27.5二次函数的简单应用课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 第27章 二次函数 27.5二次函数的简单应用 二次函数的简单应用 1 复习引入 二次函数 实例 概念 图像与性质 应用 2 例题讲解 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．当铅球落地时，飞出的水平距离 OD为多少？ 问题 A B m 3 m 3 m 3 例题讲解 C 6 m m A B 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．当铅球落地时，飞出的水平距离 OD为多少？ 问题 4 例题讲解 D A B C 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．当铅球落地时，飞出的水平距离 OD为多少？ 问题 5 例题讲解 A B C D 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．当铅球落地时，飞出的水平距离 OD为多少？ 问题 6 例题讲解 A B C D 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．当铅球落地时，飞出的水平距离 OD为多少？ 问题 设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. O 1 2 3 4 5 −1 6 7 8 9 x/m −3 −2 −4 y/m −2 −1 1 2 3 4 5 7 例题讲解 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交 于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求铅球飞行时离地面的高度 y（单位：m）与飞出的水平距离 x（单位：m）的函数表达式; (2)求铅球落地时，飞出的水平距离 OD. 例1 8 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交 于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求铅球飞行时离地面的高度 y（单位：m）与飞出的水平距离 x（单位：m）的函数表达式; 例1 例题讲解 待定系数法 确定函数表达式 分析 9 (1)求铅球飞行时离地面的高度 y（单位：m）与飞出的水平距离 x（单位：m）的函数表达式; 例1 例题讲解 根据题意，设函数的表达式为 ， 这个函数的图像经过 ， ， 三点，于是，得 解得 ， ， . 所以，所求二次函数的表达式是 . 解 10 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交 于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (2)求铅球落地时，飞出的水平距离 OD. 例1 例题讲解 飞出的水平距离 OD 求点D的横坐标 分析 11 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交 于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (2)求铅球落地时，飞出的水平距离 OD. 例1 例题讲解 根据题意，令 y=0 ， 解得 或 所以，飞出的水平距离 OD为 12 m. 解 （不符合实际意义，舍去）. 12 例题讲解 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交 于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 例1 y/m −2 −1 1 2 3 4 5 O A B C D x/m −3 −2 1 2 3 4 5 −1 6 7 8 9 −4 O 13 例题讲解 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．设过位置A的铅垂线与过位置D的水平线相交 于点 O，以 O为原点、OD 为 x 轴、OA 为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 例1 A B C D 能否以点A为原点、分别以过点A的水平线和铅垂线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系？ 1 2 3 4 5 −1 6 7 8 9 x/m −3 −2 −4 y/m −2 −1 1 2 3 4 5 O 14 A B C D 例题讲解 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．以点A为原点、分别以过点A的水平线和铅垂 线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．当铅球落地时，飞出的水平距离为多少？ 思考 x/m −3 −2 1 2 3 4 5 −1 6 7 8 9 −4 y/m −2 −1 1 2 3 4 5 O O 直线 铅球飞出的水平距离 求点D的横坐标 15 A B C D 例题讲解 x/m −3 −2 1 2 3 4 5 −1 6 7 8 9 −4 y/m −2 −1 1 2 3 4 5 O O 直线 v0 v0x v0y 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为 m的位 置 A；铅球出手后，飞出水平距离 3 m 时到达离地面高度 3 m 的位置 B；飞出水平距离 6 m 时到 达离地面高度 m 的位置 C；铅球的落地点为 D．以点A为原点、分别以过点A的水平线和铅垂 线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．当铅球落地时，飞出的水平距离为多少？ 思考 16 如图，有一块等腰直角三角形铁皮 ABC，底边 AB 长 20 cm．在其上截一块矩形铁皮 EFGD， 边 FG 在 AB 上，顶点 E、D 分别在 CA、CB 上．设 EF 的长为 x cm，矩形 EFGD 的面积为 y cm²，试写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围，并求当 EF 长为 4 cm时所截矩 形的面积． 例2 例题讲解 x 20 45° x x x 等腰直角三角形ABC 矩形EFGD FG = AB - AF - BG 矩形EFGD的面积 分析 FG EF 20 x x AF=EF= x， BG=DG= x EF= x 17 如图，有一块等腰直角三角形铁皮 ABC，底边 AB 长 20 cm．在其上截一块矩形铁皮 EFGD， 边 FG 在 AB 上，顶点 E、D 分别在 CA、CB 上．设 EF 的长为 x cm，矩形 EFGD 的面积为 y cm²，试写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围，并求当 EF 长为 4 cm时所截矩 形的面积． 例2 例题讲解 于是 AF=EF=x，GB=DG=x， FG=AB-AF-GB=20-2x， 所以矩形EFGD的面积 解 因为四边形 EFGD是矩形，所以EF=DG ，∠EFG = 90°. 所以∠EFA = 90°. 又因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠A = 45°， 从而∠AEF = 45°， 所以 AF = EF . 同理 GB = DG . x 20 45° x x x 18 如图，有一块等腰直角三角形铁皮 ABC，底边 AB 长 20 cm．在其上截一块矩形铁皮 EFGD， 边 FG 在 AB 上，顶点 E、D 分别在 CA、CB 上．设 EF 的长为 x cm，矩形 EFGD 的面积为 y cm²，试写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围，并求当 EF 长为 4 cm时所截矩 形的面积． 例2 例题讲解 分析 矩形EFGD的面积 EF= x FG = 20 - 2x FG < AB 0 < 0 < 20-2x < 20 EF < CH 0 < 0 < x < 10 x 20 45° x x x H 19 如图，有一块等腰直角三角形铁皮 ABC，底边 AB 长 20 cm．在其上截一块矩形铁皮 EFGD， 边 FG 在 AB 上，顶点 E、D 分别在 CA、CB 上．设 EF 的长为 x cm，矩形 EFGD 的面积为 y cm²，试写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围，并求当 EF 长为 4 cm时所截矩 形的面积． 所以，y关于x的函数表达式是 ， 例2 例题讲解 解 由 0<FG<AB ，得 0<20-2x<20， 解得 0<x<10. 自变量 x 的取值范围是 0 < x < 10. 当 x = 4时， . 这说明当EF的长为 4 cm时，所截得的矩形的面积为 48 cm². 过点C作CH⊥AB于点H . 由 0<EF<CH ，得 0<x<10. x = 4 x 20 45° x x x H 20 如图，有一块等腰直角三角形铁皮 ABC，底边 AB 长 20 cm．在其上截一块矩形铁皮 EFGD， 边 FG 在 AB 上，顶点 E、D 分别在 CA、CB 上．设 EF 的长为 x cm，矩形 EFGD 的面积为 y cm²，试写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围，并求当 EF 长为 4 cm时所截矩 形的面积． 例2 例题讲解 x 20 45° x x x H 当 EF 多长时，才能使所截矩形的面积最大？ 思考 y = −2x2 + 20x 配方法 y = a(x + m)2 + h y = ax2 + bx + c 面积最大 最大值 21 如图，有一块等腰直角三角形铁皮 ABC，底边 AB 长 20 cm．在其上截一块矩形铁皮 EFGD， 边 FG 在 AB 上，顶点 E、D 分别在 CA、CB 上．设 EF 的长为 x cm，矩形 EFGD 的面积为 y cm²，试写出 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围，并求当 EF 长为 4 cm时所截矩 形的面积． 例2 例题讲解 x 20 45° x x x H 当 EF 多长时，才能使所截矩形的面积最大？ 思考 y = −2x2 + 20x = −2(x − 5)2+ 50 5 50 当 x = 5时，y = 50 这说明当EF的长为 5 cm时， 所截得的矩形面积最大，面积为 50 cm². y = −2x2 + 20x （0<x<10） 22 某公司自主设计了一款成本为 40 元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现， 该产品每天的销售量 n（单位：件）与销售单价 x（单位：元）之间满足 n = −10x + 1200 （0 < x < 120）． （1）求出每天销售这款儿童玩具获得的利润 y（单位：元）关于销售单价 x （单位：元）的 函数表达式（利润 = 销售额 − 成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 例3 例题讲解 23 例题讲解 x n 总利润 = 销售总价 − 总成本 分析 y = 思路一 某公司自主设计了一款成本为 40 元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现， 该产品每天的销售量 n（单位：件）与销售单价 x（单位：元）之间满足 n = −10x + 1200 （0 < x < 120）． （1）求出每天销售这款儿童玩具获得的利润 y（单位：元）关于销售单价 x （单位：元）的 函数表达式（利润 = 销售额 − 成本）； 例3 销售量×单件成本 − 40 × n × 销售量×销售单价 总利润 = − 24 例题讲解 分析 思路二 销售单价 − 单件成本 总利润 = 销售量 × 单件利润 （ ） 某公司自主设计了一款成本为 40 元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现， 该产品每天的销售量 n（单位：件）与销售单价 x（单位：元）之间满足 n = −10x + 1200 （0 < x < 120）． （1）求出每天销售这款儿童玩具获得的利润 y（单位：元）关于销售单价 x （单位：元）的 函数表达式（利润 = 销售额 − 成本）； 例3 x n y = − 40 × 总利润 = 销售量 × （ ） 25 例题讲解 解 （1）因为 所以利润 y关于销售单价 x 的函数表达式为 y = −10x2 + 1 600x − 48 000. y = n(x − 40) = (−10x + 1 200)(x − 40) = −10x2 + 1 600x − 48 000, 某公司自主设计了一款成本为 40 元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现， 该产品每天的销售量 n（单位：件）与销售单价 x（单位：元）之间满足 n = −10x + 1200 （0 < x < 120）． （1）求出每天销售这款儿童玩具获得的利润 y（单位：元）关于销售单价 x （单位：元）的 函数表达式（利润 = 销售额 − 成本）； 例3 26 例题讲解 配方法 y = a(x + m)2 + h y = ax2 + bx + c 某公司自主设计了一款成本为 40 元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现， 该产品每天的销售量 n（单位：件）与销售单价 x（单位：元）之间满足 n = −10x + 1200 （0 < x < 120）． （1）求出每天销售这款儿童玩具获得的利润 y（单位：元）关于销售单价 x （单位：元）的 函数表达式（利润 = 销售额 − 成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 例3 利润最大 最大值 分析 y = −10x2 + 1 600x − 48 000 27 所以当销售单价定为80元时，该公司每天获得的利润最大，最大利润是16 000元 . 例题讲解 解 （2）因为 y = −10x2 + 1 600x − 48 000 = −10(x − 80)2+ 16 000 某公司自主设计了一款成本为 40 元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现， 该产品每天的销售量 n（单位：件）与销售单价 x（单位：元）之间满足 n = −10x + 1200 （0 < x < 120）． （1）求出每天销售这款儿童玩具获得的利润 y（单位：元）关于销售单价 x （单位：元）的 函数表达式（利润 = 销售额 − 成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 例3 28 课堂小结 二次函数 数学问题 建立模型 求解模型 实际情境 实例 概念 图像与性质 应用 解释检验 29 结束语 “以名举实，以理推之。” ——《墨经·小取》 30 null 19152.0 null 10128.0 null 22128.0 $