第三章 函数的概念与性质（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 第三章函数的概念与性质单元拔尖卷，覆盖函数概念、性质及应用，题型多样，梯度分明，结合摆摊创业、环保材料等现实情境与高斯函数、保值区间等创新问题，适配高一单元复习，有效检测数学抽象、逻辑推理与数学建模核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数概念、幂函数、图像识别|基础巩固，如第1题辨析同一函数| |多选|3/18|幂函数性质、函数奇偶性单调性|能力提升，如第11题高斯函数创新应用| |填空|3/15|幂函数解析式、奇函数性质|细节考查，如第13题奇函数周期性| |解答|5/77|求解析式、实际利润模型、函数性质综合|综合应用，如17题环保材料利润建模，19题中心对称与保值区间创新探究|

第三章 函数的概念与性质（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【解答过程】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 2．（5分）（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【解题思路】利用方程组法计算函数解析式再求值即可. 【解答过程】由，可知，联立解得， 所以，则. 故选：D. 3．（5分）（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可. 【解答过程】因为函数是幂函数， 所以， 当时，，该函数在上单调递增，符合题意； 当时，，该函数在上单调递减，不符合题意， 所以. 故选：C. 4．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【解答过程】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【解答过程】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【解答过程】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 故选：C. 8．（5分）（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（    ） A．是周期函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据周期函数、偶函数的定义，结合赋值法逐一判断即可. 【解答过程】A：在中，令， 得 ， 所以是周期函数，因此本选项说法正确； B：在中，令， 得， 在中，令，得 ， 所以是偶函数，因此本选项说法正确； C：在中，令，得 ， 在中，令，得 ，所以本选项说法错误； D：由上可知：， 所以， 在中，令， 得， 所以， 于是，所以本选项说法正确， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【解题思路】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【解答过程】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解题思路】A根据判断；B根据单调性的定义判断；C利用计算；D将问题转化为，结合单调性可求. 【解答过程】令，则，得， 故不是奇函数，故A错误； 任取，且，则， 则 ， 则，故在上单调递增，故B正确； 令，则， 则 ， 故C正确； 因为，所以， 故可化为， 因为在上单调递增，所以，得，故D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（   ） A．函数，的图象关于原点对称 B．函数，的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解题思路】根据给定条件，取值验证判断A；由取整函数的定义得，进而判断BC；解一元二次不等式，然后根据取整函数的定义求出解集判断D. 【解答过程】对于选项A：当时，，当时，， 即点都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，A错误； 对于选项B：由取整函数的定义知， ，则， 因此函数的值域为，B正确； 对于选项C：由取整函数的定义知，，， 则，C正确； 对于选项D：由，可得，解得， 且，则或， 因此，不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，的解析式为__________. 【答案】 【解题思路】根据函数是幂函数以及对称性求得，从而求得的解析式. 【解答过程】由于是幂函数，所以， 解得或， 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意. 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意. 所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·广东汕头·期中）已知为上的奇函数，，且，则___________． 【答案】0 【解题思路】根据奇函数的定义可求得，从而求解. 【解答过程】因为为上的奇函数，所以. 又，且，即，解得， 所以. 所以 . 故答案为：0. 14．（5分）（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】先利用函数的单调性定义判断函数在区间上的单调性，求得的值域，再将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论． 【解答过程】设，则， 因为，所以， 则，即，故在区间上单调递增，故当时，， 则问题转化为当时，，即恒成立， 又函数在上单调递减，所以 所以，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【解题思路】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 16．（15分）（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解题思路】（1）由幂函数定义结合函数单调性计算即可得； （2）结合二次函数性质，分、、、及讨论即可得. 【解答过程】（1）由幂函数定义可得， 即，则或， 当时，在上单调递减，不符，故舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 故； （2）由（1）知，， 则， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，有，则，则原不等式解集为； 若，当，即时，有，解集为； 当，即时，原不等式解集为； 当，即时，原不等式解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17．（15分）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【解题思路】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【解答过程】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 18．（17分）（25-26高一上·北京·期末）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)奇函数； (2)为上的减函数；在上的最大值为6； (3)存在，实数a的取值范围为． 【解题思路】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性； （2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值； （3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【解答过程】（1）取，则， ∴， 取，，则， ∴对任意恒成立， ∴为奇函数； （2）任取且， 则， 因为，故， 令，则有， 即， ∵时，， 故时，， ∴， ∴． 故为上的减函数． ∴，， ∵，， 令，则，故， 令，则，即， 由（1）知：为奇函数，故， 故，解得：， 故， 故在上的最大值为6； （3）∵在上是减函数， ∴， ∵，对所有，恒成立． ∴，恒成立； 即，恒成立， 令，则，即， 解得：或． ∴实数a的取值范围为． 19．（17分）（25-26高一上·贵州黔南·期末）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心. (2)若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）根据对称中心定义得出函数对称中心； （2）（i）根据已知解析式结合中心对称得出的解析式； （ii）分类讨论应用函数单调性结合基本不等式求解. 【解答过程】（1）设函数的图象关于点成中心对称图形， 则令为奇函数， ， 即为奇函数， 解得 ∴函数图象的对称中心是. （2）（i）由函数的图象关于点成中心对称图形，令， 则的图象关于点成中心对称图形，即为奇函数. 当时，由，得. 当时，由，得. 又， （ii）. ①当时，在上单调递增； 当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根. 令. 在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在上单调递增， ∴当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根. 令， 则解得； ③当时，在上单调递增在上单调递增， 此时即 ，则易知在上单调递减， . 又当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ，此时无解. 综上可知，的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（5分）（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 3．（5分）（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（    ） A．是周期函数 B．是偶函数 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．（6分）（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 11．（6分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（   ） A．函数，的图象关于原点对称 B．函数，的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，的解析式为__________. 13．（5分）（25-26高一上·广东汕头·期中）已知为上的奇函数，，且，则___________． 14．（5分）（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 16．（15分）（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 17．（15分）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 18．（17分）（25-26高一上·北京·期末）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（17分）（25-26高一上·贵州黔南·期末）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心. (2)若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $