6.1 幂函数（讲义，知识点&11大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第六章 幂函数、指数函数和对数函数 6.1 幂函数 课标要点 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 学习重难点 重点：幂函数的图象与性质 难点：幂函数的图象与性质的应用 知识点 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 特别提醒 1）中前的系数为“1” 2）中的底数是单个的自变量“” 3）中是常数 随学随练 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点 五个常见幂函数图象与性质（重点） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 易错提醒 函数的单调减区间为，注意中间用“逗号”或用“和”字，不可以用并集符号连接。 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 2．（多选）（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，定义域为R C．当时，值域为 D．当时，在R上单调递减 3．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 拓展 幂函数性质（重点） ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 活学活用 1．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 题型 判断函数是否为幂函数 解题贴士 该函数是否为(为常数)的形式，需满足 ①指数为常数 ②底数为自变量 ③xα的系数为1 注：(1)形如，，…形式的函数都不是幂函数 (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有(为常数)这一形式 ▌例1 （24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． ▌例2 （24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否为幂函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． ▌对点练1-1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 题型求幂函数的值或解析式 ▌例1（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. ▌例2（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知幂函数的图像过点，则幂函数的解析式是__________. ▌对点练2-1（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． ▌对点练2-2（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． ▌对点练2-3（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 题型根据函数是幂函数求参数（重点） ▌例1（26-27高三上·辽宁·开学考试）若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． ▌对点练3-1（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． ▌对点练3-2（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． ▌对点练3-3（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知幂函数在上是减函数，则实数______． 题型幂函数定义域 解题贴士 （1）当幂指数取正整数时，定义域为 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为 （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为 （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域 ▌例1（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． ▌对点练4-1（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． ▌对点练4-3（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 题型幂函数的值域 ▌例1（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． ▌例2已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. ▌对点练5-1（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． ▌对点练5-2（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为______. ▌对点练5-3已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 题型幂函数图象的判断及应用 ▌例1（25-26高一上·新疆和田·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） ▌对点练6-1（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（25-26高一上·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-3如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 题型幂函数图象过定点问题 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. ▌对点练7-1（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-2已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． ▌对点练7-3函数恒过定点______． 题型幂函数的奇偶性（重点） ▌例1（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. ▌对点练8-1（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（   ） A． B． C．0 D．2 ▌对点练8-2（25-26高一上·天津·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. ▌对点练8-3（24-25高一上·山东青岛·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________. 题型根据幂函数的单调性求参数（重点） ▌例1（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 ▌例2（25-26高一上·河北邯郸·期末）若幂函数在上是减函数，则的值为多少？__________. ▌对点练9-1（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 ▌对点练9-2（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若幂函数在上单调递减，则实数（   ）. A． B． C． D． ▌对点练9-3（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 题型根据幂函数的单调性解不等式（重点） 解题贴士 (1)确定可以利用的幂函数 (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系 (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用 ▌例1（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·重庆璧山·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． ▌对点练10-1（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. ▌对点练10-2（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． ▌对点练10-3（25-26高一上·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 题型根据幂函数的单调性比较大小（重点） 解题贴士 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小 (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1” ▌例1（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）比较幂值大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和. ▌对点练11-1（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练11-2（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练11-3（25-26高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 2．（25-26高二下·北京·期中）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 4．（25-26高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（   ） A．2或 B． C．3 D．1 5．（25-26高一上·云南红河·期末）“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·吉林通化·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高三下·重庆·阶段检测）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 8．（多选）（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·上海·期末）已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 10．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的解集为_____. 素养提升 1．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 3．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 4．（25-26高一上·河南·期末）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 5．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 迁移创新 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·海南·期末）已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 4．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 5．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若正实数满足，求的最小值； (3)对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 幂函数、指数函数和对数函数 6.1 幂函数 课标要点 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 学习重难点 重点：幂函数的图象与性质 难点：幂函数的图象与性质的应用 知识点 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 特别提醒 1）中前的系数为“1” 2）中的底数是单个的自变量“” 3）中是常数 随学随练 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 知识点 五个常见幂函数图象与性质（重点） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 易错提醒 函数的单调减区间为，注意中间用“逗号”或用“和”字，不可以用并集符号连接。 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 2．（多选）（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，则（   ） A．当时，是奇函数 B．当时，定义域为R C．当时，值域为 D．当时，在R上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据相关幂函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】A：由，其定义域为且，函数为奇函数，对； B：，显然定义域为R，对； C：，易知其值域为，对； D：，根据相关幂函数的性质知函数在R上单调递增，错. 故选：ABC 3．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 拓展 幂函数性质（重点） ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 活学活用 1．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______. 【答案】1 【分析】根据幂函数的单调性可得，结合可得其值，代入检验后可得的值. 【详解】因为幂函数在上是减函数，故， 故，而，故， 当时，，此时幂函数的图象关于轴对称，符合题意； 当时，，此时幂函数的图象不关于轴对称，舍； 故答案为： 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案为：. 题型 判断函数是否为幂函数 解题贴士 该函数是否为(为常数)的形式，需满足 ①指数为常数 ②底数为自变量 ③xα的系数为1 注：(1)形如，，…形式的函数都不是幂函数 (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有(为常数)这一形式 ▌例1 （24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. ▌例2 （24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否为幂函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)幂函数 (2)幂函数 (3)幂函数 (4)幂函数 (5)不是幂函数 (6)不是幂函数 (7)不是幂函数 (8)幂函数 【分析】直接利用幂函数的定义判断即可. 【详解】（1）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （2）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （3）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （4）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. （5）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，前面有系数2，不符合幂函数的定义，所以不是幂函数. （6）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，不符合幂函数的定义，所以不是幂函数. （7）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，不符合幂函数的定义，所以不是幂函数. （8）根据幂函数的定义：形如的函数叫幂函数， 而，符合幂函数的定义，所以是幂函数. ▌对点练1-1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， A选项是的情形，D选项是的情形，所以A和D都是幂函数； B选项中的系数是，不是幂函数；C选项中的系数是，不是幂函数； 故选：AD. ▌对点练1-2．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. ▌对点练1-3．判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 题型求幂函数的值或解析式 ▌例1（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. ▌例2（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知幂函数的图像过点，则幂函数的解析式是__________. 【答案】 【分析】利用幂函数概念，结合待定系数法即可求解. 【详解】幂函数的图像过点，则， 所以幂函数的解析式是， 故答案为： ▌对点练2-1（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. ▌对点练2-2（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. ▌对点练2-3（24-25高一上·天津和平·期中）若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】/ 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 题型根据函数是幂函数求参数（重点） ▌例1（26-27高三上·辽宁·开学考试）若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求参数即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或． 当时，在上为增函数； 当时，不是增函数，所以． ▌例2（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. ▌对点练3-1（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为幂函数 在单调递增，所以，解得： ▌对点练3-2（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 ▌对点练3-3（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【详解】因为为幂函数， 所以得 或， 又因为在上是减函数，所以. 题型幂函数定义域 解题贴士 （1）当幂指数取正整数时，定义域为 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为 （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为 （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域 ▌例1（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． ▌例2（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. ▌对点练4-1（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. ▌对点练4-2（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． ▌对点练4-3（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 题型幂函数的值域 ▌例1（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数单调性求值域判断A；利用二次函数性质求值域判断B；利用绝对值的含义求值域判断C；利用求值域判断D. 【详解】对于A，因在上单调递增，故其值域为，不合题意； 对于B，，则其值域为，不合题意； 对于C，，则其值域为，不合题意； 对于D，因，则，即的值域为，符合题意. 故选：D ▌例2已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． ▌对点练5-1（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. ▌对点练5-2（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为______. 【答案】1，3 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 ▌对点练5-3已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 【答案】，值域为 【解析】根据条件分析，0，1，依次检验①②，即可得解. 【详解】解：，，，0，1. 对任意，都有，即，是偶函数. 当时，，满足条件①②； 当时，，不满足条件①； 当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为. 【点睛】此题考查根据幂函数的概念结合单调性和奇偶性求函数解析式，根据函数解析式求函数值域. 题型幂函数图象的判断及应用 ▌例1（25-26高一上·新疆和田·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象及偶函数的性质即可求解． 【详解】因为幂函数的指数，所以在单调递减， 又因为定义域为，， 所以为偶函数，则在单调递增， 故选：B． ▌例2（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. ▌对点练6-1（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A ▌对点练6-2（25-26高一上·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定幂函数的性质，再结合图象特征判断即可. 【详解】幂函数的定义域为，图象不过原点，排除AB； 函数是偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减，排除D，C符合. 故选：C ▌对点练6-3如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 题型幂函数图象过定点问题 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. ▌例2（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. ▌对点练7-1（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. ▌对点练7-2已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： ▌对点练7-3函数恒过定点______． 【答案】 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】当，即时，，函数恒过定点. 故答案为：. 题型幂函数的奇偶性（重点） ▌例1（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B ▌例2（25-26高一上·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： ▌对点练8-1（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出的取值范围，再结合函数奇偶性的定义验证是否满足条件即可． 【详解】函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意. 所以. 故选：B ▌对点练8-2（25-26高一上·天津·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数定义及奇偶性、单调性求解. 【详解】由可得， 当时，，函数是奇函数，不符合题意； 当时，，定义域为，函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，且在上为减函数，符合题意. 故答案为： ▌对点练8-3（24-25高一上·山东青岛·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________. 【答案】2 【分析】根据的图象关于轴对称，则为偶数.条件，得到函数在上单调递增，则.结合分类讨论即可. 【详解】的图象关于轴对称，则为偶数时. 又因，则函数在上单调递增，则，解得. 又因为，则，，. 对于，因为函数为偶函数. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 当时，为偶数，函数为偶函数，符合题意. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 故答案为：2. 题型根据幂函数的单调性求参数（重点） ▌例1（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. ▌例2（25-26高一上·河北邯郸·期末）若幂函数在上是减函数，则的值为多少？__________. 【答案】 【分析】利用幂函数的定义得到系数，因为幂函数在上是减函数，则，解出即可． 【详解】∵是幂函数， ， 即或， 若在上是减函数； 若在上是增函数； 故答案为： ▌对点练9-1（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． ▌对点练9-2（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若幂函数在上单调递减，则实数（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可求出参数值，结合幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，所以，即，解得，或； 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 所以. 故选：C. ▌对点练9-3（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 题型根据幂函数的单调性解不等式（重点） 解题贴士 (1)确定可以利用的幂函数 (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系 (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用 ▌例1（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. ▌例2（25-26高一上·重庆璧山·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. （2）由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. ▌对点练10-1（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. ▌对点练10-2（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. ▌对点练10-3（25-26高一上·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义求解即可； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. （2）由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 题型根据幂函数的单调性比较大小（重点） 解题贴士 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小 (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1” ▌例1（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）比较幂值大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为函数在上为减函数， 且，所以. （2）因为，且函数在上为增函数， 又因为，则，所以. （3）因为，，且函数在上为减函数， 又因为 ，则，所以. （4）因为，，， 所以. ▌对点练11-1（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， ▌对点练11-2（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算，再结合的单调性即可求解. 【详解】因为， ， ， ， 所以， 由幂函数在单调递增， 所以， 故选：A ▌对点练11-3（25-26高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 基础通关 1．（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 2．（25-26高二下·北京·期中）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 3．（25-26高一上·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】D 【详解】由为幂函数可得，即， 又幂函数在单调递减可得，即， 所以. 4．（25-26高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（   ） A．2或 B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及奇函数的性质求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以，解得或， 当时，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 5．（25-26高一上·云南红河·期末）“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的概念，即可求出，或，均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或， 又时，在上单调递增， 时，在上单调递增， 所以“”是“幂函数， 在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A． 6．（25-26高三上·吉林通化·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 7．（多选）（23-24高三下·重庆·阶段检测）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 8．（多选）（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】AD选项，可以看出，从而得到在上恒成立，A错误，D正确；B选项，当时满足要求；C选项，当时满足要求. 【详解】AD选项，可以看出函数为偶函数，且在上单调递减， 故，此时在上恒成立，A错误，D正确. 当时，，选项D符合． 当时，的定义域为， B选项，可以看出且为偶数，当时，满足要求，选项B正确． C选项，当时，满足，选项C正确． 故选：BCD 9．（25-26高二下·上海·期末）已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 【答案】 【详解】根据幂函数的单调性性质：若幂函数在上严格增，则； 已知，得α的可能取值为； 又函数图象关于原点对称等价于函数为奇函数，且定义域关于原点对称： 当时，，定义域为，不关于原点对称，不符合要求； 当时，，定义域为R，对任意，均满足，是奇函数， 图象关于原点对称，且在上严格增，符合所有条件， 综上，. 10．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的解集为_____. 【答案】 【分析】设幂函数，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再分析函数的单调性与奇偶性，利用单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】依题意设幂函数，因为已知幂函数的图象过点， 所以，解得，所以， 显然是偶函数，且在上单调递增， 所以， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 素养提升 1．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质求的坐标，根据幂函数定义求，利用函数性质解不等式即可. 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，进而可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 3．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 4．（25-26高一上·河南·期末）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由幂函数的定义求得，再结合点求得，即可； （2）由（1）将不等式展开，结合一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． （2）由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 5．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出值. （2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 迁移创新 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 2．（25-26高一上·海南·期末）已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及单调性求得，然后利用二次函数的对称性确定整数解，进而列不等式求解的范围即可. 【详解】依题意，，解得或， 又在区间上单调递增，所以，所以. 关于的不等式恰有4个整数解， 因为抛物线的对称轴是，则4个整数解分别为， 于是可得 解得. 故选：B 3．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解即可； （2）由（1）得是一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质分情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2）由（1）得，则是一元二次函数， 当时恒成立，只需即可， 当时，在上单调递增， ， 解得，与矛盾，此时无解； 当时，在单调递减，在单调递增， ，解得， 当时，在上单调递减， ， 解得，与矛盾，此时无解； 综上. 4．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得，结合幂函数的性质即可求得的值； （2）根据（1）的结论，可得，解不等式可得答案. 【详解】（1）解：∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）解：由（1）得，， ∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 5．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若正实数满足，求的最小值； (3)对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为：； (2)的最小值为4； (3)实数h的取值范围为； 【分析】（1）根据幂函数的定义得，可计算得出，再根据是奇函数，所以，可计算出满足题意，最终得出； （2）结合第（1）问，利用基本不等式中“1”的代换，即可计算出的最小值； （3）根据，化简得，得出在定义域内单调递增，所以，最终可转换为二次函数和直线交点的问题求解实数h的取值范围． 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得，即， 又因为是奇函数，且在上单调递增， 所以，解得，因为，所以，或者； 时，，此时为奇函数，且在上单调递增，满足题意； 时，，此时为偶函数，不满足题意； 所以； （2）由（1）得：，； 因为为正实数，结合基本不等式得：，当时，取等号， 所以；所以的最小值为4. （3）因为，，定义域为； 在定义域内单调递增，所以 ，所以，为方程的两个实数根，即在上有两个不同的实数根； 令，，则，则方程等价于，在上有两个不相等的实数根； 设，在上的图象如图所示： 对称轴为，； 方程，在上有两个不相等的实数根等价于直线与的图像有两个不同的交点， 由图象得：； 所以实数h的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $