期中复习压轴专题01 解答题分类训练（17种类型85道）（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版六年级，17种类型85道） 范围：第一章—第二章 知识点一 有理数的混合运算 1．（26-27七年级上·浙江·期中）计算 (1)；          (2)； (3)；           (4)． 2．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（26-27七年级上·甘肃·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（26-27七年级上·河北·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 5．（26-27七年级上·天津·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点二 代数式求值 6．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知与互为相反数，求的值． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 8．（25-26七年级上·四川自贡·期中）当，，时求下列代数式的值： (1)； (2)． 9．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，试求的值． 10．（26-27六年级上·山东济宁·阶段检测）计算 (1)若，，且，求的值． 解：，， ________，_______． ， ________． 当________，________时，________； 当________，________时，________． (2)已知，，则________； (3)已知，，且，则的值为________． 知识点三 整体法求代数式的值 11．（25-26七年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 12．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 13．（25-26六年级上·山东济南·期末）【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 14．（25-26七年级上·吉林长春·期中）运用整体思想在代数式求值中经常会用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，则___________； (3)当时，代数式的值为4，则当时，求代数式的值． 15．（25-26七年级上·四川眉山·期中）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ； 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，则代数式的值为 ； (2)若时，代数式的值为19，当时，则代数式的值为 ； 【拓展应用】 (3)若，则的值为 ； (4)若  ，则代数式的值为_______． 知识点四 进制转化 16．（25-26七年级上·北京·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数是______； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 17．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 18．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即 ．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 19．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）武汉江滩灯光秀是长江沿岸规模最大的夜景工程之一，核心看点可概括为“一条18公里光影走廊、三大主题篇章、四大最佳观赏带”．若灯光秀的“亮灯时刻”由灯光控制器来控制，控制器接收到的信号为“亮灯码”，“亮灯码”是八进制数，控制器通过解码将其转换为4位十进制数，例如“亮灯时刻”是，通过转换得到十进制数1945，则“亮灯时刻”是． (1)①若“亮灯码”是则“亮灯时刻”是_____； ②若“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是_____； (2)第二届长江文化艺术节于2025年9月12日在武汉开幕，开幕式于开始，并且在有无人机表演．若灯光秀与开幕式同步开启，并且在无人机表演时需要更换灯光秀内容，灯光秀需要重启．则灯光秀开启时的“亮灯码”是_____；无人机表演开始时的“亮灯码”是_____； (3)若灯光控制器系统发生故障，“亮灯码”的进制发生了变化，维修工程师进行以下操作；若输入“亮灯码”是．则“亮灯时刻”是；若输入“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是，请根据工程师的操作直接写出的值． 20．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 知识点五 有理数的实际应用 21．（26-27七年级上·北京·期中）某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随机抽取了20袋进行检查．以每袋奶粉重量为标准，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如表： 与标准质量的偏差（单位：克） 0 袋数 1 4 5 2 1 (1)______； (2)求这20袋奶粉的总质量．（写过程） 22．（26-27七年级上·云南·期中）学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示．记录如下： 每袋与标准重量的差/千克 0 2 袋数/袋 1 3 2 3 6 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少？ (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 23．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）小周于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.4元，下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为每斤2.7元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品价格为每斤多少元？ (2)本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ (3)小周本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算． 24．（26-27七年级上·陕西·期中）智慧机器犬，也称为“四足机器人”或“仿生机器人”，是一种模仿犬类生物形态和运动方式的智能机器人．它是集成了人工智能、先进传感、仿生控制和5G通信等前沿技术的尖端装备，正在从实验室迅速走向各种实际应用场景．小明家所在的小区新来了一只智慧机器犬，它每天都会在小区的一条东西方向主干道上例行巡逻．规定充电桩位置为起点，充电桩以东为正方向，以西为负方向．某日该机器犬巡逻每次走的路程（单位：）记录如下：． (1)该机器犬当天巡逻结束后是否返回充电桩？请通过计算说明； (2)若机器犬每巡逻耗电千瓦时，请求出该机器犬当日巡逻耗电多少千瓦时？ 25．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）出租车司机李师傅国庆节第一天下午的营运是在一条南北走向的公路上进行的，如果向南记作“”，向北记作“+”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米，每次行车都有乘客），，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，他在出发地什么方向？距下午出发地多远？ (2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车行驶的路程在3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过3千米的部分每千米还需收2元钱，那么李师傅这天下午收到乘客所给车费共多少元？ (3)若李师傅的出租车仪表盘上显示的百公里耗油为8升（汽车每行驶耗油8升），每升汽油8元，不计汽车的损耗，那么李师傅这天下午是盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？ 知识点六 数轴上两点之间的距离 26．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 27．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 28．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知：a，b，c满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ， ， ； (2)在数轴上，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，记A、B两点间的距离为，点P为该数轴上的动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（包含端点）， ； (3)在（1）（2）的条件下，若点M从B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；同时点N从A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，两点分别在各自到达点C时停止移动，设移动时间为t秒，若，请你求出t的值． 29．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）已知实数，，在数轴上所对应的点分别为，，，其中为，且，，满足，两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点与点之间的距离可表示为． (1)______，______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动当运动时间为秒时，线段______；线段______，当运动时间为秒时，线段______；线段______．假设运动时间为秒，试探究和之间的数量关系； (3)若，两点的运动和（2）中保持不变，点变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求的值． 30．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，在数轴上的点分别表示数，其中数满足，且，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)由题意可得：___________，___________； (2)请求出运动多少秒时，线段的长为2个单位长度； (3)请求出线段与线段从相遇到完全离开共经过多长时间； (4)是线段上一点，当点运动到线段上，且点不在线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 知识点七 绝对值最值问题 31．（26-27七年级上·江苏常州·期中）【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为___________； (3)若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于___________； 【联系拓广】 (4)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则___________；若，则点P表示的数x为___________； (5)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示、的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： （1）表示数5和_________所对应的两点之间的距离； （2）表示数和_________所对应的两点之间的距离； 【继续推理】 （3）代数式的最小值为_________； 【问题解决】 （4）已知有理数满足：，有理数使得的值最小，求的值． 33．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数满足，求的最小值为______． 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 35．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处？ 问题（2）：有台机床时，应设在何处？ 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 知识点八 数轴折叠问题 36．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上点1对应的点与数_______对应的点重合 (2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是_______，B对应的点是_____． (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 37．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则___________；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则___________； (2)若在数轴上点、表示的数分别是、3，且数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的4倍，那么点表示的数是多少； (3)如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数所在点折叠，使表示的点落在这条线段上，然后在重叠部分某处剪开，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 38．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)如图，折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么这两点中折痕左侧的点表示的数是___________． (2)如图，点表示的数分别是，数轴上有一点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是___________． (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是___________． (4)现有一点在数轴上从原点开始，第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位，，依此规律平移，当它平移第次后，点表示的数是___________． 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数表示 的点重合； (3)操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 40．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 知识点九 数字规律问题 41．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 42．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 43．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）观察下列各式： …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_____； (2)试写出第个等式：_____． (3)计算． 44．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式． 观察下面式子，完成以下问题：，，，… (1)请写出第15个式子： ； (2)请用含n的式子表示第n个式子： ； (3)计算：． 45．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数∶，，，称为数列，，，计算，，，将这三个数的最小值称为数列，，的最佳值．例如对于数列2，，3，因为，，，所以数列2，，3的最佳值为．东东进一步发现∶当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值，如数列，2，3的最佳值为；数列3，，2的最佳值为1；…经过研究，东东发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为，根据以上材料，回答下列问题： (1)数列，，3的最佳值为_________； (2)将“，，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求取得的最佳值最小值时的数列． 知识点十 图形规律问题 46．（25-26七年级上·广东惠州·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 47．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 48．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式：_______，第个等式：______； (2)下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为，，，，．．．计算：． 49．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推…… (1)第个图案有______个正方形，______个等边三角形； (2)现有2025个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 50．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 知识点十一 新定义问题 51．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 52．（25-26七年级下·浙江台州·期中）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 53．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265___________（是或不是）“极差数”； 【建模推理】 （2）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【回顾反思】 （4）为什么要用字母或含有字母的式子表示数和数量关系？请谈谈你的看法． 54．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）小华在研究代数式的值时，进行了如下计算： 当时，，是素数； 当时，，是素数； 当时，，是素数； 当时，，是素数． 小华据此得出结论：对于任意正整数，代数式的值都是素数．你认为小华的想法正确吗？为什么？ 55．（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 知识点十二 方案选择问题 56．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 57．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某校组织x名学生外出研学，旅行社报价每人收费元，当研学人数超过人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交元后，每人收费元；方案二：5人免费，其余每人收费打八折，即按原价的收费． (1)当时，方案一共收费 元．方案二共收费 元；（用含有x的代数式表示） (2)当时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 58．（25-26七年级上·广东汕尾·期中）某市自来水收费的价目表如下表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元 超出不超出的部分 5元 超出的部分 8元 注：水费按月结算 请根据如表的内容解答下列问题． (1)填空：若该户居民3月份用水，则应收水费_____元； (2)若该户居民4月份用水，则应收水费_____元； (3)若该户居民5月份用水（其中），求该户居民5月应交水费多少元（用含的代数式表示并化简） 59．（25-26七年级上·陕西安康·期中）某公园出售一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票每张60元，持票者进入公园时需再购买2元/次的门票． (1)某游客一年中进入该公园共有n次，如果不购买年票，则一年的费用为_________元；如果购买年票，则一年的费用为_________元；（用含n的代数式表示） (2)假如某游客一年中进入该公园20次，则该游客选择哪种购票方式比较优惠？请通过计算说明理由． 60．（25-26七年级上·河南许昌·期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价为900元，电磁炉每台定价为300元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉均按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉15台，电磁炉x台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；若该客户按方案二购买，需付款 元；（用含x的式子表示）； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买比较划算． 知识点十三 合并同类项 61．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 62．（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 63．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 64．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）计算： (1)； (2)． 65．（25-26七年级上·重庆铜梁·期中）化简： (1) (2) 知识点十四 去括号、数与一次项相乘 66．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 67．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）化简： (1) ； (2)． 68．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1)； (2)． 69．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）化简： (1) (2) 70．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)． 知识点十五 带有字母的绝对值化简 71．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）若有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示．化简． 72．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知：________（填“”、“”或“”）； (2)结合数轴化简：． 73．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． 74．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，． (1)在数轴上对应的（    ）里标出的位置； (2)化简：． 75．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：______0，______0，b______c；（填“”或“”） (2)化简：． 知识点十六 分类讨论问题 76．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题．例如：我们在讨论的值时，就会对a进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：________（）； (2)填空：________（）； (3)若，则的值是多少？ 77．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 78．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们已经学过：，由此我们知道，，利用结论解决下面问题： (1)______，______． (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 79．（26-27七年级上·吉林·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当时，；当时，；当时，． (1)【解决问题】分类讨论：根据有理数，的符号，求的值． (2)【类比探究】三个有理数，，满足，则________． 80．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上所述：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 知识点十七 程序流程图 81．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 82．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 83．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个运算程序： (1)当，时，求输出结果m的值； (2)当，时，求输出结果m的值． 84．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 85．（25-26七年级上·江苏南京·期中）在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版六年级，17种类型85道） 范围：第一章—第二章 知识点一 有理数的混合运算 1．（26-27七年级上·浙江·期中）计算 (1)；          (2)； (3)；           (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（26-27七年级上·甘肃·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)10 (2) (3)1 (4) 【分析】（1）先化为省略加号的形式，再根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律计算即可；从左到右依次计算即可； （4）先算乘方，求绝对值，计算乘法，最后再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（26-27七年级上·河北·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)4 (3)23 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（26-27七年级上·天津·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)0 (6) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算及运算律计算即可； （3）根据有理数的乘除法运算即可； （4）先算乘方，再根据有理数的混合运算及乘法运算律计算即可； （5）先算绝对值和乘方，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （6）先算绝对值，再根据有理数的加减混合运算及运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4） ； （5） ； （6）解： ． 知识点二 代数式求值 6．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得， 将，代入 ． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 8．（25-26七年级上·四川自贡·期中）当，，时求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】把，，直接代入计算． 【详解】（1）解：当，，时， ； （2）当，，时， ． 9．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，试求的值． 【答案】 所求代数式的值为或． 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的性质求出、、的值，代入代数式分情况计算． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴，， 将上述结果代入原式， 得， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为或． 10．（26-27六年级上·山东济宁·阶段检测）计算 (1)若，，且，求的值． 解：，， ________，_______． ， ________． 当________，________时，________； 当________，________时，________． (2)已知，，则________； (3)已知，，且，则的值为________． 【答案】(1)；；；；5；3；；； (2)或． (3)或 【分析】（1）根据绝对值的性质可得，，再进行求解即可； （2）根据绝对值的性质可得，再进行求解即可； （3）根据绝对值的性质可得，再进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， ，， ， ， 当，时，； 当，时，． （2）解：∵，， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 知识点三 整体法求代数式的值 11．（25-26七年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)1 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可； （2）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时 12．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 13．（25-26六年级上·山东济南·期末）【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 【答案】(1) (2)2021 (3)18 【分析】本题考查“整体思想”的应用，正确理解“整体思想”的定义与运用是解题的关键． （1）将看成一个整体，进行加减法运算即可； （2）利用整体思想的方法将所求式子化简为，将代入化简后的式子进行计算即可； （3）先去括号运算，将所求式子化简为，将，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由得： ， ； （3）解： 当，时，原式． 14．（25-26七年级上·吉林长春·期中）运用整体思想在代数式求值中经常会用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，则___________； (3)当时，代数式的值为4，则当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，将原式变形是解题关键 （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴原式； （3）解：∵当，时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴当，时， ． 15．（25-26七年级上·四川眉山·期中）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ； 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，则代数式的值为 ； (2)若时，代数式的值为19，当时，则代数式的值为 ； 【拓展应用】 (3)若，则的值为 ； (4)若  ，则代数式的值为_______． 【答案】(1)23 (2) (3) (4) 【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入，得到，再把和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可； （4）将变形，得到，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 原式； 故答案为：23； （2）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ，即， ， 故答案为：． 知识点四 进制转化 16．（25-26七年级上·北京·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数是______； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2)八进制数“”转化为十进制数为 (3)孩子出生天 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解所给二进制数，五进制与十进制数的转化方法是解题的关键． （1）根据二进制数转化为十进制数的方法进行计算即可； （2）根据所给转化方式进行计算即可； （3）根据所给“结绳计数”的规定进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，， ∴将二进制数转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由题知，， ∴八进制数“”转化为十进制数为； （3）解：由题知，， ∴孩子出生天． 17．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数； （2）将八进制的数转换为十进制即，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出的值为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 18．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即 ．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 【答案】(1)①38，②； (2)； (3)； (4)是，证明： ，， ∴， ∴与互为“发发数”； 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，正确理解题意是解题关键； (1)①，即可求解；②根据即可求解； (2)根据二进制的加法运算口诀即可求解； (3) 根据二进制的减法运算口诀即可求解； (4) ，，即可求解； 【详解】解：(1)①； ②， ∴把十进制数转换为二进制数为； (2) ； (3) ； (4) 略 19．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）武汉江滩灯光秀是长江沿岸规模最大的夜景工程之一，核心看点可概括为“一条18公里光影走廊、三大主题篇章、四大最佳观赏带”．若灯光秀的“亮灯时刻”由灯光控制器来控制，控制器接收到的信号为“亮灯码”，“亮灯码”是八进制数，控制器通过解码将其转换为4位十进制数，例如“亮灯时刻”是，通过转换得到十进制数1945，则“亮灯时刻”是． (1)①若“亮灯码”是则“亮灯时刻”是_____； ②若“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是_____； (2)第二届长江文化艺术节于2025年9月12日在武汉开幕，开幕式于开始，并且在有无人机表演．若灯光秀与开幕式同步开启，并且在无人机表演时需要更换灯光秀内容，灯光秀需要重启．则灯光秀开启时的“亮灯码”是_____；无人机表演开始时的“亮灯码”是_____； (3)若灯光控制器系统发生故障，“亮灯码”的进制发生了变化，维修工程师进行以下操作；若输入“亮灯码”是．则“亮灯时刻”是；若输入“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是，请根据工程师的操作直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)；； (3)9 【分析】本题主要考查了进制转换（八进制转十进制、十进制转八进制、进制转十进制），熟练掌握各种进制转换的方法是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可；②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算后分别得出表示19：40的“亮灯码”，20：25的“亮灯码”即可； （3）先将化为十进制后与2672比较大小后确定可能的值，然后再列式计算并验证即可． 【详解】（1）解：① ， 所以“亮灯时刻”是． ② ， 所以“亮灯时刻”是． （2）解： ， 即灯光秀开启时的“亮灯码”是， ， 即无人机表演开始时的“亮灯码”是， 故答案为：；； （3）解： ， 则的值可能是9， 那么 ， ， 综上，的值是9． 20．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)将二进制数转换为十进制数； (2)将十进制数转换为七进制数； (3)一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解二进制转换十进制数的方法，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为七进制的方法列式计算即可； （3）先将四进制数转十进制得到的表达式，再利用“能被 3 整除”的数的性质求解． 【详解】（1）解： ； 将二进制数转换为十进制数为； （2）解：∵， ∴， ∴将十进制数转换为七进制数为； （3）解：由题意得，， ∵，为整数， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵为整数，且， ∴， ∴． 知识点五 有理数的实际应用 21．（26-27七年级上·北京·期中）某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随机抽取了20袋进行检查．以每袋奶粉重量为标准，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如表： 与标准质量的偏差（单位：克） 0 袋数 1 4 5 2 1 (1)______； (2)求这20袋奶粉的总质量．（写过程） 【答案】(1)7 (2)解：由得， 依题意， ． 答：这20袋奶粉的总质量为． 【分析】（1）取了20袋列代数式求解即可； （2）根据正负数的意义以及有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：． （2）解：略． 22．（26-27七年级上·云南·期中）学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示．记录如下： 每袋与标准重量的差/千克 0 2 袋数/袋 1 3 2 3 6 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少？ (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克 (2)超过千克 (3)元 【分析】（1）根据题意，列出式子，由有理数加减运算直接计算即可得到答案； （2）根据题意，列出式子，由有理数加减乘法运算直接求解即可得到答案； （3）根据题意，求出土豆总重量，利用有理数乘法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）， 答：最轻的一袋比最重的一袋要轻千克； （2）解： （千克）， 答：与标准重量比较，袋土豆总计超过千克； （3）解： （千克）， （元）， 答：买这袋土豆共需元． 23．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）小周于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.4元，下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为每斤2.7元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品价格为每斤多少元？ (2)本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ (3)小周本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算． 【答案】(1)星期四该农产品价格为每斤3.35元． (2)本周内该农产品的最高价格为每斤3.35元，最低价格为每斤2.85元． (3)小周本周的买卖中共赚了6625元． 【分析】（1）以周日的批发价格为初始值，依次累加周一至周四的涨跌额，即可得到周四的价格； （2）计算出周五的农产品价格，比较大小即可得到最高和最低价格； （3）先计算每天的销售额，求和得到总销售额，再减去购进的总成本，即可得到总利润． 【详解】（1）解：已知购进当日（周日）批发价格为2.7元/斤， 周一价格：（元）， 周二价格：（元）， 周三价格：（元）， 周四价格：（元）， ∴星期四该农产品价格为每斤3.35元； （2）解：周五价格：（元）， 比较各天价格：， ∴本周内最高价格为每斤3.35元，最低价格为每斤2.85元； （3）解：总成本：（元）， 周一销售额：（元）， 周二销售额：（元）， 周三销售额：（元）， 周四销售额：（元）， 周五销售额：（元）， 总销售额：（元）， 总利润：（元）， 答：小周本周的买卖中共赚了6625元． 24．（26-27七年级上·陕西·期中）智慧机器犬，也称为“四足机器人”或“仿生机器人”，是一种模仿犬类生物形态和运动方式的智能机器人．它是集成了人工智能、先进传感、仿生控制和5G通信等前沿技术的尖端装备，正在从实验室迅速走向各种实际应用场景．小明家所在的小区新来了一只智慧机器犬，它每天都会在小区的一条东西方向主干道上例行巡逻．规定充电桩位置为起点，充电桩以东为正方向，以西为负方向．某日该机器犬巡逻每次走的路程（单位：）记录如下：． (1)该机器犬当天巡逻结束后是否返回充电桩？请通过计算说明； (2)若机器犬每巡逻耗电千瓦时，请求出该机器犬当日巡逻耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)该机器犬当天巡逻结束后返回充电桩； (2)该机器犬当日巡逻耗电千瓦时． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解： 答：该机器犬当天巡逻结束后返回充电桩． （2）解： （千瓦时） 答：该机器犬当日巡逻耗电千瓦时． 25．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）出租车司机李师傅国庆节第一天下午的营运是在一条南北走向的公路上进行的，如果向南记作“”，向北记作“+”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米，每次行车都有乘客），，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，他在出发地什么方向？距下午出发地多远？ (2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车行驶的路程在3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过3千米的部分每千米还需收2元钱，那么李师傅这天下午收到乘客所给车费共多少元？ (3)若李师傅的出租车仪表盘上显示的百公里耗油为8升（汽车每行驶耗油8升），每升汽油8元，不计汽车的损耗，那么李师傅这天下午是盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？ 【答案】(1)在出发地正南方向，距下午出发地千米． (2)这天下午收到乘客所给车费共元． (3)这天下午盈利了，盈利元． 【分析】（1）对所有行车记录求和，由结果正负判断方向，结果的绝对值为距出发地的距离． （2）计算每趟行车的路程（行车记录的绝对值），按收费规则算出单趟车费，求和得到总车费． （3）先计算总行驶路程，再算出总油费，与总车费比较得到盈亏情况及金额． 【详解】（1）解：将所有行车里程相加： （千米）． 向南记作“”， 最后在出发地正南方向，距出发地11千米． （2）分别计算每趟车的车费： 第1趟：路程千米，，收10元； 第2趟：路程千米，，收10元； 第3趟：路程千米，，收元； 第4趟：路程千米，，收元； 第5趟：路程千米，，收元； 第6趟：路程千米，，收元； 第7趟：路程千米，，收元； 第8趟：路程千米，，收元． 总车费：（元）． （3）计算总行驶路程：（千米）． 总耗油量：（升）． 总油费：（元）． ， 盈利，盈利金额为（元）． 知识点六 数轴上两点之间的距离 26．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 27．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 【答案】（1），，；（2）或，；（3），；（4）秒或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可得出，，的值； （2）【初步运用】解方程及，即可求出结论； （3）【延伸探究】利用“奇点偶段”，即可找出的最小值以及当式子取最小值时的值； （4）【拓展探究】当运动时间为秒时，点表示的数为，根据动点到点、点的距离之和为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， 故答案为：，，； （２）【初步运用】：， 即或， 解得： 或 ， 即或（不符合题意，舍去）， 解得：． 故答案为：或，； （3）【延伸探究】：根据题意得：若式子取最小值时，最小值是； 当式子取最小值时， 故答案为：，； （４）【拓展探究】：当运动时间为秒时，点表示的数为， 根据题意得： ， ①当点在右侧时： 即 ②当点在左侧时： ， ． 综上所述：当点运动或秒时，动点到点、点的距离之和为． 28．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知：a，b，c满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ， ， ； (2)在数轴上，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，记A、B两点间的距离为，点P为该数轴上的动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（包含端点）， ； (3)在（1）（2）的条件下，若点M从B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；同时点N从A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，两点分别在各自到达点C时停止移动，设移动时间为t秒，若，请你求出t的值． 【答案】(1)，，15 (2) (3)或12或14 【分析】本题主要考查非负性、数轴上两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据偶次幂及绝对值的非负性可进行求解； （2）由（1）及数轴上两点距离可进行求解； （3）由题意易得当时，点M表示的数为，点N表示的数为，当时，点M表示的数为，点N表示的数为15，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； 故答案为，，15； （2）解：∵点A对应的数为，点C对应的数为15，点P对应的数为x，且点P在点A与点C之间运动时（包含端点）， ∴（）． 故答案为：； （3）解：由题意得：点M到达终点C所需的时间为（秒），点N到达终点C所需的时间为（秒）． 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 根据题意得：， 解得：或； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为15， 根据题意得：， 解得：． 综上所述：t的值为或12或14． 29．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）已知实数，，在数轴上所对应的点分别为，，，其中为，且，，满足，两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点与点之间的距离可表示为． (1)______，______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动当运动时间为秒时，线段______；线段______，当运动时间为秒时，线段______；线段______．假设运动时间为秒，试探究和之间的数量关系； (3)若，两点的运动和（2）中保持不变，点变为以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，，求的值． 【答案】(1)， (2)；；；， (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解，的变化情况是关键． （1）根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据题意得：t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为，然后分别表示出线段长度作差即可求解； （3）分别求出当时，A、B、C表示的数，得到和，根据列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：，是， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动， 运动时间为秒时，线段，线段， 秒后，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ，， ∴； 故答案为：；；；；； （3）解：时，点表示，点表示，点表示， ，， ， 则， 则，或， 解得：或． 30．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，在数轴上的点分别表示数，其中数满足，且，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)由题意可得：___________，___________； (2)请求出运动多少秒时，线段的长为2个单位长度； (3)请求出线段与线段从相遇到完全离开共经过多长时间； (4)是线段上一点，当点运动到线段上，且点不在线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1秒或2秒 (3)秒 (4)存在， 【分析】本题考查了绝对值的非负性，列代数式，一元一次方程的应用，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，得，则； （2）先整理得点分别表示数，设运动时间为秒，根据点表示数，点C表示数，得，解得或， （3）先整理得点分别表示数，则点表示数，点C表示数，点A表示数，点D表示数，先算出相遇时间，完全离开的时间，则求出线段与线段从相遇到完全离开共经过的时间； （4）依题意，设，点运动到线段上，则，，结合点不在线段上，得，因为，得，解得，即． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， （2）解：由（1）得， 即点分别表示数， 设运动时间为秒， ∵线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ∴点表示数，点C表示数， ∵线段的长为2个单位长度， ∴， 即， ∴， ∴， 即或， 解得或， ∴运动1秒或2秒，线段的长为2个单位长度； （3）解：∵，点分别表示数， ∴， 即点分别表示数， 设运动时间为秒， ∵线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ∴点表示数，点C表示数，点A表示数，点D表示数， 则线段与线段相遇时间是， 解得， 线段与线段相遇完全离开时间是， 解得， ∴（秒）， ∴线段与线段从相遇到完全离开共经过秒； （4）解：存在，过程如下： 设， ∵是线段上一点，当点运动到线段上， 则，， ∵点不在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 即． 知识点七 绝对值最值问题 31．（26-27七年级上·江苏常州·期中）【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 (1)数轴上表示3和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为___________； (3)若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于___________； 【联系拓广】 (4)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则___________；若，则点P表示的数x为___________； (5)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 【答案】(1)8 (2) (3)或7 (4)6；或6 (5)有，最小值为10，理由如下： 表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以当x位于和6之间（包括这两个数）时，取得最小距离，为10 【分析】（1）根据数轴上A､B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离代入值运用绝对值化简即可求得； （3）根据数轴上两点之间的距离列出等式，结合绝对值计算即可； （4）根据数轴上两点之间的距离判断出为的距离，再结合已知值和最小值分别求解即可； （5）根据x是动点，结合绝对值的意义和（3）最小值的取值可能，即可知有最小值且位于和6之间． 【详解】（1）解：数轴上表示3和－5的两点之间的距离等于； （2）解：数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； （3）解：若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； （4）解：∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴， ∴； ∵， ∴点P在线段外， 当P在M点右边时，即，， 解得； 当P在N左边时，即，， 解得； 综上所述，点P表示的数为或6； （5）略 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示、的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： （1）表示数5和_________所对应的两点之间的距离； （2）表示数和_________所对应的两点之间的距离； 【继续推理】 （3）代数式的最小值为_________； 【问题解决】 （4）已知有理数满足：，有理数使得的值最小，求的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）8；（4）或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的意义，理解绝对值的意义，利用分类讨论思想解题是关键 （1）根据题干给出的数轴上两点之间的距离可得结果； （2）根据题干给出的数轴上两点之间的距离可得结果； （3）根据两点之间的距离的定义可知的最小值就是； （4）先根据数轴上两点之间的距离列方程求解x值，再根据数轴上两点之间的距离求得当时，有最小值，进而代值求解即可． 【详解】解：（1）由题意，表示数5和2所对应的两点之间的距离， 故答案为：2； （2）由题意，表示数x和所对应的两点之间的距离． 故答案为：； （3）根据题意，当时，有最小值，最小值是， 故答案为：8； （4）由（3）知，当或时，， ∴或， 解得或； ∵当时，有最小值， 当时，有最小值0， ∴当时，有最小值， ∴或， 即或． 33．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3 (2)8 (3) (4)2 (5) (6) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减，熟练掌握和运用绝对值的几何意义是运算解决本题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据a的取值范围，去绝对值符号，即可求得； （3）根据绝对值的意义即可求得； （4）根据绝对值的意义即可求得； （5）根据两点间的距离即可求得； （6）由题意可得：，，据此即可求得a、b的范围，即可求得． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：， 故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小， 故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】(1)3 (2)3，7 (3)1 【分析】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． （2）解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． （3）解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 35．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处？ 问题（2）：有台机床时，应设在何处？ 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）解： ∵∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，…，直到2011个的距离之和， 共有： 个点． 设  ． ∵， 现在求 和 的值． 设 ，则 ， 可得 ． 且 ， 故 时， 的值最小．      ． 知识点八 数轴折叠问题 36．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数2对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上点1对应的点与数_______对应的点重合 (2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B左侧），并且A，B两点经折叠后重合，则A对应的点是_______，B对应的点是_____． (3)在（2）的情况下，一只青蛙王子从点A出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵从B点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用折叠点为两点的中点的性质即可得解； （2）由（1）知：折合点表示的数，利用此点到两点的距离相等即可得解； （3）设它们x秒后相遇，列方程得出相遇时间，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数2对应的点重合， ∴ ∴折叠点对应的数为， 设数轴上与1重合的数为， 由题意得，， 解得 ∴数轴上点1对应的点与数对应的点重合； （2）解：由（1）知：折叠点表示的数， ∵数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的左侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴折叠点表示的数分别到A，B两点的距离为100， ∴，， ∵点A在点B的左侧， ∴A表示；B表示98； （3）解：设它们x秒后相遇， 由题意得， 解得 ∴， ∴C点所表示的数为38． 37．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则___________；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则___________； (2)若在数轴上点、表示的数分别是、3，且数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的4倍，那么点表示的数是多少； (3)如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数所在点折叠，使表示的点落在这条线段上，然后在重叠部分某处剪开，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 【答案】(1)2；2029 (2)点C表示的数是2或 (3)m的值为2或4 【分析】本题考查了数轴上的两点之间距离，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的求法，能根据不同的比值进行分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上的两点之间距离，即可求解； （2）设点C表示的数是x，根据数轴上的两点之间距离，分两种情况解答求解； （3）设折痕处对应的点所表示的数是m，点B、点C表示剪痕，则三个线段分别为：，，，设三条线段的长为，，，可得，然后分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵数b表示的点与数表示的点重合， ∴； 故答案为：2；2029 （2）解：设点C表示的数是x， 当点C在点A，B之间时，， 解得：， 当点C在点B的右侧时，， 解得：， 综上所述，点C表示的数是2或； （3）解：由题意可得：， ∵三条线段的长度之比为， 可设三条线段的长为，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ， ∴； 综上所述，m的值为2或4． 38．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)如图，折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么这两点中折痕左侧的点表示的数是___________． (2)如图，点表示的数分别是，数轴上有一点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是___________． (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是___________． (4)现有一点在数轴上从原点开始，第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位，，依此规律平移，当它平移第次后，点表示的数是___________． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （）折叠纸条使得数轴上表示的点与表示的点重合，那么折痕与数轴的交点即为表示的点与表示的点的中点，据此求解即可；根据折叠后互相重合的点到折叠点的距离相等即可得到答案； （）设点表示的数为，则， ，再根据题意建立方程求解即可； （）对折次相当于把原纸条平均分为份，求出每一份的长度（即相邻2条折痕的距离）即可得到答案； （）根据题意可得从第次平移开始，每相邻的次平移，点M相当于向右平移了个单位，第次向左平移个单位，求出除以的商和余数即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知折痕与数轴的交点表示的数是， ∵数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合， ∴这两点到表示数的点的距离都为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为，则， ， ∵点到点的距离是点到点距离的倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，对折次后，每相邻的两条折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数是， 故答案为：； （4）解：∵第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位， ∴第次和次平移完后，点M相当于向右平移了个单位， ∵第次向左平移个单位，第次向右平移个单位， ∴第次和第次平移完后，点M在第次平移完的基础上向右平移了个单位， 以此类推可知，从第次平移开始，每相邻的次平移，点M相当于向右平移了个单位， ∵第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位， ， ∴第次向左平移个单位， ∵， ∴当它平移次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． 39．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数表示 的点重合； (3)操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 【答案】(1)3 (2)7 (3)折痕处对应的点所表示的数可能是或或 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的应用，本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与3重合； （2）根据对称性找到折痕的点为2，可以得出与7重合 （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； （2）解：∵折叠纸面使1表示的点与3表示的点重合， ∴折痕表示的点为2， ∴表示的点与数表示7的点重合， 故答案为：7． （3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当时，    设，则， ∴，解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图2，当时，    设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图3，当时，    设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 40．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 知识点九 数字规律问题 41．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2)259， (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律， （1）根据数字变化特点可知第①行的数是的序号数次方，解答即可； （2）第②行的数比第①行的数大3，可得答案，第③行的数的序号数次方，再乘以2的序号数少1次方，可得答案； （3）分别根据数字变化规律得出第9个数，再求出和． 【详解】（1）解：第①行的数是 ； 故答案为：256； （2）解：第②行的数是 ； ． 故答案为：259, ； （3）解：第①行中的第9个数是，第②行中的第9个数是，第③行中的第9个数是， 所以． 42．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为，由此求解即可． 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为 ； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 43．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）观察下列各式： …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_____； (2)试写出第个等式：_____． (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值， 对于（1），仿照题中的规律解答； 对于（2），根据规律写出答案即可； 对于（3），设，再表示出，然后将两式相减即可． 【详解】（1）解：因为； ； ； ； ； 故答案为：； （2）解：由（1）可得； 故答案为：； （3）解：设①； 则②， 得， 解得． 44．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式． 观察下面式子，完成以下问题：，，，… (1)请写出第15个式子： ； (2)请用含n的式子表示第n个式子： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式规律，并根据规律进行求解； （1）根据已知等式找出第个式子，即可求解； （2）根据已知等式找出第个式子，即可求解； （3）根据已知等式进行拆项化为，进行消项运算， 即可求解； 能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案：； （2）由题意得 ， 故答案：； （3）解：原式 ． 45．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数∶，，，称为数列，，，计算，，，将这三个数的最小值称为数列，，的最佳值．例如对于数列2，，3，因为，，，所以数列2，，3的最佳值为．东东进一步发现∶当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值，如数列，2，3的最佳值为；数列3，，2的最佳值为1；…经过研究，东东发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为，根据以上材料，回答下列问题： (1)数列，，3的最佳值为_________； (2)将“，，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求取得的最佳值最小值时的数列． 【答案】(1)2 (2)数列，3，或数列3，， 【分析】本题考查了新定义、求代数式的值、绝对值，理解数列的最佳值的定义是解题的关键． （1）根据数列的最佳值的定义计算即可求解； （2）将“，，3”这三个数按照不同的顺序排列，分别求出对应的最佳值，得出最佳值的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴数列，，3的最佳值为2． 故答案为：2． （2）解：由（1）得，数列，，3的最佳值为2； 同理可得， 数列，3，的最佳值为1； 数列，，3的最佳值为2； 数列，3，的最佳值为； 数列3，，的最佳值为1； 数列3，，的最佳值为； ∴将“，，3”这三个数按照不同的顺序排列，最佳值的最小值为， ∴取得的最佳值最小值时的数列为数列，3，或数列3，，． 知识点十 图形规律问题 46．（25-26七年级上·广东惠州·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 【答案】(1) (2) (3)①2500；②2400 【分析】（1）根据已知等式填写即可； （2）把已知等式发现规律即可； （3）①根据，确定； ②转化成的差，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：； （2）解：因为；；；…， 所以； （3）解：①原式； ②原式 ． 47．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 【答案】(1) (2)颗 (3)颗 【分析】本题考查了图形变化以及列代数式： （1）根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，根据发现的规律求出第 6 个图形中的五角星即可； （2）根据（1）中发现的规律即可； （3）根据发现的规律求出代入数值计算． 【详解】（1）由所给图形可知，第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗， 当时， ， 故答案为：． （2）由（1）可知，第个图形中五角星的数量是颗． （3）当时，（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗． 48．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式：_______，第个等式：______； (2)下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为，，，，．．．计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示， 对于（1），根据前三个数字变化规律可得第4个等式为，进而得出第个等式解答即可； 对于（2），先将待求式整理为再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，第个等式为 故答案为：； （2）解：由题意，得． ． 原式， ． 49．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推…… (1)第个图案有______个正方形，______个等边三角形； (2)现有2025个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查图形中的数字规律，由题中图形与数字的对应关系找准规律是解决问题的关键． （1）根据前面几个图形中正方形与三角形个数的变化规律即可得到答案； （2）由（1）中规律，可得，解出满足条件的正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形； 第2个图案有2个正方形，7个等边三角形； 第3个图案有3个正方形，10个等边三角形； 以此类推…… 第个图案有个正方形，个等边三角形； 故答案为：，； （2）解：由（1）中规律，可得， 当时，余下个等边三角形， 答：要求等边三角形剩余最少，则需要正方形个． 50．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空． （2）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得结论． （3）根据式子的特点，再利用所得规律计算． 【详解】（1）解：根据题意可知：④． （2）解：，，，， 猜想：． （3）解： ． 知识点十一 新定义问题 51．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：都能被11整除，理由如下： ∵， ∴ ； 故任意一个“皖韵数”都能被11整除． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出等量关系即可； （2）根据新定义，列式计算即可； （3）根据（1）中的结论，结合三位数的表示方法，列出代数式进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意，， ∴； （3）略 52．（25-26七年级下·浙江台州·期中）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇数式的定义即可求解； （2）根据奇数式和偶数式的定义对各代数式进行分析判断即可； （3）是奇数式，当分别取，2024，，2025时，的和为，即可得的值． 【详解】（1）解：∵是奇数式，且当时，， ∴当时，． （2）解：∵， ∴是偶数式， ∵, ∴是偶数式， ∵, ∴是奇数式， ∵， ∴是偶数式． （3）解：∵， ∴是奇数式，∴当分别取，2024，，2025时，的和为， ∴． 53．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265___________（是或不是）“极差数”； 【建模推理】 （2）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【回顾反思】 （4）为什么要用字母或含有字母的式子表示数和数量关系？请谈谈你的看法． 【答案】（1）不是； （2）； （3）解：任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除； （4）能把数量和数量关系一般而简明地表达出来，从而为描述和研究问题带来方便． 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，旨在考查学生的信息处理能力． （1）根据定义进行验证即可； （2）根据“极差数”的定义即可求出答案； （3）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（2）的结论即可求证； （4）能把数量和数量关系一般而简明地表达出来，从而为描述和研究问题带来方便． 【详解】（1）解：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是； （2）解：设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （3）略 （4）略 54．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）小华在研究代数式的值时，进行了如下计算： 当时，，是素数； 当时，，是素数； 当时，，是素数； 当时，，是素数． 小华据此得出结论：对于任意正整数，代数式的值都是素数．你认为小华的想法正确吗？为什么？ 【答案】 解：小华的想法不正确，理由如下： 当时，， ∵除了1和它本身外，还有因数41， ∴1681不是素数， ∴小华的想法不正确． 【分析】举特例说明小华的想法错误即可． 【详解】略 55．（25-26七年级上·广东佛山·期中）老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 【答案】(1)①正，负，相加；② (2)或1 (3)当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是通过已知算式归纳运算规则，并结合规则进行计算． （1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值； （2）根据※运算结果为0的条件，求解的值并计算； （3）用绝对值表示※运算的一般形式． 【详解】（1）解：①，同号得正，绝对值相加 ※，同号得正，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加 故答案为：正；负；相加 ② ； （2）解：因为， 根据题意归纳的运算法则可知，当且仅当参与运算的两个数都为0时，运算结果为0， 所以且， 解得． 当时，， 当时，， 故的值为或1； （3）解：分情况讨论： 当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 知识点十二 方案选择问题 56．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费方式比较合算．通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元． 【分析】（1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）求出两种方案所需费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为元，方案二收费方式下应支付的费用为元； （2）解：方案一收费方式比较合算，理由如下： 5小时300分钟， 当时， 方案一应支付的费用：（元）， 方案二应支付的费用：（元）， ， 方案一收费方式比较合算， 答：当一个月打电话的时间为5小时，方案一收费方式比较合算． 57．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某校组织x名学生外出研学，旅行社报价每人收费元，当研学人数超过人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交元后，每人收费元；方案二：5人免费，其余每人收费打八折，即按原价的收费． (1)当时，方案一共收费 元．方案二共收费 元；（用含有x的代数式表示） (2)当时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】(1)； (2) 方案二更省钱，理由如下： 当时， （元），（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，能根据题意分别表示出时两种方案的费用是解题的关键； （1）根据所给优惠方式，分别表示出时两种方案的费用即可； （2）结合（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 当时，方案一的费用为元， 方案二的费用为：元． 故答案为：；； （2）略 58．（25-26七年级上·广东汕尾·期中）某市自来水收费的价目表如下表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元 超出不超出的部分 5元 超出的部分 8元 注：水费按月结算 请根据如表的内容解答下列问题． (1)填空：若该户居民3月份用水，则应收水费_____元； (2)若该户居民4月份用水，则应收水费_____元； (3)若该户居民5月份用水（其中），求该户居民5月应交水费多少元（用含的代数式表示并化简） 【答案】(1)15 (2)33 (3)该户居民5月应交水费为元（） 【分析】本题考查有理数乘法的应用，有理数混合运算的应用，列代数式．理解题意，正确列出算式和列代数式是解题关键． （1）根据表格，按不超出的部分的单价求解即可； （2）根据表格，按超出不超出的部分的单价求解即可； （3）根据第三种情况，可以求得该户居民5月份应交的水费． 【详解】（1）解：由表格可得， 该户居民3月份用水，则应收水费为：元， 故答案为：15； （2）解：由题意可得， 该户居民4月份用水，则应收水费为：元， 故答案为：33； （3）解：根据题意，当时，则应收水费为：元． 故该户居民5月应交水费为元（）． 59．（25-26七年级上·陕西安康·期中）某公园出售一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票每张60元，持票者进入公园时需再购买2元/次的门票． (1)某游客一年中进入该公园共有n次，如果不购买年票，则一年的费用为_________元；如果购买年票，则一年的费用为_________元；（用含n的代数式表示） (2)假如某游客一年中进入该公园20次，则该游客选择哪种购票方式比较优惠？请通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)买年票比较优惠，理由： 当不购买年票时，所需费用为（元）； 当购买年票时，所需费用为（元）． ， ∴该游客选择购买年票比较优惠． 【分析】本题考查了列代数式及方案选择问题，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）一次性使用门票，每张10元，根据总价=单价×数量即可求出不购买年票的费用为；购买“个人年票”除了要交60元，每次进入公园还要购买2元，因此一年费用为； （2）根据（1）分别计算出一年进入公园20次，每种购买方式的费用，即可得出最有优惠的购买方式． 【详解】（1）解：∵一次性使用门票，每张10元，一年中进入该公园共有n次， ∴不购买年票，则一年的费用为元； ∵购买“个人年票”除了要交60元，每次进入公园还要购买2元，一年中进入该公园共有n次， ∴购买年票，则一年的费用为元． 故答案为：，． （2）略 60．（25-26七年级上·河南许昌·期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价为900元，电磁炉每台定价为300元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉均按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉15台，电磁炉x台（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；若该客户按方案二购买，需付款 元；（用含x的式子表示）； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买比较划算． 【答案】(1) (2) 按方案一购买比较合算 【分析】本题考查了列代数式与代数式求值，解题的关键是根据两种优惠方案的规则分别列出付款表达式，再代入数值计算比较． （1）方案一：买微波炉送电磁炉，只需付额外电磁炉的费用，列写并化简代数式；方案二：按定价付款，计算总价的得代数式； （2）将代入两个代数式，计算金额后比较． 【详解】（1）解：方案一：买15台微波炉送15台电磁炉，需付款 元； 方案二：按定价付款，需付款 元． 故答案依次为：；． （2）解：当时， 方案一付款：（元）； 方案二付款：（元）． ∵， ∴按方案一购买比较划算． 答：此时按方案一购买比较划算． 知识点十三 合并同类项 61．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 62．（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：    （2）解：                                      63．（25-26七年级上·北京海淀·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，去括号，合并同类项，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律、加法结合律进行计算即可； （2）先去括号，然后根据加法交换律、加法结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 64．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）先去括号，再合并同类项； （2）先用乘法分配律去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 65．（25-26七年级上·重庆铜梁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式合并同类项即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： 知识点十四 去括号、数与一次项相乘 66．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 67．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）化简： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 68．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 69．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项，系数相加减，字母不变样； （2）合并同类项，系数相加减，字母不变样． 【详解】（1）解： （2）解： 70．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点十五 带有字母的绝对值化简 71．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）若有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示．化简． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴知， 故； ∴ ． 72．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知：________（填“”、“”或“”）； (2)结合数轴化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据a、b在数轴上的位置可得得，，，然后根据绝对值的性质可得结论； （2）根据a、b在数轴上的位置进行绝对值的化简，然后合并． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴． （2）解：∵， ∴，正数的绝对值是它本身， ∴； ∵， ∴，负数的绝对值是它的相反数， ∴； ∵， ∴，负数的绝对值是它的相反数， ∴． 将上述结果代入原式计算： ． 73．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查的是数轴的概念，相反数的性质，利用绝对值的性质去掉绝对值符号是解题的关键． （1）利用数轴的定义和加减法法则即可判断； （2）利用数轴判断绝对值里的式子的正负性，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、B分别在原点的两侧，且点A、B到原点的距离相等， ∴a、b互为相反数， ∴， ∵，， ∴为的长，为的长， ∵， ∴； （2）由图中各点的位置可知， ． 74．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，． (1)在数轴上对应的（    ）里标出的位置； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到的大小关系，在数轴上表示即可； （2）由（1）中的大小关系得出，，，进而去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 则； （2）解：由（1）知， ，，， 则 ． 75．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：______0，______0，b______c；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)>，<，< (2) 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简、整式的加减运算，关键是根据数轴上点的位置判断数的符号与绝对值大小，再结合绝对值的性质化简． （1）根据数轴上点的位置，判断为负数，、为正数，且，进而比较大小； （2）根据（1）的结论确定绝对值内式子的符号，再去绝对值符号并化简． 【详解】（1）解：由数轴可知，，且． ∵为负，为正，且， ∴； ∵，， ∴； ∵数轴上右边的数大于左边的数， ∴； 故答案为：>，<，<； （2）解：由（1）知，，，， ∴，，，， ∴ ． 知识点十六 分类讨论问题 76．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题．例如：我们在讨论的值时，就会对a进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：________（）； (2)填空：________（）； (3)若，则的值是多少？ 【答案】(1)1或 (2)或2或0 (3)或 【分析】（1）根据化简绝对值的方法先化简绝对值，再计算除法即可得到答案； （2）讨论a、b的符号，再化简绝对值，最后根据有理数的四则运算法则求解即可； （3）讨论a、b、c的符号，再化简绝对值，最后根据有理数的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 综上所述，或， （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，或2或0， （3）解：当a、b、c都是正数时，则， 当a、b、c都是负数时，则， 当a、b、c两正一负时，不妨设a为负，则； 当a、b、c两负一正时，不妨设a为正，则， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题核心是依托绝对值的代数意义，运用分类讨论思想对含绝对值的式子进行化简． 77．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）将、的取值代入式子，结合绝对值的性质计算； （2）由得异号，分两种情况讨论计算； （3）先利用化简的表达式，再根据的符号分类讨论，比较各情况的值得最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴异号． 当，时，，， ∴． 当，时，，， ∴． 综上所述，的值为或． （3）解：由题意得，，． ∵， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴不可能全正或全负，只能为两正一负或一正两负． ①两正一负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ②一正两负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ∵， ∴的最小值为． 78．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们已经学过：，由此我们知道，，利用结论解决下面问题： (1)______，______． (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)； (2)或0 (3) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）分3种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到两正一负，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：已知是有理数，当时， ①； ②； ③异号，． 故或0； （3）解：已知是有理数，， 则两正一负， 不妨设， 则． 79．（26-27七年级上·吉林·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当时，；当时，；当时，． (1)【解决问题】分类讨论：根据有理数，的符号，求的值． (2)【类比探究】三个有理数，，满足，则________． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）分四种情况，结合绝对值的性质，即可求解； （2）分四种情况，结合绝对值的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为，或； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 80．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上所述：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或； (2)或 (3)2026 【分析】（1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）解： 三个负数或一个为负数，两个为正数； ， 为三个负数时不成立， 一个为负数，两个为正数； 一个为负数，两个为正数时负数绝对值最大， 不妨设， ， ， ∴ ． 知识点十七 程序流程图 81．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂流程图是解题关键． （1）根据示意图中的运算关系列出代数式即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：图中输出的式子为． （2）解：当输入，时， 则输出的数是 ． 82．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【分析】本题考查程序流程图（数值转换机）的理解与应用，有理数的运算，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据流程图，分别将输入值1和3按照流程计算即可； （2）将输入值按照流程图逐步计算； （2）设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断：由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为2，分类讨论并结合选项判断即可． 【详解】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 83．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个运算程序： (1)当，时，求输出结果m的值； (2)当，时，求输出结果m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含绝对值的代数式的求解，解决本题的关键是判断a与b的大小． （1）根据，，即，进行“否”的指令求解m的值即可； （2）根据，，即，进行“是”的指令求解m的值即可． 【详解】（1）解：∵，， 即， ∴； （2）解：∵，， 即， ∴． 84．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，绝对值，代数式的求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后代入即可求解； （）分当时，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由，，得， ∴ ； （2）解：当时， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ∴，符合题意； 综上可得的值为． 85．（25-26七年级上·江苏南京·期中）在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 【答案】(1)；， (2)；42或 (3) 解：设计如框图如图： 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． （1）①由图1列出关系式，将代入计算即可求出值； ②根据即可得到处的结果； （2）①将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为小于，输出即可； ②分两种情况考虑：当大于时，即可得到的值；小于时，根据开方求出负数的值； （3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，和，分别计算，则可以设计计算程序如详解所示． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴先给乘，然后再给输出结果减，即可得到， ∴应填、； 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∵， ∴继续运算， ， ∵， ∴继续运算， ∴， ∵， ∴输出，则； ②若，则，解得， 若，则，解得（正值舍去）， 即输入的值或， 故答案为：或； （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $