第27章二次函数-“二次函数”单元复习课课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

第27章 二次函数 复习与小结 “二次函数”单元复习课 1 例题讲解 问题 1 已知等腰直角三角形的底边长为 x 厘米，它的面积为 y 平方厘米，那 么 y 关于 x 的函数表达式是__________． 自变量 x的取值范围是__________． 形如 y= ax2+bx+c( a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数. 二次函数自变量 x的取值范围是一切实数. 在解决实际问题时，需根据具体意义确定自变量的取值范围。 1 2 x x＞0 y＝ x2 1 4 2 知识梳理 实 例 二次函数 概 念 函数表达式 自变量取值范围 3 例题讲解 问题2 二次函数y= x22x5的图像的开口向___，对称轴是_______,在对称轴右侧，图像____，顶点坐标是______，该二次函数在 x =__时，取到最___值___． y= x22x+5 y= x22x+1+4 y= (x1)2+4 上 直线x=1 1 小 上升 （1，4） 4 二次函数 二次函数 配方 4 知识梳理 二次项系数a a > 0 a < 0 对称轴 顶点 开口方向 图像的 变化规律 函数值的 变化规律 函数的 最值 开口向上 在对称轴的左侧，图像下降； 在对称轴的右侧，图像上升. 开口向下 在对称轴的左侧，图像上升； 在对称轴的右侧，图像下降. 当x=-m时，函数值y取到最小值为h 当x=-m时，函数值y取到最大值为h ，抛物线的最低点 ，抛物线的最高点 二次函数 y=a(x+m)2+h ( a、 m、h是常数，且a≠0)的图像与性质 直线 x= -m 直线 x= -m （-m，h） （-m，h） 5 知识梳理 二次项系数a a > 0 a < 0 对称轴 顶点 开口方向 图像的 变化规律 函数值的 变化规律 函数的 最值 直线 当 时，函数值y取到最小值为 直线 当 时，函数值y取到最大值为 ，抛物线的最低点 ，抛物线的最高点 二次函数 (a、 b、 c是常数，且a≠0 )的图像与性质 开口向上 开口向下 在对称轴的左侧，图像下降； 在对称轴的右侧，图像上升. 在对称轴的左侧，图像上升； 在对称轴的右侧，图像下降. 6 例题讲解 二次函数y= x22x+5的图像的开口向___，对称轴是_______，顶点坐标是______，该二次函数在x=___时，取到最___值____． 上 直线x=1 若点A(2，m)、B(1，n)在这个二次函数的图像上，mn． (填或或） （1，4） 1 小 4 问题2 7 若点A(2，m)、B(1，n)在这个二次函数的图像上，mn． (填或或） O 例题讲解 问题2 上 直线x=1 （1，4） 1 小 4 二次函数y= x22x+5的图像的开口向___，对称轴是_______，顶点坐标是______，该二次函数在x=___时，取到最___值____． 8 知识梳理 二次项系数a a > 0 a < 0 对称轴 顶点 开口方向 图像的 变化规律 函数值的 变化规律 函数的 最值 开口向上 在对称轴的左侧，图像下降； 在对称轴的右侧，图像上升. 开口向下 在对称轴的左侧，图像上升； 在对称轴的右侧，图像下降. 当x=-m时，函数值y取到最小值为h 当x=-m时，函数值y取到最大值为h ，抛物线的最低点 ，抛物线的最高点 二次函数 y=a(x+m)2+h ( a、 m、h是常数，且a≠0)的图像与性质 直线 x= -m 直线 x= -m （-m，h） （-m，h） 当x<-m时，y随x的增大而减小； 当x>-m时，y随x的增大而增大. 当x<-m时，y随x的增大而增大； 当x>-m时，y随x的增大而减小. 9 知识梳理 二次项系数a a > 0 a < 0 对称轴 顶点 开口方向 图像的 变化规律 函数值的 变化规律 函数的 最值 直线 当 时，函数值y取到最小值为 直线 当 时，函数值y取到最大值为 ，抛物线的最低点 ，抛物线的最高点 二次函数 (a、 b、 c是常数，且a≠0 )的图像与性质 开口向上 开口向下 在对称轴的左侧，图像下降； 在对称轴的右侧，图像上升. 在对称轴的左侧，图像上升； 在对称轴的右侧，图像下降. 当 时，y随着x的增大而减小； 当 时，y随着x的增大而增大. 当 时，y随着x的增大而增大； 当 时，y随着x的增大而减小. 10 例题讲解 问题3 如果抛物线 y=x向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后得到新抛物线的表达式为__________________________． x y O 1 y= (x3)22 即y= x26x+7 顶点(0,0) 顶点(3,2) 抛物线的平移 抛物线顶点的平移 (0,0) (3,2) 11 例题讲解 问题3 如果抛物线 y=x向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后得到新抛物线的表达式为__________________________． y= (x3)22 即y= x26x+7 12 例题讲解 问题3 如果抛物线 y=x向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后得到新抛物线的表达式为__________________________． y= (x3)22 即y= x26x+7 13 知识梳理 实 例 二次函数 概 念 图 像 与 性 质 开口方向与大小 对称轴 顶点坐标 图像的变化规律 函数值的变化规律 函数的最值 14 例题讲解 问题4 （1）已知二次函数图像的顶点坐标为（1，4），且经过（1，0）这个函数的表达式为 ． 顶点 （1，4） 经过（1，0） 设 y=a (x1)24 (a≠0) y= (x1)24 分析 y= (x1)24 即 y= x22x3 a = 1 0=a (11)24 15 例题讲解 问题4 （2）已知二次函数图像的对称轴是直线x=1，且经过（1，0）和（0，3）， 这个函数的表达式为 ． 分析 对称轴是直线 x=1 设y=a (x1)2 h (a≠0) 经过（1，0）和（0，3） y= (x1)24 y= (x1)24 即 y= x22x3 a = 1、h=4 16 例题讲解 问题4 y= (x1)24 即 y= x22x3 分析 对称轴是直线x=1 设y=ax2 bx+c (a≠0) 经过（1，0） 经过（3，0） 经过（0，3）和（1，0） y= x2x3 a= 1、 b=2、 c=3 （2）已知二次函数图像的对称轴是直线x=1，且经过（1，0）和（0，3）， 这个函数的表达式为 ． 17 例题讲解 问题4 y= (x1)24 即 y= x22x3 分析 设y=a(x1)(x3) (a≠0) 经过（1，0） y= (x1)(x3) 经过（0，3） 3=a(01)(03) （2）已知二次函数图像的对称轴是直线x=1，且经过（1，0）和（0，3）， 这个函数的表达式为 ． 对称轴是直线x=1 经过（1，0） 经过（3，0） y= x2x3 a = 1 18 例题讲解 问题4 y= (x1)24 即 y= x22x3 （2）已知二次函数图像的对称轴是直线x=1，且经过（1，0）和（0，3）， 这个函数的表达式为 ． 对于抛物线y=a(xx1 )(xx2 ) (a≠0)， 如果x1 = x2，抛物线与x轴有几个交点？ 19 知识梳理 实 例 二次函数 概 念 设 确定函数的表达式 设 已知抛物线经过三点 已知抛物线顶点坐标或对称轴，加上适当的条件. 已知抛物线与x轴交点坐标，加上适当的条件. 设 图 像 与 性 质 20 例题讲解 问题5 （1）如果抛物线 y= x2+bx+1的对称轴为 y 轴，那么此抛物线的顶点坐标 为 ． （0，1） 对称轴为 y 轴 顶点（0，1） 分析 b = 0 对称轴为 y 轴 设 顶点在 y 轴上 顶点在 y 轴上 21 例题讲解 （2）如果抛物线 y= x2+bx+1的顶点在 x 轴上，那么 b 的是 ． 顶点在 x 轴上 2或2 分析 或 即 或 （1）如果抛物线 y= x2+bx+1的对称轴为 y 轴，那么此抛物线的顶点坐标 为 ． （0，1） 问题5 顶点在 x 轴上 设 y= x2+bx+1 b =2或2 m = 1或 m = 1 22 例题讲解 顶点在 x 轴上 抛物线与 x 轴只有一个交点 也可以这样考虑 b =2或2 （2）如果抛物线 y= x2+bx+1的顶点在 x 轴上，那么 b 的是 ． 2或2 （1）如果抛物线 y= x2+bx+1的对称轴为 y 轴，那么此抛物线的顶点坐标 为 ． （0，1） 问题5 23 例题讲解 抛物线 y= ax2+bx+c与 x 轴交点的个数与一元二次方程 ax2+bx+c=0的判别式之间的关系 抛物线y= ax2+bx+c 与x轴交点的个数 一元二次方程 ax2+bx+c=0的判别式 =b24ac 0 0 0 2个 1个 0个 （2）如果抛物线 y= x2+bx+1的顶点在 x 轴上，那么 b 的是 ． 2或2 问题5 24 例题讲解 m = 0或 m = 6 （2）如果抛物线 y= x2+bx+1的顶点在 x 轴上，那么 b 的是 ． 2或2 问题5 顶点在 x 轴上 抛物线与 x 轴只有一个交点 书本P25上的例5 25 例题讲解 顶点在 x 轴上 设 对于抛物线y=a(xx1 )(xx2 ) (a≠0)， 如果x1 = x2，抛物线与x轴有几个交点？ 抛物线与x轴只有一个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 x1 = x2 m=x1 只有一个交点 且此交点是这个抛物线的顶点 （2）如果抛物线 y= x2+bx+1的顶点在 x 轴上，那么 b 的是 ． 2或2 问题5 26 知识梳理 实 例 二次函数 概 念 应 用 与一元二次方程的联系 图 像 与 性 质 27 例题讲解 问题 6 AB表示水管，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线状，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线的表达式为 ，那么落水点C到点A的距离是 . 28 AB表示水管，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线状，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线的表达式为 ，那么落水点C到点A的距离是 . 例题讲解 分析 令 y = 0 求AC的长 求C点坐标 C (5，0) AC= 5 问题 6 5 29 知识梳理 实 例 二次函数 概 念 解决实际问题 与一元二次方程的联系 应 用 图 像 与 性 质 30 知识梳理 实 例 二次函数 概 念 应 用 图 像 与 性 质 31 例题讲解 问题 7 二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图1，根据图像，小海得到如下结论，其中正确的是 . ①b24ac0； ②方程 ax2+bx+c(a≠0)的两根是x1=1，x2=5； ③ 4a+b=0； ④ab+c=0； ⑤在x2的范围内，y的值随着x的值增大而减小. 图1 O 32 例题讲解 分析 图1 你能从图像中获得哪些信息？ a< 0 b > 0 c = 2 与 y 轴的交点坐标（0，2） 与 x轴的一个交点坐标（–1，0） 对称轴是直线x= 2 O 抛物线 开口向下 问题 7 二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图1，根据图像，小海得到如下结论，其中正确的是 . 直线 x= 2 33 图1 例题讲解 a < 0 b > 0 c = 2 与 x轴的一个交点坐标（–1，0） 对称轴是直线 x= 2 与 x轴另一个交点坐标（5，0） A B C AB=BC 图像与 x轴有两个交点 b24ac> 0 分析 O 问题 7 二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图1，根据图像，小海得到如下结论，其中正确的是 . 数形结合 34 例题讲解 × ①b24ac0； ②方程 ax2+bx+c(a≠0)的两根是x1=1，x2=5； ③ 4a+b=0； ④ab+c=0； ⑤在x2的范围内，y的值随着x的值增大而减小. b24ac> 0 与 x轴另一个交点坐标（5，0） 图1 O 问题 7 二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图1，根据图像，小海得到如下结论，其中正确的是 . 35 例题讲解 图1 与 x轴的一个交点坐标（–1，0） 4a+b=0 ab+c=0 a<0，在直线x= 2左侧，图像上升，当x<时，函数值y随着自变量x的增大而增大 直线 x= 2 分析 O 问题 7 二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图1，根据图像，小海得到如下结论，其中正确的是 . 36 例题讲解 × ①b24ac0； ②方程 ax2+bx+c(a≠0)的两根是x1=1，x2=5； ③ 4a+b=0； ④ab+c=0； ⑤在x2的范围内，y的值随着x的值增大而减小. b24ac> 0 与 x轴另一个交点坐标（5，0） × a < 0，在直线x= 2左侧，图像上升，当x <2时，函数值y随着自变量x的增大而增大 ②③④ 二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图1，根据图像，小海得到如下结论，其中正确的是 . 图1 O 问题 7 37 综合运用 例题 已知抛物线 与x轴交于A （x1 , 0） 、B （x2 , 0） (x1 x2)两点，与 y 轴交于点 C，O为原点. (1) 求 m的取值范围； 分析 抛物线与 x 轴交于A、B点 m > 0 38 综合运用 例题 已知抛物线 与x轴交于A （x1 , 0） 、B （x2 , 0） (x1 x2)两点，与 y 轴交于点 C，O为原点. (1) 求 m的取值范围； (2) 若 ，且OA+OB=3OC,求抛物线的表达式及点A、B、C的坐标. m > 0 39 综合运用 OA = |x1| OB = |x2| OC=|18m2m| A （x1 , 0） B （x2 , 0） C (0 , 18m2-m) 分析 40 综合运用 开口向上 所以点C在y轴正半轴上. 即 . 因为对称轴是直线x= = 12m, 所以对称轴在y轴左侧. 所以12m一定小于零 . 因为 , 所以 . 又因为 , 所以 , 因为 , 数形结合 画出 大致 图像 x o OC=18m2m OA = |x1| OB = |x2| OC=|18m2m| A （x1 , 0） B （x2 , 0） C (0 , 18m2-m) 分析 41 综合运用 数形结合 画出 大致 图像 x o 点A、点B 在x轴负半轴上 OA=x1 OB=x2 OA+OB=3OC (x1+x2)=3(18m2m) OC=18m2m OA = |x1| OB = |x2| OC=|18m2m| A （x1 , 0） B （x2 , 0） C (0 , 18m2-m) 分析 42 综合运用 数形结合 画出 大致 图像 x o 由题意可得x1 、x2 ,是方程 的两个不相等的实数根. 根据韦达定理 x1+x2=24m OA=x1 OB=x2 OA+OB=3OC (x1+x2)=3(18m2m) OC=18m2m OA = |x1| OB = |x2| OC=|18m2m| A （x1 , 0） B （x2 , 0） C (0 , 18m2-m) 分析 43 综合运用 数形结合 画出 大致 图像 x o 3(18m2m)=24m x1+x2=24m OA=x1 OB=x2 OA+OB=3OC (x1+x2)=3(18m2m) OC=18m2m OA = |x1| OB = |x2| OC=|18m2m| A （x1 , 0） B （x2 , 0） C (0 , 18m2-m) 分析 44 综合运用 分析 数形结合 画出 大致 图像 x o 令y = 0 x1 x2 x1=8，x2=4 A 8 , 0)、B 4 , 0) 令x = 0 y = 4 C 0, 4) 3(18m2m)=24m x1+x2=24m OA=x1 OB=x2 OA+OB=3OC (x1+x2)=3(18m2m) OC=18m2m OA = |x1| OB = |x2| OC=|18m2m| A （x1 , 0） B （x2 , 0） C (0 , 18m2-m) 45 实 例 数学抽象 函数的概念 分析问题 函数的图像与性质 函数的应用 以形识数 二次函数的概念 实 例 二次函数的图像与性质 实 际 问 题 归纳小结 解决问题 以 数 析 形 课堂小结 研究内容 研究路径 研究策略 实例 概念 图像与性质 应用 二次函数 从具体到抽象 从特殊到一般 函数思想 转化思想 类比迁移 数学思想 数形结合 分类讨论 模型观念 结束语 万千变化的抛物线看似各不相同，但其本质始终相通 . 学会观察、思辨和归纳，就能帮助我们读懂二次函数背后的函数探究之道 . 48 $