专题6.2 指数函数（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

6.2 指数函数 教学目标 1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的定义，会判断一个函数是否为指数函数。 2.掌握指数函数的图像与基本性质，能够根据底数范围区分函数单调性，记住指数函数过定点的特征。 3.会利用指数函数的图像与性质比较大小、求解简单不等式，初步掌握数形结合研究函数的方法。 4感受指数函数在增长模型中的应用，体会数学模型刻画现实问题的作用，提升分析问题的能力 教学重难点 1.重点 指数函数的概念，指数函数的图像与基本性质。 2.难点 底数对指数函数图像和单调性的影响，利用指数函数性质解决比较大小等综合问题 知识点一、指数函数的概念 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 要点诠释：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于 的常数．（2）自变量的位置在 上，且的系数是 . （3）的系数是 【即学即练】 1.下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 2.若指数函数的图象过点，则的解析式为 ． 知识点二、 指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调 函数 ④在定义域上是单调 函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是 函数，也不是 函数 要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 2.指数型复合函数的定义域、值域及单调性 （1）指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， ①定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； ②求值域问题，有以下三种方法：由定义域求出u＝f(x)的值域；利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用 ，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域 （2） 形如f(x)＝ag(x)的函数的单调性 f(x)＝ag(x)的单调性[ ]： ①a＞1时f(x)与g(x)的单调性 ②0＜a＜1时f(x)与g(x)的单调性 【即学即练】 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2.函数的图象恒过定点 . 知识点三、 指数函数底数大小与图象的关系 1．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由 变 ，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好 ．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 2.指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较 【即学即练】 1.已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 2.若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型01 指数函数的概念判断 【典例1】下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 对照指数函数标准形式：。三个条件必须同时成立：底数是常数，大于0且不等于1；指数位置只能是自变量x；函数整体前面的系数为1。逐条核对，有一条不满足就不是指数函数 【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【变式3】下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 题型02 利用指数函数概念求解析式或参数 【典例1】已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【典例2】已知函数是指数函数．求的表达式. ①根据指数函数定义，令函数式前面的系数等于1，解出参数候选值； ②带回参数检验底数，底数必须满足大于0且不等于1，剔除不符合条件的增根； ③将合格参数代回原式，写出指数函数解析式 【变式1】指数函数的图象过点，那么＝________. 【变式2】若指数函数的图象经过点，则______，______． 【变式3】指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则________． 【变式4】已知指数函数 (1)当时，求的值； (2)若是指数函数，求解析式. 题型03 指数（型）函数的定义域、值域问题 【典例1】求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【典例2】已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. ①求定义域：指数本身对自变量无限制，只需看内层表达式，找出让内层式子有意义的x的取值范围。 ②求值域：分层处理，由内向外。先求出内层函数的取值范围，再把内层整体当作指数，结合外层指数函数单调性，求出整个函数取值；指数式结果恒大于0 【变式1】函数 的定义域是___________ . 【变式2】求下列函数的定义域和值域： （1）；（2）；（3）；（4）. 【变式3】已知函数的图象过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 【变式4】已知指数函数（，且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的值域. 题型04 指数型函数过定点问题 【典例1】若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【典例2】函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 指数函数图象过定点问题： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【变式1】已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是_____. 【变式4】已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 题型05 指数（型）函数的图象判断问题 【典例1】已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【典例2】函数（e是自然对数的底数）的图象大致为（    ）. A．B．C．D． (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 【变式1】函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【变式3】函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．  B．   C．   D．   题型06 利用指数函数的单调性比大小 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1” 【变式1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 题型07 利用指数函数的单调性解不等式 【典例1】已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 先把不等式左右两边化为底数相同的指数形式；判断底数范围，底数大于1，函数单调递增，去掉指数外壳不等号方向不变；底数在0到1之间，函数单调递减，去掉指数外壳不等号反向；最后整理求出解集，有定义域限制时要取交集 【变式1】已知指数函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)若函数， （i）利用定义证明在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 【变式2】已知函数的图象经过点． (1)求的值； (2)设； （i）判断函数的奇偶性，并说明理由； （ii）求不等式的解集． 【变式3】已知函数的图像经过点． (1)求a的值. (2)证明：函数是奇函数. (3)若对任意恒成立，求实数m的取值范围. 题型08 指数型函数的奇偶性问题 【典例1】若函数在其定义域上为奇函数，则实数___________. 【典例2】函数，，记的最大值为，最小值为，则_________. 第一步优先检验定义域，定义域必须关于原点对称；写出自变量取负值时的函数表达式；对照奇偶定义，奇函数满足自变量取负的函数值等于原函数值的相反数，偶函数满足自变量取负的函数值等于原函数值；列出恒等式化简，求解参数，最后回代验证 【变式1】若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上的最大值为，最小值为，则________. 【变式3】已知函数为奇函数，则的值为__________. 【变式4】已知定义域为的函数. (1)已知定义域为的是奇函数，求、的值； (2)已知定义域为的是偶函数，求、所满足的关系式. 题型09 指数函数模型的实际应用 【典例1】已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 先判断属于增长模型还是衰减模型；找出初始量、变化周期、增长率或者衰减率，写出指数函数关系式；代入题目给出数值计算；最后结合实际含义取舍结果，比如人数、时间不能取负值 【变式1】某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（    ）（参考数据：） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 【变式2】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【变式3】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是___________小时. 题型10 指数型函数性质的综合应用 【典例1】已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. ①一般是大题综合题型，融合定义域、值域、复合单调性、奇偶性、最值、恒成立与存在性问题；内层常搭配一次、二次函数，是指数板块压轴小题或解答题 ②分层拆解复合函数，优先确定函数定义域；利用同增异减法则判断复合单调区间；结合单调性求解闭区间上函数最值；恒成立、存在性问题转化为函数最值，进而求解参数范围 【变式1】已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【变式2】已知函数（且）过点 (1)求函数的解析式； (2)若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【变式3】已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数 (1)求的值； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围． 1．若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 2.设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．指数函数与的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象过点，则___________． 6．对任意实数，函数的图象必过定点___________. 7．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 8.已知指数函数满足，定义域为R的函数． 求的解析式； 判断函数的奇偶性与单调性； 解不等式． 1．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象为（    ） A．  B．  C． D．   4.已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 5.若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m的值等于________. 7．已知函数（其中为常量，且）的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)设，试比较与的大小； (3)记，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 8.已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 指数函数 教学目标 1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的定义，会判断一个函数是否为指数函数。 2.掌握指数函数的图像与基本性质，能够根据底数范围区分函数单调性，记住指数函数过定点的特征。 3.会利用指数函数的图像与性质比较大小、求解简单不等式，初步掌握数形结合研究函数的方法。 4感受指数函数在增长模型中的应用，体会数学模型刻画现实问题的作用，提升分析问题的能力 教学重难点 1.重点 指数函数的概念，指数函数的图像与基本性质。 2.难点 底数对指数函数图像和单调性的影响，利用指数函数性质解决比较大小等综合问题 知识点一、指数函数的概念 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1 【即学即练】 1.下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可. 【详解】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 2.若指数函数的图象过点，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出函数解析式，待定系数法求出解析式. 【详解】设（且），故，解得， 故. 故答案为： 知识点二、 指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 注：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 2.指数型复合函数的定义域、值域及单调性 （1）指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， ①定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； ②求值域问题，有以下三种方法：由定义域求出u＝f(x)的值域；利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域 （2） 形如f(x)＝ag(x)的函数的单调性 f(x)＝ag(x)的单调性[同增异减]： ①a＞1时f(x)与g(x)的单调性相同 ②0＜a＜1时f(x)与g(x)的单调性相反 【即学即练】 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 2.函数的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 知识点三、 指数函数底数大小与图象的关系 1．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 2.指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较 【即学即练】 1.已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】如下图：    作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及， 可知对应，对应，对应. 故选：B 2.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用指数函数的性质比较大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性知，，而， 故， 故选：D 题型01 指数函数的概念判断 【典例1】下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 【答案】③④ 【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④. 故答案为：③④. 对照指数函数标准形式：。三个条件必须同时成立：底数是常数，大于0且不等于1；指数位置只能是自变量x；函数整体前面的系数为1。逐条核对，有一条不满足就不是指数函数 【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 【变式2】（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 【变式3】下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【分析】由指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. 题型02 利用指数函数概念求解析式或参数 【典例1】已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 【典例2】已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， ①根据指数函数定义，令函数式前面的系数等于1，解出参数候选值； ②带回参数检验底数，底数必须满足大于0且不等于1，剔除不符合条件的增根； ③将合格参数代回原式，写出指数函数解析式 【变式1】指数函数的图象过点，那么＝________. 【答案】64 【分析】设（且），代入点的坐标，求出，从而求出. 【详解】设（且），又，解得， ∴. 故答案为：64 【变式2】若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 【变式3】指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则________． 【答案】64 【分析】将点代入解析式得出，进而由解析式得出. 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 【变式4】已知指数函数 (1)当时，求的值； (2)若是指数函数，求解析式. 【答案】(1)2; (2). 【分析】（1）当时，求出的解析式，进而求解; （2）根据为指数函数，求解出的值，进而求出解析式. 【详解】（1）当时，, 所以. （2）因为是指数函数， 所以, 解得；或且且， 即, 所以. 题型03 指数（型）函数的定义域、值域问题 【典例1】求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 【典例2】已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. ①求定义域：指数本身对自变量无限制，只需看内层表达式，找出让内层式子有意义的x的取值范围。 ②求值域：分层处理，由内向外。先求出内层函数的取值范围，再把内层整体当作指数，结合外层指数函数单调性，求出整个函数取值；指数式结果恒大于0 【变式1】函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 【变式2】求下列函数的定义域和值域： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）计算函数的定义域为，再计算值域得到答案. （2）计算函数定义域为，再计算函数值域得到答案. （3）根据得到，得到值域. （4）令，则，则，根据得到值域. 【详解】（1）由题意知，，∴ 函数的定义域为. ，，∴ 函数的值域为. （2）由题意知，，， ∴ 函数的定义域为. ，又，， ，，∴ 函数的值域为. （3）由题意知，定义域为R. ，. ，∴函数的值域为. （4）由题意知，定义域为R. ， 令，则，且.又（当且仅当，即时取等号），，故值域为 【变式3】已知函数的图象过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式可得，进而求解即可； （2）令，，可得，进而结合二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意得，，即，则， 所以． （2）令，因为，则， 则，所以在上单调递减， 因为，，所以，即的值域为． 【变式4】已知指数函数（，且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据指数函数过点，求出，即可得出函数解析式； （2）根据（1）的结果，得到，判断出单调性，即可得出值域. 【详解】（1）因为指数函数（，且）的图象过点， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，由函数为减函数可知： 函数为减函数，当时，； 又，∴，所以的值域为 题型04 指数型函数过定点问题 【典例1】若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 【典例2】函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， . 指数函数图象过定点问题： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【变式1】已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象与性质，求出的图象所过定点，再计算的值． 【详解】解：函数，且中， 令，得， 所以， 所以的图象过定点， 所以，； 所以． 故选：． 【变式2】（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 【变式3】已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是_____. 【答案】 【分析】利用，恒为1，求出x值及对应的函数值作答. 【详解】在函数中，当，即时，， 所以点P的坐标是. 故答案为： 【变式4】已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 题型05 指数（型）函数的图象判断问题 【典例1】已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 【典例2】函数（e是自然对数的底数）的图象大致为（    ）. A．B．C．D． 【答案】A 【解析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为 所以， 可知是递增的函数， 所以为递减的函数， 则是递减的函数， 且 所以 则，所以A正确 故选：A (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 【变式1】函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以.. 【变式2】函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可. 【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 故选：B 【变式3】函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出排除选项BD，利用导数法求出的单调性得到结论. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数， ， ， ，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数； 则选项A符合. 故选：A. 题型06 利用指数函数的单调性比大小 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 【典例2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1” 【变式1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上，. 【变式2】若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ．． 【变式3】已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项. 【详解】记，，，显然有， 在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设， 由图可知，当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是. 题型07 利用指数函数的单调性解不等式 【典例1】已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)； (2) 奇函数，证明：是奇函数，由解析式知函数定义域为R， 由，故为奇函数； (3). 【分析】（1）由函数为指数函数有，且求出参数值，即可得解析式； （2）利用奇偶性定义判断证明函数的奇偶性； （3）利用指数函数的单调性列不等式求解集. 【详解】（1）由题意，可得或， 又指数函数中且，故，则； （2）略 （3）由在定义域R上单调递增，则， 所以，可得或，解集为. 先把不等式左右两边化为底数相同的指数形式；判断底数范围，底数大于1，函数单调递增，去掉指数外壳不等号方向不变；底数在0到1之间，函数单调递减，去掉指数外壳不等号反向；最后整理求出解集，有定义域限制时要取交集 【变式1】已知指数函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)若函数， （i）利用定义证明在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1) (2)（i）证明： ，，且， ， 因为，所以，， 从而，，， 所以， 即，即， 所以在上单调递增 （ii） 【分析】（1）根据指数函数的解析式，代入点计算可得结果； （2）（i）根据函数单调性的定义判断的单调性即可；（ii）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，解绝对值不等式可得结果. 【详解】（1）设且， 则，解得， 所以； （2）由（1）可知； （i）略； （ii）由知为偶函数， 则不等式等价于， 又在上单调递增，所以，即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【变式2】已知函数的图象经过点． (1)求的值； (2)设； （i）判断函数的奇偶性，并说明理由； （ii）求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)（i）奇函数；（ii）. 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）（i）利用函数的奇偶性的定义判断；（ii）易得是增函数，从而由，得到求解. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 所以，解得或（舍）； （2）（i）由（1）知， 定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数； （ii）任取，且， 则， 因为，且在R上是增函数， 所以，即， 所以，即，则是增函数， 由，得，解得或， 所以原不等式的解集为． 【变式3】已知函数的图像经过点． (1)求a的值. (2)证明：函数是奇函数. (3)若对任意恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）知： 因为且，定义域为关于原点对称， 所以是奇函数. (3) 【分析】（1）直接将点代入函数表达式即可求解. （2）直接由奇函数的定义证明即可. （3）首先得出单调递增，且注意到，所以可将原不等式等价转换为，从而进一步求解即可. 【详解】（1）把点代入函数得，解得. （2）略 （3），，设，则， 因为，所以，， 故，即，所以函数在R上单调递增. 又因为 所以对任意恒成立， 又因为在R上单调递增， 所以对任意恒成立， 不妨令，所以， 所以，即m的取值范围. 题型08 指数型函数的奇偶性问题 【典例1】若函数在其定义域上为奇函数，则实数___________. 【答案】1 【分析】由可得答案. 【详解】因为的定义域为，且为奇函数， 所以，即， 故答案为：1 【典例2】函数，，记的最大值为，最小值为，则_________. 【答案】4 【分析】将变形为，设，判断出其对称中心，结合奇函数的性质即可求. 【详解】在闭区间上一定有最值，， 设，则，是奇函数，则其对称中心为， 所以在，， 则 故答案为：4 第一步优先检验定义域，定义域必须关于原点对称；写出自变量取负值时的函数表达式；对照奇偶定义，奇函数满足自变量取负的函数值等于原函数值的相反数，偶函数满足自变量取负的函数值等于原函数值；列出恒等式化简，求解参数，最后回代验证 【变式1】若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故． 【变式2】已知函数在上的最大值为，最小值为，则________. 【答案】1 【解析】根据函数关于点对称，进而求解即可 【详解】因为，则函数关于点对称，所以. 故答案为：1 【变式3】已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 【变式4】已知定义域为的函数. (1)已知定义域为的是奇函数，求、的值； (2)已知定义域为的是偶函数，求、所满足的关系式. 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）（2）利用特殊值法求出、的值或满足的条件，再结合函数奇偶性的定义检验即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，所以， 所以， 因为，， 由奇函数的定义可得，即，解得， 且当，时，函数， 对任意的，，即函数的定义域为， 对任意的，， 故函数为奇函数，符合题意， 综上所述，，. （2）因为函数是定义在上的偶函数， 因为，， 由偶函数的定义可得，即①， 因为，， 由偶函数的定义可得，即②， 联立①②可得，此时， 由题意可知无实数解，即对任意的恒成立， 因为，所以，此时， 显然对任意的，，函数为定义在上的偶函数， 综上所述，且. 题型09 指数函数模型的实际应用 【典例1】已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 【答案】B 【分析】根据已知的两组温度与对应保鲜时间列出方程组，求解得到与的值，整体代入计算时的保鲜时间即可. 【详解】依题意，将已知条件代入函数可得： 当时，， 当时，，将代入，解得， 当时，，将、代入得： . 先判断属于增长模型还是衰减模型；找出初始量、变化周期、增长率或者衰减率，写出指数函数关系式；代入题目给出数值计算；最后结合实际含义取舍结果，比如人数、时间不能取负值 【变式1】某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（    ）（参考数据：） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 【答案】D 【分析】每年投入的研发资金比上一年增长10%，则经过年后全年投入的研发资金为，列不等式求解. 【详解】由题可知，该公司2020年全年投入研发资金3000万元，设从2020年起经过年后全年投入的研发资金超过6000万元， 则， 化简得，取对数得， 故该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是2028年. 故选：D. 【变式2】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当，，时，，代入公式，可求出的值，再将，，代入公式，结合换底公式以及对数的运算性质化简可求得的值. 【详解】由题意，当，，时，， 代入公式得，即，解得， 将，，代入公式得， 所以，故， 所以从降温到大约需要. 【变式3】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是___________小时. 【答案】1 【分析】利用待定系数法求出代入即可求得食品在时的保鲜时间. 【详解】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数， 若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时， 则，解得，当时，， 所以该食品在时的保鲜时间是1小时. 故答案为：1. 题型10 指数型函数性质的综合应用 【典例1】已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增； (2) 【分析】（1）将代入即可求解，则解析式和单调性可求； （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. ①一般是大题综合题型，融合定义域、值域、复合单调性、奇偶性、最值、恒成立与存在性问题；内层常搭配一次、二次函数，是指数板块压轴小题或解答题 ②分层拆解复合函数，优先确定函数定义域；利用同增异减法则判断复合单调区间；结合单调性求解闭区间上函数最值；恒成立、存在性问题转化为函数最值，进而求解参数范围 【变式1】已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用待定系数法可得答案； （2）令，把问题转化成二次函数最值问题，讨论对称轴与定义域的关系，可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点， ， 解得：或（舍去）， . （2）代入，得： ， ， 令，当时，单调递增， 且，即， 则可转化为关于的函数， 对称轴为. 当时，则时， ，解得； 当时，则时， ，解得，舍去； 综上，可知. 【变式2】已知函数（且）过点 (1)求函数的解析式； (2)若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标求解指数函数的底数，得解析式； （2）利用奇偶函数性质分解为奇函数与偶函数之和，将条件转化为恒成立问题，通过换元与基本不等式求最值，确定的范围. 【详解】（1）由过点，得. 因且，故，则. （2）由，为奇函数，为偶函数，得. 联立得，. 对任意，存在使，而， 故在上恒成立. 令，时，单调递减，故. ，代入得，即. 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， 故. 【变式3】已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数 (1)求的值； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先运用待定系数法求出指数函数解析式，再用奇函数性质求出； （2）将不等式问题运用奇函数性质转化为，再考虑的单调性，脱去括号，后转化为二次函数最值即可； （3）将零点问题转化为有两个不同根，运用奇函数性质脱括号，有两个不同根即可,再用换元法，转化为二次方程的根的问题即可. 【详解】（1）设，函数过，代入，即，解得，则. 定义域为的奇函数，则，解得，则， 由于，解得，则. 检验：，则满足题意. 则. （2），即， 即存在，使得成立. 由于，越大，则由指数单调性知道越大， 则也变大，变小，变小.则在定义域内单调递减. 即存在，使得成立. 即存在，使得. 则对于，使得即可. 对于， ，则. （3）恰有2个零点,即有两个不同根. 即有两个不同根. 由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可. 则有两个不同根即可. 令，q与x个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即. 实数的取值范围为. 基础自测+能力提升总题量控制在15题左右 1．若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 2.设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 3．已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 4．指数函数与的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 5．已知函数的图象过点，则___________． 【答案】 【分析】由已知得，可求得函数解析式，进而求值即可. 【详解】因为函数的图像过点， 所以，解得，所以，所以． 故答案为：.． 6．对任意实数，函数的图象必过定点___________. 【答案】 【分析】根据指数函数图象性质解决即可. 【详解】由题知，函数，， 根据指数函数图象性质恒过定点， 所以令，得，此时， 所以函数的图象必过定点， 故答案为： 7．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】根据给定的各函数有意义列出不等式，求解即得对应函数的定义； 由求得的定义域确定相应函数的指数取值，再借助指数函数性质即可求得值域. 【详解】（1）使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为， 因为，则，而， 所以函数的值域为. （2）要使函数有意义，则，即，于是得， 所以函数的定义域为， 因当时，， 所以函数的值域为. 8.已知指数函数满足，定义域为R的函数． 求的解析式； 判断函数的奇偶性与单调性； 解不等式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】根据题意，设，又由，则，解可得，即可得的解析式，又由，可得的解析式，即可得答案； 根据题意，，分析可得，即可得函数为奇函数，求出的导数，由函数导数与函数单调性的关系，分析可得答案； 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数为指数函数，设， 若，则， 解可得， 则，， 由的结论，， 则，函数为奇函数， 又由，则函数为R上为增函数， 由的结论， ， 变形可得：， 解可得或， 即不等式的解集为． 1．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 2．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令、求出，再令即可求出. 【详解】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 3．函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数奇偶性，取值情况即可判断图象. 【详解】因为函数定义域为，则，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除； 又当时，，所以，排除. 故选：. 4.已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 5.若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 6.已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m的值等于________. 【答案】2 【分析】令，则，再可判断出为奇函数，则，从而可求出的值 【详解】令，则，定义域为， 因为， 所以为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 7．已知函数（其中为常量，且）的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)设，试比较与的大小； (3)记，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)将点代入函数求出即可. (2)利用第(1)问的的值,可以知道的解析式,进而就可以比较大小. (3)利用第(1)问的的值,可以知道的解析式,因为在区间上恒成立,所以求出在区间上的最小值即可. 【详解】（1）把点代入, 得,结合且,解得 所以. （2）由(1)知,所以. 因为和都是增函数,所以函数为增函数. 因为,所以. （3）由(1)知,所以. 所以即. 因为和都是减函数,所以函数为减函数. 所以当时,在上有最小值,其最小值为. 故. 8.已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇偶函数的定义列式求解. （2）求出函数定义域，结合二次函数、指数函数单调性求出递增区间. （3）由（1）的结论化简不等式，再结合一元二次不等式的解法及指数函数单调性求解. 【详解】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $