第6章 §6.2 第1课时 指数函数的概念与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的概念与图象核心知识点，先通过细菌分裂、“一尺之捶”等实例抽象出指数函数定义，再结合列表描点法探究图象特征，进而归纳性质，最后应用于比较大小和解不等式，构建完整知识脉络。 资料以“薪资谈判”情境导入激发兴趣，通过问题链引导学生用数学眼光观察现实，对比不同底数函数图象培养数学思维，例题训练强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第1课时　指数函数的概念与图象 学习目标　1.理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式及函数值.2.能掌握指数函数的图象和性质.3.会利用指数函数的单调性比较大小和解不等式. 导语 话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是上一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧.”大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211=2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223=8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数. 一、指数函数的概念 问题1　如果在某种细菌的培养过程中，细菌每10 min分裂一次，由1个分裂成2个.设分裂次数为x，细菌的个数为y，说出y与x的关系. 提示　细菌个数y是分裂次数x的函数，对应关系为y=2x. 问题2　《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之捶，日取其半，万世不竭”(“捶”同“棰”).设经过x天，木棰剩余量为y，说出y与x的关系. 提示　对应关系为y=. 问题3　以上两个函数在结构上有什么共同点？ 提示　函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量. 知识梳理　指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 注意点： (1)指数函数的底数a>0，且a≠1； (2)指数幂的系数为1； (3)注意区分幂函数和指数函数. 例1　(1)(多选)给出下列函数，其中不是指数函数的是(　　) A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=x3 答案　ABD 解析　A中，3x的系数是2，故A不是指数函数；B中，y=的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，y=x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数. (2)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A.(0，1)∪(1，+∞) B.[0，1)∪(1，+∞) C.∪(1，+∞) D. 答案　C 解析　依题意得2a-1>0，且2a-1≠1， 解得a>且a≠1， 即a的取值范围是∪(1，+∞). 反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的依据是该函数是否为y=ax的形式，需满足： (1)底数是大于0且不等于1的常数. (2)ax前的系数为1. (3)指数为自变量. 跟踪训练1　(1)下列是指数函数的是(　　) A.y=-3x B.y= C.y=ax D.y=πx 答案　D 解析　根据指数函数的特征知，A，B不是指数函数，C不一定是，比如a=1时. (2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值为　　　　.  答案　2 解析　由指数函数的定义知 由①得a=1或a=2，结合②得a=2. 二、指数函数的图象与性质 问题4　用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x y= 提示　(1)　　　1　2　4　8 8　4　2　1　　　 (2)y=2x和y=的图象如图所示. 问题5　通过图象，分析y=2x与y=的性质并完成下列表格. 函数 y=2x y= 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 特殊点 y的变 化情况 当x<0时，　　　　； 当x>0时，　　　 当x<0时，　　　　； 当x>0时，　　　 提示　R　R　(0，+∞)　(0，+∞)　增函数 减函数　无最值　无最值　非奇非偶函数 非奇非偶函数　(0，1)　(0，1)　0<y<1　y>1 y>1　0<y<1 问题6　比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点(0，1)；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=的底数互为倒数，且函数图象关于y轴对称. 问题7　再分别选取底数a=3，a=4，a=a=在同一个坐标系中分别画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势. 提示　画出图象如图所示. 观察图象可知，底数大于1时，函数为增函数，底数大于0小于1时，函数为减函数，且底数互为倒数的两函数图象关于y轴对称. 知识梳理 指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，+∞) 过定点 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 增函数 减函数 注意点： (1)函数图象只出现在x轴上方； (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1)； (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴； (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴； (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象都关于y轴对称. 例2　如图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 答案　B 解析　方法一　由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x=1(图略)，在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 方法二　根据图象可以先分为两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 反思感悟　解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 跟踪训练2　已知指数函数y=的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象可能是(　　) 答案　C 解析　由指数函数的图象和性质可知，0<<1， 若a，b均为正数，则a>b>0，此时函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限，C符合； 若a，b均为负数，则a<b<0，此时函数y=ax+b的图象过第二、三、四象限，没有选项符合. 三、指数函数图象与性质的应用 例3　(1)(课本例1)比较下列各组数中两个数的大小： ①1.52.5，1.53.2； ②0.5-1.2，0.5-1.5； ③1.50.3，0.81.2. 解　①考察指数函数y=1.5x.因为1.5>1，所以y=1.5x是增函数.又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. ②考察指数函数y=0.5x.因为0<0.5<1，所以y=0.5x是减函数.又因为-1.2>-1.5，所以0.5-1.2<0.5-1.5. ③考察指数函数y=1.5x.因为1.5>1，所以y=1.5x是增函数.又因为0.3>0，所以1.50.3>1.50=1.同理0.81.2<0.80=1，故1.50.3>0.81.2. (2)(课本例2)①已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； ②已知0.2x<25，求实数x的取值范围. 解　①因为3>1，所以指数函数y=3x是增函数. 由3x≥30.5可得x≥0.5. 故x的取值范围为区间[0.5，+∞). ②因为0<0.2<1，所以指数函数y=0.2x是减函数. 因为25==0.2-2，所以0.2x<0.2-2. 由此可得x>-2. 故x的取值范围为区间(-2，+∞). 例3　(1)比较下列各题中数的大小： ①1.11.1，1.10.9；②0.1-0.2，0.10.9；③30.1，π0.1；④1.70.1，0.91.1；⑤0.70.8，0.80.7. 解　①因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9， 故1.11.1>1.10.9. ②因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9， 故0.1-0.2>0.10.9. ③因为y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，3<π， 故30.1<π0.1. ④因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1， 故1.70.1>0.91.1. ⑤取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7). (2)已知<ax+6(a>0，a≠1)，求x的取值范围. 解　①当0<a<1时，函数f(x)=ax(a>0，a≠1)是减函数， ∴x2-3x+1>x+6， ∴x2-4x-5>0， 解得x<-1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)=ax(a>0，a≠1)是增函数， ∴x2-3x+1<x+6， ∴x2-4x-5<0，解得-1<x<5， 综上所述，当0<a<1时， x的取值范围是{x|x<-1或x>5}； 当a>1时，x的取值范围是{x|-1<x<5}. 反思感悟　(1)比较幂值大小的3种类型及处理方法 (2)简单的指数不等式的解法 ①利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都化成底数相同的指数式. ②解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 跟踪训练3　(1)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 答案　C 解析　∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1， ∴1.50.6>0.60.6， 又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6， ∴0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. (2)不等式53-2x<0.23x-4的解集为　　　　.  答案　{x|x<1} 解析　原不等式可化为53-2x<54-3x， 因为函数y=5x是增函数， 所以3-2x<4-3x，解得x<1， 则不等式的解集为{x|x<1}. 1.知识清单： (1)指数函数的定义. (2)指数函数的图象和性质. (3)指数函数的图象和性质的应用. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：忽视指数函数的底数a的范围致误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)给出下列函数，其中为指数函数的是(　　) A.y=x4 B.y=xx C.y=ex D.y=4x 答案　CD 解析　因为指数函数的形式为y=ax(a>0且a≠1)，C，D符合. 2.若函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A.8 B. C.4 D.2 答案　D 解析　∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数， ∴2a-3=1，解得a=2.∴f(x)=2x，∴f(1)=2. 3.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则(　　) A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.0<a<1，b>1 D.0<a<1，0<b<1 答案　C 解析　结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1. 4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于(　　) A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x对称 答案　C 解析　设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x=的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称. 5.若<则实数a的取值范围是(　　) A. B.(1，+∞) C.(-∞，1) D. 答案　A 解析　因为函数y=为减函数， 所以2a+1>8-2a，所以a>. 6.已知a=30.2，b=0.2-3，c=(-3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 答案　B 解析　a=30.2∈(1，3)，b=0.2-3==53=125， c=(-3)0.2=(-3<0，所以b>a>c. 7.(5分)已知函数f(x)为指数函数且f(3)=27，则f(-2)=　　　　，f(f(-1))=　　　　.  答案　　 解析　设f(x)=ax(a>0且a≠1)， ∴a3=27=33，∴a=3，即f(x)=3x， ∴f(-2)=f(f(-1))=f==. 8.(5分)函数f(x)=2ax-4+3(a>0，a≠1)恒过一个定点，则该点的坐标为　　　　.  答案　(4，5) 解析　令x-4=0，得x=4， 又f(4)=5，所以函数f(x)恒过定点(4，5). 9.(10分)已知函数f(x)=(a2+a-5)ax是指数函数. (1)求f(x)的表达式；(5分) (2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明.(5分) 解　(1)由题意得a2+a-5=1，a>0且a≠1， 解得a=2或a=-3(舍去)， ∴f(x)=2x. (2)F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，证明如下： 由(1)得F(x)=2x-2-x，定义域为R， ∴F(-x)=2-x-2x=-F(x)， ∴F(x)是奇函数. 10.(11分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)<g(3x)，求x的取值范围. 解　设f(x)=ax(a>0且a≠1)，因为f(3)=8， 所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)= 由g(2x-1)<g(3x)，即< 得2x-1>3x，解得x<-1. 所以x的取值范围为(-∞，-1). 11.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能是(　　) 答案　A 解析　二次函数y=ax2+bx=a-其顶点坐标为由指数函数的图象知0<<1，所以-<-<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在-和0之间，故选A. 12.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(0，1) 答案　C 解析　函数f(x)=的图象如图， 显然函数f(x)在R上单调递减， ∵f(x+1)<f(2x)， ∴x+1>2x， 解得x<1. 13.(5分)若x>0时，指数函数y=(2a2-1)x的值总小于1，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　∪ 解析　由题意可得，当x>0时，y=(2a2-1)x<1， 所以0<2a2-1<1，所以<a2<1，进而可得-1<a<-或<a<1. 14.(5分)已知函数f(x)=-(x>0)，则满足f(3-n)>0的实数n的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，3) 解析　因为函数y=y=-在(0，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)=-在(0，+∞)上单调递增. 又当x=0时，f(0)=0，所以f(3-n)>0，即f(3-n)>f(0)，所以3-n>0，解得n<3. 15.(多选)已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A.a=b=0 B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 答案　ABC 解析　由题意，在同一坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象，如图所示. 由图象知，当a=b=0时，3a=6b=1，所以选项A正确； 作出直线y=k，当k>1时，若3a=6b=k， 则0<b<a，所以选项B正确； 当0<k<1时，若3a=6b=k，则a<b<0， 所以选项C正确. 16.(12分)定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y，f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，f(x)>1. (1)写出一个函数g(x)，使其满足g(x+y)=g(x)g(y)(只写结果，无需证明)；(3分) (2)判断f(x)的单调性并证明；(5分) (3)若对任意的x∈R，f(kx2+kx-1)≤1，求实数k的取值范围.(4分) 解　(1)根据指数的运算性质可得g(x)=2x满足条件(答案不唯一). (2)函数f(x)在R上单调递增. 令x=y=0，则f(0)=f(0)f(0)， 解得f(0)=1或f(0)=0， 若f(0)=0，当x>0时，令y=0，则f(x)=f(x)f(0)=0，与f(x)>1矛盾，所以f(0)=1， 令y=-x，则f(0)=f(x)f(-x)=1， 又当x>0时，f(x)>1，所以0<f(-x)<1， 即∀x∈R，f(x)>0， ∀x1，x2∈R，x1<x2，则x2-x1>0，而当x>0时，f(x)>1，于是f(x2-x1)>1， 则f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]，因为f(x1)>0，f(x2-x1)>1，即f(x2-x1)-1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在R上单调递增. (3)若对任意的x∈R，f(kx2+kx-1)≤1， 根据(2)可知f(0)=1，f(x)在R上单调递增，所以f(kx2+kx-1)≤f(0)，即kx2+kx-1≤0恒成立， 当k=0时，不等式恒成立； 当k≠0时，则需解得-4≤k<0， 综上所述，实数k的取值范围为[-4，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $