专题02 指数函数的性质与应用（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

专题 02 指数函数的性质与应用 题型一：函数性质概念辨析与求值 题型二：定义证明类解答题 题型三：函数不等式求解 题型四：参数、恒成立与综合拓展 题型一：函数性质概念辨析与求值 1．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数x，都有，则（    ） A． B． C．1 D．0 2．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则a的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 6．已知，函数为奇函数，则（   ） A．13 B．24 C．56 D．72 7．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 8．已知幂函数经过． (1)求的值； (2)若， ①试判断的奇偶性并证明； ②试判断的单调性并证明． 9．已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 10．设函数. （1）求函数的值域和零点； （2）请判断函数的奇偶性和单调性，并给予证明. 11．已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； 题型二：定义证明类解答题 1．已知函数. （1）求的定义域并判断的奇偶性； （2）求证：. 2．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求证：. 3．设函数 (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明函数在上为增函数． 4．已知函数． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是减函数． 5．已知函数． (1)求函数的值域； (2)判断函数的奇偶性． (3)证明：函数的在上单调递减． 6．已知函数． （1）判断函数f（x）是否具有奇偶性？若具有，请给出证明，若不具有，请说明理由． （2）试用函数的单调性的定义证明：f（x）在R上是减函数． 7．已知函数. (1)证明:为奇函数； (2)判断的单调性，并加以证明； (3)求的值域. 8．已知函数. (1)判断函数在上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在上的值域（不用书写计算推导过程）. 9．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并按定义证明； (2)判断函数在时的单调性，并按定义证明． 10．已知函数． （1）求证：是偶函数； （2）判断函数在和上的单调性并用定义法证明． 题型三：函数不等式求解 1．已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若实数x满足不等式，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性; (2)判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式 4．已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 5．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论． (2)求不等式的解集． 6．已知函数的表达式为． (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)求的值域． 7．已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）求证：当时，. 8．已知函数． （1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在单调递增； 9．已知. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）证明是定义域内的增函数； （3）解不等式. 10．已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 题型四：参数、恒成立与综合拓展 1．已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 4．已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 5．已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求函数的值域． 6．已知函数（，且）. (1)证明：函数是偶函数； (2)若在定义域上恒成立，求的取值范围. 7．已知. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）证明函数不存在零点. 8．已知函数．(是自然对数的底数，) （1）求函数的单调区间； （2）设函数，求证：当时，． 9．已知函数. (1)当时，求，的值； (2)在上是增函数，求的范围. 10．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 11．已知，求函数的最大值和最小值． 12．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 02 指数函数的性质与应用 题型一：函数性质概念辨析与求值 题型二：定义证明类解答题 题型三：函数不等式求解 题型四：参数、恒成立与综合拓展 题型一：函数性质概念辨析与求值 1．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数x，都有，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题意可知必为常数，令，结合换元法得到，构造函数，根据单调性求出的值，进而求解即可. 【详解】由题意知，必为常数，令，则. 由，得，则. 令，可知在定义域内单调递增，且， 由，易得， 所以，. 2．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的推广结论构造奇函数，利用奇函数满足恒成立的性质求出对称中心的坐标，进而计算. 【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有， 即： 代入得： ， 对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ， 要使等式对任意恒成立，令，解得， 代入左边得： 因此，解得， 故. 3．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的性质判断为常数，求出该常数得到的解析式后计算即可. 【详解】因为是上的单调函数，且对任意都有， 因此存在唯一的常数，使得，即,则可得. 令，由于与均在上单调递增，因此在上单调递增， 又，故方程有唯一实数解, 因此，. 4．已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 5．若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则a的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以，整理得恒成立， 所以，解得. 6．已知，函数为奇函数，则（   ） A．13 B．24 C．56 D．72 【答案】D 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得． 所以，即，结合，且关于的函数单调递增，所以解得， 所以，即． 7．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 8．已知幂函数经过． (1)求的值； (2)若， ①试判断的奇偶性并证明； ②试判断的单调性并证明． 【答案】(1)2 (2)①奇函数，证明见解析；②在，上单调递增，证明见解析 【分析】（1）把图像上的点代入函数解析式，解出； （2）利用函数奇偶性和单调性的定义，判断并证明. 【详解】（1）∵幂函数经过，   ∴      解得 . （2），， ①为奇函数， ∵， ∴为奇函数 ②在，上单调递增， 在上任取， ∵，，， ∴，即， ∴在上单调递增， 同理在上单调递增． 故在，上单调递增． 9．已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 【答案】(1) (2) 增函数，证明：由（1）得， 函数在区间上单调递增， 令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可； （2）根据函数单调性的定义结合作差法计算即可. 【详解】（1）由幂函数， 得，解得或， 又因为函数为偶函数， 所以， 所以； （2）略 10．设函数. （1）求函数的值域和零点； （2）请判断函数的奇偶性和单调性，并给予证明. 【答案】（1）值域为，；（2）非奇非偶函数 单调递减函数. 【分析】（1）先对已知函数化简，求得函数的值域，然后令，即可求得函数的零点； （2）利用函数的奇偶性和单调性的定理，即可作出证明. 【详解】（1）由题意，函数， 因为，所以，所以，所以， 所以，即函数的值域为. 令，即，解得，即函数的零点为. （2）对任意的，其中， 所以且，所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 对任意的， 则， 因为， 所以， 所以函数在定义域上为单调递减函数. 【点睛】本题主要考查了函数的值域、零点，以及利用定义法判定函数的单调性与奇偶性等知识点的综合应用，其中解答中熟记函数值域和零点的求解，以及熟练应用单调性与奇偶性的定义进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11．已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； 【答案】(1)或 (2)增函数，证明如下： 由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. 【分析】（1）分或不存在两种情况，结合，求出，并进行验证，得到答案； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论即可. 【详解】（1）由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）略 题型二：定义证明类解答题 1．已知函数. （1）求的定义域并判断的奇偶性； （2）求证：. 【答案】（1），偶函数；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据分母不为零求出函数的定义域，再计算即可得到函数的奇偶性； （2）证明当时，再根据偶函数的性质即可得证； 【详解】（1）由，得.∴函数定义域为； ， ∴为定义域在上的偶函数； （2）证明：当时，，∴，，∴， ∵为偶函数，∴，. 综上所述，对定义域内的任意都有. 2．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求证：. 【答案】(1)； (2)为偶函数，理由如下： 因为定义域，定义域关于原点对称， 又， 则为偶函数； (3)证明如下： 由（2）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证. 【分析】（1）根据解析式有，即可得定义域； （2）利用奇偶性定义判断的关系及定义域是否关于原点对称； （3）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证. 【详解】（1）由解析式知，，可得，故函数定义域为； （2）略 （3）略 3．设函数 (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明函数在上为增函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）函数的定义域关于原点对称，且，据此可得函数是偶函数； （2）设为上任意两个实数，且，结合函数的解析式有，由条件可得，据此可证得函数在上为增函数． 【详解】（1）函数是偶函数．证明如下： 函数定义域为，定义域关于原点对称 ∵ ∴函数为偶函数． （2）设为上任意两个实数，且 ∵为上任意两个实数，且 ∴ ∴ 则，即 ∴函数在上为增函数． 4．已知函数． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是减函数． 【答案】(1)；奇函数 (2)证明过程见详解 【分析】（1）由分式的性质直接写出定义域，由函数的奇偶性定义判断证明即可； （2）利用单调性定义证明即可． 【详解】（1）依题意可得，所以的定义域为， 函数为奇函数，证明如下： 由， 又的定义域为， 所以函数为奇函数； （2）令，则， 又，，则， 所以，故函数在上是减函数． 5．已知函数． (1)求函数的值域； (2)判断函数的奇偶性． (3)证明：函数的在上单调递减． 【答案】(1) (2)为偶函数 (3)证明见解析 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再由基本不等式计算可得； （2）根据奇偶性的定义判断即可； （3）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. 【详解】（1）解：对于函数，则，解得，所以函数的定义域为， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为； （2）解：为偶函数， 证明：因为的定义域为，关于原点对称， 且，故为偶函数； （3）证明：设任意的且， 则 因为且， 所以，，， 所以，即， 即的在上单调递减. 6．已知函数． （1）判断函数f（x）是否具有奇偶性？若具有，请给出证明，若不具有，请说明理由． （2）试用函数的单调性的定义证明：f（x）在R上是减函数． 【答案】（1）奇函数；（2）详见解析. 【分析】(1)根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）进而得到结果. 【详解】（1）是奇函数； 已知函数定义域为R，对任意，均有， 又∵； 是奇函数 （2）, 在R上是减函数． 【点睛】这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性. 7．已知函数. (1)证明:为奇函数； (2)判断的单调性，并加以证明； (3)求的值域. 【答案】(1)证明: 由，则的定义域为， 又， 故为奇函数； (2)在上单调递增，证明如下： 令，则 由，则，又，故， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）求出定义域后，验证是否成立即可得； （2）借助单调性定义计算即可得； （3）先计算出的范围后即可得函数值域. 【详解】（1）略； （2）在上单调递增，证明略； （3）， 当时，由，故， 故， 即的值域为. 8．已知函数. (1)判断函数在上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在上的值域（不用书写计算推导过程）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递增函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）通过计算来证明； （2）任取，通过计算来证明； （3）以为基础可得函数值域. 函数在上是奇函数. 证明： ， 即函数在上是奇函数； 函数在上的单调递增函数. 证明：任取， 则 ， 因为，所以，即， 又， 所以 即函数在上的单调递增函数； ， 即在上的值域为. 9．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并按定义证明； (2)判断函数在时的单调性，并按定义证明． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明即可； （2）直接利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数； （2）， 任取， 则， ，， 即， ，即 即函数在时的单调递减. 10．已知函数． （1）求证：是偶函数； （2）判断函数在和上的单调性并用定义法证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）在上是减函数，在上是增函数，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）先求定义域为，根据奇偶性的定义，有，所以函数为偶函数；（2）不妨设，计算，在上是减函数；同理证得在上是增函数. 试题解析： （1）是定义域为，又， 是偶函数. ……………………………………………………………………………………………4分 （2）在上是减函数，在上是增函数， 设， 则 ， ，在上是减函数， 同理，在上是增函数. ………………………………………………………………………12分 考点：函数的奇偶性与单调性 题型三：函数不等式求解 1．已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． 因为，所以在上单调递增， 由，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 2．若实数x满足不等式，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用其单调性解不等式求参数范围. 【详解】由，得， 构造函数，即 因为、是R上的增函数，则是R上的增函数， 所以，整理得，解得或， 即的取值范围是. 3．已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性; (2)判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式 【答案】(1)函数是R上的偶函数，证明如下： 依题意，函数的定义域为R．对于任意， 都有， 所以函数是R上的偶函数． (2)函数在上单调递增，不等式解集为 【分析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数； （2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得. 【详解】（1）略 （2）函数在上单调递增． 因为函数R上的偶数函数，所以 等价于．因为函数在上单调递增， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 4．已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 【答案】(1)证明：因为 由题意可得 恒成立，所以函数 的定义域为. 又 所以函数是定义在上的奇函数. (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，即，也即， 整理得. 因为，所以，所以可化为，即. 又在定义域上单调递增，所以 ， 解得. 所以的取值范围为. 5．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论． (2)求不等式的解集． 【答案】（1）函数是奇函数，证明如下： 函数的定义域为， ，即函数是奇函数； （2）. 【分析】（1）函数的定义域为，考查与的关系即可确定函数的奇偶性； （2）由不等式得，结合函数的单调性求解不等式的解集即可． 【详解】（1）函数是奇函数，证明略； （2）由不等式得， ， 任取、且，则， 则， 所以，，即在上是增函数， 原不等式等价为，即，即，解得． 故原不等式的解集为． 6．已知函数的表达式为． (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)求的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定义域为，任取，恒成立即可判断； （2）化简，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为定义域为， 任取，， 所以为奇函数． （2）， 由，得， 则， 所以． 7．已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）求证：当时，. 【答案】（1）偶函数；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：(1)根据函数成立的条件即可求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；(2)根据函数奇偶性的对称性的性质即可证明当时, . 试题解析：（1）由，得 的定义域为，它关于原点对称 为偶函数. （2）证明：当时，，， ，又为偶函数， ∴当时，， 综上可得：当时，. 考点：函数的单调性. 8．已知函数． （1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在单调递增； 【答案】（1）定义域为，为奇函数；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用函数有意义求得函数的定义域，根据奇函数的定义求得函数为奇函数； （2）任取，且，利用作差法证得，从而证得结论. 【详解】（1）由，可得函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称，又，故函数为奇函数； （2）证明：任取，且， 则, ∵，且，∴，∴， 即，所以函数在上单调递增． 9．已知. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）证明是定义域内的增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）奇函数，证明详见解析；（2）增函数，证明详见解析；（3）． 【详解】试题分析：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，，验证的值，，所以即，因此函数为奇函数； （2）首先可以将函数化简，即，根据定义证明函数在定义域内为增函数，设是R上任意两个不等的实数，且，则，，由于函数在R上为增函数，所以当时，，则，，所以，则函数在R上为增函数；（3）由第（1）、（2）问可知函数为奇函数且为增函数，所以转化为，即，所以转化为，所以，，则． 试题解析：（1）∵的定义域为R，且， ∴是奇函数. （2） 设且，则 ∵为增函数，∴当时，， 又∵， ∴，即 ∴在定义域上为增函数. （3） 不等式可化为 由（1）知是奇函数 ∴ 由（2）知在定义域上为增函数 ∴ 解得 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.解不等式． 10．已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2)奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，，故 是奇函数. (3) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）由奇偶性的定义求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以 （2）略 （3）因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即, 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 题型四：参数、恒成立与综合拓展 1．已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，再参变分离得到，求得的最大值，进而可求解. 【详解】令，因为，所以 ， 则恒成立，等价于： 恒成立， 两边同除以，得， 令，由 得， 令， 是开口向下的二次函数， 对称轴，在区间单调递减， 因此最大值为： ， 要使对所有​恒成立， 只需， 整理得： ， 解得， 故 实数a的取值范围是. 2．设关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】因为的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 所以的解集必为对称区间，即，又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 3．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 4．已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 【答案】(1)奇函数，理由如下： ， 即函数在上是奇函数； (2)单调递增函数，证明：任取， 则， 因为，所以，又，， 所以，即函数在R上的单调递增函数； (3) 【分析】（1）通过计算来证明； （2）任取，通过计算来证明； （3）以为基础可得函数值域. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由， 即函数在R上的值域为. 5．已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求函数的值域． 【答案】(1)为奇函数，证明如下： 函数的定义域为， 且 ， 所以为奇函数 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质及不等式的性质计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为， 又，所以，则，即， 所以，即 6．已知函数（，且）. (1)证明：函数是偶函数； (2)若在定义域上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断求解， （2）根据偶函数的性质可将问题转化成时，要使，即求解即可. 【详解】（1）证明：由于，则，得， ∴函数的定义域为关于原点对称. 又∵ ， ∴函数为偶函数. （2）由（1）知为偶函数，∴只需讨论时的情况. 当时，要使，只需，即，即，则. 又∵，∴， ∴当时，. 7．已知. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）证明函数不存在零点. 【答案】（1）为奇函数，理由见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再判断与的关系，即可判断； （2）分与判断函数值的取值范围，即可得证； 【详解】解：（1）因为，所以定义域为，由定义域关于原点对称， ，， 故为奇函数； （2）证明， 当时，，，则，即函数的图象在轴上方； 当时，，，则，即函数的图象在轴下方 综上，函数的图像与轴无交点，即函数不存在零点. 8．已知函数．(是自然对数的底数，) （1）求函数的单调区间； （2）设函数，求证：当时，． 【答案】（1）单调增区间为，，单调减区间为，；（2）详见解析． 【分析】（1）优先确定定义域，再由求导法则求导，分别令导函数大于0与小于0构建不等式，解得解集即为对应的单调区间； （2）由（1）表示的解析式，欲证，等价转化为证明大于0，再对求导分析单调性并求最值，从而说明即可得证. 【详解】（1）由题得函数的定义域为， 化简得． 令，解得或，所以单调增区间为，， 令，解得或，所以单调减区间为，， 综上的单调增区间为，，单调减区间为，． （2），即， 令，令得． 列表 - + 极小值 所以当时，最小值为， 所以． 因为当时，，所以，得证． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，还考了利用导数证明不等式，属于较难题. 9．已知函数. (1)当时，求，的值； (2)在上是增函数，求的范围. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）当时，函数， ，，； （2）在上是增函数， 当 时， 是一次函数，要递增需 ， 当 时， 递增，满足条件， 在分界点 处，需左极限不超过右边最小值，即， 综上，. 10．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 11．已知，求函数的最大值和最小值． 【答案】最小值为1，最大值为2 【分析】解二次不等式可得，结合指数函数单调性可得，换元令，结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为，即， 可得，解得， 令，可得， 当，即时，取到最小值1； 当，即时，取到最大值2. 12．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $