专题05 分式、实数和二次根式的计算题19大题型125题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题05 分式、实数和二次根式（19大题型125题） 基础·固本强基 题型1 分式的求值 题型2 分式的四则混合运算 题型3 分式的化简求值 题型4 分式的求整计算 题型5 解分式方程 题型6 分式方程解的含参计算 题型7 分式方程的增根无解计算 题型8 平方根、立方根的计算 题型9 平方根、立方根的规律计算 题型10 整数部分、小数部分的计算 题型11 二次根式的化简（含复合二次根式） 题型12 二次根式的混合运算 题型13 分母有理化 题型14 二次根式的化简求值 题型15 实数的混合运算 题型16 新定义下的实数运算 题型17 实数相关的规律题 提升·进阶突破 题型18 分式、实数和二次根式的进阶练 拔高·压轴破难 题型19 分式、实数和二次根式的压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的求值（共5小题） 1．（2026·湖南株洲·三模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，       ∴原式       ． 2．（25-26八年级下·四川眉山·阶段检测）按要求完成以下问题 (1)已知，求的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先由得到，然后整体代入求解； （2）首先由得到，，然后整体代入求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∴；． 3．（2026·北京平谷·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：          ∴原式． 4．（2026·北京密云·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 5．（2026·云南楚雄·二模）已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对已知等式进行变形，然后通过等式两边同时除以来求解的值； （2）对分子分母同时除以，最后整体代入的值以及，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可得， ∴， ； （2）解： ， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． 题型2 分式的四则混合运算（共5小题） 6．（2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【详解】解： ． 8．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异分母分式转化为同分母分式后计算； （2）先算括号内同分母加法，分解因式后将除法转化为乘法约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2026八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型3 分式的化简求值（共5小题） 11．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【答案】； 【详解】解： ， ∵， ∴取，原式． 12．（2026·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 13．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】将除法转化为乘法约分，再合并分式得到最简式，代入数值计算即可求解． 【详解】解：原式 将，代入得： 原式． 14．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 【答案】化简结果为，原式的值为 【详解】解： ， 解不等式得，其正整数解为， ∵， ∴， ∴原式． 15．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意可得，整体代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 题型4 分式的求整计算（共5小题） 16．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 17．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 18．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 19．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 20．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 题型5 解分式方程（共5小题） 21．（2026九年级·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 解得：． 经检验，当时，， ∴是原方程的解． 22．（2026九年级·内蒙古·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】将分式方程化为一元一次方程求解，得出结果后进行验根即可． 【详解】 解： 经检验，是原方程的解， 所以方程的解是． 23．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 24．（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． 25．（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 检验，当时，， 是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 题型6 分式方程解的含参计算（共5小题） 26．（2026八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程有整数解，求整数的值． 【答案】2或4或1或5或6或或9 【分析】先解原方程得到，根据原方程不能有增根得到且，则可推出；再由得到为整数，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 方程两边乘，得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 该分式方程有整数解， ∴，即 ∴； ∵该分式方程不能有增根， ∴且， ∴且， ∴； ，为整数，且为整数， ∴为整数， 或或或， 或4或1或5或6或或9． 27．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知关于的分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】的取值范围是且 【分析】将分式方程化为整式方程求根，结合解为正数、分式分母不为0的条件列不等式，从而确定的取值范围． 【详解】解： 两边同乘，得 ． 解得． ∵方程的解为正数， ∴ ，解得． ∵分式分母不为0， ∴ ，即，解得． 综上所述，的取值范围是且． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据分母不为零的取值条件得到，再代入运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 29．（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）若关于x的分式方程的解为正实数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∵分式方程的分母不为0， ∴， ∴， ∴且． 30．（25-26八年级下·福建漳州·期中）若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解：， 方程的两边都乘以，得， 解得． ∵方程的解为正实数， ∴， ∴． ∵分式的分母， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是且． 题型7 分式方程的增根无解计算（共5小题） 31．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得： ， ∵关于x的分式方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或． 32．（25-26八年级下·山西晋中·期末）下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： (1)小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． (2)请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． (3)根据总结的解题经验，解方程：． 【答案】(1)②；增根 (2)解分式方程必须检验 (3) 【分析】（1）由分式方程的解法步骤分析题中解答，再结合分式方程增根定义求解即可； （2）解分式方程最关键的步骤是验根，据此提出一条即可； （3）由分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料中的分式方程解法步骤知不是原方程的根，而是去分母后所得整式方程②的根；由增根定义可知是原分式方程的增根； （2）略 （3）解：， 整理得， 方程的两边同乘，得：， 解得， 检验：将代入原方程，得左边，右边，左边右边， 是原分式方程的根． 33．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或或 【分析】根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得， 当，即时，该方程无解； 当时，， 关于x的分式方程无解， ， 解得或， 时，原分式方程无解， 解得，或． 综上所述，若关于x的分式方程无解，或或． 34．（2026·广东茂名·模拟预测）已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 35．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先对原方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； （2）根据增根的定义得到，解得或，然后代入（1）化简后的方程求解； （3）根据方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的根都是原方程的增根），分别代入计算得到的值． 【详解】（1）解：原方程可写为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． 该方程的增根为， 把代入，得， 解得． （2）解： 原方程有增根， ， 解得增根为或， 当时，代入得，解得， 当时，代入得，解得， 的值为或． （3）解：原方程无解分两种情况：当，即时，整式方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原方程无解； 当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程无解，由（2）得此时或； 综上所述，的值为或或． 题型8 平方根、立方根的计算（共5小题） 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 37．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的值． (1)． (2) 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解： ， 解得： 或 （2）解：， ， ， 解得：． 38．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 方程两边同乘2得：， 开平方得：； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 39．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或． （2）解： ， ， ． 40．（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）求下列各式中的x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项整理后，利用平方根的定义求解； （2）先把式子变形，再根据立方根的定义开立方求解． 【详解】（1）解： 所以； （2）解： ． 题型9 平方根、立方根的规律计算（共5小题） 41．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）按要求解答 (1)填表： 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 100 … (2)规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位； ②当时，若正数越大，则 ． (3)尝试运用：已知， ，求的值． 【答案】(1) 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 10 100 … (2)①两，左（或右），一；②越大 (3) 【分析】（1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； 【详解】（1）解：； 填表略； （2）解：①由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； ②由表格可知，当时，若正数越大，则越大． （3）解：， ， ． 42．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 【答案】(1)规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 （2）根据（1）中的发现的规律， 43．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 44．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 45．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 题型10 整数部分、小数部分的计算（共5小题） 46．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）[相关资料]：已知，则，所以的整数部分为，小数部分为 ． [问题探究]：的小数部分为，的小数部分为， (1)根据资料提示计算在哪两个相邻的整数之间？ (2)求 的值． 【答案】(1)和之间 (2) 【分析】（）根据资料方法解答即可求解； （）根据资料方法求出的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在整数和之间； （2）解：∵在整数和之间， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， 又∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， ∴． 47．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）先判断及，进而可求解； （2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解； （3）设，根据正方形的面积为 ，由，，当较小时，省略，得 ，进而可求解； 【详解】（1）解：①， ， 整数部分的值为； ②， ， 整数部分的值为． （2）∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． （3）∵面积为的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ∵， ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． 48．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， ∴的整数部分为2，小数部分为 请回答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)6； (2)2 【分析】（1）根据题目的例子求解即可； （2）根据题目的例子求出的小数部分和的整数部分，进而可得a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为6，小数部分为； （2）解：，， ∴，， ∴的小数部分为，的整数部分为9， ∴， ∴ ． 49．（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）（阅读材料） ∵，即 ∴ ∴的整数部分为1 ∴的小数部分为 （解决问题） (1)填空：的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)已知a是的小数部分，b是的整数部分，求代数式的值； (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求出的值． 【答案】(1)9， (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的估算，熟练掌握二次根式的估算方法是解题的关键． （1）先估算得到，即，从而得到的整数部分和小数部分； （2）先根据，即，得到的小数部分为，即；同理可得；最后将，代入中计算即可； （3）先根据，即，得到，从而求得的整数部分和小数部分，进而求得的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为9， ∴的小数部分为； （2）解：∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为， 即； ∵，即， ∴的整数部分为6， 即； ∴， 即； （3）解：∵，即， ∴， ∴的整数部分为6， ∴的小数部分为，即， ∵x是的整数部分，y是的小数部分， ∴，， ∴． 50．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 【答案】(1)3；4 (2)30 (3)①1②4，5，6③9，10，11，12，13④ 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案； （3）①直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；②直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；③直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；④直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3； ∵， ∴， ∴的整数部分是4； （2）解：∵的整数部分是5， ∴， ∴， ∴可以取30； （3）解：①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2， 所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2， 所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到，5，6． ③因为的整数部分是3， ∴， ∴； 又的整数部分是3， ∴， ∴， ∴， 所以同时满足两个条件的正整数； ④当与的整数部分为k时， 由当的整数部分为k时，得； 由的整数部分为k时，得，即， 取两者的公共部分可得，正整数的取值范围为． 题型11 二次根式的化简（含复合二次根式）（共5小题） 51．（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)填空：___________；___________； (2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：． 【答案】(1)5；5 (2) 【分析】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）根据数轴得出，且，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解：；； （2）解：由数轴得：，且， ∴，， ∴ ． 52．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简：_______，_______； (2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）根据化简即可； （2）由数轴可得，，，根据及绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 53．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 【答案】(1)当时，原式；当时，原式 (2)解：甲的答案正确，理由如下： ， 当时，原式； (3) 【分析】（1）把原式化为，然后再化简即可； （2）把原式化为，然后再化简求值即可； （3）把原式化为，再根据绝对值的性质化简，然后求值即可． 【详解】（1）解：； ∴当即时，原式； 当即时，原式； （2）略 （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 54．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再判断的正负情况从而去绝对值，整理整式后即可求出结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，得， ∴， ∴， ∴． ∴代入原式得，， 移项，得， ∴两边同时平方，得． ∴． 【点睛】二次根式具有双重非负性，绝对值具有非负性，利用非负性判断的取值范围，从而化简整理代入求解． 55．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）先阅读下面解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，则 ； 例：化简： 请用上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型12 二次根式的混合运算（共5小题） 56．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用分配律，二次根式的乘法，减法计算即可； （2）利用平方差公式，解答即可； （3）根据二次根式的性质，先化简，再去括号，计算即可； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 57．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式分别化简各二次根式，然后再合并即可； （2）原式先化简各二次根式和立方根，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （3）原式先化简二次根式和二次根式的除法，最后进行加减运算即可； （4）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ； （4）解： ． 58．（26-27九年级上·四川眉山·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 59．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分子拆分后分别除以分母，化简后计算结果． （2）利用乘法分配律展开原式，分别化简后合并得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 60．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型13 分母有理化（共5小题） 61．（26-27八年级上·陕西·期中）仿照，化简． 【答案】 【分析】通过分母有理化，利用平方差公式消除分母中的根式计算即可． 【详解】解：． 62．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 63．（25-26八年级下·云南昆明·期末）楠楠同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对a进行分母有理化，再结合完全平方公式求解． （2）利用第一问得到的关系对第二问的高次代数式降次，整体化简后约分得到结果． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：由（1）可知：，且， ∴， ， ∴原式 ． 64．（2026·河北沧州·三模）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【详解】略 65．（25-26八年级下·全国·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 【答案】(1) (2)2024 【分析】分母有理化的原理是通过平方差公式和同类最简二次根式的平方为有理数，来对分母有理化，根据题目中的计算方式进行计算即可 【详解】（1）解：； （2）解：，， 同理，可得： 原式 ． 题型14 二次根式的化简求值（共5小题） 66．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知，． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：； ． （2）解：． 67．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】按照分式的四则混合运算顺序解答即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 68．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】分别计算和的值，再将代数式因式分解为，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 69．（25-26八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可求出； （2）对和进行求和，通过化简平方即可求出． 【详解】（1）解：已知， ， ． （2）解：据（1）可知，， 则， 可得，即， 解得． 70．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 题型15 实数的混合运算（共5小题） 71．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 72．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次计算乘方、立方根、绝对值，再合并化简． （2）先计算负整数指数幂、算术平方根、立方根，再按先乘后加减的顺序计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 73．（26-27八年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）负数的绝对值是它的相反数，按照运算顺序计算即可； （2）完全平方公式：；，按照运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 74．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 75．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式化简、二次根式除法、立方根的性质，先化简各项，再合并同类二次根式； （2）根据绝对值、二次根式乘法、零指数幂法则，去绝对值、展开计算，再合并同类二次根式； （3）二次根式除法化简、分母有理化、负整数指数幂运算，化简后合并； （4）逆用积的乘方公式，再用完全平方公式展开，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型16 新定义下的实数运算（共5小题） 76．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）对任意正数a、b定义运算“※”：当时，；当时，．如果，求x的值． 【答案】的值为或 【分析】先根据新运算规则算出的结果，再分和两种情况计算即可 【详解】， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时，， ， ，符合条件； 当时，， ， ，符合条件； 综上所述：的值为或． 77．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”． (1)与是关于的“平衡数”，则是______，表示的值的点落在数轴上的位置位于______．（填序号） (2)与______是关于的“平衡数”； (3)若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，如果是，请说明理由并求出的值． 【答案】(1)，③ (2) (3)与是关于的一组“平衡数”，理由如下： ∵，， ∴， ∴与是关于的一组“平衡数”． 【分析】（1）根据“平衡数”的定义列方程求解； （2）根据“平衡数”的定义列方程求解； （3）根据二次根式的运算法则计算出，再根据“平衡数”的定义判断． 【详解】（1）解：∵与是关于的“平衡数”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于③； （2）解：设与是关于的“平衡数”， ∴， ∴， 即与是关于的“平衡数”； （3）略 78．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 79．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）我们在学习实数的运算时得出两个结论：①无理数与有理数的和一定是无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，则，．已知m，n为有理数，根据上述内容解决下列问题； (1)若，则____，_____； (2)若，求的值． 【答案】(1)，2 (2)3 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）解：∵，m，n为有理数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵m，n为有理数， ∴， 解得：， ∴． 80．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似的，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有______； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时，求出这个最小值． 【答案】(1)①③ (2) (3)最小值为 【分析】（1）将式子的常数项合并，验证是否存在正整数使得常数项为，带根号项为； （2）把根号内的式子转化为完全平方根式，利用二次根式的性质开方化简； （3）由完全平方根式的定义得出，列举正整数解，通过比较的大小得到最小值． 【详解】（1）解：根据“完全平方根式”的定义，若式子可表示为（为正整数）， 则为完全平方根式， ①，取，满足，，是完全平方根式； ②，若，则，不是正整数，故不是完全平方根式； ③，取，满足，，是完全平方根式． （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴原式． （3）解：∵是完全平方根式，且为正整数，带根号项为正， ∴存在正整数，使得， 根据等式两边有理数部分与无理数部分分别相等， 可得 ，， 由，可得，即， ∵， ∴要使A最小，需使最小， ∵，为正整数， ∴可能的正整数对为， 分别计算：当时，； 当时，； 当时，． ∵，，， 且， ∴， 又∵当时，，存在正整数满足条件（如），符合题意， ∴A的最小值为． 题型17 实数相关的规律题（共5小题） 81．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）根据示例填写即可； （2）观察示例可知，当算术平方根符号内的式子为正时，去掉算术平方根符号的形式与原式相同；当算术平方根符号内的式子为负时，去掉算术平方根符号的形式与原式符号相反； （3）根据（2）所得规律分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： 82．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 83．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． 84．（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可； （2）找到题中规律即可写出第n个等式； （3）根据规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，即； （2）解：根据题意可得第n个等式为； （3）解：， ， ． 85．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 提升·进阶突破 题型18 分式、实数和二次根式的进阶练（共20小题） 86．（26-27八年级上·湖南怀化·阶段检测）计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先按同分母分式加减运算法则计算，最后约分即可； （2）先按同分母分式加减运算法则计算，再对分子因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 87．（26-27八年级上·全国·阶段检测）计算下列分式运算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 88．（2026·广东深圳·三模）先化简，再求值：，并从，，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】；时，值为 【详解】解： 由分式有意义可得， ∴ ∴当时，原式． 89．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）综合与实践 素 材 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素 材 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 问题解决： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，这个数是________； (3)若分式的值为整数，请求出所有符合条件的正整数的值． 【答案】(1)减小；减小 (2)2 (3)1或3 【分析】（1）根据素材1的结论即可求解； （2）先化简，再根据素材1的结论，解答即可； （3）先化简，再判断为整数时，正整数x的取值． 【详解】（1）解：当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； ，当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； （2）， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近2，即的值无限接近2； （3）， 因为的值为整数，x为正整数， 所以是整数，必须为整数， 或，或 或或（舍去）或（舍去）， 符合条件的正整数x的值为1或3． 90．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 【答案】解：选择甲同学，解答过程如下：（选择一名同学的做法即可） 原式 ． 选择乙同学，解答过程如下： 原式 ． 【分析】选择甲同学，解答过程为：先计算括号内的减法，再计算乘法即可；选择乙同学，解答过程为：先运用乘法分配律计算，再计算减法即可． 【详解】略． 91．（2026九年级·北京·专题练习）如果，求代数式的值． 【答案】2 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 92．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． (1)【辨析】下列分式中，_________是美好分式（填序号）； ①；②；③；④． (2)【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； (3)【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数?若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①②④ (2) (3)存在， 【分析】（1）按“美好分式”的两个条件逐条判断：先把分子、分母分别因式分解，再看分子与分母有没有公因式； （2）分子 是一次式不能分解，所以分母 必须能因式分解，且分解结果中不能含因式 ，用十字相乘法对整数 进行讨论； （3）先按分式的除法法则化简，再把结果化成“一个整数加上一个分式”的形式，利用整除条件求出整数 ，最后代回原式检验是否有意义． 【详解】（1）解：① 分子 可以因式分解，分母 与 没有公因式，不能约分，是美好分式； ② 分子 不能因式分解，分母 可以因式分解，且 与 没有公因式，不能约分，是美好分式； ③ 分母 ，分子 与分母有公因式 ，可以约分，不是美好分式； ④ 分子 可以因式分解，分母 与 没有公因式，不能约分，是美好分式． 美好分式为 ①②④． （2）解： 分子 是一次式，不能因式分解， 分母 要能因式分解，判别式 必须是完全平方数． 设 （ 为非负整数），则 ， 与 同奇偶， 只能 或 ，解得 或 ． 若 ，则分母 ，与分子 有公因式 ，分式可以约分，不合题意； 若 ，则分母 ，与分子 没有公因式，不能约分，符合题意． ． （3）解：原式 ， ． 原式的值为整数， 为整数，即 能整除 ， 或 ，即 ，，，． 检验原式是否有意义： 当 时， 的分母为 ，原式无意义； 当 时，除数 ， 不能作除数，原式无意义； 当 时，除数的分母 ，除数无意义，原式无意义； 当 时，原式 ，是整数，符合题意． 存在整数 ，． 93．（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先利用去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解： 经检验：是原分式方程的解； （2）解： 经检验：是原分式方程的解． 94．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程再求解，检验解的有效性； （2）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程再求解，检验解的有效性． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得， ， ， 解得． 检验：当时，， 则是原分式方程的解． （2） 方程两边同乘得， 解得． 检验：当时，， 因此，是增根，原分式方程无解． 95．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是__________；（填“真分式”或“假分式”） (2)当为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ (3)将分式化成带分式. 【答案】(1)假分式 (2)当时，分式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，进一步即可得到答案； （3）把原式化为，进一步变形即可得到答案． 【详解】（1）解：分子、分母的次数相等，则是假分式； （2）解： ∵， ∴当时，的最大值为， ∴当时，分式有最大值，最大值是； （3）解： ． 96．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求的值； (2)计算的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根性质“正数的两个不同的平方根互为相反数”列等式，求解x，将x的值代入求解m； （2）代入x、m的值计算出代数式的值，再计算算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 解得， 将代入得，则． （2）将，代入得， 所以，的算术平方根为． 97．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）求下列各式中x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 98．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别根据平方根和算术平方根的定义计算即可； （2）将，的值分别代入得到，再求平方根即可. 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5， ∴，， 解得：，； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 99．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知．这种化简方法称为分母有理化． (1)将下列式子进行分母有理化： ①________； ②________． (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①分子分母同时乘分母，使分母转化为有理数．②根据平方差公式将分母中的二次根式去掉，转化为有理数． （2）先对每一项进行分母有理化，化简后发现每一项都可以写成两个二次根式相减的形式，中间项可以互相抵消，剩下和，从而得到答案． 【详解】（1）解：①， ②； （2）解： ． 100．（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 【答案】(1) (2)；137 (3)183和184 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得求解即可； （3）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴整数n值为183和184． 101．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)． (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 102．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，. (2). 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义列方程即可求出a，b，的值，根据算术平方根的估算即可求出c的值； （2）根据（1）中的结果得到的值，根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴ 即 解得， ∵， ∴， ∵的整数部分为c． ∴ （2）解：由（1）可知， ，，， ∴， ∴的平方根为． 103．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当，时，原式． 104．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务 …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)原式中的二次根式：、、、、，是最简二次根式的是________； (2)从第________步开始出错，请写出正确的计算过程． 【答案】(1)、 (2)解：观察可知，第一步开始出错，出错原因是去括号时前面的符号没有变号，正确过程如下： ． 【分析】（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）第一步在去括号时，前面的符号没有变号，再按二次根式的相关运算法则写出正确的运算过程即可． 【详解】（1）解：不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 是最简二次根式， 是最简二次根式； （2）略 105．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，．材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： (1)与是关于的共轭二次根式，则的值为________． (2)计算：． (3)若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，计算两式的乘积即可得到的值． （2）对每个分式进行分母有理化，再通过裂项相消法简化求和计算． （3）根据共轭二次根式的定义列方程，通过移项、分母有理化求解的值． 【详解】（1）解：由共轭二次根式的定义，两式的乘积为． ； （2）解：对任意正整数，有 ， 则原式； （3）解：由共轭二次根式的定义，得 展开左边，得 移项并整理含的项，得 两边同时除以，分母有理化，得 ． 拔高·压轴破难 题型19 分式、实数和二次根式的压轴练（共20小题） 106．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）解答下列各题 (1)已知、满足，求的值． (2)若，是有理数，且满足，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值都是非负数，几个非负数相加等于0则各自为0，列出方程组求出a，b，再对代数式通分化简，代入求值； （2）先去括号整理等式，把有理数部分、含的无理部分分开，因为x，y是有理数，所以有理数部分、无理数部分分别相等，列方程组求出x，y，再算出，求它的算术平方根． 【详解】（1）解：，，， ，， ，解得， ； （2）解， ， ，是有理数， ，解得， ， 的算术平方根为． 107．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）阅读下列材料，然后解答下列问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简__________；__________． (2)方法迁移，解决变式问题：化简__________． (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法进行分母有理化并化简即可； （2）把分母有理化即可； （3）根据题中给出的例子计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 108．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式化简、二次根式除法、立方根的性质，先化简各项，再合并同类二次根式； （2）根据绝对值、二次根式乘法、零指数幂法则，去绝对值、展开计算，再合并同类二次根式； （3）二次根式除法化简、分母有理化、负整数指数幂运算，化简后合并； （4）逆用积的乘方公式，再用完全平方公式展开，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 109．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）解答下列问题： (1)比较大小：______；（填“>”“<”或“=”） (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴． （2）解： ． 110．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）阅读理解 我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程，比如在解方程时，可采用如下方法： ∵， 又∵①， ∴②， 由①＋②可得，将两边平方解得， 代入原方程检验可得等号成立， ∴是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： (1)若，则m的对偶式n为______，m·n＝______ (2)方程的解是______ (3)解方程：． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】（1）根据对偶式的定义解答，再根据平方差公式计算； （2）先根据平方差公式求出，再将两式相加得，然后平方可得解； （3）仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴m的对偶式n为， ∴； （2）解：①， ∵， ∴②， ，得， 平方，得， 解得； （3）解：①， ∵， ∴②， ，得， 平方，得， 即， 解得． 111．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 112．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）二次根式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 113．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在学习了二次根式后，小明同学发现有的含二次根式的式子可以写成另一个含二次根式的式子平方的形式．比如：．善于动脑的小明继续探究：当，，，为正整数时，若，则有，所以，．请模仿小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，则__________，__________； (2)若，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2)46或14 【分析】（1）根据小明的方法利用完全平方公式将展开，即可解答； （2）利用完全平方公式将展开，得到，，再根据，均为正整数，即可得到，的两组数值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵，且，，均为正整数， ∴， ∴，， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为46或14． 114．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，__________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ∴； （3）解： ． 115．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后得到的差就是小数部分，于是的小数部分为．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是_______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)2，； (2)1 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 116．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）【阅读材料】 （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是； （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个适当的代数式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是_______，的有理化因式是_______；（写出一个即可） (2)分母有理化：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)3 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是，因为，所以的有理化因式是； （2）把的分子、分母同时乘以可得：原式，利用完全平方公式和平方差公式把分子、分母分别展开，再约去分子、分母的公约数即可； （3）把每一项的分子、分母分别乘以分母的有理化因式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是， （2） ； （3） ． 117．（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．已知实数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，m为正整数，，求证：c一定是偶数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∴为非负数． (2)证明：∵为正整数， ∴也为正整数，则， ， ， ∴． ∵m 为正整数，为偶数， ∴c 一定是偶数． 【分析】（1）利用平方差公式对进行变形，代入已知条件并提取公因式，化简并判断非负性即可； （2）先求出，，再利用二次根式的性质进行化简即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略． 118．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 119．（25-26七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 120．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 121．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 122．（25-26九年级下·重庆开州·开学考试）材料一：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：， ， ， 材料二：对于实数，我们定义一种新运算 （其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中，叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数． (1) ______；若 ，则 ______； (2)已知 ，请求出实数的取值范围； (3)已知 ， ， 求，的值； 若正格线性数 满足 ，求：满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；的值为或或 【分析】（1）根据所给定义求解即可； （2）根据题意可得，解不等式组即可得到答案； （3）①可求出，，则可得到方程组，解方程组即可得到答案；②根据正格线性数的定义可得都是正整数，则可求出，且a是整数；根据得到，解不等式组确定a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解不等式得， 解不等式得， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵是正格线性数， ∴都是正整数， ∴， 解得，且a是整数； ∵， ∴， ∴， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， 综上所述，，且a是整数， ∴a的值为4或5或6． 123．（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 124．（25-26七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据“整数区间”的定义求解即可； 先根据无理数和的“整数区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，进而根据“整数区间”的定义求解即可； 根据二次根式的性质可得，即得，进而得到，，再两式相加可得，即得到，最后根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的“整数区间”是； ∵， ∴， ∴的“整数区间”是； （2）解：∵无理数（为正整数）的“整数区间”为， ∴， ∴， ∴， ∵无理数的“整数区间”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ①②，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无理数的“整数区间”为． 125．（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式、实数和二次根式（19大题型125题） 基础·固本强基 题型1 分式的求值 题型2 分式的四则混合运算 题型3 分式的化简求值 题型4 分式的求整计算 题型5 解分式方程 题型6 分式方程解的含参计算 题型7 分式方程的增根无解计算 题型8 平方根、立方根的计算 题型9 平方根、立方根的规律计算 题型10 整数部分、小数部分的计算 题型11 二次根式的化简（含复合二次根式） 题型12 二次根式的混合运算 题型13 分母有理化 题型14 二次根式的化简求值 题型15 实数的混合运算 题型16 新定义下的实数运算 题型17 实数相关的规律题 提升·进阶突破 题型18 分式、实数和二次根式的进阶练 拔高·压轴破难 题型19 分式、实数和二次根式的压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的求值（共5小题） 1．（2026·湖南株洲·三模）已知，求代数式的值． 2．（25-26八年级下·四川眉山·阶段检测）按要求完成以下问题 (1)已知，求的值； (2)已知，求和的值． 3．（2026·北京平谷·二模）已知，求代数式的值． 4．（2026·北京密云·一模）已知，求代数式的值． 5．（2026·云南楚雄·二模）已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 题型2 分式的四则混合运算（共5小题） 6．（2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）化简：． 8．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 9．（2026八年级上·全国·专题练习）化简：． 10．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 题型3 分式的化简求值（共5小题） 11．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 12．（2026·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中 13．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 14．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 15．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 题型4 分式的求整计算（共5小题） 16．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 17．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 18．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 19．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 20．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 题型5 解分式方程（共5小题） 21．（2026九年级·全国·专题练习）解方程：． 22．（2026九年级·内蒙古·专题练习）解方程： 23．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 24．（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 25．（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 题型6 分式方程解的含参计算（共5小题） 26．（2026八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程有整数解，求整数的值． 27．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知关于的分式方程的解为正数，求的取值范围． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的方程有解，求实数的取值范围． 29．（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）若关于x的分式方程的解为正实数，求m的取值范围． 30．（25-26八年级下·福建漳州·期中）若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围． 题型7 分式方程的增根无解计算（共5小题） 31．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若关于x的分式方程无解，求m的值． 32．（25-26八年级下·山西晋中·期末）下面是小亮同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得：② 解得： 是原方程的根． 任务： (1)小明分析：不是原方程的根，而是方程 （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ． (2)请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． (3)根据总结的解题经验，解方程：． 33．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）若关于x的分式方程无解，求m的值． 34．（2026·广东茂名·模拟预测）已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 35．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 题型8 平方根、立方根的计算（共5小题） 36．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 37．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的值． (1)． (2) 38．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 39．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）解下列方程 (1) (2) 40．（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）求下列各式中的x的值： (1) (2) 题型9 平方根、立方根的规律计算（共5小题） 41．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）按要求解答 (1)填表： 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 100 … (2)规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位； ②当时，若正数越大，则 ． (3)尝试运用：已知， ，求的值． 42．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 43．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 44．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 45．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 题型10 整数部分、小数部分的计算（共5小题） 46．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）[相关资料]：已知，则，所以的整数部分为，小数部分为 ． [问题探究]：的小数部分为，的小数部分为， (1)根据资料提示计算在哪两个相邻的整数之间？ (2)求 的值． 47．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 48．（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， ∴的整数部分为2，小数部分为 请回答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 49．（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）（阅读材料） ∵，即 ∴ ∴的整数部分为1 ∴的小数部分为 （解决问题） (1)填空：的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)已知a是的小数部分，b是的整数部分，求代数式的值； (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求出的值． 50．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）我们知道，如果一个正数a不是完全平方数，那么它的算术平方根介于两个连续整数之间． 例如：因为，，所以；的整数部分是1， (1)的整数部分是______，的整数部分是______． (2)若的整数部分是5，写出一个符合条件的m的值：______． (3)已知正整数n满足与的整数部分相同． ①如果它们的整数部分都是1： 因为的整数部分是1，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是1，所以只可能是，即只可能是． 同时满足这两个条件，得到______． ②如果它们的整数部分都是2： 因为的整数部分是2，所以只可能是（因为，，所以）． 因为的整数部分也是2，所以只可能是，即只可能是．同时满足这两个条件，得到______． ③如果它们的整数部分都是3：同时满足这两个条件，得到______． ④观察上面得到的n的值，你能发现规律吗？当与的整数部分为k时，请用含k的表达式写出正整数的取值范围． 题型11 二次根式的化简（含复合二次根式）（共5小题） 51．（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)填空：___________；___________； (2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：． 52．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简：_______，_______； (2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 53．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 54．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）已知实数满足，求的值． 55．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）先阅读下面解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，则 ； 例：化简： 请用上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 题型12 二次根式的混合运算（共5小题） 56．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 58．（26-27九年级上·四川眉山·阶段检测）计算 (1)； (2)． 59．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）计算： (1) (2) 60．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型13 分母有理化（共5小题） 61．（26-27八年级上·陕西·期中）仿照，化简． 62．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 63．（25-26八年级下·云南昆明·期末）楠楠同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 64．（2026·河北沧州·三模）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 65．（25-26八年级下·全国·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫作分母有理化．我们把叫作的有理化因式，叫作的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：． 题型14 二次根式的化简求值（共5小题） 66．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知，． (1)求与的值； (2)求的值． 67．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求代数式的值，其中． 68．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知，，求的值． 69．（25-26八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又， ． 这种方法称为“构造对偶式”． 已知，解答问题： (1)求的值； (2)求的值． 70．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 题型15 实数的混合运算（共5小题） 71．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1) (2) 72．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）计算： (1) (2) 73．（26-27八年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)． 74．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) 75．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 题型16 新定义下的实数运算（共5小题） 76．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）对任意正数a、b定义运算“※”：当时，；当时，．如果，求x的值． 77．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”． (1)与是关于的“平衡数”，则是______，表示的值的点落在数轴上的位置位于______．（填序号） (2)与______是关于的“平衡数”； (3)若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，如果是，请说明理由并求出的值． 78．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 79．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）我们在学习实数的运算时得出两个结论：①无理数与有理数的和一定是无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，则，．已知m，n为有理数，根据上述内容解决下列问题； (1)若，则____，_____； (2)若，求的值． 80．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似的，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有______； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时，求出这个最小值． 题型17 实数相关的规律题（共5小题） 81．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 82．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 83．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 84．（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 85．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 提升·进阶突破 题型18 分式、实数和二次根式的进阶练（共20小题） 86．（26-27八年级上·湖南怀化·阶段检测）计算下列各式： (1) (2) 87．（26-27八年级上·全国·阶段检测）计算下列分式运算： (1)； (2)； (3)； (4) 88．（2026·广东深圳·三模）先化简，再求值：，并从，，2，3中选一个合适的数代入求值． 89．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）综合与实践 素 材 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素 材 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 问题解决： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，这个数是________； (3)若分式的值为整数，请求出所有符合条件的正整数的值． 90．（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 91．（2026九年级·北京·专题练习）如果，求代数式的值． 92．（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． (1)【辨析】下列分式中，_________是美好分式（填序号）； ①；②；③；④． (2)【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； (3)【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数?若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 93．（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 94．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）解分式方程 (1)； (2)． 95．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是__________；（填“真分式”或“假分式”） (2)当为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ (3)将分式化成带分式. 96．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求的值； (2)计算的算术平方根． 97．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）求下列各式中x的值． (1) (2) (3) 98．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 99．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知．这种化简方法称为分母有理化． (1)将下列式子进行分母有理化： ①________； ②________． (2)计算：． 100．（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 101．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）计算： (1)． (2)； (3)． (4)． 102．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 103．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 104．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务 …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)原式中的二次根式：、、、、，是最简二次根式的是________； (2)从第________步开始出错，请写出正确的计算过程． 105．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，．材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： (1)与是关于的共轭二次根式，则的值为________． (2)计算：． (3)若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 拔高·压轴破难 题型19 分式、实数和二次根式的压轴练（共20小题） 106．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）解答下列各题 (1)已知、满足，求的值． (2)若，是有理数，且满足，求的算术平方根． 107．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）阅读下列材料，然后解答下列问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简__________；__________． (2)方法迁移，解决变式问题：化简__________． (3)化简：． 108．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 109．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）解答下列问题： (1)比较大小：______；（填“>”“<”或“=”） (2)计算：． 110．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）阅读理解 我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程，比如在解方程时，可采用如下方法： ∵， 又∵①， ∴②， 由①＋②可得，将两边平方解得， 代入原方程检验可得等号成立， ∴是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： (1)若，则m的对偶式n为______，m·n＝______ (2)方程的解是______ (3)解方程：． 111．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) 112．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）二次根式计算： (1)； (2)． 113．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在学习了二次根式后，小明同学发现有的含二次根式的式子可以写成另一个含二次根式的式子平方的形式．比如：．善于动脑的小明继续探究：当，，，为正整数时，若，则有，所以，．请模仿小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，则__________，__________； (2)若，且，，均为正整数，求的值． 114．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，__________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 115．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后得到的差就是小数部分，于是的小数部分为．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是_______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 116．（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）【阅读材料】 （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是； （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个适当的代数式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是_______，的有理化因式是_______；（写出一个即可） (2)分母有理化：； (3)化简：． 117．（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．已知实数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，m为正整数，，求证：c一定是偶数． 118．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 119．（25-26七年级下·上海·期末）化简 (1)； (2)； (3)． 120．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 121．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 122．（25-26九年级下·重庆开州·开学考试）材料一：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：， ， ， 材料二：对于实数，我们定义一种新运算 （其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中，叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数． (1) ______；若 ，则 ______； (2)已知 ，请求出实数的取值范围； (3)已知 ， ， 求，的值； 若正格线性数 满足 ，求：满足条件的的值． 123．（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 124．（25-26七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 125．（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $