高中数学单元测试——第6章幂函数、指数函数和对数函数（适中版02）

**基本信息** 本单元卷聚焦幂函数、指数函数和对数函数，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计适配单元复习，突出数学思维与应用，如森林砍伐实际问题考查数学建模。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数定义、定义域、定点等基础|第4题比较大小，考查指数对数函数单调性| |多选题|3/18|函数奇偶性、值域等综合判断|第11题结合函数对称性与单调性，培养推理意识| |填空题|3/15|反函数、单调区间参数范围|第14题含存在性问题，提升抽象能力| |解答题|5/77|单调性证明、实际应用等|第18题以森林砍伐为情境，考查指数模型，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 8．（本题5分）定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 11．（本题6分）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的定义域上单调递减 D．若实数，满足，则 三、填空题 12．（本题5分）函数的反函数为，则___________. 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求m的值； (2)设，判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 16．（本题15分）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 17．（本题15分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，解不等式：； (2)若函数在上的最大值为，求的值； (3)当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数定义域计算求解. 【详解】因为，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）函数的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令知，由此可得定点. 【详解】当时，， 所以的图象恒过定点. .故选：D. 4．（本题5分）若，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数和对数的单调性可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，，当时，， 对于A，，而，A错误； 对于B，，而，B错误； 对于C，当时，，由，得， 函数在R上是增函数，则； 当时，由，得，则，C正确； 对于D，，而，D错误. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据不等式的性质，可得其正误；对于B，根据幂函数的单调性，可得其正误；对于CD，根据对数函数的单调性以及对数运算，可得答案. 【详解】对于A，因为，结合不等式性质可知，故A正确； 对于B，因为，且幂函数在上单调递减，故，故B错误； 对于C，由于，故，故C正确； 对于D，由于，故，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 【答案】AC 【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D. 【详解】的定义域为，，则， 所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误； ，因为,所以,， 所以,故的值域为,C正确； 设,则 , 因为，所以， 所以,即， 所以函数是增函数，故D错误， 故选:AC. 11．（本题6分）已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的定义域上单调递减 D．若实数，满足，则 【答案】AB 【分析】利用函数解析式，求解可得可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， 又因为 ，所以，故A正确； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（本题5分）函数的反函数为，则___________. 【答案】12 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， ， 故答案为：12 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，由每一段都为增函数，且断点处左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以 ，解得， 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求m的值； (2)设，判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)函数 在区间 上单调递减，证明： 由（1）知 ，则 ， 任取 ，且 ， 则 ， 因为 ，所以 ，且 ， 故 ，于是 ， 因此，，即 ， 故函数 在 上单调递减. 【分析】（1）利用幂函数的定义以及幂函数的单调性可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为 是幂函数， 所以 ，解得 ，即 . 当 时，，在 上单调递增，满足题意； 当 时，，在 上单调递减，不满足题意，舍去； 因此， . （2）略 16．（本题15分）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）对于求的解析式，我们可以通过换元法，将换为来求解.（2）对于求函数单调性，当时，先求出的表达式，再根据对数函数的性质以及复合函数单调性的判断方法（同增异减）来求解. 【详解】（1）设，则. 已知，将代入可得： 所以. （2）当时，. 先求函数的定义域，令，即，解得或. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增. 当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 17．（本题15分）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，解不等式：； (2)若函数在上的最大值为，求的值； (3)当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围． 【答案】(1)； (2)不存在； (3). 【分析】（1）直接根据对数函数单调性解不等式即可，注意首先要使得对数有意义. （2）直接对比较大小分类讨论即可. （3）将原题等价转换为在上恒成立，从而列出不等式即可求解. 【详解】（1）由，得， 则，解得，即不等式的解集为. （2）由已知可得在上有意义， 所以，解得. 由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以函数在上的最大值为. 若，则或， 与矛盾，故舍去； 若，则， 由得且， 若，则，矛盾， 所以， 所以， 但此时，矛盾，故舍去. 所以：的值不存在. （3）因为， 对任意的，函数的图像总在函数图像的下方， 则在上恒成立， 即在上恒成立，， 即在上恒成立， 整理得:在上恒成立， 设 则只需要即可，可得， 又因为，所以，所以正数的范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $