期中复习压轴专题01 解答题分类训练（22种类型110道）（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版七年级，22种类型110道） 范围：第10章—第12章 知识点一 去括号、合并同类项 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）化简： (1)； (2) 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）化简． (1) (2) 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）化简： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·甘肃嘉峪关·期中）化简 (1) (2) (3)； (4)． 知识点二 整式加减化简求值问题 6．（26-27七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 7．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 8．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26六年级下·上海·期末）已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）计算： (1) (2) (3) (4)化简求值：，其中，． 知识点三 整式加减中无关（不含某一项）问题 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）关于的多项式与的和不含和． (1)求，的值； (2)求的值． 12．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知关于x的多项式中不含项和项． (1)求a，b的值； (2)当时，求这个多项式的值． 13．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，且． (1)求多项式； (2)若中不含项，求的值． 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）小仁同学有这样一道数学题：“已知两个多项式，，计算”时，小仁误将“”看成：“”，求得的结果为．已知． (1)求多项式？ (2)计算原题的正确结果，并求当时的值； (3)若的计算结果中不含关于的一次项，求的值． 15．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 知识点四 幂的运算及逆用 16．（2026八年级上·全国·专题练习）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 17．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知 ，． 求： (1) 的值； (2) 的值． 18．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 19．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 20．（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 知识点五 幂的混合运算 21．（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）计算： （2）计算： 22．（25-26八年级上·福建莆田·期中）计算： (1)； (2)． 23．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 24．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 25．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2) (3) 知识点六 由幂的运算比较大小 26．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 27．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 28．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 29．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且 即 解：且 即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 30．（21-22七年级下·四川达州·阶段检测）幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：， 为正整数，那么） 知识点七 幂的运算新定义问题 31．（25-26七年级下·河北承德·期末）规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 32．（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 【概念理解】规定两数之间的一种运算，记作，如果，我们叫为“雅对”．例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． 【问题解决】 (1)根据上述规定，填空：___；____；_____． (2)计算： 33．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 34．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 35．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定对于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)若，则： ①计算； ②当，求的值； (2)若为正整数，，化简：． 知识点八 整式四则混合运算 36．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 37．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 38．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)先化简，再求值：，其中，． 40．（25-26八年级上·海南海口·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 知识点九 整式乘法不含某一项问题 41．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若的结果中不含有的一次项，求的值． 42．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知将展开的结果不含和项，求的算术平方根． 43．（24-25八年级上·吉林松原·期中）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值． 44．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 45．（25-26七年级下·广东梅州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 知识点十 平方差公式的几何背景 46．（25-26七年级下·广东佛山·期中）我们在《整式的乘除》中学习了乘法公式①，②． 学习推导公式时，利用数形结合的办法通过图形变换求图形的面积来推导乘法公式：在应用方面，利用乘法公式可以简化整式乘除运算，同时如果你将乘法公式进行合理的变式，可以解决很多数学问题． (1)观察图甲．用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．则这个代数恒等式是________：观察图乙，分别表示图中阴影部分的面积可以验证恒等式是________．（在横线上选填序号①②）（图甲中用四个全等的长方形围成正方形） (2)利用乘法公式进行简便运算： (3)我们知道乘法公式进行逆运算得到的过程称配方，且当时，例如：因为，所以代数有最小值是1，利用上述公式变化求解问题： ①当m取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ ②已知等腰三角形的两边长分别为a，b（且a，b都是正整数），满足求等腰三角形的周长． 47．（25-26六年级下·山东烟台·期中）看图完成各题： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；（用含a、b的等式表示） (2)运用（1）中所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 48．（25-26七年级下·广东河源·期中）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 49．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图，图4阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：____________________________， 图：_____________________________， 图：____________________________， 图4：______________________________． (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： ①已知，，求代数式的值． ②若，求的值． (3)如图，E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是96，分别以，为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 50．（25-26七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图1，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1： (1)将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2： (2)四张长为、宽为的长方形纸片按如图4方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________． 任务3： (3)若满足，求的值． (4)计算． 知识点十一 完全平方公式几何背景 51．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）观察图 ，边长为的正方形被两条线段分成四块． (1)写出大正方形面积的两种表达式，由此得到完全平方公式 ________； (2)利用上述结论计算：． 52．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： (2)如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 53．（25-26八年级上·全国·阶段检测）用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (3)如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 54．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 55．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 【问题情境】如图1，A类小正方形卡片的边长为类长方形卡片的长为，宽为，C类大正方形卡片的边长为，发现利用图1中的三种卡片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图2可以解释的等式为． 【问题初探】 (1)仿照图2利用图形面积解释等式的形式，则图3可以解释的等式为___________； (2)选取若干张A，B，C类卡片拼出一个长方形，该长方形的长为，宽为． ①计算这个长方形的面积（展开成多项式）． ②请直接写出拼成该长方形需要A类、B类、C类卡片各多少张； (3)现有A类卡片4张，B类卡片7张，C类卡片4张，从中取出若干张（每种卡片至少取1张），拼成一个大正方形，请直接写出所有可以拼成的大正方形的边长（用含的代数式表示）． 【拓展探究】 (4)我们知道可以借助几何图形建立图形面积与代数式的关系，如图4，大正方形的边长为，两个小正方形的边长均为，将它们按照如图所示的位置摆放（无缝隙、不重叠），阴影部分的面积记为．已知，求的值． 知识点十二 利用完全平方公式变形公式求解 56．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 57．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3) 58．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 59．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系为 ； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片＿张，B 号卡片__张，C号卡片__张； (3)解答问题：若 ，则的值为_______； (4)两个正方形 如图3摆放，边长分别为x、y，若 ，则图中阴影部分的面积为_____． 60．（24-25八年级上·四川眉山·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，则的值为____________； (2)【类比应用】①若，则 ； ②若x满足，求的值； ③若x满足，求的值； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 知识点十三 乘法公式规律型问题 61．（24-25八年级上·四川乐山·期中）观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ． (3)根据（2）求出：的结果． 62．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）观察下列每个图形中的最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律： (1)照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______； (2)（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性； （ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：． 63．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式： ， ， ， (1)根据上述各式反映出的规律填空： ________． (2)如果一个正整数个位上数字是，去掉个位上的数字之后的数是（为正整数）， ①这个正整数可以表示为________（用含的代数式表示）； ②试说明该正整数平方后一定可以被整除． 64．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 65．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： (1)请根据上述规律计算：_________；_________． (2)设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 知识点十四 乘法公式新定义问题 66．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 67．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 68．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 69．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 70．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； (2)探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； (3)应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 知识点十五 利用乘法公式进行简便运算 71．（26-27八年级上·全国·单元测试）利用乘法公式计算： (1) (2) 72．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 73．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）简便运算： (1) (2) 74．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 75．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 知识点十六 整式的乘除先化简后求值 76．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）先化简，再求值：，其中． 77．（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 78．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 79．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）化简求值：，其中．． 80．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 知识点十七 配方法 81．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 82．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 83．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 84．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 85．（23-24八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 知识点十八 因式分解 86．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分解因式： (1)； (2)． 87．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 88．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 89．（24-25八年级上·四川眉山·期中）把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 90．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式： (1)； (2)． 知识点十九 利用因式分解进行简便运算 91．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 92．（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 93．（25-26八年级下·山西晋中·期中）分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 94．（25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 95．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二十 利用因式分解进代数式的值 96．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如果，，求的值． 97．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； 98．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）已知 ，，求： (1)； (2)． 99．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 100．（25-26八年级下·福建三明·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)已知，利用因式分解求的值． 知识点二十一 因式分解与几何图形 101．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 102．（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 103．（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 104．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 105．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 知识点二十二 因式分解的应用 106．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 107．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 108．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）·阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． (2)拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 109．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 (1)①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 (2)①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 110．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版七年级，22种类型110道） 范围：第10章—第12章 知识点一 去括号、合并同类项 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据合并同类项法则，进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、去括号等知识点，掌握去括号法则是解题的关键． （1）直接运用整式的加减运算法则计算即可； （2）先去括号，然后按照整式的加减运算法则计算即可； （3）先去括号，然后按照整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简． （1）通过合并同类项进行化简； （2）先去括号，然后合并同类项进行化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．（25-26七年级上·甘肃嘉峪关·期中）化简 (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，整式的加减运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项； （4）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 知识点二 整式加减化简求值问题 6．（26-27七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先按照去括号、合并同类项化简原式，然后把a，b的值代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 7．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 8．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先进行整式的加减运算，再代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 9．（25-26六年级下·上海·期末）已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）计算： (1) (2) (3) (4)化简求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】（1）先去括号，然后计算加减； （2）先计算乘方再乘除，最后计算加减； （3）合并同类项，即可求解； （4）先去括号，再合并同类项，最后将字母的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 当，时，原式 知识点三 整式加减中无关（不含某一项）问题 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）关于的多项式与的和不含和． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值、整式加减中的无关问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的加减计算法则求出两个多项式的和，再根据不含和项进行求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则化简，然后代入值计算即可． 【详解】（1）解： ， 的多项式与的和不含和， ，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 12．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知关于x的多项式中不含项和项． (1)求a，b的值； (2)当时，求这个多项式的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题主要是考查了整式加减中的无关项问题，掌握相关的运算法则是解决本题的关键． （1）根据多项式里面不含项和项，直接令项和项的系数为0，进行求解即可； （2）将，，代入多项式中，求出多项式的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得，， ∴a的值为2，b的值为； （2）解：当，，时， ． 13．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，且． (1)求多项式； (2)若中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了整式的运算． （1）直接将代入计算即可； （2）由“中不含项”可知，代入计算即可． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：中不含项， ， ． 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）小仁同学有这样一道数学题：“已知两个多项式，，计算”时，小仁误将“”看成：“”，求得的结果为．已知． (1)求多项式？ (2)计算原题的正确结果，并求当时的值； (3)若的计算结果中不含关于的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)，3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，整式加减中的无关项问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，结合整式的加减计算法则求出的结果，再把代入所求结果中计算求解即可； （3）计算出的结果，根据结果中不含关于的一次项，得到关于的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解： ， 当时，原式； （3）解： ， ∵的计算结果中不含关于的一次项， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 知识点四 幂的运算及逆用 16．（2026八年级上·全国·专题练习）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则拆分指数，整体代入已知条件即可求值； （2）先把常数改写为，等式左边化为同底数幂，底数相同则指数相等，列方程解出． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ， ， ． 17．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知 ，． 求： (1) 的值； (2) 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】（1）解： （2） 18．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ． 19．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)； (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． （2）通过猜想归纳解决此题． （3）根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． 【详解】（1）解：； ； （2）解：；； （3）解： ． 20．（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 知识点五 幂的混合运算 21．（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 22．（25-26八年级上·福建莆田·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，最后再合并同类项． （2）根据积的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： = 23．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 24．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ②先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ③先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ④先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：①原式 ； （2）②原式 ； （3）③原式 ； （4）④原式 ； （5）⑤原式 ． 【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方，同类项的合并等知识，正确计算是解题的关键．注意第（4）小题整体思想的运用． 25．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算的，再合并同类项即可得答案. （2）先根据积的乘方法则、幂的乘方法则计算的 ，最后再合并同类项即可得答案. （3）先根据积的乘方法则的逆运算计算的得，再根据同底数幂的乘法逆运算计算，进一步计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 知识点六 由幂的运算比较大小 26．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． 27．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料1的方法，化为指数相同的幂的形式，再比较底数的大小，即可求解； （2）根据材料2的方法，化为底数相同的幂的形式，再比较指数的大小，即可求解； （3）分别化为，，即可求解． 【详解】（1）解： 因为， 所以 即 （2） 因为， 所以 即 （3） 因为， 所以 即 29．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且 即 解：且 即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察与，两个幂底数、指数都不同，先把转化为以2为底的幂，化为同底数幂，再比较指数大小判断幂的大小． （2）观察，和，三个幂底数、指数都不同，找到指数20、15、10的最大公因数5，将三个幂都转化为指数是5的幂，化为同指数幂，再比较底数大小判断幂的大小． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，，，， ， ． 30．（21-22七年级下·四川达州·阶段检测）幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：， 为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解； （2）可利用幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法的逆运算可求解值； （3）将，，，化为相同的指数，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 知识点七 幂的运算新定义问题 31．（25-26七年级下·河北承德·期末）规定，两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空：__________，__________； (2)若，则__________； (3)已知，，且，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)或 (3) 【分析】（1）根据定义，计算求解即可； （2）根据题意，得，求平方根解答即可； （3）根据题意，得，，利用逆用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵， ∴， 解得或； （3）解：， ，， ， ， 32．（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 【概念理解】规定两数之间的一种运算，记作，如果，我们叫为“雅对”．例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． 【问题解决】 (1)根据上述规定，填空：___；____；_____． (2)计算： 【答案】(1)；； (2) 【分析】（）根据新定义求解即可； （）设，根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到． 【详解】（1）解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； （2）解：设，则， 故， 则， 即． 33．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2)猜想：． 理由：设． ． ． ． ． ． (3)8 【详解】（1）解：，． ，． （2）略． （3）解：， ， ． 又， 由（2）可知． 34．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____________；_____________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：_____________； (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； (4)求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． (4)． 【分析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴，； （2）解：根据题意设：，， 则，， ， 即， ∴ ∴； （3）解：∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即； （4）解∶，设，， 则， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ ． 35．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定对于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)若，则： ①计算； ②当，求的值； (2)若为正整数，，化简：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据新定义运算，把拆成，转化为后代入求值． ②先把写成，逆用新定义得到，对应括号内的数相等，列等式求出． （2）利用新定义，依次化简，得到对应的3的幂次，再根据同底数幂乘法，指数相加进行计算． 【详解】（1）解：① ； ②， 又， ． ． ． （2）解：， ， …… ， ． 知识点八 整式四则混合运算 36．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 37．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 38．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 39．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得解； （2）利用完全平方公式计算即可得解； （3）括号内先去括号，再计算多项式除以单项式，最后合并同类项即可得解； （4）先根据整式的混合运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 当，时， 原式． 40．（25-26八年级上·海南海口·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）原式分别计算积的乘方与幂的乘方以及单项式乘以单项式，再合并即可； （2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可； （3）原式先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （4）原式根据完全平方公式和多项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点九 整式乘法不含某一项问题 41．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若的结果中不含有的一次项，求的值． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据题意得一次项的系数为0，列出方程，求解即可． 【详解】解：原式 ， 不含有的一次项， ， ， 则的值为． 42．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知将展开的结果不含和项，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，再根据结果不含和项可知，含和项的系数为0，即可求出的值，进而即可得解． 【详解】解： ∵展开的结果不含和项， ， ， ∴， ∴的算术平方根． 43．（24-25八年级上·吉林松原·期中）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】 （1）证明： ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2）1 【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值 . 【详解】解：（1）略 （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 44．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2） 略 45．（25-26七年级下·广东梅州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 知识点十 平方差公式的几何背景 46．（25-26七年级下·广东佛山·期中）我们在《整式的乘除》中学习了乘法公式①，②． 学习推导公式时，利用数形结合的办法通过图形变换求图形的面积来推导乘法公式：在应用方面，利用乘法公式可以简化整式乘除运算，同时如果你将乘法公式进行合理的变式，可以解决很多数学问题． (1)观察图甲．用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．则这个代数恒等式是________：观察图乙，分别表示图中阴影部分的面积可以验证恒等式是________．（在横线上选填序号①②）（图甲中用四个全等的长方形围成正方形） (2)利用乘法公式进行简便运算： (3)我们知道乘法公式进行逆运算得到的过程称配方，且当时，例如：因为，所以代数有最小值是1，利用上述公式变化求解问题： ①当m取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ ②已知等腰三角形的两边长分别为a，b（且a，b都是正整数），满足求等腰三角形的周长． 【答案】(1)；① (2) (3)①，最小值是；② 【分析】（1）根据图形阴影部分面积的两种求法可得，根据图形乙分别求出阴影部分面积即可得到； （2）根据公式进行简便运算即可； （3）①根据配方法得到最值即可；②先利用配方得到，再结合等腰三角形的定义求出周长即可． 【详解】（1）解：方法一：图中阴影部分是边长为的正方形， 故阴影部分的面积为； 方法二：图中阴影部分面积为； 则这个代数恒等式是； 观察图乙，阴影部分面积为，移动后面积为， 故可以验证恒等式是①； （2）解： ； （3）解：①， 因为， 所以， 则当，即时，代数式有最小值，最小值是； ② ， 因为， 所以，即， 解得， 设等腰三角形的另外一条边为， 当时，此时等腰三角形的周长， 当时，，不能构成三角形，故不符合题意， 综上，等腰三角形的周长为． 47．（25-26六年级下·山东烟台·期中）看图完成各题： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；（用含a、b的等式表示） (2)运用（1）中所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1) (2)①1；② 【分析】（1）图①中的阴影部分面积用大正方形面积减小正方形面积表示，图②中的阴影部分面积用长方形面积公式表示，即可得解； （2）运用（1）中所得到的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为， 可以得到乘法公式； （2）解：① ； ② 48．（25-26七年级下·广东河源·期中）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 49．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图，图4阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：____________________________， 图：_____________________________， 图：____________________________， 图4：______________________________． (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： ①已知，，求代数式的值． ②若，求的值． (3)如图，E，F分别是正方形的边，上的点，且，，长方形的面积是96，分别以，为边作正方形和正方形，计算阴影部分的面积． 【答案】(1)；；； (2)①17；②17 (3)80 【分析】（1）根据图形，分别表示出各个图形的阴影部分的面积即可； （2）①利用完全平方公式的变形计算即可得出结果；②设，，，，再结合完全平方公式的变形计算即可得出结果； （3）设正方形的边长为，则，，则，设，，，，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图形可得： 图1：， 图2：， 图3：， 图4：； （2）解：①； ②设，，，， ∴， ∴的值为； （3）解：设正方形的边长为，则，， ∴， 设，，，， ∴， ∴， ∴阴影面积． 50．（25-26七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图1，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1： (1)将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2： (2)四张长为、宽为的长方形纸片按如图4方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________． 任务3： (3)若满足，求的值． (4)计算． 【答案】(1)①②④ (2) (3)21 (4) 【分析】（1）根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； （2）方法1，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：，方法2，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得：，即可解答； （3）设，则，，再根据完全平方公式变形求值即可求解； （4）根据平方差公式求值即可求解． 【详解】（1）解：图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图③中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图④中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故能验证平方差公式的有①②④； （2）解：方法1，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得， 方法2，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得； 则； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； （4）解： ． 知识点十一 完全平方公式几何背景 51．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）观察图 ，边长为的正方形被两条线段分成四块． (1)写出大正方形面积的两种表达式，由此得到完全平方公式 ________； (2)利用上述结论计算：． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式表示正方形的面积，也可以用四块图形的面积之和表示，即可建立等式； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：大正方形面积， 又等于四块面积之和， 则 （2）解： ． 52．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： (2)如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）图1，利用大正方形的面积两个小正方形的面积个长方形的面积解答即可；图2，利用大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积解答即可； （2）①根据和变形求出即可；②根据，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：图1，边长为的大正方形的面积边长分别为和的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； 图2，边长为的大正方形的面积边长为的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； （2）解：①由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴阴影部分面积为； ②由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴． 53．（25-26八年级上·全国·阶段检测）用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (3)如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）设，，将，代入（2）所得结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为代数式1：；代数式2：； （2）解：从（1）中可得或． （3）解：方法1： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 方法2： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 54．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)5 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式求解即可； （2）根据，求解即可； （3）设，则，，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的大正方形的边长为，则其面积为； 图中四部分的面积之和是， 因此，可以得到等式； （2）解：∵，， ∴， ； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 55．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 【问题情境】如图1，A类小正方形卡片的边长为类长方形卡片的长为，宽为，C类大正方形卡片的边长为，发现利用图1中的三种卡片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图2可以解释的等式为． 【问题初探】 (1)仿照图2利用图形面积解释等式的形式，则图3可以解释的等式为___________； (2)选取若干张A，B，C类卡片拼出一个长方形，该长方形的长为，宽为． ①计算这个长方形的面积（展开成多项式）． ②请直接写出拼成该长方形需要A类、B类、C类卡片各多少张； (3)现有A类卡片4张，B类卡片7张，C类卡片4张，从中取出若干张（每种卡片至少取1张），拼成一个大正方形，请直接写出所有可以拼成的大正方形的边长（用含的代数式表示）． 【拓展探究】 (4)我们知道可以借助几何图形建立图形面积与代数式的关系，如图4，大正方形的边长为，两个小正方形的边长均为，将它们按照如图所示的位置摆放（无缝隙、不重叠），阴影部分的面积记为．已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②A类卡片6张，B类卡片11张，C类卡片3张 (3)或或 (4)40 【分析】（1）根据长方形的面积公式表示出拼成的长方形面积，再根据长方形是由2张A类卡片，5张B类卡片，2张C类卡片组成表示出面积，即可解答； （2）①根据长方形的面积公式即可求解； ②根据多项式相关系数即可解答； （3）结合完全平方公式求解即可； （4）将三个阴影部分面积相加，结合整式的乘法计算即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形的长为，宽为，面积为； 该长方形是由2张A类卡片，5张B类卡片，2张C类卡片组成，故面积为， 所以图3可以解释的等式为． （2）解：①这个长方形的面积为． ②因为这个长方形的面积为， 所以拼成该长方形需要A类卡片6张，B类卡片11张，C类卡片3张． （3）解：有以下拼成正方形的方法： ①∵， ∴取A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片1张，可拼成边长为的正方形； ②∵， ∴取A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张，可拼成边长为的正方形； ③∵， ∴取A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张，可拼成边长为的正方形． 综上所述，所有可以拼成的大正方形的边长为或或． （4）解：由题意，得 ∴， ∵， ∴． 知识点十二 利用完全平方公式变形公式求解 56．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． 57．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：已知， 则； （2）解：； （3）解：． 58．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系为 ； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片＿张，B 号卡片__张，C号卡片__张； (3)解答问题：若 ，则的值为_______； (4)两个正方形 如图3摆放，边长分别为x、y，若 ，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】(1) (2)2，3，7 (3) (4) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积， 即可得出三者的关系； （2）计算 ，再根据三个纸片的面积可求解； （3）根据计算求解即可； （4）根据三角形面积公式得到阴影部分的面积和为进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ， （2）解： ， ∵A种纸片的面积为，B种纸片的面积为，C种纸片的面积为， ∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张. （3）解：∵， ． ∴． （4）解：∵ ，正方形 的边长分别为x、y， ∴阴影部分的面积和为： ． 60．（24-25八年级上·四川眉山·期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，则的值为____________； (2)【类比应用】①若，则 ； ②若x满足，求的值； ③若x满足，求的值； (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1)2 (2)①3；②31；③1008 (3)30 【分析】（1）直接由完全平方公式即可得出答案． （2）①先由得，再将代入即可得出答案； ②根据完全平方公式即可得出答案； ③根据完全平方公式即可得出答案． （3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后利用三角形面积公式可求出一块直角三角板的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴． ②原式 ； ③∵ ， ∴； （3）解：设，， ∵，点A、O、D三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点十三 乘法公式规律型问题 61．（24-25八年级上·四川乐山·期中）观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ． (3)根据（2）求出：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 62．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）观察下列每个图形中的最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律： (1)照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______； (2)（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性； （ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：． 【答案】(1)32 (2)（ⅰ）．理由如下： 左边 右边， ∴等式成立； （ⅱ） 【分析】（1）根据给出的前三个图形中最外圈小正方形个数规律，得出答案即可； （2）（ⅰ）根据第（1）问得出规律，得出，根据平方差公式进行计算即可； （ⅱ）根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个图形中最外圈的小正方形个数为， 第2个图形中最外圈的小正方形个数为， 第3个图形中最外圈的小正方形个数为， 照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为； （2）解：（ⅰ）略； （ⅱ） ． 63．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式： ， ， ， (1)根据上述各式反映出的规律填空： ________． (2)如果一个正整数个位上数字是，去掉个位上的数字之后的数是（为正整数）， ①这个正整数可以表示为________（用含的代数式表示）； ②试说明该正整数平方后一定可以被整除． 【答案】(1)， (2)①； ②理由：∵， 又∵为正整数， ∴为整数， ∴该正整数平方后一定可以被整除． 【分析】根据已知等式的规律即可求解； ①根据题意列出代数式表示即可；②利用完全平方公式对①所得的代数式进行平方运算，提取公因数说明剩余部分是整数即可说明． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）①这个正整数可以表示为； ②略 64．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 【答案】(1)6，5； (2) ②若均为奇数， 设 ，其中均为自然数． ∴ ． ∵为的倍数，而不是的倍数，矛盾， ∴不可能均为奇数． 【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：由表格可得，奇数的一般规律为： ∴当时，解得： ∴ 故答案为：，； 由表格可得：的倍数的规律为： 故答案为：． （2）略 65．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： (1)请根据上述规律计算：_________；_________． (2)设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 【答案】(1) ， (2) 规律为：， 证明：∵左边， ∴右边， ∵左边右边， ∴. 【分析】（1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据规律写出结论，验证结论左右是否相等，只要把上面的结论的两边去掉括号化简看看是否相等即可判断； 【详解】（1）解：， ； （2）略 知识点十四 乘法公式新定义问题 66．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则得到，再化简所求代数式，最后利用整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， 当时，原式． 67．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 【答案】(1)； (2)解：， 为非负整数， 为非负整数 两个连续偶数的平方差一定能被整除 【分析】（1）根据规律计算即可； （2）用含的式子把规律表示出来，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：， ； （2）略． 68．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】观察①②③④，等式左边是两个连续偶数的平方差，右边是与相应奇数的乘积，第个式子可表示为，用平方差公式即可验证． 【详解】（1）解：第个式子为，取，得⑥：；取，得⑦：． （2）解：取，则，，，故第1013个式子为． （3）解：由规律， 取，将各式相加，中间项两两抵消，得 ， 于是． 故原式． 69．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 【答案】(1)39 (2)0 (3)16 【详解】（1）解：根据“和差数”的定义，计算如下： ； （2）解：根据题意，得到： 移项，利用完全平方公式得， 解得： 原式． （3）解： ． 70．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； (2)探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； (3)应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为 (3) 解： ， ，为整数， ，为整数， 要使S为“完美数”，则， ， 即当时S为“完美数”． 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：； （2）解：， 即， 当即时，最小，最小值为； （3）略 知识点十五 利用乘法公式进行简便运算 71．（26-27八年级上·全国·单元测试）利用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 72．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）将原式变形后利用平方差公式计算即可； （2）将原式变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 74．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)175 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 75．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方法则进行计算即可； （2）变形后利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： （3）解： 知识点十六 整式的乘除先化简后求值 76．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【详解】解： ， 当时，原式． 77．（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用乘法公式展开并合并同类项，再计算多项式除以单项式化简原式，再代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 78．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 把代入，得． 79．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）化简求值：，其中．． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当．时，原式． 80．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当，原式． 知识点十七 配方法 81．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3) ，理由如下： ，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）略 82．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：1； （2）解： ， ∴，， ∴，， ∴． 83．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)34 【分析】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵， ∴， ． 84．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）①利用完全平方公式把式子变形即可；②利用完全平方公式把式子变形即可； （2）利用完全平方公式把式子变形，再根据平方根的定义解方程即可； （3）利用完全平方公式把式子变形，再根据非负数的性质求出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 85．（23-24八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)10，是 (2)2 (3)13，4 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），可得，，然后代值求解即可； （3），由S为“完美数”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：10，是； （2）解：由题意知，， ∵（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数）， ∴，， ∴， 故答案为：2； （3）解：， ∵S为“完美数”， ∴，解得，， 故答案为：13； ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． 知识点十八 因式分解 86．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 87．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 88．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分解； （2）先提出公因数，再利用完全平方公式分解； （3）先加负号凑公因式并提出，再利用平方差公式分解，最后整理即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 89．（24-25八年级上·四川眉山·期中）把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解 （3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 90．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式化为，再提取公因式分解因式即可． （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点十九 利用因式分解进行简便运算 91．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）将原式提取公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 92．（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 93．（25-26八年级下·山西晋中·期中）分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 94．（25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 95．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将原式分组变形为平方差公式的形式计算，再用完全平方公式计算； （2）将原式分组变形为完全平方公式的形式计算； （3）将原式变形为完全平方和公式的形式简便计算； （4）提取公因式后简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点二十 利用因式分解进代数式的值 96．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如果，，求的值． 【答案】 【分析】将用提公因式法因式分解为，再代数求值即可． 【详解】解：，， ． 97．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形进行解答即可； （2）先求出的值，再根据进行解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∴ ． 98．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）已知 ，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)48 【详解】（1）解：， 把 ，代入， 可得原式； （2）解：， 把 ，代入， 可得原式． 99．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用提取公因式法进行因式分解，再将，整体代入求值即可； （2）先利用完全平方公式变形，再将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 100．（25-26八年级下·福建三明·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)已知，利用因式分解求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ， 原式． 知识点二十一 因式分解与几何图形 101．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 102．（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）作出图形，根据图形进行因式分解即可． （3）由得，然后展开，代入数据计算即可； 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）解：如图所示： 由图可得，． （3）解：， ． ， ． ∴． ∴． 103．（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 104．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【答案】(1) (2) (3)，36 【分析】（1）仿照题意可得大正方形的面积等于九个图形的面积之和，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此可得答案； （3）根据，可求出，再根据可得的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． 105．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设，即可得出，再结合、均为整数，为正整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，且， ∴设， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或或或或或， 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 知识点二十二 因式分解的应用 106．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 107．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 108．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． (2)拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 【答案】(1) (2)有最小值1，理由见解析 【分析】（1）将添加，再减去，凑出一个完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （2）将添加4，再减去4，凑成完全平方式，得，而，因此当时，有最小值，为． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴ ， ∴当时，有最小值，为． 109．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式； 步骤二：取，则有，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 (1)①已知多项式，当取时，则生成的密码是__________． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是__________． 【拓展】 (2)①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为__________． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是，请写出满足条件的和，并说明理由． 【答案】(1)①② (2)①②，理由见详解 【分析】（1）①利用平方差公式分解因式，再根据的值求出和的值即可得到答案； ②先运用完全平方公式进行因式分解，再根据求出三个因式的值即可得到答案； （2）①利用平方差公式分解因式，得到，根据密码的前两个因式码为05，07，进行列式计算，即可作答． ②先把进行因式分解，得出，再根据当取x，y某一组值时，生成的密码是，建立方程组，再解方程组，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， ∵， ∴， 依题意，因式码为，按从小到大排列得密码； 即生成的密码是． ②， ∵， ∴ 依题意，因式码为，按从小到大排列得六位数密码， ∴生成的密码是． （2）解：①， 依题意，都是非负整数 ∴， ∵密码的前两个因式码为05，07， ∴， 解得， ∴． 即第三个因式码为； ②，理由如下： ， ∵当取x，y某一组值时，生成的密码是， ∴， 解得． 110．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $