专题6.3 对数函数（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题6.3 对数函数 教学目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念. 2.能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质及简单应用. 3.了解多个对数函数图像的关系,及简单函数图象的平移变换和对称变换,会进行对数函数图象的变换. 4.进一步理解与对数函数有关的复合函数的性质，会利用对数函数解决简单的应用题；体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用 教学重难点 1.重点 对数函数的图象与性质的应用； 2.难点 对数函数有关的复合函数的性质. 知识点一、对数函数的概念 1.一般地,函数y＝ 叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是 . 2.判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为 ； （2）底数为大于 且不等于 的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 要点诠释：（1）对数函数是由指数函数反解后将 互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 （3）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （4）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论 【即学即练】 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．（，） D． 2.若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 知识点二、对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时， ， 当x>1时， 当0<x<1时， ， 当x>1时， 单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 2.对数函数图象的变换 （1）平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. （2）对称变换(a>0，a≠1) ①函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lox)的图象关于 对称； ②函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于 对称； ③函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于 对称 【即学即练】 1．函数（，且）的图象恒过点 ． 2.已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1.底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2.底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈 x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而 x轴．（见下图） 3.比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 【即学即练】 1．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 2．已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点四、反函数 1.反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对 的一个，都有 的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的 A正好是它的反函数的 ；函数的 B正好是它的反函数的 ． 注：并不是每个函数都有反函数，有些函数 反函数，如．一般说来， 有反函数． 2.反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上 【即学即练】 1．已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（    ） A． B． C． D．2 题型01 对数函数概念的理解与判断 【典例1】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数 【变式1】下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【变式2】给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 题型02 利用对数函数的概念求参数 【典例1】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【变式2】若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数为对数函数，则_________． 题型03 求对数函数的解析式或求值 【典例1】已知函数 a>0且a≠1)的图象过点P(4，)，则f(x)的解析式为________． 【典例2】已知函数（且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)若，求实数的值. 求解析式采用待定系数法，先设标准对数函数形式，代入已知点坐标求出底数；求值时找准底数与真数，灵活运用对数运算性质化简计算，注意真数大于0 【变式1】已知对数函数的图象过点，则（    ） A．-3 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知函数是对数函数，则__________． 【变式3】已知函数且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)，求实数x的值； 【变式4】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 题型04 对数型函数的定义域、值域问题 【典例1】．函数的定义域为___________． 【典例2】已知，，则的值域为___________． 【典例3】（1）若的定义域为，则实数的取值范围为______； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为______． 1.与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 2.求对数型函数值域(最值)的方法 形如的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合的单调性求出的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 注:与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义 【变式1】已知，则函数的定义域为___________． 【变式2】已知且，且函数过点，则函数，的值域为________. 【变式3】已知函数的值域为，则实数的值为________. 【变式4】已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 题型05 对数型函数过定点问题 【典例1】已知函数且的图像恒过定点，则______. 【典例2】已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 对数函数(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，据此，可解决形如y＝k·＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，令＝1，即可求解 【变式1】若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【变式2】函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式3】（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【变式4】已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 题型06 对数函数的图象问题 【典例1】函数的图象大致为（    ） A． B． C．D． 【典例2】在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 对数函数图象的识别及应用： (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 【变式1】在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【变式2】函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是 A． B． C． D． 【变式4】函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 题型07 对数（型）函数的单调性及单调区间 【典例1】函数的单调递减区间为__________． 【典例2】若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 【变式1】函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【变式3】（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 题型08 对数函数值的大小比较问题 【典例1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，一般引入中间量“0或1” 【变式1】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若满足，则按从小到大排序为__________. 题型09 对数型函数的单调性与奇偶性的综合应用 【典例1】已知函数，且，则的取值范围为___________． 先求函数定义域，定义域不关于原点对称，则函数没有奇偶性。定义域符合条件后，代入负自变量化简式子，判断奇偶。分析单调性时，对复合函数使用同增异减法则，单调区间必须落在定义域之内。综合题常借助奇偶性简化式子，结合单调性处理不等式、比较大小，最后记得检验结果是否满足定义域 【变式1】已知函数（且）. (1)判断函的奇偶性，并说明理由； (2)若，且，求的取值范围. 【变式2】已知函数（，且）. （1）判断函数的奇偶性，并予以证明； （2）求使得成立的的取值范围. 【变式3】已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)关于的不等式有解，求关于的不等式的解集. 题型10 反函数的性质及应用 【典例1】已知函数的反函数图象过点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例2】函数与互为反函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域 【变式1】已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【变式2】已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的图象经过点．与互为反函数. (1)求的值及的定义域，并判断的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集． 题型11 对数型函数的恒成立和存在问题 【典例1】已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是______. 先分清全称量词与存在量词，转化成两个函数最值的大小关系；优先保证对数真数大于0，确定参数初步范围。对含参对数函数，按底数大于1、底数在0到1之间分类讨论，结合复合函数单调性求出对应区间最值，列出不等式求解。求出参数范围后，回代检验，保证整个区间内真数恒正 【变式1】已知函数（，且），，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数（且≠1），若对任意.存在使得成立，则实数的取值范围为__________. 【变式3】已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 题型12 对数函数模型的实际应用问题 【典例1】载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：dB）与声强x（单位：）满足关系：．若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（    ） A．130 dB B．140 dB C．150 dB D．160 dB 【典例2】某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 读懂题干给出的对数模型，分清自变量与对应单位，把实际条件代入函数表达式；利用对数运算性质进行化简计算，算出结果后，既要满足对数真数大于 0，也要检验数值符合现实实际意义 【变式1】人耳的声音强度级（单位：）与声音强度（单位：）满足，其中是人耳能听到的最低声强． 已知某工厂机器运转时约为，则该机器对应的声音强度所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式3】在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 【变式4】（多选）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 1．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 4．（多选）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 5.若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则________． 6．已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 7．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断证明函数的奇偶性； (3)解不等式：. 8．已知函数是奇函数，且． (1)求实数、的值； (2)求函数在的值域； (3)若，求实数的取值范围． 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3.（多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．是增函数 C．只有1个零点 D． 5.我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 6．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 7．若曲线关于直线对称，则_________． 8．已知函数，函数． (1)若是偶函数，求实数的值，并用单调性的定义判断在上的单调性； (2)在（1）的条件下，若对于，，都有成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 对数函数 教学目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念. 2.能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质及简单应用. 3.了解多个对数函数图像的关系,及简单函数图象的平移变换和对称变换,会进行对数函数图象的变换. 4.进一步理解与对数函数有关的复合函数的性质，会利用对数函数解决简单的应用题；体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用 教学重难点 1.重点 对数函数的图象与性质的应用； 2.难点 对数函数有关的复合函数的性质. 知识点一、对数函数的概念 1.一般地,函数y＝ logax(a＞0,a≠1) 叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是 (0,＋∞) . 2.判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 （3）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （4）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论 【即学即练】 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．（，） D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，即可判断选项. 【详解】对于A，真数为，而不是，故A不是对数函数； 对于B，底数为常数，且，真数为，且函数系数为1，故B是对数函数； 对于C，真数为常数，而不是，故C不是对数函数； 对于D，真数为，而不是，故D不是对数函数． 故选：B． 2.若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 知识点二、对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2.对数函数图象的变换 （1）平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. （2）对称变换(a>0，a≠1) ①函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lox)的图象关于x轴对称； ②函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称； ③函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称 【即学即练】 1．函数（，且）的图象恒过点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出定点坐标. 【详解】令，解得，此时， 故（，且）的图象恒过点. 故答案为： 2.已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 【详解】因为在上递减，， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1.底数制约着图象的升降． 如图 注：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2.底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 3.比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 【即学即练】 1．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 2．已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x，y，z的取自范围，即可得出结论. 【详解】根据题意可得，， 利用对数函数单调性可知，即； 又，可得； 而，即； 综上可得. 故选：C 知识点四、反函数 1.反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 注：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2.反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上 【即学即练】 1．已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，得到，代入，即可求解. 【详解】由函数与互为反函数， 若的反函数为，则. 故选：C. 题型01 对数函数概念的理解与判断 【典例1】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数函数定义分析每个函数表达式即可 【详解】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中的真数，⑥也不是对数函数； 只有③④符合对数函数的定义. 故选：B 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数 【变式1】下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 【变式2】给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 【变式3】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数 题型02 利用对数函数的概念求参数 【典例1】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【变式1】函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【变式2】若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义及单调性求解即可. 【详解】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 【变式3】函数为对数函数，则_________． 【答案】4 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 故答案为：4. 题型03 求对数函数的解析式或求值 【典例1】已知函数 a>0且a≠1)的图象过点P(4，)，则f(x)的解析式为________． 【答案】f(x)＝log16x 【分析】把点P的坐标代入函数的解析式即得解. 【详解】由题得. 故答案为f(x)＝log16x 【典例2】已知函数（且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或16 【分析】（1）代入图象上的两个点，求a，b，即可求解函数的解析式； （2）首先求解，再代入（1）的结果，解对数方程. 【详解】（1）由题知，解得，； 故. （2）由，. 解得或3， 所以或， 所以或16. 求解析式采用待定系数法，先设标准对数函数形式，代入已知点坐标求出底数；求值时找准底数与真数，灵活运用对数运算性质化简计算，注意真数大于0 【变式1】已知对数函数的图象过点，则（    ） A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设后求出函数解析式，再求函数值． 【详解】设，因为函数图象过点，所以，， 所以，． 故选：D． 【变式2】已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：. 【变式3】已知函数且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)，求实数x的值； 【答案】(1) (2)或16 【分析】（1）由已知得，，从而求解析式即可； （2），即或3，即可求实数x的值； 【详解】（1）由已知得，，，（且） 解得，； 故； （2），即或3， ∴或3， ∴或16. 【变式4】已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式； （2）求出的值，然后直接解方程即可. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 在等式中， 用替代可得， 所以，解得， （2）因为，由可得， 整理得，可得或，解得或 题型04 对数型函数的定义域、值域问题 【典例1】．函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】结合具体函数的定义域、对数型复合函数的定义域求法列出不等式求解即可. 【详解】由题得， 解得且，即的定义域为． 【典例2】已知，，则的值域为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 【典例3】（1）若的定义域为，则实数的取值范围为______； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； （2）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． （2）值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 故答案为：；. 1.与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 2.求对数型函数值域(最值)的方法 形如的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合的单调性求出的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 注:与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义 【变式1】已知，则函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，故的定义域为. 【变式2】已知且，且函数过点，则函数，的值域为________. 【答案】 【分析】根据函数过点，求出的解析式，进而求得的解析式，并根据对数的运算性质及对函数的单调性求得函数，的值域. 【详解】由题可知，，所以，所以. 所以. 因为是增函数，所以是增函数. 所以当时，. 故函数，的值域为. 故答案为：. 【变式3】已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 【变式4】已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】（1）由函数的定义域为转化为不等式恒成立，再分类讨论可得；（2）由函数的值域为转化为真数能取遍，再分类讨论可得. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 题型05 对数型函数过定点问题 【典例1】已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 【典例2】已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为．. 对数函数(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，据此，可解决形如y＝k·＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，令＝1，即可求解 【变式1】若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点.． 【变式2】函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 【变式3】（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确． 【变式4】已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为． 题型06 对数函数的图象问题 【典例1】函数的图象大致为（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案. 【详解】的定义域为， 因为，所以是偶函数， 当时，单调递增， 由此可判断出选A 故选：A 【典例2】在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 对数函数图象的识别及应用： (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 【变式1】在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 【变式2】函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 【变式3】已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数是增函数知，， 当时，函数， 将函数的图象向左平移1个单位，得到函数的图象， 又由函数满足，所以函数为偶函数， 且图象关于轴对称， 故选B.． 【变式4】函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 故是奇函数，图象关于原点对称，故A,B错误； 当时，恒成立，的符号由决定， 当时，，故，图象在轴下方； 当时，，故图象在轴上方； 当时，，故，故C错误； D选项图象符合以上特征，故D正确． 题型07 对数（型）函数的单调性及单调区间 【典例1】函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为.． 【典例2】若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则 【变式1】函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件 【变式2】已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 【变式3】（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）设，令，解得或， ∴函数的定义域为， 的对称轴为且开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域内单调递减， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）令，解得， ∴函数的定义域为， 又的图象开口向下且对称轴为， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又∵在定义域上单调递增， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.． 题型08 对数函数值的大小比较问题 【典例1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解. 【详解】解：因为为单调递增函数，所以. 因为，所以． 故选:B． 【典例2】已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，将三个解析式分别看成关于的对数函数，幂函数与指数函数，作出图象，根据交点情况及图象的位置即可逐一判断选项. 【详解】设，则，且， 在同一个坐标系中作出三个函数的图象： 其中与交于点，与交于点. 由图知，当时，，故D符合； 当时，，故A符合； 当时，，故B符合.即只有C项不合题意. 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，一般引入中间量“0或1” 【变式1】设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 【变式2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的图像和性质求出，，，利用作商法，结合换底公式和基本不等式得到，从而得到结论. 【详解】，， ， ， ，， ， ， 即，即，即， 即. 【变式3】若满足，则按从小到大排序为__________. 【答案】 【分析】利用等式关系转化成函数，利用函数图象和性质分析即可. 【详解】由，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，所以， 由知， 当时，，解得不满足， 当时，， 同理由可得：， 由此可知， 下面判断：的大小， 由， 设，其中， 如图所示： 由图可知，综上可得：， 故答案为：. 题型09 对数型函数的单调性与奇偶性的综合应用 【典例1】已知函数，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】首先构造一个新函数，利用其奇偶性和单调性来解决不等式问题 【详解】设. 证明是奇函数： ，则. 根据对数运算法则，可得. 由于. 所以，即，所以是奇函数. 证明是增函数：在上单调递增, 在上单调递增 则在上单调递增,又因为对数函数在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增.   又是奇函数，故在上单调递增. 已知，即，也就是. 因为是奇函数，所以. 因为在上单调递增，，所以. 移项可得，即，解得. 故答案为：． 先求函数定义域，定义域不关于原点对称，则函数没有奇偶性。定义域符合条件后，代入负自变量化简式子，判断奇偶。分析单调性时，对复合函数使用同增异减法则，单调区间必须落在定义域之内。综合题常借助奇偶性简化式子，结合单调性处理不等式、比较大小，最后记得检验结果是否满足定义域 【变式1】已知函数（且）. (1)判断函的奇偶性，并说明理由； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数，理由如下： 函数的定义域为. 因为，所以， 所以函数为偶函数. (2) 【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断； （2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）函数为偶函数，理由略； （2）当时，定义域为，所以有：.①. ②. 由①知函数为偶函数，所以可化为：. 因为为增函数，在上递减， 所以函数在上递减，所以.③. 由①②③解得：的取值范围为. 【变式2】已知函数（，且）. （1）判断函数的奇偶性，并予以证明； （2）求使得成立的的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）当,解得；当解得 【分析】(1)先判断函数的定义域,再分析与的关系即可. (2)分与两种情况求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数,理由如下： 函数的定义域：,即定义域为关于原点对称 又∵ ∴函数是奇函数 （2）,即 当,则,解得,由（1）可得此时的取值范围 当,则,解得,由（1）可得此时的取值范围 故当,解得；当解得 【变式3】已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)关于的不等式有解，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)证明： 由得，所以的定义域为关于原点对称， ，所以为偶函数. (2) 【分析】（1）定义域为，关于原点对称，计算，证明即可； （2）先分类讨论根据的单调性并结合已知不等式恒成立得， 再根据对数函数的定义域和单调性，求解不等式得到解集为. 【详解】（1）略； （2），是偶函数，定义域为. 若时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有解等价于有满足的解， 当时，不等式不成立， 当时，由得有解， 由于，时取等号， 所以, 所以，与前提矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，若，则， 当时，不等式成立， 当时，由得有的的解， 但当时， 所以有解总是成立， 所以. 于是由得， 解得，所以解集为.． 题型10 反函数的性质及应用 【典例1】已知函数的反函数图象过点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由反函数所过点求得的图象所过点，由此求得的值. 【详解】依题意函数的反函数图象过点， 所以的图象经过点， 所以，解得. 故选：D. 【典例2】函数与互为反函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题得，再运用换元法，解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题可知，， 则由可得. 令，则， 则有，得，又因为， 故得，即，得， 解得. 故选：C.． 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域 【变式1】已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【答案】B 【分析】首先代入点的坐标求出，即可求出的解析式，从而求出的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数，且的图象过点，所以，解得（负值已舍去）， 所以，又是的反函数，所以， 则，令，解得， 所以的定义域为，令， 则，所以为奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：B 【变式2】已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确函数的解析式，分和，结合复合函数单调性进行讨论，可求实数的取值范围. 【详解】因为函数与函数（且）互为反函数， 所以（且）. 所以. 设，， 当时，在上单调递减，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递减， 所以. 又，所以. 结合，所以. 当时，在上单调递增，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以不成立. 综上可知：. 故选：D． 【变式3】已知函数的图象经过点．与互为反函数. (1)求的值及的定义域，并判断的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，定义域为，为非奇非偶函数 (2)} 【分析】（1）将点代入解析式中计算即可得，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶； （2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，即， 所以，即，则， 则有，解得，故的定义域为， 为非奇非偶函数； （2）由（1）可得，， 由与互为反函数，可得， 不等式可化为， 因为在上是增函数， 所以，即，解得， 故该不等式解集为. 题型11 对数型函数的恒成立和存在问题 【典例1】已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】将问题转化为；根据对数大于零可确定；分别在和两种情况下，结合复合函数单调性可求得所需的最小值，由此构造不等式求得的取值范围. 【详解】对，总，使得， 则. 由得：或； ，，解得：； ①当时，； 在上单调递增，单调递增， 在上单调递增，， ，即，解得：； ②当时，； ，在上单调递增，单调递减， 在上单调递减，， ，即，解得：，； 综上所述：实数的取值范围为. 先分清全称量词与存在量词，转化成两个函数最值的大小关系；优先保证对数真数大于0，确定参数初步范围。对含参对数函数，按底数大于1、底数在0到1之间分类讨论，结合复合函数单调性求出对应区间最值，列出不等式求解。求出参数范围后，回代检验，保证整个区间内真数恒正 【变式1】已知函数（，且），，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在单调递减，时，， 即， 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【变式2】已知函数（且≠1），若对任意.存在使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式. 根据题意可得只需即可 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或. 当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，， 所以，即，可得； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，可得. 综上：. 故答案为：.． 【变式3】已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是.． 题型12 对数函数模型的实际应用问题 【典例1】载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：dB）与声强x（单位：）满足关系：．若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（    ） A．130 dB B．140 dB C．150 dB D．160 dB 【答案】B 【分析】由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可. 【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，且，得， 则火箭发射时的声强约为， 将其代入中，得， 故火箭发射时的声强级约为140 dB． 故选：B． 【典例2】某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【分析】本题主要考查指数型函数模型的应用，以及利用对数运算求解方程，先根据已知初始值确定模型中的参数，再利用衰减规律建立方程，通过取对数将指数方程转化为线性方程，代入参考数据计算得出结果. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加． 读懂题干给出的对数模型，分清自变量与对应单位，把实际条件代入函数表达式；利用对数运算性质进行化简计算，算出结果后，既要满足对数真数大于 0，也要检验数值符合现实实际意义 【变式1】人耳的声音强度级（单位：）与声音强度（单位：）满足，其中是人耳能听到的最低声强． 已知某工厂机器运转时约为，则该机器对应的声音强度所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，， 所以， 所以声音强度所在范围为 【变式2】中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据函数模型，列出关系式，进而结合对数的运算性质，可求出答案. 【详解】普通列车的声强为，高速列车声强为， 解：设由题意， 则，即， 所以，即普通列车的声强是高速列车声强的倍. 故选：B． 【变式3】在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 【答案】D 【分析】根据题意先求，再由解不等式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 即， 所以学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为次， 故选：D. 【变式4】（多选）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 【答案】BD 【分析】运用对数的运算性质，逐个对选项进行判断. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，，，所以，则，故B正确； 对于选项C，设昨天的菌个数为，今天的菌个数为，则，所以，故C错误； 对于选项D，当时，，所以，故D正确． 1．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 2．函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 3.（多选）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【答案】ACD 【详解】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 4．（多选）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】令，结合对数函数、二次函数和复合函数的性质即可得结果. 【详解】令，所以 . 由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又关于对称，所以的图象关于直线对称 故选：CD. 5.若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再代入求值即可. 【详解】由函数是函数（）的反函数，得， 又函数的图象经过点，则，因此， 所以. 故答案为： 6．已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；． 7．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断证明函数的奇偶性； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2) 为奇函数，理由如下： 满足， 且定义域关于原点对称，故为奇函数. (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域求解即可； （2）根据结合定义域关于原点对称判断即可； （3）根据与为奇函数，结合单调性求解即可. 【详解】（1）由题意，，解得，故函数的定义域为 （2）略 （3）因为，且为奇函数， 故即，即. 又为增函数，为减函数，故为增函数. 故即，解得. 8．已知函数是奇函数，且． (1)求实数、的值； (2)求函数在的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，求出的值，再代入检验，最后由求出； （2）首先判断函数的单调性，由的取值范围，求出的取值范围，从而求出函数的值域； （3）根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式（组），解得即可. 【详解】（1）函数为奇函数， 所以，即， 则，所以，所以， 当时无意义， 当时，则，解得， 所以函数的定义域为，且， 符合题意， 又，所以，则，所以， 综上可得、. （2）由（1）可得， 因为在上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 当，则，又， 所以函数在的值域为. （3）由（1）（2）可知为定义在上单调递减的奇函数， 不等式，即， 等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，排除法选出答案. 【详解】，由指数函数的性质可知，对于恒成立， 则的定义域为，关于原点对称， 又，则是偶函数，排除AC， 当时，，此时，排除B. 故选：D 3.（多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】使用特值法求解. 【详解】取，，，，满足，且，选项A正确； 若，则， 若，则， 若，则，，， 若，则，，， 均不符合题意，选项B错误. 取，，，，满足，且，选项C正确； 取，，，，满足，且，选项D正确. 4.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．是增函数 C．只有1个零点 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由对数函数单调性、幂函数单调性以及复合函数单调性即可判断；对于C，由零点存在定理以及函数单调性即可判断；对于D，由A选项结论即可判断. 【详解】对于A，， 且，即函数定义域为全体实数， 所以的图象关于原点对称，故A错误； 对于B，当时，由复合函数单调性可知均单调递增， 所以也单调递增， 又单调递增， 所以由复合函数单调性可知此时单调递增； 当时，由复合函数单调性可知均单调递减， 所以由复合函数单调性也单调递增， 又单调递增， 所以由复合函数单调性可知此时单调递增， 又， 综上所述，是增函数，故B正确； 对于C，，从而此时， 又，且单调递增， 所以只有1个零点，故C正确； 对于D，由A可知的图象关于中心对称，即， 又， 所以，故D正确. 故选：BCD. 5.我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 6．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可. 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以， 即，无解， 所以不符合题意； 当时， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：.． 7．若曲线关于直线对称，则_________． 【答案】 【分析】先求定义域，则定义域的两个区间关于直线对称，从而得到；设，利用对称轴得到成立，求出；从而求出，再结合函数对称性进行检验即可. 【详解】依题意得，解得或 ， 则函数的定义域是，定义域两个区间与关于直线对称， 因为曲线关于直线对称，所以， 设，由对称轴，可得， 即， 所以，得，所以. 此时，对任意的，则， 则， 所以函数的图象关于直线对称，故. 8．已知函数，函数． (1)若是偶函数，求实数的值，并用单调性的定义判断在上的单调性； (2)在（1）的条件下，若对于，，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在是单调增函数． (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质得到，即可求出参数的值，从而求出函数的解析式，再利用定义法证明函数的单调性； （2）利用基本不等式求出，依题意可得对，恒成立，首先根据、有意义，求出的取值范围，再根据恒成立，参变分离可得恒成立，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立， ∴恒成立，即，∴． ∴，经验检 ，满足题意， 设任意的，且， 则 ． 因为，所以，， 所以，，， 所以在是单调增函数． （2）． 当且仅当即时等号成立，∴， 由题意可得：，恒成立． 即，恒成立， 由有意义，得， 由有意义，得在恒成立． 即在上恒成立， 设，易知在上的值域为，故，所以． 又，恒成立， 即，恒成立． 即恒成立，即恒成立， ，∴． 综上，实数的取值范围为．． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $