第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 教学目标 1.理解幂函数、指数函数、对数函数这三类基本初等函数的定义，分清三类函数解析式结构差异，能够准确区分三类函数，会求解简单函数解析式。 2.掌握三类函数的图象特征，理解参数对图象、定义域、值域、单调性、定点的影响，会借助函数性质比较大小。 3.能运用分类讨论、数形结合的思想，求解简单不等式，处理三类函数相关综合问题，厘清三类函数增长差异。 4.体会函数模型的应用价值，建立研究函数的通用思路，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养 教学重难点 重点 幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；利用性质比较大小。 难点 三类函数图象与性质的综合应用；区分三类函数的增长特点，解决含参数的函数问题 知识点一、幂函数 1.幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1 ”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 要点诠释：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 知识点二、指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是 在上是 要点诠释：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点三、对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 ． 要点诠释：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点四、反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有 的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的 与 ，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作 ，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的 ，的值域是的 。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线 呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性 。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的 。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的 筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号 ，得到，其定义域需依据原函数的 确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 题型01 幂函数、指数函数和对数函数的概念 【典例1】（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（    ） A．是幂函数 B．是指数函数 C．是对数函数 D．不是二次函数 【变式1】“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【变式3】（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【变式4】函数是对数函数，则实数a＝____________. 题型02 幂函数的图象与性质 【典例1】幂函数（）的大致图像是（    ） A．      B．  C．  D．   【典例2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【变式1】（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【变式2】（多选）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当的图象经过点时，为奇函数 C．若幂函数的图象经过点，函数在为减函数 D．函数的图象都不经过第四象限 【变式3】已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 【变式4】已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 题型03 指数（型）函数的定义域与值域 【典例1】求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 【典例2】已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的定义域为______． 【变式2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为______. 【变式3】求下列函数的定义域和值域： （1）；（2）；（3）；（4）. 题型04 指数函数的图像与性质 【典例1】（多选）已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 【典例2】已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【变式1】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【变式2】（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【变式3】已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 题型05 对数型函数的定义域、值域问题 【典例1】已知函数（1）求的定义域；（2）求的值域. 【典例2】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为_______；若此函数的值域为R，则实数a的取值范围为_______. 【变式1】已知函数. (1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域. 【变式2】求下列函数的定义域、值域及单调区间： (1)； (2)； 【变式3】已知. （1）若的定义域为，则实数的取值范围是________； （2）若的值域为，则实数的取值范围是________. 【变式4】已知函数. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在内有意义，求实数a的取值范围； (4)若函数f(x)的值域为，求实数a的值. 题型06 对数函数的图像与性质 【典例1】（多选）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的函数图象关于y轴对称 C．的函数图象关于原点对称 D．在上单调递增 【典例2】已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； (3)求函数在区间上的值域. 【变式1】（多选）函数，关于下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．为减函数 D．为非奇非偶函数 【变式2】（多选）关于函数 有下列结论，其中正确的是（    ） A．其图象关于y轴对称 B．的最小值是 C．当时，是增函数；当时，是减函数 D．的增区间是， 【变式3】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【变式4】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若， ，求的最小值. (3)的值域是全体实数R，则求实数的取值范围； 题型07 指数函数与对数函数的图象过定点问题 【典例1】已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若函数，（且）恒过一定点，且点在直线，（，）上，则下列命题成立的是（    ） A．定点的坐标为 B．的最小值为4 C．的最小值为1 D．的最小值为1 【变式3】已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是__________. 题型08 反函数 【典例1】已知函数与互为反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 【变式2】已知函数的反函数图象经过，则________；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 【变式3】已知函数是且的反函数，且函数. (1)若，求及的值； (2)若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 题型09 幂函数、指数函数和对数函数的图象综合判断问题 【典例1】函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象大致为 （    ） A．B．C． D． 【变式2】下列四个图象可能是函数图象的是（    ） A．B． C． D． 【变式3】函数的图象大致为（    ） A．    B．        C．    D．     题型10 用幂指对函数的性质比大小问题 【典例1】设，，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3】设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型11 幂指对函数与零点有关问题 【典例1】已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为_______． 【典例2】设函数,若且,则的取值范围是________. 【变式1】已知函数，若，则______． 【变式2】已知函数，若函数的图像与的图像有3个不同的交点，则实数的取值范围为__________. 【变式3】已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 题型12 指数函数与对数函数的模型应用 【典例1】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【典例2】当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量随时间（单位：年）的变化规律可用函数大致刻画，即大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，考古学家用仪器探测到某死亡生物体内的碳14含量仅为死亡时的20.3%，由此可推断该生物的死亡时间大约为（参考数据：）（    ） A．2500年前 B．11600年前 C．13200年前 D．28200年前 【变式1】酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要_______分钟． 【变式3】中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分). 【变式4】业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，，其中为常数，, （1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍； （2）研发启动后第几年的投入资金的最多. 题型13 幂指对函数的恒成立和存在问题 【典例1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为______． 【典例2】已知函数，（，且），若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【变式1】已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为__________． 【变式2】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【变式3】已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 题型14 幂函数、指数函数与对数函数性质的综合应用（大题） 【典例1】已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 【典例2】已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【变式1】已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式2】已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 【变式3】已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型15 幂指对函数有关的新定义问题 【典例1】对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． (1)若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． (2)若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． (3)若函数，求的最大值与俏值． 【变式1】定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“联盟函数”.下列函数是“联盟函数”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)设是上的“好函数”，且，求证：． (3)已知是上的“好函数”，设，证明：． 【变式3】我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 1．已知函数以上函数中，幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 5.（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 6．已知，若是幂函数，且，则______. 7．已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)求证函数的图象关于直线对称． 8.已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 1．若函数与互为反函数，则的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象恒过定点，若点的横坐标为，函数的图象恒过定点，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 3.若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知，则、、的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 5.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 6．已知函数 （1）若的定义域是,求实数的取值范围及的值域； （2）若的值域是，求实数的取值范围及的定义域 7．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线是中心对称图形； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围． 8．已知函数是偶函数，且函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 教学目标 1.理解幂函数、指数函数、对数函数这三类基本初等函数的定义，分清三类函数解析式结构差异，能够准确区分三类函数，会求解简单函数解析式。 2.掌握三类函数的图象特征，理解参数对图象、定义域、值域、单调性、定点的影响，会借助函数性质比较大小。 3.能运用分类讨论、数形结合的思想，求解简单不等式，处理三类函数相关综合问题，厘清三类函数增长差异。 4.体会函数模型的应用价值，建立研究函数的通用思路，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养 教学重难点 重点 幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；利用性质比较大小。 难点 三类函数图象与性质的综合应用；区分三类函数的增长特点，解决含参数的函数问题 知识点一、幂函数 1.幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 要点诠释：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 知识点二、指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 要点诠释：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点三、对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 要点诠释：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点四、反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 题型01 幂函数、指数函数和对数函数的概念 【典例1】（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（    ） A．是幂函数 B．是指数函数 C．是对数函数 D．不是二次函数 【答案】ACD 【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数，二次函数的定义即可求解. 【详解】因为，所以是幂函数; 因为，所以不是指数函数; 因为，所以是对数函数; 不是二次函数． 故选：ACD. 【变式1】“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义确定系数条件，再分别判断“”能否推出“是幂函数”以及“是幂函数”能否推出“”，即可判断其充分性和必要性. 【详解】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 【变式2】函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 【变式3】（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【答案】ACD 【分析】利用幂函数与指数函数的概念一一判定选项即可. 【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确； 因为， 所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确． 故选：ACD 【变式4】函数是对数函数，则实数a＝____________. 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 题型02 幂函数的图象与性质 【典例1】幂函数（）的大致图像是（    ） A．      B．  C．  D．   【答案】B 【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状. 【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增． 只有B选项符合条件. 答案：B． 【典例2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 【变式1】（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断ABC；解法一：取特殊值计算可判断D，解法二：作图，根据函数图象可判断D. 【详解】设幂函数 的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点， 所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确； 对于D，解法一：，取， 则，， 此时， 解法二：作出函数的图象如下：      由图象可知，函数为凹函数， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC 【变式2】（多选）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当的图象经过点时，为奇函数 C．若幂函数的图象经过点，函数在为减函数 D．函数的图象都不经过第四象限 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义及性质即可判断. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得：， 则. 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：当的图象经过点时，有，解得：. 则，此时函数为奇函数，故选项B正确； 对于选项C：若幂函数的图象经过点， 则，解得：， 则，此时函数在为减函数，故选项C正确； 对于选项D：因为，当时，由不等式性质可得：， 所以函数的图象都不经过第四象限，故选项D正确. 故选：BCD 【变式3】已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 【答案】(1) (2)作图： (3)单调减区间为，，单调增区间为， 【分析】（1）根据幂函数的性质可得，求出的取值范围，再根据是整数，求出的值，再代入即可； （2）由（1）可得，即可画出函数图象； （3）结合（2）中函数图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）由题意可知，，即， 因为是整数，所以，或， 当时，，当时，， 综上可知，的解析式为. （2）由（1）知，则， 函数的图象如图所示， （3）由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，. 【变式4】已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或.． 题型03 指数（型）函数的定义域与值域 【典例1】求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，， 定义域为. ，， 的值域为. （2）定义域为. ， ， 此函数的值域为. （3），， ， 定义域为. ，. 又，. ， ，此函数的值域为. 【典例2】已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 【变式1】函数的定义域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 【变式2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】判断时，的单调性以及函数最小值，根据题意可判断当时，应满足的条件，列出不等式，求得答案. 【详解】当时，，此时函数为减函数，函数最小值为， 当时，， 要使的值域为， 需满足当时，,其值域应包含,此时函数应为减函数， 故需满足 ，且 ，即 ， 故实数的取值范围为， 故答案为： 【变式3】求下列函数的定义域和值域： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【详解】（1）计算函数的定义域为，再计算值域得到答案. （2）计算函数定义域为，再计算函数值域得到答案. （3）根据得到，得到值域. （4）令，则，则，根据得到值域. 【详解】（1）由题意知，，∴ 函数的定义域为. ，，∴ 函数的值域为. （2）由题意知，，， ∴ 函数的定义域为. ，又，， ，，∴ 函数的值域为. （3）由题意知，定义域为R. ，. ，∴函数的值域为. （4）由题意知，定义域为R. ， 令，则，且.又（当且仅当，即时取等号），，故值域为 题型04 指数函数的图像与性质 【典例1】（多选）已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义即可判断奇函数，利用分离常数及已知函数单调性结合复合函数思想即可判断B选项和C选项，利用特殊值即可验证D选项． 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B选项，由， 令，则，， 因为，所以，，，则， 所以的值域为，故B正确； 对于C选项，由选项B的分析可知， 由是在上的增函数，由复合函数的单调性可得是在上单调递增，故C正确； 对于D选项，因为若，不妨令，，则，故D错误． 【典例2】已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)最小值为，；最大值为， 【分析】（1）根据题意求得，利用函数的单调性可得，求解即可； （2）利用换元法可求得函数的最值，进而可求得最值时对应的的值． 【详解】（1）当时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，解得或. 因为，所以， 当时，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，方程无解. 综上，； 因为在上单调递增，且，所以， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，，所以， 令，，则， 所以当时取得最小值为，则， 当时取得最大值为，则.. 【变式1】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 【变式2】（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确． 【变式3】已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数. 【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求； （2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题； （3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶. 【详解】（1）当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. （2）由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. （3）略 题型05 对数型函数的定义域、值域问题 【典例1】已知函数（1）求的定义域；（2）求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据对数函数的性质，得到不等式，即可求得函数的定义域； （2）利用换元法令，将复合函数的值域，转化成对数函数的值域. 【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域是. （2）令， 因为， 当时，可得，所以， 又由函数为单调递减函数，可得， 所以函数的值域为. 【典例2】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为_______；若此函数的值域为R，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【分析】若的定义域为，则的图象恒在轴的上方，若的值域为，则要取遍所有的正数，利用一次函数和二次函数图像的性质即可求出a的范围. 【详解】若的定义域为，则的图象恒在轴的上方， ∴，解得，即实数的取值范围是； 若的值域为，则要取遍所有的正数， ∴或，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：；. 【变式1】已知函数. (1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域. 【答案】(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为；值域为 【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域； （2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域. 【详解】（1）由得：，的定义域为. （2）令，在上单调递增；在上单调递减； 又在上单调递减， 的单调递增区间为；单调递减区间为， ，， 的值域为. 【变式2】求下列函数的定义域、值域及单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)定义域为，值域是，单调递增区间是，无单调递减区间； (2)定义域为，值域是，单调递增区间是，单调递减区间是﹒ 【分析】求定义域，再根据复合函数“同增异减”的单调性判断方法即可求解﹒ 【详解】（1）由得，∴定义域为，值域是， 又，∴单调递增区间是，无单调递减区间； （2）由得，∴定义域为且，值域是， 又，∴单调递增区间是，单调递减区间是．． 【变式3】已知. （1）若的定义域为，则实数的取值范围是________； （2）若的值域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】（1）要使函数的定义域为，可转化成在上恒成立，则由可求得的答案. （2）因为的值域为，所以真数取遍所有正实数，转化成与轴有交点解答即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以在上恒成立，即，即 所以实数的取值范围是 . （2）因为的值域为，所以真数取遍所有正实数，令，所以，解得 所以实数的取值范围是 【变式4】已知函数. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在内有意义，求实数a的取值范围； (4)若函数f(x)的值域为，求实数a的值. 【答案】(1) (2) (3). (4) 【分析】（1）有定义域为R，得到在R上恒成立，所以，求出结果；（2）函数f(x)的值域为R，等价于能取到上的一切值，所以只要即可；（3）问题等价于对恒成立，因为图象的对称轴为x＝a，分与两种情况下表达出最小值，进而得到实数a的取值范围；（4）函数f(x)的值域为，等价于的值域为，列出方程，求出实数a的值. 【详解】（1）由f(x)的定义域为R，知的解集为R， 则，解得：. 所以a的取值范围为. （2）函数f(x)的值域为R等价于能取到上的一切值，所以只要即可，其中，，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由f(x)在内有意义， 知对恒成立， 因为图象的对称轴为x＝a， 所以当时，， 即，解得：； 当时，，即，解得：. 综上可知，a的取值范围为. （4）因为y＝f(x)≤－1，所以的值域为， 又，则有， 解得：. 题型06 对数函数的图像与性质 【典例1】（多选）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的函数图象关于y轴对称 C．的函数图象关于原点对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D 【详解】因为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 因为，即为奇函数， 所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD． 【典例2】已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 函数是奇函数，证明如下： ∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， ∴函数是奇函数. (3) 【分析】（1）根据函数的解析式列不等式组求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断； （3）根据对数函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）由，解得， 则函数的定义域为. （2）略 （3）∵在上是增函数；在上是增函数， ∴函数在上是增函数， ∴，即，即， ∴函数在区间上的值域为. 【变式1】（多选）函数，关于下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．为减函数 D．为非奇非偶函数 【答案】ABCD 【解析】选项,由题得，所以选项正确； 选项利用复合函数求出函数的值域为，所以选项正确； 选项,由复合函数的单调性原理得函数在定义域内单调递减，所以选项正确； 选项,定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以选项正确. 【详解】选项,由，得，所以选项正确； 选项，由，得，所以，所以选项正确； 选项,在定义域内单调递减，在定义域内单调递减，所以选项正确； 选项,定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以选项正确. 故选：ABCD. 【变式2】（多选）关于函数 有下列结论，其中正确的是（    ） A．其图象关于y轴对称 B．的最小值是 C．当时，是增函数；当时，是减函数 D．的增区间是， 【答案】ABD 【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可． 【详解】对于A，函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故A正确； 对于B，函数，当时，令，原函数变为，，原函数又是偶函数，所以函数的最小值是，故B正确； 对于C，函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故C错误； 对于D，由C，结合的图象关于y轴对称可得的增区间是，，故D正确. 故选：ABD． 【变式3】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确． 【变式4】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若， ，求的最小值. (3)的值域是全体实数R，则求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用对数的性质并解分式不等式求定义域； （2）根据已知条件得，从而有，应用基本不等式求最小值； （3）根据对数复合函数的值域，结合对数的性质求参数的范围. 【详解】（1）由，则，即， 所以定义域为； （2）由题设，其中，所以， 若同号，则，得，矛盾， 所以，则， 于是，当且仅当，时等号成立. 所以最小值为. （3）由的值域为， 则可以取遍所有正实数，且的图象开口向上， 所以，可得或，即. 题型07 指数函数与对数函数的图象过定点问题 【典例1】已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B． 【变式1】已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数恒过的定点来求解即可. 【详解】令，则， 所以过的定点的坐标为． 故选：B 【变式2】（多选）若函数，（且）恒过一定点，且点在直线，（，）上，则下列命题成立的是（    ） A．定点的坐标为 B．的最小值为4 C．的最小值为1 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】利用指数函数恒过点确定函数过定点；即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，直接利用基本不等式求解C，换元结合基本不等式即可求解D. 【详解】函数，令，， 则函数恒过点，则点的坐标是；故A正确， 若点在直线（，）上，则, ， 当且仅当，即取等号，则的最小值为2．B错误， ，故，当且仅当，即取等号，故C正确， 故， 当且仅当，即，因此等号取不到，即，D错误 故选：AC 【变式3】已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定定点坐标，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由函数（，）可知定点， 又因为点A在一次函数上，所以， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：． 题型08 反函数 【典例1】已知函数与互为反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由函数与互为反函数，得到，构造函数，并判断在上单调递减，得到，再计算得到 【详解】因为函数与互为反函数，所以； 由，得到，即， 即，令 ，则 在上函数单调递减，函数单调递增， 所以在上单调递减，所以，所以， 所以， 因为在 单调递增，， 所以，可正，可负，也可能等于0 ， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 【变式1】已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据反函数得，代入自变量求函数值即可. 【详解】因为函数与互为反函数，所以，则. 故选：A 【变式2】已知函数的反函数图象经过，则________；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由函数反函数的定义求解，将点代入即可；通过复合函数同增异减且定义域大于零求解即可. 【详解】函数的反函数经过点，得到，解得，故反函数； 令，则在上单调递增， 需满足在上单调递增，且， 由，因为，所以， 所以，所以， 的对称轴为，所以，即，所以且， 解得或， 综上m的取值范围是， 故答案为：； 【变式3】已知函数是且的反函数，且函数. (1)若，求及的值； (2)若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由题意可得，，结合题意解得，进而可得，结合换底公式运算求解； （2）换元令，根据二次函数值域结合的值域特征分析可得，列式求解即可. 【详解】（1）因为函数是且的反函数，则， 即， 则，解得或（舍）， 可得，即，， 又因为，即， 所以. （2）由（1）可知：，且， 令，则时)或时）， 可得， 若函数在上有最小值，最大值7， 可知的最小值，最大值7， 令，解得； 令，解得或； 且与互为相反数，可知， 则或，解得或， 综上所述，或. 题型09 幂函数、指数函数和对数函数的图象综合判断问题 【典例1】函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项. 【详解】因为的定义域为，故排除； 又，故排除； ，故排除D． 故选：B． 【变式1】函数的图象大致为 （    ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】排除法，求出函数的定义域可排除A、B，函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数的单调性，从而可得出结论． 【详解】解：由得且，即且， ∴函数的定义域为， 故A、B错； 又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到， ∵时，，， 由得，令， ∵，， ∴存在实数，使得， 又函数在上单调递增， ∴当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增； ∴函数在上的单调性应是先递减后递增， 故C错，D对； 故选：D． 【变式2】下列四个图象可能是函数图象的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解. 【详解】∵的定义域为， 其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到， ∵为奇函数，图象关于原点对称， ∴的图象关于点成中心对称. 可排除A、D项. 当时，，∴B项不正确. 故选：C． 【变式3】函数的图象大致为（    ） A．    B．        C．    D．     【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及特殊值判定即可. 【详解】由可知是偶函数，即其图象关于纵轴对称，排除C、D选项； 又当时，，排除B项. 故选：A 题型10 用幂指对函数的性质比大小问题 【典例1】设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和中间值和比较大小，即可判断选项. 【详解】因为，，， 所以. 【典例2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 【变式1】已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】单调递增，则，故， ， ， 故． 【变式2】已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求解判断即可. 【详解】根据指数函数的性质知，，即； ，即. 根据对数函数的性质知，，即. 所以，. 【变式3】设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为，所以函数在单调递减， 因为，所以，所以．． 题型11 幂指对函数与零点有关问题 【典例1】已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】画出的图象，由图象得出实数a的取值范围. 【详解】当时，；当时，. 故函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有三个不同的交点. 即当时，方程恰有三个不同的实数根. 故答案为：． 【典例2】设函数,若且,则的取值范围是________. 【答案】 【分析】可先画出函数图像，结合图像，对化简，根据的范围求解即可 【详解】如图所示： 的两根为，，则 又由可得，（对称性） 故，由图可知 所以 故答案为 【变式1】已知函数，若，则______． 【答案】，或 【分析】根据分段函数分别求满足的的值即可. 【详解】解：函数， 故当时，，即，解得或； 当时，，解得. 综上，，或. 故答案为：，或. 【变式2】已知函数，若函数的图像与的图像有3个不同的交点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】    在坐标系中画出，由图可知，要使与有三个交点，应使. 故答案为：.． 【变式3】已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 【答案】7 【详解】（1）当时，有，有. ①当时，由，有，解得； ②当时，由，有，解得或. （2）当时，有，有或. ①当时，由或，有或，解得（舍去）或（舍去）. ②当时，由或，有或，解得或或或. 由上知或3或或9或或或，故满足条件的实数的值有7个.． 题型12 指数函数与对数函数的模型应用 【典例1】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D． 【典例2】当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量随时间（单位：年）的变化规律可用函数大致刻画，即大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，考古学家用仪器探测到某死亡生物体内的碳14含量仅为死亡时的20.3%，由此可推断该生物的死亡时间大约为（参考数据：）（    ） A．2500年前 B．11600年前 C．13200年前 D．28200年前 【答案】C 【分析】根据题设碳含量随时间（单位：年）的变化规律关系式列出关于的方程，利用对数的运算求解出的值. 【详解】由题意可知：，所以 所以，所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 【变式1】酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】设他经过个小时后血液中酒精含量为， 则， 当时，，即， 解得， 因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 【变式2】当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要_______分钟． 【答案】20 【分析】根据所给函数模型，由已知数据求得，然后令求得． 【详解】由已知可得， 由题意知，即， 解得， 当时， 由，得． 解得， 故答案为：． 【变式3】中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分). 【答案】7 【分析】根据指数和对数的互化，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 即， 故， 故答案为：7 【变式4】业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，，其中为常数，, （1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍； （2）研发启动后第几年的投入资金的最多. 【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多. 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求得的值，得到的解析表达式，然后令,解方程即可； （2）求得第n年的投入资金的解析表达式，并通分化简，适当转化，然后利用基本不等式探究取得最大值的条件即可. 【详解】 解：（1）由题意知．所以，解得,∴ 令，得，解得， 即，所以． 所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍． （2）由（1）知 第n年的投入资金， 当且仅当，即等号． 所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多． 题型13 幂指对函数的恒成立和存在问题 【典例1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先由恒成立将问题转化为求参数范围，当时自动满足，当时分离参数得，由基本不等式求出其最小值为2，即得. 【详解】不等式对任意恒成立，即恒成立， 当时，， 因为，所以，即恒成立，无需对附加条件， 当时，，要使对任意恒成立，即， 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等号，所以在上的最小值为， 要使恒成立，只需 综上，实数的取值范围为.． 【典例2】已知函数，（，且），若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】转化为，求出，分和两种情况，得到的最小值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】根据题意知，. 时，函数的最小值. 当时，在上的最小值为， 则由，解得； 当时，在上的最小值为， 则，解得，与求交集，无解. 故实数的取值范围为. 故答案为： 【变式1】已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】由为偶函数，为奇函数，构造方程组，分别解出和的解析式，代入不等式中，利用换元法求出函数的最值，可得实数的范围． 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 【变式2】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为． 【变式3】已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是． 题型14 幂函数、指数函数与对数函数性质的综合应用（大题） 【典例1】已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，再采用参变分离法将存在性命题转化为，再根据函数在上的单调性求出最小值. （2）代入解析式后通过移项通分结合穿针引线法求解分式不等式即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则， 设，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 即，则实数的最小值为. （2）， ， 其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 【典例2】已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 【变式1】已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 【变式2】已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式解答. （2）（ⅰ）由题知，解不等式即可，用定义法求的单调区间. （ⅱ）结合单调性和值域可以得出，当时，能让对恒成立，然后分离参数，结合函数最值即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，由 ，，当即时等号成立. 当时，的最小值为. （2）（ⅰ）由或，. 设，， 当时， ，函数在区间上单调递减； 当时， ，函数在区间上单调递减， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （ⅱ）由，， 令 函数的值域为. 当，时，令，，当时，， 当，由， 由， 当时，，对不恒成立. 当时，由，由， 令，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立，在区间上恒成立. 由，由， 令，，函数在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立在区间上恒成立. 综上所述，存在，当时，对恒成立. 的取值范围为.． 【变式3】已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解； （2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数； （3）利用函数的单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域. 【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或， 当时，，不满足， 当时，，满足， ∴故得，函数的解析式为； （2）由函数，即，令， ∵，∴，记，其对称轴在， ①当，即时，则， 解得：，此时满足，保留； ②当时，即， 则，解得：，此时不满足，舍去； ③当时，即时， 则，解得：，此时不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为0； （3）由函数在定义域内为单调递减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， 由两式相减可得： ， 所以有，代入可得： ，令， 因为，， 即，， 所以，即，则， 而．故得实数的取值范围. 题型15 幂指对函数有关的新定义问题 【典例1】对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． (1)若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． (2)若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． (3)若函数，求的最大值与俏值． 【答案】(1) 对，，当且仅当时等号成立， 因此，函数在上有最小值，故函数为俏函数，是的一个俏值， 对任意大于的正整数，函数在上有最小值，故都不是的俏值， 综上所述，是俏函数，且是其唯一的俏值. (2)是俏函数，理由如下： 设，的图象可由的图象向右平移个单位得到， 因为定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 所以定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 不妨设，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，又因为的值域为，所以， 故是俏函数，是它的一个俏值. (3)最大值为，俏值为 【分析】（1）先求的最小值并找出一个俏值证明其是俏函数，再证明该俏值的唯一性； （2）先分析函数的单调性及值域，再根据俏函数的定义证明； （3）先将转换为一个二次函数与的复合函数，可求得最大值，再结合二次函数及的单调性和对称性，分类讨论，确定俏值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）经化简，函数， 设，则由基本不等式得当且仅当时等号成立， 对，，，则恒成立， 所以的图象关于对称， 对，且， 则， 因为，所以，，即， 因此，即， 因此在上单调递减，在上单调递增， 且代入可得，，，可大致画出图象， 因此存在，使得，此时可取最大值； 由二次函数的性质可知，在时单调递增，在时单调递减， 即越大，则越小，而，，， 而当时，且单调递增，所以单调递增， 因此对于， 当时，，所以此时在区间上没有最小值； 当时，此时有最小值，所以是的一个俏值； 当时，此时有最小值，所以不是的俏值； 当时，因，所以，所以都不是的俏值. 综上所述，的最大值为，俏值为. 【变式1】定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“联盟函数”.下列函数是“联盟函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“联盟函数”的定义验证每个选项中的函数即可． 【详解】对于A，，定义域为，取，， 此时不存在使得成立，则不是“联盟函数”，故A错误； 对于B，，定义域为，取，则， 由得，即，即，此方程无解， 此时不存在使得成立，则不是“联盟函数”，故B错误； 对于C，，定义域为， 由得，即，可得， 即定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立， 则是“联盟函数”，故C正确； 对于D，，定义域为，取，则， 由得，即，即， 因，则此方程无解， 此时不存在使得成立，则不是“联盟函数”，故D错误． 故选：C． 【变式2】定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)设是上的“好函数”，且，求证：． (3)已知是上的“好函数”，设，证明：． 【答案】(1) (2)由好函数定义，取，，则，又，故， 再取，，则，得， 两式相加得，证明完毕． (3)由是上的“好函数”可知， 当时，， 令，，，则， 即， 故， 化简可得． 【分析】（1）参变分离得到，求出，从而得到答案； （2）取，，得到，再取，，得，证明出结论； （3）令，，，则，求和即可. 【详解】（1）由题可知任意，，且，， 即， 解得，因为，所以， 故，即的取值范围为． （2）略 （3）略． 【变式3】我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)否，理由如下： 令，依题意，，即， 将代入化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； (2)2 (3) 【分析】（1）取特殊值可得方程无解，即不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）根据“阶搭配函数”定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论； （3）将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）成立，即， 依题意，当时，单调递减，该函数的值域为， 当时，单调递减，该函数的值域为， 由已知，有 由于，则， 解得，或， 又，所以，故，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. （3）成立，即， 对任意，单调递增，该函数的值域为. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 由已知，有，即，解得， 所以的取值范围是． 1．已知函数以上函数中，幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义判断各个函数作答. 【详解】函数叫幂函数，其中是自变量，是常数， 函数可化为：，因此函数都是幂函数， 函数都不是幂函数， 所以幂函数的个数是3. 故选：C 2.若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 3.已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，且最小值小于等于在时的函数值，据此列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 4．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解. 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 5.（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】ABD 【分析】由幂函数可得，即可对A判断；由幂函数的性质，即可对B判断；由为偶函数且在上单调递减，即可对C判断；要证，即证，化简得，从而可对D判断. 【详解】A：函数是幂函数，则，解得或，经检验符合题意，故A正确； B：幂函数始终经过点和，故B正确； C：函数，， 则为偶函数且在上单调递减，所以在区间上单调递增，故C错误； D：则对于任意的，要证，即证， 即，即，则成立，故D正确. 故选：ABD. 6．已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得.． 7．已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)求证函数的图象关于直线对称． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)证明见解析 【分析】（1）应用对数复合函数定义域，解指数不等式即可求解定义域，应用对数复合函数值域求解值域； （2）应用指数对数转化计算求解方式得出对称性. 【详解】（1）要使函数有意义，则，即． 故，此时， ∴， 故函数的定义域为，值域为． （2）由，可得，解得， 故原函数的反函数为，其解析式与原函数相同， 所以函数的图象关于直线对称． 8.已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 1．若函数与互为反函数，则的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的反函数为对数函数，由得到，利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即可求出的单调增区间. 【详解】函数与互为反函数， 指数函数的反函数为对数函数， 故，，对数函数单调递减， 设，则原函数为， 由复合函数单调性“同增异减”可知， 单调递减，要使原函数单调递增，则需单调递减， 二次函数的对称轴为，开口向下，其单调递减区间为， 对数函数的真数须大于0，即，解得。 在定义域内，的单调递减区间为，即原函数的单调增区间是， 故选：A 2．函数的图象恒过定点，若点的横坐标为，函数的图象恒过定点，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质求定点坐标，再由指数函数性质求定点的坐标. 【详解】当时，, 所以则，此时， 所以当，即． 故选：B 3.若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 4.已知，则、、的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，设，，，则、、分别为直线与函数、、图象交点的横坐标，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出、、的大小关系. 【详解】设，设，，， 则为直线与函数图象交点的横坐标， 为直线与函数交点的横坐标， 为直线与函数图象交点的横坐标， 当时，如下图所示： 由图可得，D符合题意； 当时，可得，B符合题意； 当时，如下图所示： 由图可得，C符合题意. 故选：A. 5.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求得，求得，得到时，，根据题意，转化为在上的值域为值域的子集，得到 ，结合，即可求解. 【详解】令，可得， 当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即， 由， 令，可得，则，解得或， 当时，， 对于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 所以需要在上的值域是的子集， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：． 6．已知函数 （1）若的定义域是,求实数的取值范围及的值域； （2）若的值域是，求实数的取值范围及的定义域 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）， 【详解】试题分析：在这里，第一问和第二问，同学们一般搞不清，感觉两种条件下列式是一样的.但其实第一问中要求真数部分要大于0恒成立.但第二问却是，要保证值域为R，定义域必须保证是的子集. 试题解析：（1）因为定义域为R，所以对一切成立， 由此得解得 又因为 所以， 所以实数的取值范围是 的值域是 （2）因为的值域是R，所以的值域 当时，的值域为R； 当时，的值域等价于 解得 所以实数的取值范围是 当由得，定义域为； 当时，由解得 或 所以得定义域是 考点：对数函数的定义域和值域. 7．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线是中心对称图形； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减． 证明：任取，又， 所以 又，所以，所以，即，所以在上单调递减． (2)证明：由题意知， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为． (3) 【分析】（1）任取，利用定义作差证明； （2）证，得到曲线是中心对称图形； （3）利用（2）问结论变形，结合单调递减，得到，转化为二次方程，原方程有4个解等价于二次方程有两根不等的正根，列判别式，两根之和，两根之积的不等式组，求出的取值范围． 【详解】（1）略； （2）略； （3）由（2）知，因为， 所以， 由（1）知在上单调递减，所以 可化为，令， 即， 所以关于的方程有四个不同的实数解等价于有两个不相等的正实数根， 所以 得解得，即的取值范围是. 8．已知函数是偶函数，且函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据函数的奇偶性列式求解即可； （2）（ⅰ）结合奇函数的性质，利用函数单调性解不等式； （ⅱ）将问题转化为在上恒成立，令，则，然后利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 则，① 又， 则，② 由①②得. （2）（ⅰ）由（1）可知，为奇函数，则， 又，在上均为减函数，所以在上为减函数， 由，得， 根据在上的单调性可知，， 解得，故. （ⅱ）由（ⅰ）可知，. 当时，， 由，得， 所以在上恒成立， 令，则，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 故实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $