27.2 二次函数的图像与性质（第3课时）2026-2027学年数学沪教版五四制九年级上册

第27章 二次函数 27.2 二次函数的图像与性质 （第3课时）二次函数图像的左右平移 九年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 本课学习目标 会画图 用成对列表描点，比较水平移动的曲线． 会平移 掌握的左右平移规律． 会说明 写出新对称轴、顶点及轴两侧的变化． 复习引入 从熟悉的顶点出发 基础图像 的对称轴是轴，顶点是原点． 新的形式 把换成或，会发生什么？ 研究方法 用列表、描点与对应点共同验证． 例题讲解 例 3 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数、和的图像． 答：取，基础函数值为． 解 先算各个的平方，再乘． 以为中心的成对函数值相等． 方法：基础行仍按原点两侧成对取值． 注意：平方运算在乘负系数之前． 例题讲解 例 3 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数、和的图像． 答：取，的值依次为． 解 先算，再平方，最后乘负系数． 当时括号为，函数值最大． 方法：先处理括号，避免直接把旧函数值加． 注意：横坐标为，不是时取到． 例题讲解 例 3 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数、和的图像． 答：取，的值依次为． 解 先算，再平方后乘． 当时括号为，函数值最大． 方法：逐项依照括号、平方、乘系数计算． 注意：不同函数的对称中心横坐标不同． 例题讲解 例 3 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数、和的图像． -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 原抛物线 左移1 右移1 答：三条曲线都开口向下，开口大小相同，顶点位于不同的横坐标处． 解 先画基础图像，再按另两组数值描点． 分别光滑连线，按颜色比较三条曲线的顶点位置． 方法：核对每条图像函数值为的位置． 注意：不要把三条曲线误画成上下平移． 知识讲授 观察：哪些特征保持不变 开口方向 三条抛物线都开口向下． 开口大小 系数同为，形状相同． 顶点高度 顶点纵坐标都为． -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 例题讲解 观察　对称轴和顶点发生什么变化 图中三条抛物线为、、．分别写出它们的对称轴和顶点． -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 原抛物线 左移1 右移1 答：对称轴依次为；顶点依次为． 解 让平方括号等于，得到顶点横坐标． 以该点为中心，两侧等距点具有相同纵坐标． 方法：从括号等于零的位置找对称中心． 注意：对称轴是直线，顶点是点． 知识讲授 括号内加1，图像向左移 观察图像可以发现，将抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线． 原点移到，因此方向是向左． 括号内加，相同函数值提前出现． 知识讲授 括号内减1，图像向右移 类似地，抛物线可由抛物线向右平移个单位长度得到，对称轴为直线，顶点为． 对应点横坐标加，纵坐标不变． 新顶点位于原点的右侧． 例题讲解 探究　正系数同样遵循左右平移 请在同一平面直角坐标系中，分别画出函数、和的图像，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及这三条抛物线之间的关系． -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 答：都向上开口；轴依次为，顶点为． 解 由基础图像左移得到括号内加的图像． 由基础图像右移得到括号内减的图像． 方法：改变的符号，左右平移规律仍不变． 注意：方向由括号内的改变量决定． 知识讲授 把对应点连起来看 左移一格 变为． 右移一格 变为． 不变的量 对应点的纵坐标保持不变． 知识讲授 水平平移的一般规律 抛物线可由抛物线向左（若）或向右（若）平移个单位长度得到，对称轴为直线，顶点为． 让，顶点横坐标就是． 用表示距离，用的符号判断方向． 知识讲授 用括号等于零理解符号 定位顶点 ，所以． 对称轴 过顶点且平行于轴，即直线． 顶点高度 平方项为零时，函数值为． 知识讲授 读懂正负号 加正数 的顶点在． 减正数 的顶点在． 不靠死记 先令括号为零，用顶点位置判断左右． 例题讲解 变式 例 3 将的图像向右平移个单位长度，写出新表达式、对称轴及顶点． -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 答：；对称轴；顶点． 解 原顶点右移至． 式中括号应在时为零，故写． 方法：先移动顶点，再反推括号． 注意：右移不能写成． 例题讲解 变式 例 3 将向左平移个单位长度，求新表达式、顶点和最大值． 答：；顶点；最大值为． 解 左移后顶点横坐标为． 向下开口保持不变，最高点纵坐标仍为． 方法：距离是正数，坐标可以为负数． 注意：水平平移不改变最大值． 环节归纳 两条路线确定左右方向 路线一：追踪顶点 （1）先把按要求左右移动，得到新顶点． （2）让新式的括号在该横坐标处等于零． 路线二：追踪同高点 （1）原点与新点具有相同纵坐标． （2）左移得到，右移得到． 课堂练习 练习1 分别写出抛物线、和的开口方向、对称轴和顶点，并指出抛物线、与抛物线分别有什么关系． -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 答：都向上开口；轴依次为；顶点依次为． 解 二次项外的系数都是． 分别令平方项的括号为零． 方法：先处理共同的开口方向，再逐条定位． 注意：对称轴横坐标与括号内常数异号． 课堂练习 练习1 分别写出抛物线、和的开口方向、对称轴和顶点，并指出抛物线、与抛物线分别有什么关系． -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 答：由基础图像左移得到；由基础图像右移得到． 解 左移后顶点从变为． 右移后顶点从变为． 方法：以基础图像为参照，描述方向和距离． 注意：两条新图像之间相差个单位长度． 课堂练习 练习2 写出抛物线的顶点，并说明如何由抛物线平移得到该抛物线． 答：顶点为；由向右平移个单位长度得到． 解 令，得． 顶点从原点右移，纵坐标不变． 方法：直接让平方括号为零． 注意：不要把顶点横坐标写为． 知识讲授 增减变化以新的轴为界 向上开口 在时随增大而减小，右侧相反． 向下开口 在时随增大而增大，右侧相反． 极值不变 顶点纵坐标为，只是取得时的改变． 课堂小结 二次函数 水平平移 定位顶点 令，找到横坐标；顶点纵坐标为，所以顶点是． 判断方向 由基础图像向左移动；向右移动，平移距离为个单位长度． 轴与形状 对称轴为直线；系数不变，所以开口方向和开口大小保持不变． 描述变化 以新对称轴分左右讨论增减；顶点极值仍为，取得时横坐标改为． 特别提醒：先让括号为零，再判断左右，可避免符号错误． 针对训练 训练1　说出水平平移 说明下列图像如何由对应的平移得到． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 由左移． 顶点横坐标为． 解第（2）题 由右移． 顶点横坐标为． 方法：令括号为零． 注意：加号对应向左． 方法：先保持负系数． 注意：开口方向不决定平移方向． 针对训练 训练1　说出水平平移（续） 说明下列图像如何由对应的平移得到． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 由右移． 括号在时为零． 解第（4）题 由左移． 新顶点在原点左侧． 方法：读清括号内的分数． 注意：外面的不是位移． 方法：以顶点位置核对方向． 注意：距离用正数表示． 针对训练 训练2　填写轴与顶点 写出下列抛物线的对称轴和顶点． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 轴；顶点． ． 解第（2）题 轴；顶点． ． 方法：找括号为零的位置． 注意：顶点纵坐标为零． 方法：横坐标与常数异号． 注意：轴不是点． 针对训练 训练2　填写轴与顶点（续） 写出下列抛物线的对称轴和顶点． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 轴；顶点． ． 解第（4）题 轴；顶点． ． 方法：分数符号同样处理． 注意：外部系数不改顶点横坐标． 方法：写完整坐标． 注意：负号只决定开口向下． 针对训练 训练3　写出平移后的表达式 完成下列水平平移． （1） 左移． （2） 右移． （3） 右移． （4） 左移． 解第（1）题 ． 新顶点为． 解第（2）题 ． 新顶点为． 方法：用顶点反推括号． 注意：左移写加号． 方法：只替换． 注意：系数保持不变． 针对训练 训练3　写出平移后的表达式（续） 完成下列水平平移． （1） 左移． （2） 右移． （3） 右移． （4） 左移． 解第（3）题 ． 顶点由变为． 解第（4）题 ． 顶点由移回． 方法：先移动已有顶点． 注意：不能忽略原来已左移． 方法：合成水平方向的位移． 注意：可能回到基础图像． 针对训练 训练4　在新的轴两侧谈变化 说明指定范围内函数值随如何变化． （1） ， ． （2） ， ． （3） ， ． （4） ， ． 解第（1）题 随增大而减小． 处在向上开口图像的左侧． 解第（2）题 随增大而增大． 处在向上开口图像的右侧． 方法：先定位新对称轴． 注意：不能再以分界． 方法：按新轴区分左右． 注意：边界是． 针对训练 训练4　在新的轴两侧谈变化（续） 说明指定范围内函数值随如何变化． （1） ， ． （2） ， ． （3） ， ． （4） ， ． 解第（3）题 随增大而增大． 向下开口图像左侧上升． 解第（4）题 随增大而减小． 向下开口图像右侧下降． 方法：先判断系数负号． 注意：轴是． 方法：从左向右观察趋势． 注意：不能省略给定范围． 针对训练 训练5　计算新函数值 已知，计算下列对应的函数值． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ． ． 解第（2）题 ． 括号为． 方法：括号先加． 注意：括号整体平方． 方法：识别顶点横坐标． 注意：这是最大值． 针对训练 训练5　计算新函数值（续） 已知，计算下列对应的函数值． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 ． ． 解第（4）题 ． ． 方法：与比较对称性． 注意：关于新轴对称而非轴． 方法：逐层运算． 注意：令不一定得到顶点． 针对训练 训练6　寻找等高的对称点 在上，按要求写出点的坐标． （1） 点关于对称轴的对应点． （2） 点关于对称轴的对应点． （3） 点关于对称轴的对应点． （4） 点关于对称轴的对应点． 解第（1）题 ． 在轴左侧个单位，对应点在右侧个单位． 解第（2）题 ． 与关于对称． 方法：用到轴的距离相等定位． 注意：纵坐标不变． 方法：横坐标和等于轴横坐标的两倍． 注意：两点均在同一水平线上． 针对训练 训练6　寻找等高的对称点（续） 在上，按要求写出点的坐标． （1） 点关于对称轴的对应点． （2） 点关于对称轴的对应点． （3） 点关于对称轴的对应点． （4） 点关于对称轴的对应点． 解第（3）题 仍是． 该点就在对称轴上． 解第（4）题 ． ，左侧对应横坐标为． 方法：先检查是否位于轴上． 注意：不要造出另一个不同位置的点． 方法：从轴出发向相反方向走等距． 注意：不能简单把横坐标取相反数． 针对训练 训练7　判断与纠错 （1）是向右移所得． 错 理由：顶点为，应向左移． （2）的最大值是． 错 理由：顶点为，最大值是． （3）水平平移不改变抛物线的开口大小． 对 理由：系数保持不变． （4）在时总随增大而减小． 错 理由：在时它位于新轴右侧，随增大而增大． 方法：用顶点核对方向，用新对称轴核对增减． 注意：平移后不能沿用作为分界． 针对训练 训练8　读图：看顶点恢复表达式 图中蓝色曲线是，红色曲线由它水平平移得到．根据刻度读出红色曲线的顶点和表达式． -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：顶点为；表达式为． 解 红色最低点在轴的刻度处． 形状与基础图像相同，括号应为． 方法：先读顶点坐标，再让括号为零． 注意：图中未标新表达式，不能凭颜色猜方向． 针对训练 训练9　描点画图：围绕新顶点取值 画的图像，并标出顶点和对称轴． -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 答：顶点，对称轴；可描． 解 以为中心成对选取横坐标． 描点后光滑连线，过顶点画竖直对称轴． 方法：顶点加两对等高点确定图像． 注意：选点围绕，不是围绕原点． 针对训练 训练10　对应点与连续水平平移 点在上．将图像先向右平移个单位长度，再向左平移个单位长度．求新表达式与的对应点． -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 答：；对应点为． 解 总位移为向右个单位长度． 原横坐标增加，纵坐标不变． 方法：合成位移后，再统一移动各点． 注意：最终顶点是，不是对应点． 针对训练 训练11　实际应用：抛物线构件沿轨道移动 构件截面为，．原点在初始最低点，水平向右为正方向，竖直向上为正方向，两轴每单位为 m．构件向右移动 m，求新式、最低点及处高度． -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 答：，；最低点，处高 m． 解 水平移动使原定义区间两端各加． 代，． 方法：顶点与定义区间要一起平移． 注意：坐标原点仍保持在初始最低点． 针对训练 训练12　实际应用：弧形展板的平移 展板上缘为，．以原顶点为原点，向右、向上分别为轴正方向，两轴每单位为 m．展板向左移动 m后，求新顶点及处低于原点水平线的距离． -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 答：新顶点；处低 m． 解 新式，范围． 代得，故向下距离为 m． 方法：先写同一坐标系中的平移表达式，再解释纵坐标． 注意：负纵坐标表示在基准线下方，距离仍为正． 方法总结 两种方法检查水平平移的符号 方法一：括号等于零 （1）令，读出新顶点横坐标． （2）再比较新、旧顶点位置，判断方向与距离． 方法二：对应点不改高度 （1）选顶点和一个普通点，横坐标都加上同一位移． （2）纵坐标保持不变，把新点代入新表达式复核． $