专题6.1 幂函数（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题6.1 幂函数 教学目标 1.理解幂函数的概念，分清幂函数解析式的结构特征，能识别幂函数，会利用条件求幂函数的解析式。 2.掌握常见幂函数的图象画法，认识指数变化对幂函数图象位置与形状的影响，能够借助图象归纳幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，会利用单调性比较幂值的大小。 3.理解分类讨论研究幂函数的思路，重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，能运用数形结合的思想，处理幂函数相关基础综合问题。 4.体会幂函数模型的意义，感受数形结合研究函数的方法，提升直观想象与逻辑推理的数学素养 教学重难点 重点 幂函数的概念；常见幂函数的图象与基本性质。 难点 幂函数指数变化对图象与性质的影响；灵活运用幂函数图象与性质解决相关问题 知识点一、幂函数概念 1.概念：形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 2.幂函数的特征：①xα的系数为 ；②xα的底数是 ；③xα的指数为 . 只有同时满足这三个条件，才是幂函数 要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数 【即学即练】 1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 知识点二、五种常见幂函数的图象及性质． 1.五种常见幂函数的图象及性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R R (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 非奇非 偶函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小 【即学即练】 1．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2.幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 3.已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 4.已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 知识点三、一般幂函数的图象与性质 1.常见幂函数的图象： （1）当α=1时，y=x的图象是 . （2）当α=0时，y==1(x≠0)的图象是 （3）当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 2.一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： （1）所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). （2）α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. （3）α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. （4）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. （5）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【即学即练】 1．如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且 题型01 幂函数的概念及辨析 【典例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.． 【变式1】．“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）. ①；②；③；④ 【变式3】若函数是幂函数，则________． 题型02 求幂函数的解析式或值 【典例1】若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】若幂函数的图象过点，则________. 一般里面幂函数中，系数为1，即可解决． 【变式1】幂函数的图像经过点（2，4），则等于 A．2 B．8 C．16 D．64 【变式2】已知幂函数的图象过点，则 ． 【变式3】已知幂函数的图象过点，则_________， _____． 题型03 求幂函数的定义域及值域问题 【典例1】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例3】幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________. 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 【变式3】若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【变式4】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 题型04 幂函数的图象应用 【典例1】若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图象如图，则、、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【典例2】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断 【变式1】若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 A． B． C． D． 【变式2】如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式4】已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 题型05 利用幂函数的单调性比较幂值的大小 【典例1】若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【典例2】设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 1.需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 2.比较幂值大小的方法: （1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． （2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． （3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小 【变式1】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【变式3】设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】比较幂值大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和. 题型06 利用幂函数的图象与性质求参数 【典例1】已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【典例2】已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （1）幂函数首要判定：自变量前面系数必须等于1，据此求出参数候选值。 （2）利用单调性：函数在正半轴递减，则幂指数小于0；递增则幂指数大于0，缩小参数范围。 （3）利用奇偶性：根据图像对称性，判断幂指数是奇数或偶数，筛选符合条件的参数。 【变式1】已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【变式3】已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【变式4】已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 题型07 利用幂函数的单调性与奇偶性解不等式 【典例1】已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．利用幂函数解不等式的步骤： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用 【变式1】已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【变式3】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 题型08 幂函数性质的综合运用 【典例1】已知幂函数. (1)若函数在其定义域上是增函数，且，求实数a的取值范围； (2)若函数是偶函数，证明：，，. 【变式1】已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值； (2)求函数在的最小值. 【变式2】已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【变式3】已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 5．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 6．若幂函数满足，则实数m的值为________． 7．已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 8．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 1．如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 5.（多选）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 6．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 7．设，为实数，且满足则__________. 8．已知幂函数，满足 (1)求函数的解析式． (2)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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（1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小 【即学即练】 1．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 2.幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 3.已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 4.已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在上单调递增即可判断出答案. 【详解】 因为幂函数，在上单调递增，且， 所以， 即， 所以. 故选：D. 知识点三、一般幂函数的图象与性质 1.常见幂函数的图象： （1）当α=1时，y=x的图象是一条直线. （2）当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. （3）当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 2.一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： （1）所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). （2）α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. （3）α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. （4）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. （5）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【即学即练】 1．如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且 【答案】B 【分析】由幂函数性质及0＜x＜1时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定m，n的特征． 【详解】由幂函数性质可知：与y＝x恒过点（1，1），即在第一象限的交点为（1，1）， 当0＜x＜1时，，则， 又图象关于y轴对称， ∴为偶函数， ∴， 又m，n互质， ∴m为偶数，n为奇数． 故选：B． 题型01 幂函数的概念及辨析 【典例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念，即可得出答案. 【详解】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数. 故选：B. 判断一个函数是否为幂函数的方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.． 【变式1】．“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义确定系数条件，再分别判断“”能否推出“是幂函数”以及“是幂函数”能否推出“”，即可判断其充分性和必要性. 【详解】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 【变式2】下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）. ①；②；③；④ 【答案】② 【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项 【详解】根据幂函数的定义可知，形如的函数是幂函数 ①中，的系数不为1； ②中，的幂函数； ③中，的系数不为1； ④中，之后不能加常数项； 故答案为② 【变式3】若函数是幂函数，则________． 【答案】0或 【分析】根据幂函数的概念，得到，即可求解. 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或， 故答案为：0或． 题型02 求幂函数的解析式或值 【典例1】若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象经过点求解. 【详解】解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以． 故选：A 【典例2】若幂函数的图象过点，则________. 【答案】10 【分析】将点代入求得幂函数的解析式，把x＝100代入所得的解析式，即可得出答案． 【详解】由题意，设幂函数，则，∴，∴，得. 故答案为10 一般里面幂函数中，系数为1，即可解决． 【变式1】幂函数的图像经过点（2，4），则等于 A．2 B．8 C．16 D．64 【答案】C 【详解】试题分析：设幂函数为，代入点得 【变式2】已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】8 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出，再代入求值即可. 【详解】令，由题意得，即， 解得，故， 则． 故答案为：8 【变式3】已知幂函数的图象过点，则_________， _____． 【答案】 【分析】利用图象上的点求出幂函数解析式，再求函数值. 【详解】幂函数的图象过点，设， 则有，解得， 所以，. 故答案为：；. 题型03 求幂函数的定义域及值域问题 【典例1】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【典例2】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【典例3】幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 综上当幂函数的值域与定义域相同时，则集合. 故答案为：. 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 【变式2】（多选）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AC 【详解】当时，的定义域和值域均为，故A正确；当时，的定义域为，值域为，故B错误；当时，的定义域为，值域为，故C正确；当时，的定义域为，值域为，故D错误． 【变式3】若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1. 【变式4】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，此时的值域，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因为函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型04 幂函数的图象应用 【典例1】若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图象如图，则、、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，即可判断； 【详解】解：幂函数，，，的图象，正好和题目所给的形式相符合， 在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以． 故选：． 【典例2】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案. 【详解】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得， 所以，C选项为其图象. 故选：C 解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断 【变式1】若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ， 作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知 如图， 故选D． 【变式2】如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的图象性质，观察得答案. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，在上递增，且在上越大，增长速度越快， 当时，在上递减，从而可知，曲线对应的， 曲线对应的依次为. 故选：A 【变式3】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 【变式4】已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 题型05 利用幂函数的单调性比较幂值的大小 【典例1】若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 【典例2】设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 1.需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 2.比较幂值大小的方法: （1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． （2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． （3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小 【变式1】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 【变式2】设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式3】设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 【变式4】比较幂值大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为函数在上为减函数， 且，所以. （2）因为，且函数在上为增函数， 又因为，则，所以. （3）因为，，且函数在上为减函数， 又因为 ，则，所以. （4）因为，，， 所以. 题型06 利用幂函数的图象与性质求参数 【典例1】已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增， 则为奇数且，， 故或.． 【典例2】已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式. 【详解】根据幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数可知且为奇数，又，故，代入得，，由的单调性得，解得： 故选：B （1）幂函数首要判定：自变量前面系数必须等于1，据此求出参数候选值。 （2）利用单调性：函数在正半轴递减，则幂指数小于0；递增则幂指数大于0，缩小参数范围。 （3）利用奇偶性：根据图像对称性，判断幂指数是奇数或偶数，筛选符合条件的参数。 【变式1】已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以可取0,1,2， 当时，为奇函数，舍去； 当时，，符合题意； 当时，为奇函数，舍去； 综上. 【变式2】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 【变式3】已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 【变式4】已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 题型07 利用幂函数的单调性与奇偶性解不等式 【典例1】已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D.． 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题． 利用幂函数解不等式的步骤： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用 【变式1】已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数； (3) 【分析】（1）根据幂函数定义求的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的，得到函数解析式. （2）验证函数定义域关于原点对称，再证明，判定函数为奇函数. （3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数的取值范围. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； （2）函数为奇函数，证明略； （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 【变式3】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得，结合幂函数的性质即可求得的值； （2）根据（1）的结论，可得，解不等式可得答案. 【详解】（1）解：∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）解：由（1）得，， ∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 题型08 幂函数性质的综合运用 【典例1】已知幂函数. (1)若函数在其定义域上是增函数，且，求实数a的取值范围； (2)若函数是偶函数，证明：，，. 【答案】(1) (2) 证明：由（1）知，或，当时，定义域为，不符； 故，此时，定义域为， 且有，故函数是偶函数，符合； 则对，，要证， 即证，即证， 由，，当且仅当时取等， 则， 则，即， 即，即有，即得证. 【分析】（1）借助幂函数定义与函数单调性计算可得，再利用函数单调性结合其定义域计算即可得解； （2）由幂函数定义与偶函数性质计算可得，则可得解析式，则可利用解析式结合基本不等式计算即可得证. 【详解】（1）由幂函数定义可得，即， 则或，又函数在其定义域上是增函数，则，故， 即，则函数定义域为， 则对，有，解得； （2）略 【变式1】已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合奇函数确定的值即可； （2）利用二次函数的图象，按照对称轴与区间的不同位置关系，结合单调性分类讨论即得. 【详解】（1）为幂函数，， ，或， 当时，， ，是偶函数，不合题意，舍去； 当时，，，是奇函数，符合题意； 综上可知，. （2），，， 图象的对称轴为，开口向上， 当，在上是单调递增函数， 故在处取得最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值为； 当，即时，在上是单调递减函数， 故在处取得最小值为； 故函数在的最小值为. 【变式2】已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，;(2)或. 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）根据对任意的，总存在，使成立转化为的值域为值域的子集.即可求解. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 【变式3】已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出 并验证，进而求出 值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. （3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）略 （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数性质可得解. 【详解】A中定义域和值域都是； B中 ,定义域和值域都是； C中定义域和值域都是； D中定义域为R，值域为 故选：D 2．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，构造函数， 在上是增函数，， ， 即. 4．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 5．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据求出的值，可得出函数的解析式，再结合幂函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，则，解得，所以， 函数的定义域为，故函数是非奇非偶函数， 且该函数在上单调递增，ABD都错，C对. 故选：ABD. 6．若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 7．已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 是上的增函数． 证明：函数的定义域是．    ，且，    有.    因为，    所以， 所以， 即幂函数是上的增函数． (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及待定系数法可得答案； （2）利用单调性定义证明即可； （3）利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】（1）设，   代入点， 得：，解得，    所以． （2）略 （3）由（2）知在上单调递增，    所以，    ，    所以的值域为． 8．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且， ∴函数为奇函数. (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）略 （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 1．如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案. 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 2．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数的性质即可判断大小. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4.已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 5.（多选）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的图象性质可判断A；当时，为偶函数，但是不为偶数，可判断B；利用基本不等式验证，判断C；当时，，可判断D. 【详解】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 6．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 7．设，为实数，且满足则__________. 【答案】2 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即. 8．已知幂函数，满足 (1)求函数的解析式． (2)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)存在，. 【分析】（1）利用幂函数的定义和已知条件即可求得结果； （2）先化简得到，令得到，，再利用二次函数是的性质分类讨论即可得到结果； （3）首先得到，根据题意得到，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，在为减函数，不满足.     当时，，在为增函数，满足.     所以； （2）， 令，因为，所以， 则令，，开口向上，对称轴为. ①当，即时，函数在为增函数， 则，解得； ②当，即时，函数在为减函数，在为增函数， 则，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，函数在为减函数， 则，解得，不符合题意，舍去. 综上所述：存在，使得的最小值为； （3），易见在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②①得：， 所以， 而，则③. 将③代入②得：. 令，由，知，得，即. 所以，在区间单调递减，所以， 故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $