第28章-第2节-相似三角形（1）-课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 相似三角形（1） 年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 1 情境引入 观察下面两组图片，它们有什么相同的特征？ 日常生活中，可以看到许多像这样形状相同而大小不一定相同的图形 一颗大一颗小的两颗五角星 大小不同的两个圆 尺寸不同的两张证件照 字体相同字号不同的两个“字” 相似三角形 特殊 ，这类图形称为相似形. 2 情境引入 全等三角形 特殊 SSS SAS ASA AAS 判定 性质 对应边相等、对应角相等 传递性 观察生活中的图形 全等形 抽象 应用 解决数学问题和实际问题 3 新知讲授 定义： 如果一个图形经过平移、旋转、翻折后，与另一个图形能够完全重合，那么这两个图形叫作全等形. 是全等形的两个三角形叫作全等三角形. 4 新知讲授 相似三角形的定义： 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. 5 新知讲授 相似三角形的定义： 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. 两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”. 图1 当我们说△ABC与△A1B1C1相似时，常意味着点A、B、C分别是点A1、B1、C1的对应顶点. 图1中，△ABC和△DEF相似， 记作：△ABC∽△DEF， 其中点A与点D、点B与点E、点C与点F分别对应, 符号“∽”读作“相似于”. 6 新知讲授 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 相似三角形的定义： 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F, . 图1 符号语言： ∵△ABC∽△DEF， 7 新知讲授 如图2，已知DE是△ABC的中位线，那么△ADE与△ABC相似吗？ 问题1 图2 DE是△ABC的中位线 点D是AB的中点 点E是AC的中点 相似比 △ADE∽△ABC 8 新知讲授 相似比： 两个相似三角形的对应边的比值叫作这两个相似三角形的相似比. 练习1:问题1中,△ADE与△ABC的相似比为         ， △ABC与△ADE的相似比为         . 如图2，已知DE是△ABC的中位线，那么△ADE与△ABC相似吗？ 问题1 图2 设△ABC与△A'B'C'的相似比为k, 则△A'B'C'与△ABC的相似比为         . 当两个相似三角形的相似比为1时，意味着什么？ 9 新知讲授 当两个相似三角形的相似比等于1时，这两个相似三角形就成为全等三角形. 反过来，两个全等三角形一定是相似比等于1的相似三角形.  全等三角形是相似三角形的特殊情形. 当两个相似三角形的相似比为1时，意味着对应边相等，即两个三角形全等. 10 图3 问题2 如图3，如果△A1B1C1∽△ABC，△A2B2C2∽△ABC，那么△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？为什么？   证明 ∵△A1B1C1∽△ABC，△A2B2C2∽△ABC， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2. ∴∠A1=∠A，∠B1=∠B，∠C1=∠C, ， ∠A2=∠A，∠B2=∠B，∠C2=∠C, ， ∴∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∠C1=∠C2， ， 新知讲授 11 新知讲授 相似三角形 特殊 观察生活中的图形 相似形 抽象 定义及相关概念 对应角相等、对应边成比例 三角形相似的传递性 …… 性质 …… 判定 12 图3 新知讲授 三角形相似的传递性： 符号语言： ∵△A1B1C1∽△ABC，△A2B2C2∽△ABC， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2. 问题2 如图3，如果△A1B1C1∽△ABC，△A2B2C2∽△ABC，那么△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？为什么？   如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 13 新知讲授 平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 相似三角形的定义： 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 猜想 14 新知讲授 如图3，已知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC. 求证：△ABC∽△ADE. 问题3 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 猜想 可以通过添平行线，得到比例线段. 图3 △ABC∽△ADE 15 新知讲授 如图3，已知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC. 求证：△ABC∽△ADE. 问题3 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 猜想 F = = 图3 △ABC∽△ADE 16 新知讲授 如图3，已知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC. 求证：△ABC∽△ADE. 问题3 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 猜想 F = = 图3 17 新知讲授 ①如果点D、E分别在△ABC的边AB、AC的延长线上，DE∥BC，此时，△ABC和△ADE相似吗？ 思考 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 猜想 ②如果点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，DE∥BC，此时，△ABC和△ADE相似吗？ 18 新知讲授 相似三角形的定义： 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 类比全等三角形的判定，我们能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢？ 我们可以先尝试角的条件. SSS SAS ASA AAS 两个角相等呢？ 一个角相等的两个三角形相似吗？ 新知讲授 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 猜想 相似三角形的预备定理： 符号语言： ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE. 在△ABC中， 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 20 图4 两角对应相等的两个三角形相似. 新知讲授 猜想 如图4，已知：在△ABC与△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1. 求证：△ABC∽△A1B1C1. ①相似三角形的定义； ②三角形相似的传递性； ③相似三角形的预备定理. 分析 1. 有哪些方法可以得到两个三角形相似？ 相似三角形的预备定理 三角形相似的传递性 两角对应相等的两个三角形相似. 新知讲授 猜想 证明一个命题是真命题的一般步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”； (3)写出由条件推出结论的完整过程. 两角对应相等的两个三角形相似. 新知讲授 猜想 分析 1. 有哪些方法可以得到两个三角形相似？ D E 图4 2. 想要使用三角形相似的传递性或相似三角形的预备定理，该如何添线？ △ADE∽△A1B1C1 如图4，已知：在△ABC与△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1. 求证：△ABC∽△A1B1C1. 未知 转化 已知 △ABC∽△ADE △ABC∽△A1B1C1 △ADE≌△A1B1C1 两角对应相等的两个三角形相似. 新知讲授 猜想 证明  不妨假设AB＞A1B1，在AB上截取AD=A1B1，再过点D作DE∥ BC，交AC于点E. ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B， 又∵∠B=∠B1，∴∠ADE=∠B1. ∵∠A=∠A1，AD=A1B1 ，∴△ADE≌△A1B1C1. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴△ABC∽△A1B1C1. = = E D 如图4，已知：在△ABC与△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1. 求证：△ABC∽△A1B1C1. 图4 证明△ADE与△A1B1C1全等 证明△ADE与△ABC相似 24 两角对应相等的两个三角形相似. 新知讲授 猜想 定理：两角对应相等的两个三角形相似. 符号语言： 在△ABC与△A1B1C1中， ∵∠A=∠A1，∠B=∠B1， ∴△ABC∽△A1B1C1. 如图4，已知：在△ABC与△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1. 求证：△ABC∽△A1B1C1. 图4 课堂小结 相似三角形 定义 及相关概念 性质 判定 定义： 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. 相似比： 两个相似三角形的对应边的比值叫作这两个相似三角形的相似比. 当两个相似三角形的相似比等于1时，这两个相似三角形就成为全等三角形. 预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 定理：两角对应相等的两个三角形相似. 相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 26 结束语 借助类比思想，可以通过已经学习过的全等三角形来探究相似三角形，在今后的学习中，我们也要善用类比这座桥梁，在看似陌生的新知识中，洞察到与旧知识之间的关联，让学习有迹可循，让思考有源可溯。 27 $