6.3 对数函数（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦对数函数的概念、图象及性质，通过细胞分裂和放射性物质衰变的实际情境，从指数函数的反问题切入，搭建从指数函数到对数函数的知识支架，梳理前后知识脉络。 此资料融合数学抽象、直观想象与逻辑推理，如情境抽象出对数函数概念培养数学眼光，学生自主描点作图归纳性质发展直观想象，例题应用性质解不等式体现逻辑推理。助力学生提升数学思维，为教师提供结构化教学方案，提高课堂效率。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 对数函数（第1课时） ▍教学目标 1. 理解对数函数的概念，会判断对数函数． 2. 初步掌握对数函数的图象和性质． 3. 对数函数图象性质的简单应用． 数学抽象：理解对数函数的概念，了解对底数、真数的限制条件的合理性． 逻辑推理：对数函数图象的性质的应用． 直观想象：掌握对数函数图象的性质． 数学运算：求复合函数的定义域． ▍情境设置 【问题1】 我们知道某细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个……细胞个数是分裂次数的指数函数，因此知道的值就能求出的值．现在，我们来研究相反的问题：知道了细胞个数，如何确定分裂次数？ [学生活动] 完成下列表格： 细胞个数 … 分裂次数 … 次数对数表示 … [教师引导] 由对数的意义可知，当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次……当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次，我们发现对于每一个分裂后细胞个数，通过对应关系，细胞分裂次数都有唯一的值与之对应，从而也是关于的一个新的函数． 【问题2】 放射性物质经过的时间（单位：年）与物质剩留量的关系是指数函数（，）．反过来，如果知道放射性物质剩留量，如何得知它经过的时间呢？ [学生活动] ，是的函数． [教师引导] 上述的两个新的函数都是是自变量，是的函数，跟我们的习惯不符，所以习惯上，仍用表示自变量，用表示它的函数．这样，上面两个函数就分别写成和 ▍概念的探究与建构 【问题3】 函数和具有什么共同特征？你能再举两个例子吗？ [学生活动] 这些函数的表达式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量，如，． 形成知识 一般地，函数（，）叫作对数函数，它的定义域是． 【问题4】 类比指数函数的形式，对数函数的形式应满足哪些条件？ [学生活动] 前的系数应为；底数为大于且不等于的常数；真数仅有自变量． 【思考1】 判定下列函数是否为对数函数？ 下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①；②（）；③；④； ⑤；⑥． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 [解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数不能保证且，∴②不是对数函数；由于⑤的真数为不是对数函数；⑥的对数后面加了个，不是对数函数，∴只有③、④符合对数函数的定义． [教师引导] 判断一个函数是对数函数必须是形如（且）的形式，即必须满足以下条件：（1）前的系数应为；（2）底数为大于且不等于的常数；（3）真数为系数为次数也为的单项式，一般是． 【问题5】 下面我们来研究对数函数的性质，类比指数函数，我们怎么得到对数函数的性质？ [学生活动] 用列表描点连线的方法画图，通过图象研究对数函数性质． [教师引导] 每位同学从下述二组函数中选择一组底数互为倒数的对数函数在同一个坐标轴里用描点法作出函数的图象．（可以同桌两人分工一人画一组） (1) 与； (2) 与． 【问题6】 你能根据画出的图象归纳总结出对数函数的性质吗？ [学生活动] 学生表达，师生共同完善补充． 定义 （，且） 底数 图象 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 共点性 图象过定点，即时， 函数值特点 时，； 时， 时，； 时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 【思考2】 通过图象你还能得到对数函数的其他性质吗？比如对数函数图象的分布规律． [学生活动] 对于底数的对数函数，在区间内，底数越大越靠近轴； 对于底数的对数函数，在区间内，底数越小越靠近轴． [教师引导] 还可以作直线，与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底． 【问题7】 函数与函数（且）的定义域、值域之间有怎样的关系？ [学生活动] 画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系： (1) ，； (2) ，； [学生活动] (1) 与的图象关于直线对称； 与的图象也关于直线对称． (2) 函数的定义域是（且）的值域， 函数的值域是（且）的定义域． 形成知识 一般地，设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作． 在中，是自变量，是的函数．习惯上改写成（，）的形式． ▍知识的运用与升华 【例题1】 求下列函数的定义域： (1) ； (2) （，）； (3) ． [解析] (1) 当，即时，有意义，因此函数的定义域是． (2) 当，即时，有意义，因此函数的定义域是． (4) 当且时， 即且时，有意义， 因此函数的定义域是． 方法归纳 定义域求解问题通常包括以下情况： (1) 若为整式，则函数的定义域为； (2) 若为分式，则分母要求不能为； (3) 若为对数式，则要求真数大于； (4) 若为根指数是偶数的根式，则要求被开方数非负； (5) 描述实际问题时，要求使实际问题有意义．若是由以上几种情况的式子构成的，则常常转化为不等式（组）． 【例题2】 比较下列各组数中两个值的大小： (1) ，； (2) ，； (3) ，； (4) ，． [解析] (1) 考察对数函数，因为它的底数， 所以它在上是增函数，又，于是． (2) 考察对数函数，因为它的底数，所以它在上是减函数，又，于是． (3) 考察对数函数．因为，所以在上是增函数又，于是． 同理，． (4) 考察对数函数和的图象，如右图： 当时，的图象在图象上方． ∴当时，∴． 此题也可用换底公式来解：，，， 方法归纳 利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法如下： (1) 同底数的两个对数值的大小比较，根据对数函数的单调性比较； (2) 底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引入中间量进行比较，通常取中间量为，，等； (3) 底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公式化为同底，再进行比较． 【例题3】 解对数不等式： (1) ； (2) ． [解析] 化为同底利用对数函数的单调性解不等式． (1) ，，，∴不等式解集为． (2) ，， ∴不等式解集为． 方法归纳 解对数不等式即化为同底利用对数函数的单调性比较大小，但一定先保证函数有意义． 【例题4】 (1) 若函数为减函数，则的取值范围是 ． (2) 函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ． [解析] (1) 当底数大于零且小于时为减函数，所以，，所以的取值范围为． (2) 当真数为时，恒为，所以令则，，所以． ▍课堂反馈 1. 若对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为 ． [解析] 设函数解析式为 ， 把代入得到，，， 所以函数解析式为． 2. 如图是对数函数①，②， ③，④的图象，则，，，与的大小关系是 ． [解析] 方法一：观察在轴上方的图象，从右至左依次为②①④③，故． 方法二：在上图中画出直线，发现分别与①②③④交于，，，四点，由图可知． 3. 解对数不等式． [解析] 当时，在为增函数，所以． 当时，在为减函数，所以 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． ▍课堂总结 【问题8】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 知识框图 1. 知识与技能层面： (1) 对数函数概念：函数（，且）叫作对数函数，它的定义域是； (2) 对数函数的图象与性质； (3) 比较两个对数值的大小的方法． 2. 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般…… 学科网（北京）股份有限公司 $