6.2 指数函数（讲义，知识点&11大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦指数函数核心知识点，系统梳理概念（定义及底数条件）、图象与性质（单调性、定点等）、定义域值域、图象变换，构建从基础理解到综合应用的学习支架，涵盖概念判断、参数求解等多类题型。 资料特色为分层设计，知识点标注重点，随学随练即时巩固，题型分类含解题贴士与例题。通过概念辨析培养抽象能力（数学眼光），复合函数单调性分析提升推理能力（数学思维），综合问题解决强化应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第六章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 指数函数 课标要点 1.了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数; 2.掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域; 3.能解决与指数函数有关的综合性问题; 学习重难点 重点：指数函数的图象与性质以及指数函数图象的变换及应用 难点：指数函数有关的复合函数的性质及应用 知识点 指数函数的概念（重点） 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是 特别提醒 1）定义域为： 2）规定是因为 ①若，则（恒等于1）没有研究价值 ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义 ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义 只有当或时，即，可以是任意实数 3） 函数解析式形式要求 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 3．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 知识点 指数函数的图象与性质（重点） 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 随学随练 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图，（1）（2）（3）分别是指数函数的大致图象，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 知识点指数（指数型）函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)y＝. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 拓展指数函数图象变换（重点） 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 活学活用 1．（2026高三·全国·专题练习）作函数的图象． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)； (2) 题型 指数函数概念判断 解题贴士 函数①的系数必须为1； ②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式 ▌例1 （24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． ▌例2 （26-27高一上·全国·课堂例题）指出下列函数哪些是指数函数： (1) (2) (3) (4) ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） ▌对点练1-2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. ▌对点练1-3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是指数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（是常数）. 题型根据函数是指数函数求参数 解题贴士 函数①的系数必须为1； ②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． ▌例2（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 ▌对点练2-2（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 ▌对点练2-3（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型指数型函数图象过定点问题 解题贴士 根据函数图象过定点 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． ▌例2（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. ▌对点练3-1已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． ▌对点练3-2（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． ▌对点练3-3（25-26高一下·河北衡水·开学考试）函数（，且）的图象恒过定点_______. 题型指数函数图象识别 （重点） ▌例1（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   ▌例2（25-26高一上·广西玉林·期中）在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-1（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   ▌对点练4-3（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）(多选)函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 题型画指数函数（指数型复合函数）图象（重点） ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； ▌例2作出函数的图象. ▌对点练5-1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． ▌对点练5-2作出函数的图象. ▌对点练5-3（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 题型 利用指数函数的单调性比较大小（重点） 解题贴士 比较指数幂的大小的方法（分三种情况） (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”。 ▌例1（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a ▌对点练6-1（25-26高一上·广西梧州·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. ▌对点练6-3（26-27高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 题型利用指数函数的单调性解不等式（重点） 解题贴士 （1）将不等式左右两侧化为同底指数（指数型）函数 （2）根据指数函数的单调性解不等式 （3）注意综合考虑函数定义域 ▌例1（2026高一上·全国·专题练习）已知，则不等式的解集为________． ▌例2（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，． (1)判断在的单调性并用定义证明； (2)解关于的不等式 ▌对点练7-1（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. ▌对点练7-2（25-26高一上·河南·期中）已知函数，. (1)判断的单调性并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 题型指数型复合函数的单调性（重点） ▌例1（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-1（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ ▌对点练8-2（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． ▌对点练8-3若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 题型与指数函数（指数型复合函数）有关的值域问题（重点） ▌例1（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)证明：的图象关于原点对称； (2)求函数的值域. ▌对点练9-1已知函数，求其值域和对称中心． ▌对点练9-2（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． ▌对点练9-3（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明. (3)求的值域. 题型指数函数中可化为一元二次函数型题问题（重点） 解题贴士 将函数，通过换元，转化为，通过二次函数解决问题 ▌例1（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 ▌例2（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. ▌对点练10-1（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． ▌对点练10-2（25-26高一上·广西南宁·期中）若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练10-3（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型指数函数中的综合问题（重点） 解题贴士 综合考虑指数函数单调性，解决相关值域，不等式等综合问题 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. ▌例2（25-26高二下·吉林长春·期末）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． ▌对点练11-1（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． ▌对点练11-2（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． ▌对点练11-3（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 7．（多选）（24-25高一上·山东·阶段检测）已知函数，则（   ） A．有最小值 B．的单调递增区间为 C．有最大值 D．的单调递增区间为 8．（多选）（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，.当时，取得最小值b，则函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·福建福州·三模）若函数为奇函数，则____． 10．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数且，. (1)当时，判断函数在内的单调性并用定义证明； (2)是否存在m，使得为奇函数，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 迁移创新 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义证明在上是增函数： (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值与函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； (3)若，使成立，求实数k的取值范围. 4．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数，是奇函数. (1)求a，b的值； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)若，求实数m的取值范围. 5．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 幂函数、指数函数和对数函数 6.2 指数函数 课标要点 1.了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数; 2.掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域; 3.能解决与指数函数有关的综合性问题; 学习重难点 重点：指数函数的图象与性质以及指数函数图象的变换及应用 难点：指数函数有关的复合函数的性质及应用 知识点 指数函数的概念（重点） 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是 特别提醒 1）定义域为： 2）规定是因为 ①若，则（恒等于1）没有研究价值 ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义 ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义 只有当或时，即，可以是任意实数 3） 函数解析式形式要求 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 2．（多选）（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 知识点 指数函数的图象与性质（重点） 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 随学随练 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图，（1）（2）（3）分别是指数函数的大致图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，再根据函数值的大小即可得解. 【详解】令，观察图象可得. 故选：D. 2．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出. 【详解】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以. 故选：B 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 知识点指数（指数型）函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)y＝. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，， 定义域为. ，， 的值域为. （2）定义域为. ， ， 此函数的值域为. （3），， ， 定义域为. ，. 又，. ， ，此函数的值域为. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【答案】(1)定义域为，且，值域为，且； (2)定义域为，值域为 【分析】根据给定的各函数有意义列出不等式，求解即得对应函数的定义域；由求得的定义域确定相应函数的指数取值，再借助指数函数性质即可求得值域. 【详解】（1）由，得， 故的定义域为，且， 又，即 故的值域为，且； （2）要使函数有意义，则，解得. 所以函数的定义域为， 因为，所以， 即函数的值域为. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 拓展指数函数图象变换（重点） 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 活学活用 1．（2026高三·全国·专题练习）作函数的图象． 【答案】 【详解】函数，该函数在区间上的图象，可由的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到； 在区间上的图象，可由的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到，如图： 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)； (2) 【答案】(1)； 递增区间为，递减区间为 (2)； 递增区间为，递减区间为． 【详解】（1）的图象如下图． 由图象可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的图象如下图． 由图象可得函数的递增区间为，递减区间为． 题型 指数函数概念判断 解题贴士 函数①的系数必须为1； ②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式 ▌例1 （24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D ▌例2 （26-27高一上·全国·课堂例题）指出下列函数哪些是指数函数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)是指数函数 (2)不是指数函数 (3)不是指数函数 (4)不是指数函数 【解析】略 ▌对点练1-1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D ▌对点练1-2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【分析】由指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. ▌对点练1-3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是指数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（是常数）. 【答案】(1)指数函数 (2)不是指数函数 (3)不是指数函数 (4)不是指数函数 (5)不是指数函数 【解析】略 题型根据函数是指数函数求参数 解题贴士 函数①的系数必须为1； ②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解函数是指数函数，可得，解得． ▌例2（多选）（24-25高一上·广东湛江·阶段检测）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. ▌对点练2-1（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. ▌对点练2-2（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. ▌对点练2-3（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 题型指数型函数图象过定点问题 解题贴士 根据函数图象过定点 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． ▌例2（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. ▌对点练3-1已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. ▌对点练3-2（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． ▌对点练3-3（25-26高一下·河北衡水·开学考试）函数（，且）的图象恒过定点_______. 【答案】 【详解】因为时，，所以图象恒过定点. 题型指数函数图象识别 （重点） ▌例1（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据函数图象的变换确定函数的图象. 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B ▌例2（25-26高一上·广西玉林·期中）在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，两种情况下指数函数图象及二次函数对称轴及与轴交点的纵坐标，据此可判断选项正误. 【详解】当时，函数在上单调递减， 函数的对称轴为， 且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合． 当时，函数在上单调递增， 函数的对称轴为，B不符合， 且函数与轴交点的纵坐标为，不符合． 故选： C． ▌对点练4-1（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数性质并且结合图象求解即可. 【详解】对于A，B，由图象结合指数函数性质得， 且对于，当时，， 则，故A正确，B错误， 对于C，由指数函数性质结合图象得， 则，与图象不符，故C错误， 对于D，由指数函数性质结合图象得， 对于，当时，，则， 与图象不符，故D错误. 故选：A ▌对点练4-2（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A ▌对点练4-3（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）(多选)函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 题型画指数函数（指数型复合函数）图象（重点） ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌例2作出函数的图象. 【答案】 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： ▌对点练5-1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】（1）先去掉解析式中的绝对值，再利用平移变换作图． （2）根据图象，结合函数单调性，即可判断. 【详解】（1）由题意，， 所以的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 所以函数的图象如图： . （2）由图象可知其单调递增区间为；单调递减区间为． ▌对点练5-2作出函数的图象. 【答案】    【分析】根据函数的奇偶性画出函数的图象. 【详解】作出的图象，保留的图象中的部分， 再作图象中的部分关于轴的对称图象， 即得图象，如下图所示.    ▌对点练5-3（24-25高一上·全国·课前预习）已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】． 【分析】依题意，作出函数的图象，要使两者有两个公共点，需使，即可求得参数范围. 【详解】 由，作出函数的图象如图． 由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即. 故实数a的取值范围为． 题型 利用指数函数的单调性比较大小（重点） 解题贴士 比较指数幂的大小的方法（分三种情况） (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”。 ▌例1（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， ▌例2（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . ▌对点练6-1（25-26高一上·广西梧州·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】因为为上的减函数，故，故， 又为上的增函数，故，故. 故选：A. ▌对点练6-2（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （2）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （3）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得. 【详解】（1）因为，所以，因为幂函数在上单调递增， 所以，即. （2）因为幂函数在上单调递增，且， 所以，即. （3）因为幂函数在上单调递减，且， 所以，即. ▌对点练6-3（26-27高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数的单调性比较大小； （2）根据指数函数的单调性比较大小； （3）借助中间量及指数函数的单调性比较大小. 【详解】（1）由于指数函数在上单调递增，而，所以. （2）因为函数在上单调递减，而，所以， （3）因为在上单调递减，所以； 又在轴右侧， 函数的图象在的图象的上方，所以，所以. 题型利用指数函数的单调性解不等式（重点） 解题贴士 （1）将不等式左右两侧化为同底指数（指数型）函数 （2）根据指数函数的单调性解不等式 （3）注意综合考虑函数定义域 ▌例1（2026高一上·全国·专题练习）已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 ▌例2（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，． (1)判断在的单调性并用定义证明； (2)解关于的不等式 【答案】(1)函数在上单调递增，证明： 因为，所以，解得. 设，且， 则. 因为，且，所以， 因为，所以，所以，即. 所以，即，所以函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）先求出函数的解析式，然后根据定义证明单调性即可. （2）先化简不等式，然后根据指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）不等式. 所以，那么，解得. 所以不等式的解集为. ▌对点练7-1（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明如下： 由（1）知，则， 函数是定义在R上的奇函数， 由于，所以是奇函数. (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数的定义列式求出值即得. （2）利用函数奇偶性定义判断并证明. （3）利用指数函数的单调性脱去函数法则“f”，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由函数是指数函数，得，解得， 所以函数的表达式为. （2）略 （3）函数在R上单调递增，不等式， 即，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为. ▌对点练7-2（25-26高一上·河南·期中）已知函数，. (1)判断的单调性并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递增. 证明如下： 不妨设，且， 则，       易知，， 所以，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）利用单调性将已知不等式转化为，即，解得，然后利用指数函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上单调递增，且， 所以，即，       因为， 所以，即， 解得，则， 所以实数的取值范围是. 题型指数型复合函数的单调性（重点） ▌例1（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． ▌对点练8-1（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. ▌对点练8-2（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. ▌对点练8-3若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】根据复合函数单调性和二次函数的性质进行求解. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型与指数函数（指数型复合函数）有关的值域问题（重点） ▌例1（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. ▌例2（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)证明：的图象关于原点对称； (2)求函数的值域. 【答案】(1)证明：由可得其定义域为， 因为，所以是奇函数， 故函数的图象关于原点对称. (2) 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，利用指数运算以及奇函数定义，可得答案； （2）利用分离常数项整理函数解析式，根据指数函数取值以及不等式性质，可得答案. 【详解】（1）略 （2）由，则， 由，则，，可得， 所以. ▌对点练9-1已知函数，求其值域和对称中心． 【答案】值域为，对称中心为 【分析】由题设，根据解析式求定义域，再分析函数的区间单调性，应用单调性求值域，再由即可求对称中心. 【详解】由，其中， 所以函数定义域为，又在、上单调递减， 所以在、上单调递增， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以函数的值域为， 由， 则， 所以函数的对称中心为. ▌对点练9-2（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． ▌对点练9-3（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明. (3)求的值域. 【答案】(1) (2)是奇函数，证明如下: 由（1）得，由，可得， 所以函数的定义域为， 又， 所以是奇函数. (3) 【分析】（1）将点直接代入的解析式，解之即可得解； （2）利用函数奇偶性的定义判断和证明，结合指数幂的运算法则即可得解； （3）分类讨论当和时，求出范围，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得. （2）是奇函数，证明略； （3）因为， 当时，，则； 当时，，； 所以的值域为. 题型指数函数中可化为一元二次函数型题问题（重点） 解题贴士 将函数，通过换元，转化为，通过二次函数解决问题 ▌例1（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. ▌例2（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． ▌对点练10-1（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． ▌对点练10-2（25-26高一上·广西南宁·期中）若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，结合二次函数性质求解可得. 【详解】令，因为，所以， 所以当时，恒成立，即， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A ▌对点练10-3（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 题型指数函数中的综合问题（重点） 解题贴士 综合考虑指数函数单调性，解决相关值域，不等式等综合问题 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）应用指数运算法则计算求解； （2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解：，. （2）解：对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. ▌例2（25-26高二下·吉林长春·期末）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2)奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，，故 是奇函数. (3) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）由奇偶性的定义求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以 （2）略 （3）因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即, 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. ▌对点练11-1（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． ▌对点练11-2（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． ▌对点练11-3（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：是指数函数，故A符合题意； 对于选项B：是幂函数，故B不符合题意； 对于选项C：是幂函数，故C不符合题意； 对于选项D：是幂函数，故D不符合题意. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 3．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】设，将转化为关于的二次函数，即可判断有无最值. 【详解】设，则， 当时函数单调递增，当时函数单调递减，故有最大值，无最小值. 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 5．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，则，解得，此时， 又因为， 所以函数为奇函数，所以符合题意. 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】对指数函数化简变形，利用函数对称的代数判定规则直接求解对称轴. 【详解】将函数进行指数变形，得， 设，代入，可得， 因此，第二个函数即为. 由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称， 此处，即，可得两函数图象关于直线对称. 7．（多选）（24-25高一上·山东·阶段检测）已知函数，则（   ） A．有最小值 B．的单调递增区间为 C．有最大值 D．的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】由复合函数（二次函数和指数函数）的单调性逐项判断即可； 【详解】设， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为为减函数，所以根据复合函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值． 故选：AD. 8．（多选）（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，.当时，取得最小值b，则函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】函数，可以看成，复合而成，判断其单调性求得参数，得到，再利用指数函数图象变换即得结果． 【详解】函数，可以看成，复合而成. 时，是增函数，此时是减函数，故是减函数； 时，是增函数，此时是增函数，故是增函数. 故时取得最小值，依题意，即，. 故，是由，向左平移1个单位长度得到的， 故图象为选项A，即不可能是BCD. 故选：BCD. 9．（2026·福建福州·三模）若函数为奇函数，则____． 【答案】1 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义和图象、结合换元法求解定义域和值域. 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 素养提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 【答案】(1)是奇函数．理由如下： 因函数的定义域是. 由， 可得函数是奇函数． (2)任取，且， 则 因为，所以，又， 则， 即 故函数是上的增函数． 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断； （2）利用函数的单调性定义判断. 【详解】（1）略 （2）略. 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【详解】（1）由，则，所以， 因为是偶函数，所以． （2）易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 由（1）知 ， 定义域为，函数在上单调递增， 证明如下：任取，则 ， 由及在上单调递增，得， 则， 即，所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义可得答案； （2）利用单调性的定义可证明； （3）利用奇偶性与单调性把不等式转化为二次不等式恒成立问题，分离变量，利用对勾函数求最值可得答案. 【详解】（1）由题意，定义在上的函数为奇函数， 得，解得， 此时， 则， 所以函数是上奇函数，所以. （2）略 （3）依题意，对任意的，成立， 因为为定义在上的奇函数， 则， 又因为函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 即， 而在上单调递增， 当且仅当时，取到最小值6， 因此，所以实数的取值范围是. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数且，. (1)当时，判断函数在内的单调性并用定义证明； (2)是否存在m，使得为奇函数，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 【答案】(1)函数在内的单调递减; (2)存在，. 【分析】（1）利用函数单调性定义以及指数函数单调性证明即可； （2）利用奇函数定义化简求得方程可解得满足题意. 【详解】（1）当时，函数在内单调递减， 证明如下： 函数， 设, 因，则，即， 可得，即， 则函数在内单调递减. （2）函数定义域为， 若为奇函数，则， 即， 可得, 解得， 即存在，使得为奇函数. 迁移创新 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义证明在上是增函数： (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) ，， 由函数是上的增函数，得，， 则，即，所以在上是增函数. (3). 【分析】（1）由求出值并验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用函数单调性将问题转化为不等式在上恒成立，再分离参数并借助基本不等式求解. 【详解】（1）由定义在上的奇函数，得，解得， 此时，， 因此函数是奇函数，所以. （2）略 （3）由（1）得，由（2）知函数在上是增函数 则， 依题意，对任意，不等式恒成立， ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 2．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值与函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； (3)若，使成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，且 (2)函数在上为增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，结合单调性化简，然后分离参数转化求函数最值，即可得参数范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即， 所以，则，且； （2）函数在上是增函数， 证明如下： 由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以，又，，所以， 即，所以函数在上是增函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是增函数，故， 所以，使成立， 因为， 因为，所以有最小值0，所以， 故的取值范围为. 4．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数，是奇函数. (1)求a，b的值； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由以及定义域关于原点对称，求出a，b的值并验证，进而求出的解析式. （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可. （3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解. 【详解】（1）由函数，是奇函数， 故，故， 又，则， 故， ，函数是在上的奇函数， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递减， 且，则， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递减. （3）不等式恒成立，即， 又函数在上单调递减，因此，解得， 所以实数的取值范围为 5．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由上的奇函数的性质可得，进而求得，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为，结合函数单调性可得，进而构造函数，利用函数单调性求解的范围；（3）对不等式左侧因式分解可得，进而求得，再结合题意和函数的值域对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由是奇函数，且定义域为，得. 所以，解得， 故解析式为：， 检验， 所以. 任取，且设， . 因为，且在上是增函数， 所以，即. 又因为且, 所以，即. 综上所述函数在上是增函数. （2）由，可得. 由（1）可知在上是增函数，故，则， 令，由，可得，即. 若存在使得成立，则. 令，设，则，， 当，即时，取得最小值， 所以. （3）根据题意可得， 因为，当时，， 所以，则. 若，则，不等式的解为， 要使不等式对任意恒成立，只需， 即，解得； 若，则，不等式的解为， 即 ，解得； 若，可得，不符合题意， 综上所述实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $