第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．幂函数的图象经过函数 且所过的定点，则的值等于（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（   ） A．38 B．42 C．46 D．50 6．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A．11 B．8 C．4 D．3 8．已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 10．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 11．已知，，，则，，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设函数，则______. 13．若是奇函数,则________． 14．已知函数在上的值域为，若在区间存在实数，满足，且，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集 16．（15分）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. (1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； (2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围 18．（17分）已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围 19．（17分）已知函数的定义域为，若对任意，都有，且（为常数），则称是互倒函数，为的互倒系数． (1)判断函数是否是互倒函数，并说明理由． (2)已知互倒函数的互倒系数为，求的值． (3)已知定义在上的互倒函数的互倒系数为1．对任意，，都有，当时，，在的值域为，求的最小值 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有， 解得或， 所以函数的定义域是. 2．已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则的图象经过点成立。所以“”是“的图象经过点”的充分条件； 若幂函数的图象经过点，则也可以，所以“”不是“的图象经过点”的必要条件. 综上可得：“”是“的图象经过点”的充分不必要条件. 3．幂函数的图象经过函数 且所过的定点，则的值等于（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】求出函数 且所过的定点，利用待定系数法求出幂函数的解析式，从而可得出答案. 【详解】解：设幂函数， 函数 且过定点， 代入幂函数，得，解得， 所以， 所以. 故选：B. 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】易知函数定义域是， 又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除CD， 当时，，排除B， 故选：A． 5．某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（   ） A．38 B．42 C．46 D．50 【答案】B 【分析】根据题意建立函数模型，代入数值求解即可. 【详解】设经过 t 个月后的数量为 ，每 18 个月翻一番，则 令，可得，即， 因为，所以，代入上式可得. 故选：B 6．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定函数的单调性，然后比较的大小后可得结论． 【详解】由，， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 而， 则，即. 7．已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A．11 B．8 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，结合题设推导出，再通过“1”的代换结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】函数的定义域为，， 故是上的奇函数，且， 可得， 因为函数和函数在定义域上单调递增， 所以函数单调递增，所以， 即，其中. 将代入，得， 因此： ， 当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，满足的条件， 因此的最小值为. 8．已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义求出，根据给定条件，列出不等式并分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为，由为偶函数，得恒成立， 即恒成立， 而不恒为0，则，由时，函数的图象恒在图象的上方， 得，恒成立，即， 则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 10．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于原点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】BD 【分析】化简，结合指数函数的单调性判断A；利用奇函数的定义判断B；结合对数型复合函数的单调性判断C；根据二次函数及对数函数的性质判断D. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以在上单调递增，故A不正确； 因为，且的定义域为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 由，得， 则函数的定义域为， 而函数在上单调递增，且为减函数， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，故C不正确； 由于函数的值域包含， 则的值域为，故D正确. 故选：BD 11．已知，，，则，，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，，，得，，，转化为函数与，与，与图像的交点问题；作出函数图像，结合图像可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，， ，，； 即转化为函数与，与，与图像的交点问题， 分别画出，，，，，的图像， 如图所示： 由图可知，与的图像交于，两点，与的图像交于，两点，与的图像交于，两点； 同时, 对于，，满足，故正确； 对于，的最大取值为，当时，不能取，则，此时不存在满足，故错误； 对于，，满足，故正确； 对于，，满足，故正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设函数，则______. 【答案】12 【详解】由题意，， 所以. 13．若是奇函数,则________． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到,即可求出的值,求出函数的定义域，再由奇函数的性质,求出的值,即可得到结果。 【详解】因为是奇函数, 定义域关于原点对称, 由,可得, 所以且, 所以,解得, 所以函数的定义域为, 则,即, 解得, 此时, ,符合题意; 故答案为:. 14．已知函数在上的值域为，若在区间存在实数，满足，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据条件分析出的值，画出分段函数的图象，即可得到取值范围. 【详解】当时，在内单调递减，则，且； 若在上的值域为，则在上的最值点在内， 可知的图象对称轴为， 当，即时，则在内最大值小于0，不成立； 当，即时，的最大值为，可得（负值舍去）， 令，解得或， 又， 结合的图像可知的取值范围是． 当，即时，此时在内没有最大值. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由幂函数的定义求得，再结合点求得，即可； （2）由（1）将不等式展开，结合一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． （2）由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 16．（15分）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. (1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； (2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】(1)，或； (2)，取最小值时，取最大值时. 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【详解】（1）函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. （2）由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)在上单调递减， 证明：，设， , 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减． (3) 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故. （2）略. （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 18．（17分）已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 19．（17分）已知函数的定义域为，若对任意，都有，且（为常数），则称是互倒函数，为的互倒系数． (1)判断函数是否是互倒函数，并说明理由． (2)已知互倒函数的互倒系数为，求的值． (3)已知定义在上的互倒函数的互倒系数为1．对任意，，都有，当时，，在的值域为，求的最小值． 【答案】(1)是互倒函数． 理由如下：易得的定义域为，对任意，都有， 且，所以是互倒函数． (2)或4． (3)． 【分析】（1）根据定义代入验证即可求解， （2）根据定义代入，进而结合函数的图像，即可求解， （3）将不等式分两种情况讨论，结合互倒的定义可将问题转化为在上是增函数．进而对进行讨论，进而根据二次函数以及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得的定义域为，．对任意，都有， 且，得． 由于时，， 当时，，当时，， 函数，在上的大致图象如图所示． 由图可知，函数与在上的图象有两个交点， 且，，所以或4． （3）由，得或 由互倒函数的互倒系数为1，得，即， 代入以上不等式组，得或 由，得．结合或 得在上是增函数． 当时，在上是增函数． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 根据复合函数的单调性，若要在上是增函数，则，得，所以． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 因为，所以根据复合函数的单调性知在上是增函数． 综上，． 因为在上是增函数，所以，， 所以．故的最小值为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B A B A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．12 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． （2）由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 16．（15分） 【详解】（1）函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. （2）由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 17．（15分） 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故. （2）略. （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 18．（17分） 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 19．（17分） 【详解】(1)是互倒函数． 理由如下：易得的定义域为，对任意，都有， 且，所以是互倒函数 （2）由题意得的定义域为，．对任意，都有， 且，得． 由于时，， 当时，，当时，， 函数，在上的大致图象如图所示． 由图可知，函数与在上的图象有两个交点， 且，，所以或4． （3）由，得或 由互倒函数的互倒系数为1，得，即， 代入以上不等式组，得或 由，得．结合或 得在上是增函数． 当时，在上是增函数． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 根据复合函数的单调性，若要在上是增函数，则，得，所以． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 因为，所以根据复合函数的单调性知在上是增函数． 综上，． 因为在上是增函数，所以，， 所以．故的最小值为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $