全等的对应边角。 25．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 26．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 【分析】（1）根据“对补四边形”的定义可得，再求解即可； （2）如图，连接，利用勾股定理，证明，再利用勾股定理可得答案； （3）①过点作于，作于．证明，再证明，即可得到答案；②求解，证明，可得．结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在对补四边形中，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； （3）略 【点睛】本题考查的是新定义，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 题型10 角平分线模型（共3小题） 【模型】角平分线模型，利用角相等构造全等。常见三种辅助线：向两边作垂线、截等线段、作平行线，得到相等边角，用于线段、角度证明。 【步骤】先识别角平分线，选择合适辅助线，标记相等角与线段，结合判定定理证明全等，完成线段等量代换与角度计算。 【易错】角平分线性质定理条件漏写垂直；辅助线描述不规范；找错对应边角，直接主观认定线段相等缺少证明。 28．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）解决下列问题： (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（C为的中点） (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于点E，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数； (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论； (4)如图4，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同上可证明， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． （4）延长交于点，可证，得到，，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）解：延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 （4）解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过点作交延长线于点，则 ∴当时，高最大为，则最大，则最大， ∴． 29．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 【答案】 证明：如图，连接、， ∵为的平分线上的点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键． 由角平分线性质可得，可证，得，由为的中点，三线合一即可得出． 【详解】略 30．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【答案】(1) 证明：， 是的平分线， ． 又， ， ． (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）运用证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）运用证明可得，再根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得． ， ． ， ． 又， ， ， ． 题型11 动点型全等模型（共3小题） 【模型】动点型全等模型，点在线段、射线或坐标轴上移动，动态改变图形，分类讨论不同位置，寻找满足全等的边角条件，求动点位置或时间。 【步骤】分析动点运动路程与速度，分类列出全等的边角组合，设未知数列式计算，最后检验结果是否符合图形位置，舍去不合理答案。 【易错】漏写动点多情况讨论；忽略动点取值范围；全等顶点对应搞错，算出结果不检验，保留不合理解。 31．（26-27八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【答案】 或或 【分析】(1)因为动点从点出发沿路径向终点运动，所以当点在上时，点运动轨迹应表示为，即即可； (2) 要使与全等，则需分三种情况进行讨论：①当点在上，点在上时；②当点与点重合时；③当点与点重合时，都利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图， 当点在上时，点运动轨迹应表示为， 又因为点的速度，运动时间为， 所以； （2）①如图1，当点在上，点在上时，． ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． ②如图2，当点与点重合时，， 则， ∴． 解得． ③如图3，当点与点重合时，， ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为3或5或12． 32．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 在中，为高， ， 又∵，， ∴， ， ，， ， ； (2)①；②或； (3) 的值为或． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①根据路程等于速度乘以时间，求出，由全等三角形的性质可得；②由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， 由（1）可知，， ∴； ②由①知， ，， ，， 由（1）可知，， 在射线上， ∴，， ， 解得：或； （3）解：， ， 、当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 33．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)存在， 【分析】本题考查几何问题(一元一次方程的应用)，等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分类讨论：①当点E在点左侧时，②当点在点右侧时，逐个分析求解即可； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：作，， ∵平分，则， ， ， ①当点E在点左侧时，有 ，， ， 解得：； ②当点在点右侧时，有 ，， ， 解得． ∴t的值为或． （3）解：存在，．理由如下： ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：存在，． 题型12 全等模型综合（共3小题） 34．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． (1)已知，，请在图1或图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 (2)在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； (2)①证明：过点E作交于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或5． 【分析】（1）由，得，利用即可证明； （2）①过点E作交于点F，证明，再证明，即可得出结论；②过点E作交的延长线于点F，由①得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②过点E作交的延长线于点F， 由①得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理设， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 35．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（2）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； （2）略 （3）解：，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（2）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 36．（26-27八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 【问题背景】 (1)如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 (2)如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 (3)如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：∵直线，直线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴（） (2)证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴（）． ∴，． ∴ (3)60 【分析】（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，，由此可得，再根据分割法求出面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， 同理可证明：， ∴． ∴． ∵ ， ∴的面积为60． 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（共10小题） 37．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，容易证明，则，利用三角形中线平分面积的性质可得． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 38．（26-27八年级上·陕西榆林·期中）如图，在等腰中，，，点在边上，连接于点交的延长线于点．若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】证明得出，，进而根据即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 39．（26-27八年级上·全国·期中）如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 【答案】2 【分析】证明即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 40．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在与中，，，，与相交于点，若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】证明，得到，，则可证明；设交于点O，根据三角形内角和定理可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， ∵， ∴， ∴． 41．（26-27八年级上·山西忻州·期中）项目式学习 某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点，之间的距离米； ②准备一根长为3米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米． 说明 ，，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 【答案】米 【分析】分析题目条件，证明即可． 【详解】解：，， ． ，， ，． ． 在和中， ， （）． ． 米， 米． 即点距水平地面的高度为1米． 42．（26-27八年级上·山东聊城·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，．求证：． (2)如图，将（1）中的条件改为： ，，，三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么试猜想、、之间的关系并说明理由． 【答案】(1)证明：， ． ，， ， ， ． 在和中， ， ． ，， ； (2)，理由如下： ， ． ，，， ． 在和中， ， ， ，， ． 【分析】（1）先证明，进而证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 43．（26-27八年级上·湖北荆州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)求证：，； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点． ①求证：； ②当，直接写出的长． 【答案】(1)，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，； (2)①过点作于点， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②的长为6． 【分析】（1）根据，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明，然后可得，； （2）①过点作于点，先证，再证即可求解；②由，则，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 44．（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)的取值范围是________； 【灵活运用】 (3)如图3，，，，，点为的中点，试说明：； 【答案】(1) (2) (3)证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴ ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ； 【分析】（1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略． 45．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【数学理解】 (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等，              作于点F，交的延长线于点G，则， ， ，            在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）解：如图2，过C作交的延长线于E， ， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数，              或5； （3）略 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（共10小题） 46．（26-27八年级上·福建莆田·期中）【问题背景】 (1)如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【拓展应用】 (2)如图所示，在和中，，，，连接，作边上的高，延长交于点H．若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； (2)60 【分析】（1）根据垂线的定义得到，证明，则可利用证明； （2）过点E作于点M，过点D作，交的延长线于点N，同理可得，，则可证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点E作于点M，过点D作，交的延长线于点N， ∴． 与（1）同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 47．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 48．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 49．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为________． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，利用证明，得出，，从而将转化为，当时面积最大． 【详解】解：延长交的延长线于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 在中，，， 当时，取最大值， 的最大值为． 50．（26-27八年级上·湖北宜昌·期中）如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米／秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为________厘米／秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】先根据题意求出长度，利用与全等，以及，设点和在运动时间秒，分两种情况讨论①②，列关于的方程，解出即可求出的速度． 【详解】解：厘米，点为的中点， 厘米. 设点和在运动秒时，与全等， ，， ①时， ，， ，， ， ． ． ②时， ，， ，， ， ． ． 51．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则___________；___________ 【答案】 【分析】过点作于点，根据“”说明，，从而，，，再根据三角形的面积公式，计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； ， ． 52．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长到点，使，连接，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ． (3)，理由如下： 如图3，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，再根据三角形三边关系求解即可； （2）延长到点，使，连接，，证明和，得到，根据三角形三边关系求解即可； （3）延长，交于点，证明，得到，根据是的平分线得到，即可得证． 【详解】（1）如图，延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． （2）略 （3）略 53．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）延长到点，使．连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再结合，判定，最后根据，推导得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，． ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 54．（26-27七年级上·山东淄博·期中）解答题 (1)如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； (2)拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1)证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 55．（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3)解：结论：． 证明：如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，求出，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 56．（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短的方法，先证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路：先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是． （2）略 （3）解：或或， 理由： ①， 如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ③由（1）（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上所述，线段、、之间的数量关系为或或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $