第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 第三章函数概念与性质单元提升卷，覆盖函数定义、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|函数定义、单调性、奇偶性、定义域值域|单选基础辨析，多选综合应用，考察数学思维严谨性| |填空题|3/15|命题真假、函数最值、中心对称|小切口深挖掘，体现数学抽象能力| |解答题|5/77|解析式求法、奇偶性判断、单调性证明、实际运输成本、新定义“级优函数”|结合实际情境（运输成本）与新定义，考察模型应用与创新意识，注重逻辑推理表达|

第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若是定义在上的增函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 8．已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 10．（多选）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．若，则 D．的图象与直线有一个交点 11．（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C． D．的图象关于对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题“”为假命题，则的最小值为______. 13．已知函数满足，则在区间内的最小值是______． 14．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 16．（15分）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 18．（17分）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 19．（17分）已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． (1)请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； (2)已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 2．若是定义在上的增函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为是定义在上的增函数， 若，则，即充分性成立； 若，假设存在满足， 则，这与相矛盾， 所以，即必要性成立； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 4．已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数. 因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即. 由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为. 故选：B. 5．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，令，则， 故有，解得，即. 故选：A. 7．已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 【答案】D 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 8．已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，所以， 图象的开口方向向上，对称轴方程为， 当时，，即， 所以在单调递减， 的最大值为，最小值为，不合题意； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 又的最大值为，所以， 即，整理得，解得或， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 故选：BC. 10．（多选）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．若，则 D．的图象与直线有一个交点 【答案】BCD 【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误. B选项，当时，， 当时，， 所以的值域是，所以B选项正确. C选项，由B选项的分析可知，若， 则，解得，所以C选项正确. D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确. 故选：BCD 11．（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C． D．的图象关于对称 【答案】BCD 【详解】因为，， 令可得，解得或， 又当时，恒成立，所以，故A错误； 令，，则，即， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则，所以， 令，，则，所以，故C正确； 令可得， 令，可得，又， 所以，即， 所以， 所以的图象关于对称，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题“”为假命题，则的最小值为______. 【答案】1 【详解】由原命题为假命题可知原命题的否定“，”为真命题，即当时，恒成立，因为函数在上是减函数，所以，则，故的最小值为1. 故答案为：1 13．已知函数满足，则在区间内的最小值是______． 【答案】 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 14．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则在上单调递增． 函数的图象关于点中心对称，则的图象关于原点对称， 即为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减． ，则． 当时，，即，即，则； 当时，，即，即，则． 综上所述，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)(2)最小值为，最大值为 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 16．（15分）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由如下：函数的定义域关于原点对称， 且，∴函数为奇函数. (3). 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）略 （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 17．（15分）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，偶函数(2)上单调递减，在上单调递增，证明如下： 设，，且.计算： ∵，，且，所以，，，. ∴，即， ∴. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. ∵是偶函数， ∴在上单调递增． (3) 【详解】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）略 （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 18．（17分）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 19．（17分）已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． (1)请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； (2)已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 【答案】(1)函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”． (2)（ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ），或． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得 由（ⅰ）可得，， 以上两式相减可得， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则或解得； 当时，则此时无解； 综上所述，，或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C B C A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 16．（15分） 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）奇函数，理由如下：函数的定义域关于原点对称， 且，∴函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 17．（15分） 【解析】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. (2)上单调递减，在上单调递增，证明如下： 设，，且.计算： ∵，，且，所以，，，. ∴，即， ∴. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. ∵是偶函数， ∴在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 18．（17分） 【解析】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 19．（17分） 【解析】(1)函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”． (2)（ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得 由（ⅰ）可得，， 以上两式相减可得， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则或解得； 当时，则此时无解； 综上所述，，或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $