专题01 幂函数十一大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题01 幂函数的图象与性质十一大常考题型 题型一 幂函数的概念理解与求参 题型二 求幂函数的解析式及求函数值 题型三 求幂函数的定义域问题 题型四 求幂函数的值域问题 题型五 幂函数的图象及应用问题 题型六 幂函数的图象过定点问题 题型七 幂函数（复合函数）的单调性判断 题型八 利用幂函数的单调性比较大小问题 题型九 利用幂函数的单调性解不等式 题型十 幂函数的单调性与奇偶性的综合应用问题 题型十一 幂函数性质的综合应用（大题） 题型一：幂函数的概念理解与求参 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】BD 5．【答案】充分不必要 题型二：求幂函数的解析式及求函数值 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】 4．【答案】1 5．【答案】 6．【答案】(1)；(2)或. 题型三：求幂函数的定义域问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】1 6．【答案】(1)(2)(3). 题型四：求幂函数的值域问题 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】/0.25 7.【答案】 题型五：幂函数的图象及应用问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】 7.【答案】4 8.【答案】 9.【答案】(1)；(2)图象如图所示 (3)或． 题型六：幂函数的图象过定点问题 1．【答案】B 2．【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】 6.【答案】3 题型七：幂函数（复合函数）的单调性判断 1．【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.．【答案】 10.【答案】(1)， (2)由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 题型八：利用幂函数的单调性比较大小问题 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】(1) (2) (3) (4). 题型九：利用幂函数的单调性解不等式 1．【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】 6.【答案】(1) (2) 7.【答案】(1) (2) 8.【答案】(1) (2) 题型十：幂函数的单调性与奇偶性的综合应用问题 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】 6.【答案】4052 7.【答案】(1)， . (2)或. 8.【答案】(1)或1，(2)2 9.【答案】（1）；（2）；（3）2． 题型十一：幂函数性质的综合应用（大题） 1.【答案】(1) (2)或3 2.【答案】(1)，. (2) 3.【答案】(1) (2) ， （i）证明：易知的定义域为，因为， 所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故的图象是轴对称图形. （ii）解：在区间上单调递减， 证明如下： ，且，则 ， ，则，所以，即，所以， 又，， 因此，即在区间上单调递减. 4.【答案】(1) (2)（i） 在区间上单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； （ii） 5.【答案】(1) (2) (3)存在， 6.【答案】(1) (2) (3) 7.【答案】(1)函数的解析式为：； (2)的最小值为4； (3)实数h的取值范围为； 8.【答案】(1) (2)或. (3) 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂函数的图象与性质十一大常考题型 题型一 幂函数的概念理解与求参 题型二 求幂函数的解析式及求函数值 题型三 求幂函数的定义域问题 题型四 求幂函数的值域问题 题型五 幂函数的图象及应用问题 题型六 幂函数的图象过定点问题 题型七 幂函数（复合函数）的单调性判断 题型八 利用幂函数的单调性比较大小问题 题型九 利用幂函数的单调性解不等式 题型十 幂函数的单调性与奇偶性的综合应用问题 题型十一 幂函数性质的综合应用（大题） 题型一：幂函数的概念理解与求参 1．下面的函数中是幂函数的是． ① ； ② ； ③ ； ④； ⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【详解】试题分析：形如的函数为幂函数，所以，为幂函数． 2．“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 故“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意由幂函数定义可得，代入点坐标可解得，即可求得结果. 【详解】由幂函数定义可得， 将点代入即可得，解得， 所以可得. 故选：A 4．（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 5．“”是“为幂函数”的_____条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，为幂函数；反之当为幂函数时， ，解得或， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 题型二：求幂函数的解析式及求函数值 1．已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以可设， 因为图象过， 所以 ， 所以，即， 所以 故选：A 2．已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D．-2 【答案】B 【分析】由幂函数定义求得，由图像上的点求得，从而求得结果. 【详解】由幂函数的图象过点，知， ，所以， 故. 故选：B. 3．幂函数的图象经过点，则满足的值等于______. 【答案】 【分析】根据题意，求得幂函数的解析式为，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 又因为，即，解得. 4．已知函数为幂函数，且，则______． 【答案】1 【分析】根据条件得，，从而得，再代入即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，则，，所以， 则， 故答案为：. 5．幂函数的图象经过点，若，则___________． 【答案】 【分析】设，根据求出的值，可得出函数的解析式，再结合可得出的值. 【详解】根据题意，设，则， 故，可得，所以， 由可得. 故答案为：. 6．已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合性质求出即可得解. （2）根据给定条件，利用偶函数的性质计算即得. 【详解】（1）由为幂函数，得，得或， 而为偶函数，则， 所以的解析式为. （2）由为偶函数且，得，即或， 所以或. 题型三：求幂函数的定义域问题 1．下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 2．已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 3．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 4．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 5．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 6．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 题型四：求幂函数的值域问题 1．下列四个函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域的概念，以及基本初等函数性质，逐一求出各函数值域，判断结果即可. 【详解】由可知，对勾函数值域为，所以A错误； 由幂函数性质可知，函数的值域为，所以B错误； 由，函数值域为，所以C错误； 由，即，解得或，此时函数值域为，所以D正确； 故选：D. 2．下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数单调性求值域判断A；利用二次函数性质求值域判断B；利用绝对值的含义求值域判断C；利用求值域判断D. 【详解】对于A，因在上单调递增，故其值域为，不合题意； 对于B，，则其值域为，不合题意； 对于C，，则其值域为，不合题意； 对于D，因，则，即的值域为，符合题意. 故选：D 3．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 4．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 5．函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 6．函数的最大值是_________. 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 7.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 题型五：幂函数的图象及应用问题 1．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 3.已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象过，和轴有交点，不符合题意； 当时：，，与轴没有交点，符合题意. 所以. 4.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义及图象特征列式求解. 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 5.对，记，函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由表示与的较大者，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，取图象较高者即可得的图象. 【详解】和都是偶函数， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时， 在同一平面直角坐标系中作出和的图象，如图： 表示与的较大者，所以图象是两个图象较高的， 故选：A. 6.已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据函数为幂函数，可列式，计算得m的值，验证后即得答案. 【详解】由题意函数是幂函数， 故，即， 解得或， 当时，为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意； 当时，，其图象经过第二象限，不符合题意； 故， 故答案为：2 7.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 8.已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 9.已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式； (2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 【答案】(1)； (2)图象如图所示 (3)或． 【分析】（1）由幂函数所过的点求幂函数解析式； （2）画出幂函数图象； （3）数形结合求不等式解集. 【详解】（1）设，由题设解得， 所以； （2）略 （3）由图象知：当时，或． 题型六：幂函数的图象过定点问题 1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 2．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 3.幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 4.函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断得这三个函数为幂函数，根据幂函数图像所过定点可判断. 【详解】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 5.函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 6.已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 题型七：幂函数（复合函数）的单调性判断 1．下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 2.下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 3.函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 4.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5.已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 6.函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 7.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题设，结合二次函数性质确定开口和对称轴，讨论、，应用复合函数单调性判断的增区间，结合已知求参数范围. 【详解】由题设，对于，开口向上且对称轴为， 而对于在定义域上递增， 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有，显然恒成立； 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 8.已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 9.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解． 【详解】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 10.已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】(1)， (2) 由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 【分析】（1）由幂函数的定义，结合单调性求参数即可； （2）根据题意，，任取，且，作差得，再根据的符号确定单调性即可． 【详解】（1）根据幂函数的定义可知，，，即，， 解得或， 当时，，显然在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以幂函数，即，， 故常数，的值分别为2和4； （2）略 题型八：利用幂函数的单调性比较大小问题 1.若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 2.若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 4.设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 5.已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 6.若，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】由幂函数性质即可分析求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增，， 所以即，又， 所以. 故答案为： 7.比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 【答案】(1) (2) (3) (4). 【分析】根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】（1）∵函数在上单调递减，又，∴. （2），函数在上单调递增， 又，∴，∴，即. （3），. 函数在上单调递减，又， ∴，即. （4）∵，，，∴. 题型九：利用幂函数的单调性解不等式 1．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 2.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 3.已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 4.已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 5.已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 6.已知幂函数在其定义域上为增函数． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义求出或，结合幂函数的性质即可得出结果； (2)根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵为幂函数．∴，解得或． 当时，在其定义域上不为增函数，舍去． 当时，在R上为增函数，符合题意．∴； （2）∵在R上为增函数，且，∴， 整理得，解得， ∴实数a的取值范围为． 7.已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性列式求解； （2）根据与正负情况分类讨论，结合函数的单调性解不等式. 【详解】（1）幂函数在上单调递减， 则且，解得， 故. （2）的定义域， 在上单调递减，且， 在上单调递减，且. 显然且， 当且，即时， 由不等式得，即，与不符， 当与一正一负时，若不等式成立， 只能有且，解得， 当且，即时， 由不等式得，解得， 综上，不等式的解集为. 8.已知幂函数在上是减函数 (1)求的解析式 (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性列式运算求解； （2）根据幂函数的单调性列式运算求解，注意幂函数的定义域. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故. （2）由（1）可知：的定义域为， 由，则，解得， ∵幂函数在上是减函数，则，解得， ∴a的取值范围为. 题型十：幂函数的单调性与奇偶性的综合应用问题 1.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 2.已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 3.若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可. 【详解】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 故选：B. 4.已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数， 因为，则， 可得，即，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数定义及奇偶性、单调性求解. 【详解】由可得， 当时，，函数是奇函数，不符合题意； 当时，，定义域为，函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，且在上为减函数，符合题意. 故答案为： 6.设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】4052 【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， ， 因为，， 所以. 故答案为：4052. 7.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， . (2)或. 【分析】（1）根据单调性可得，再根据奇偶性可得，从而得到函数解析式； （2）根据单调性和奇偶性可得，解该不等式可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为在上单调递增，故即， 而为整数，故， 因为幂函数的图象关于轴对称， 故为偶数，故，此时. （2）因为，故， 所以，所以或. 8.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或1， (2)2 【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． 【详解】（1）幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； （2）∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 9.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】解析：（1）．， ， （） 即或 在上单调递增，为偶函数 即 （2） ，，， ∴ （3）由题可知， ， 当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值是2． 题型十一：幂函数性质的综合应用（大题） 1.已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 2.已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义和性质求解. （2）利用二次函数的图像和性质求解，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以. 解得或. 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 当时，，在上单调递增，符合题意. 所以，. （2）已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. ， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值， 即， 整理得，解得，因，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得，. 3.已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)设. （i）证明：的图象是轴对称图形； （ii）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】(1) (2) ， （i）证明：易知的定义域为，因为， 所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故的图象是轴对称图形. （ii）解：在区间上单调递减， 证明如下： ，且，则 ， ，则，所以，即，所以， 又，， 因此，即在区间上单调递减. 【分析】（1）由幂函数的定义及其单调性计算可得； （2）（i）由偶函数的性质证明可得； （ii）由函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）根据幂函数的定义可知，，即， 解得，或， 又幂函数在上单调递增，所以，故， 因此. （2）略 4.已知幂函数（为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)（i） 在区间上单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； （ii） 【分析】（1）根据幂函数的图象所过点，列出方程求解即可. （2）（i）判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可； （ii）利用函数的单调性可列不等式，转化为求的最大值即可得解. 【详解】（1）因为幂函数（为常数）的图象经过点， 则，所以，故； （2）， （i）略 （ii）由（i）知，为增函数. ∴由得，恒成立， ∴ 恒成立 又在区间为减函数， 当时，， 所以的范围为. 5.已知幂函数，且在上单调递减. (1)求的解析式. (2)若在上恒成立，求的取值范围. (3)是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据幂函数的解析式及单调性列式求解即可； （2）由题意可得，利用函数的单调性求出函数在上的最小值，继而即可求解. （3）根据函数的单调性及最值可得，即，是方程的两个不相等的正根，结合判别式及韦达定理列式求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，则或. 又因为在上单调递减，所以，故. 所以函数的解析式为 （2）由，可得. 因为与均在上单调递减， 所以在上单调递减， 则，所以的取值范围为. （3）因为在上单调递减， 若存在实数，使得当时，的值域为， 则，即， 即，是方程的两个不相等的正根， 则， 解得. 故存在，且的取值范围为. 6.已知幂函数经过点． (1)求的解析式； (2)设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数过的点可求参数，即可得答案； （2）利用零点存在定理即可求解； （3）写出的表达式，换元可得，，分类讨论确定最值，结合，解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得. 故 （2）由（1）可知， ①若零点在内，故必须满足 即，解得； ②若零点在端点处取得 （ⅰ）若，则，此时符合题意， （ⅱ）若，则，验证后符合题意， 综上，的取值范围是； （3），令，故，， 故的对称轴为， ①若，在上单调递增，即得，解得，矛盾； ②若，在上单调递减，即得，解得，矛盾； ③若，， 若，则，此时， 解得，则 若，则，此时， 解得，则， 综合可得得的取值范围是 7.已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若正实数满足，求的最小值； (3)对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为：； (2)的最小值为4； (3)实数h的取值范围为； 【分析】（1）根据幂函数的定义得，可计算得出，再根据是奇函数，所以，可计算出满足题意，最终得出； （2）结合第（1）问，利用基本不等式中“1”的代换，即可计算出的最小值； （3）根据，化简得，得出在定义域内单调递增，所以，最终可转换为二次函数和直线交点的问题求解实数h的取值范围． 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得，即， 又因为是奇函数，且在上单调递增， 所以，解得，因为，所以，或者； 时，，此时为奇函数，且在上单调递增，满足题意； 时，，此时为偶函数，不满足题意； 所以； （2）由（1）得：，； 因为为正实数，结合基本不等式得：，当时，取等号， 所以；所以的最小值为4. （3）因为，，定义域为； 在定义域内单调递增，所以 ，所以，为方程的两个实数根，即在上有两个不同的实数根； 令，，则，则方程等价于，在上有两个不相等的实数根； 设，在上的图象如图所示： 对称轴为，； 方程，在上有两个不相等的实数根等价于直线与的图像有两个不同的交点， 由图象得：； 所以实数h的取值范围为. 8.已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）设，代点求值； （2）令，结合一元二次函数求最值即可； （3）根据的单调性列方程组，两式相减化简得出，根据，求出的范围，最后利用一元二次函数求值域. 【详解】（1）设幂函数（为常数）， 则，则，故. （2）令，因为，所以， 则可转化为，. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 综上，实数的值为或. （3）由函数可知其在定义域内为单调递减函数. 若存在实数，，使得函数在上的值域为，则： ，， 两式相减可得： 所以. 则. 令，则， 由，得，则. 故实数的取值范围为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂函数的图象与性质十一大常考题型 题型一 幂函数的概念理解与求参 题型二 求幂函数的解析式及求函数值 题型三 求幂函数的定义域问题 题型四 求幂函数的值域问题 题型五 幂函数的图象及应用问题 题型六 幂函数的图象过定点问题 题型七 幂函数（复合函数）的单调性判断 题型八 利用幂函数的单调性比较大小问题 题型九 利用幂函数的单调性解不等式 题型十 幂函数的单调性与奇偶性的综合应用问题 题型十一 幂函数性质的综合应用（大题） 题型一：幂函数的概念理解与求参 1．下面的函数中是幂函数的是． ① ； ② ； ③ ； ④； ⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A． B．3 C． D．2 4．（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 5．“”是“为幂函数”的_____条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 题型二：求幂函数的解析式及求函数值 1．已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 2．已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D．-2 3．幂函数的图象经过点，则满足的值等于______. 4．已知函数为幂函数，且，则______． 5．幂函数的图象经过点，若，则___________． 6．已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 题型三：求幂函数的定义域问题 1．下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 6．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 题型四：求幂函数的值域问题 1．下列四个函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．函数，的值域为__________. 6．函数的最大值是_________. 7.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 题型五：幂函数的图象及应用问题 1．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 3.已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 5.对，记，函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6.已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为______． 7.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 8.已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 9.已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式； (2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 题型六：幂函数的图象过定点问题 1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 3.幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 4.函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 5.函数的图象过定点______. 6.已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 题型七：幂函数（复合函数）的单调性判断 1．下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2.下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 4.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5.已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6.函数的单调递减区间为__________. 7.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 8.已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 9.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 10.已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 题型八：利用幂函数的单调性比较大小问题 1.若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2.若，，，则（     ） A． B． C． D． 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4.设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 6.若，则的大小关系为______． 7.比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 题型九：利用幂函数的单调性解不等式 1．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 6.已知幂函数在其定义域上为增函数． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 7.已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 8.已知幂函数在上是减函数 (1)求的解析式 (2)若，求a的取值范围. 题型十：幂函数的单调性与奇偶性的综合应用问题 1.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 2.已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 3.若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 6.设函数的最大值为，最小值为，则__________. 7.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 8.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 9.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 题型十一：幂函数性质的综合应用（大题） 1.已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 2.已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 3.已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)设. （i）证明：的图象是轴对称图形； （ii）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论. 4.已知幂函数（为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 5.已知幂函数，且在上单调递减. (1)求的解析式. (2)若在上恒成立，求的取值范围. (3)是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 6.已知幂函数经过点． (1)求的解析式； (2)设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 7.已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若正实数满足，求的最小值； (3)对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 8.已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $