福建莆田砺志学校2026-2027学年高三上学期10月月考测试数学试卷

莆田砺志学校2026-2027学年（上）高三数学学科10月月考测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 答题时间：120分钟试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合A={x|x≥-2}，B={x∈N|x≤2}，则A∩B=() A.{x|-2≤x≤2}B.{L,2 C.{0,1,23 D.{-2,-1,0,1,2} 2.设aeR,则a>1"是1<1的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B.若角a的终边经过点Pm,3),目csa一{，则的值为) A.、1 C.-4 D.4 4 9 4.若x<0,则x+一+2() A.无最大值，有最小值8 B.无最大值，有最小值-4 C.有最大值8，有最小值-4 D.有最大值-4，无最小值 5.函数)。千的部分图率大致为（) A 6.若函数f(x)=x2-2ax+nx在定义域内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是() A.(N2,+o B.[「5，to∞ c.（5,+o) D.[V2,+∞） 7.已知奇函数f(x)的定义域为R,f(x+)+f(5-x)=0,当0≤x≤3时，f(x)=x2+a,则f(100)=() A.-3 B.3 C.-2 D.2 8.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)满足：对任意x2>x>0均有f(x)-f(x2)>x-x2成立，且f(1)=e+1 (e为自然对数的底数)，则不等式f(lnx)>nx+e的解集为() A.(0,e) B.(1,e) C.（e,to) D.(1,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 答案第1页（共3页） 9.下列命题为真命题的是() A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>0,b>0,则Vab≥2ab g“71 a+b D.若a>b>0,则1 1 10.已知sima-cosa=5”且a为锐角，则下列选项中正确的是(） 12 B.sina+cosa=5 7 A.sinacosa= c.a∈0， 4 4 D.tand=3 11.已知函数y=x+!与y=e相交于A,B两点，与y=nx相交于C,D两点，若A,B,C,D四点的横 x-1 坐标分别为x,x2,3,x4,且x<x2,x3<4,则() A.x+x2=0 B.3X4=1 C.x Inx=1 D.xe=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12已如e后-a方则m(g+a 13.已知集合A={x-3≤x≤4}，B={x2m-1<x<m+I},且B≤A,则实数m的取值范围是 14.已知函数f(x)是定义在(0，+o)的单调函数，对定义域内任意x,均有f[f(x)-lnx-x2]=2,则函数 在点(e,f(e)处切线的纵截距为_ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知侧=2-3x+a血x,若f)在x=1时取得极值， (1)求a的值： (2)求f在4上的最值(n2≈0.69）， l6.设△ABC的内角为A、B、C,且sinC=sinB+sin(A-B). (1)求A的大小： ②)若a=V7,△ABC的面积S=3)3，求△ABC的周长 17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1, 点P为棱DF的中点. (1)求证：BF∥平面APC: (2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值. 答案第2页（共3页） 18.已知函数f(x)=(t+l)lnx+x2+3t,t∈R. (1)当t=1时，求函数y=f(x)的图像在点x=1处的切线方程： @诺1=0求证：当x之1时.创2x方-子 (3)若f(x)≥4x对任意x∈[1，+o)恒成立，求t的取值范围」 19.对于函数f(x),若存在实数m,使得f(x+m)-f(m)为R上的奇函数，则称f(x)是位差值为m的“位 差奇函数”. (1)判断函数f(x)=2x+1和g(x)=2是否为位差奇函数？说明理由： (2)若fw)=sin(x+p)是位差值为”的位差奇函数，求P的值： (3)若f(y=r+bx+x对任意属于区间[-)+∞)中的m都不是位差奇函数，求实数b、C满足的条 答案第3页（共3页）莆田砺志学校2026-2027学年（上）高三数学学科10月月考测试试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知集合A={x|x≥-2}，B={x∈N|x≤2}，则A∩B=() A.{x|-2≤x≤2}B.{1,23 C.{0,1,23 D.{-2,-1,0,1,2 2.设aeR,则a>1是1<1的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若角a的终边经过点Pm-3),且cosa=-号则m的值为()。 B片 C.-4 D.4 4.若x<0,则x+2+2() A.无最大值，有最小值8 B.无最大值，有最小值-4 C.有最大值8，有最小值-4 D.有最大值4，无最小值 5.唇数()=。千的部分图象大致为（) 6.若函数f(x)=x2-2ax+山x在定义域内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是() A.（N2,+∞ B.「V5,+oo C.(N3,+∞ D.V2,+c) 7.己知奇函数f(x)的定义域为R,f(x+)+f(5-x)=0,当0≤x≤3时，f(x)=x2+a,则f(100)=() A.-3 B.3 C.-2 D.2 8.已知定义在(0，+)上的函数f(x)满足：对任意x>x>0均有f(x)f(x)>x-x成立，且f()=e+1 (e为自然对数的底数)，则不等式f(nx)>nx+e的解集为() A.(0,e B.(1,e) C.(e,+o) D.(1,+oo) 二、多选题 9.下列命题为真命题的是() A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>0,b>0,则ab2ab g0>1 a+b D.若a>b>0,则gb 1 10.已知sina-cosa=行，且a为锐角， 则下列选项中正确的是() 7 A.sinacosa= 3 B.sina+cosa= 25 5 C.ac0. D.tana= 3 试卷第1页（共2页） 1.己知函数y=+l与y=e相交于A,B两点，与y=nx相交于C,D两点，若A,B,C,D四点的横 x-1 坐标分别为x,x2,3,x4,且x<2,x3<4,则() A.x+x2=0 B.x34=1 C.x Inx=1 D.xe=1 三、填空题 13.己知集合A={-3≤x≤4，B={x2m-1<x<m+1},且BcA,则实数m的取值范围是 14.已知函数f(x)是定义在(0，+o)的单调函数，对定义域内任意x,均有f[f(x)-lhx-x2]=2,则函数 在点(e,f(e)处切线的纵截距为 四、解答题 15.已知f倒=2r-3x+a血x,若f)在x=1时取得极值 (1)求a的值： (2)求f)在4上的最值(n2≈0.69). l6.设△ABC的内角为A、B、C,且sinC=sinB+sin(A-B). (1)求A的大小： (2)若a=7,△ABC的面积SAc= 5,求ABC的周长。 17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1, 点P为棱DF的中点： (1)求证：BF∥平面APC; (2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值， 18.己知函数f(x)=(l+l)nx+x2+3t,t∈R. (1)当t=1时，求函数y=f(x)的图像在点x=1处的切线方程： ②若1=0，求证：当21时.f22x-号 (3)若f(x)≥4x对任意x∈[1，+o)恒成立，求t的取值范围. 19.对于函数f(x),若存在实数m,使得f(x+m)-f(m)为R上的奇函数，则称f(x)是位差值为m的“位 差奇函数 (1)判断函数f(x)=2x+1和g(x)=2是否为位差奇函数？说明理由； (2)若fx)=si(x+p)是位差值为产的位差奇函数，求p的值： (3)若f)=x+bhr+x对任意属于区间[-)+o)中的m都不是位差奇函数，求实数b、C满足的条件 试卷第2页（共2页） 《高中数学2026年10月13日》参考答案 动弱 问尧题断 题号 1 3 6 6 8 0 10 答案 A 0 B A 0 B AC ABD 题号 11 答案 ABD 1.C 【分析】将集合B用列举法表示出来，再求A⌒B即可. 【详解】解：因为集合A={x|x≥-2}， B={x∈N|x≤2}={0,1,2 所以A∩B={0,1,2} 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集的运算，属于基础题， 2.A 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由2<1台10<0台a1-)<0,可得a>1或a<0, a 又集合{da>}是集合{da>l或a<0}的真子集， 所以a>是上<1的充分不必要条件。 故选：A 3.C 【分析】利用余弦函数的定义列式求解即可. 【详解】因为角a的终边经过点P(m,-3), m 4 所以cosa= Vm2+95’ 所以m<0,解得m=-4, 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的基本定义，属于基础题 4.D 【详解】根据题意，由x<0,得-x>0, 则+2-【-+号]2≤22+2=6+24，即当x=时，式有录大4，无绿小 值， 故选：D 5.B 【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断， 【详解】喝改)=为丰奇丰倡面数。 其图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故选项C错误； x3 当x<0时，f)。+<0,故A,D错误， 故选：B 6.A 【分析】对函数求导，结合已知2x2-2m+1<0在(0，+o)上有解，再根据二次函数的性质列不等式求参数 范围， 【详解】由题设f'(x)=2x-2a+-= ,1_2x2-2c+1且x>0, 由函数f(x)在定义域内存在单调递减区间，则2x2-2ax+1<0在(0，+o)上有解， 答案第1页（共7页） -0 令g()=2x2-2a+1,其开口向上，对称轴为x=8且g(0)=1,则 △=4a2-8>0 所以a>V2 故选：A 7.D 【分析】利用赋值法以及奇函数的性质、函数的周期性进行求解. 【详解】因为f(x+1)+f(5-x)=0,所以f(2+1)+f(5-2)=0,即2f(3)=0, 又当0≤x≤3时，f(x)=x2+a,则f(3)=9+3a=0,所以a=-3. 所以当0≤x≤3时，f(x)=x2-3x, 因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(-x)=0 又f(x+1)+f(5-x)=0,所以f(x+1)=-f(5-x)=f(x-5), 所以f(x+5-5)=f(x+5+),即f(x)=f(x+6),即函数f(x)的周期为6， 所以f(100)=f(6×16+4)=f(4)=-f(5-3)=-f(2)=2.故A,B,C错误. 故选：D 8.B 【分析】观察题目给出的不等式，整理成两边形式统一的结构，构造新函数并判断新函数的单调性，再利 用单调性解不等式，求解过程中要注意函数的定义域。 【详解】由f(x)-f(x2)>x-x2,x2>x>0,得f(x)-x>f(x2)-x2,令g(x)=f(x)-x,则g:)>gx), 所以g(x)在(0，+o)上单调递减.因为f)=c+l,所以g(=e,因为f(nx)>lnx+e,所以f(nx)-lnx>e, 即g(lnx)>g), 因为8()在(0，+oo)上单调递减，故lnx<1,因为f(lnx)定义在(0，+oo)上，所以lnx>0, 即0<lnx<l,解得1<x<e,因此不等式解集为(L,e) 故答案为：B 9.AC 【解析】直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断A、B、C、D的结论. 【详解】解：对于A:若a>b,则a+c>b+c,故A正确； 对于B:当a>b时，ac2>bc2不一定成立，当c2=0时，ac2=bc2,故B错误； 对于C:因为a>0,b>0,所以a+b>2ad,当且仅当a=b时取等号，所以ab=2≥2ah 2ada+6,故C正 对于D:当a=1,h=时，侧-0，故D错误. 1 10 故选：AC, 10.ABD 【分析】将sina-cosa=5 平方后，解得sincos=5,联立方程组分别算出sin,cosa,从而判断 选项。 【详解】sinu-cosa=亏'两边同时平方可得sina+cosa-2 sin= 25 1 即l-2 sina cosa= 25,解得sinco=12。 25,A选项正确 49 sin a+cos a+2sin a cosa =(sina+cosa)2, 25 7 a为锐角，于是sina>0,cosu>0,则sina+cosa=5,B选项正确： 1 7 4 3 由sina-cosa=5'sina+cosa=5可得，sina 5,cosa=亏，则tana 31 ππ） 注意到ana=牛>l=tan,则a4?2, 故C错误，D正确. 3 答案第2页（共7页） 故选：ABD 11.ABD 【分析】根据©1=x-,血5-专+1 名分别代入， 上即可判断AB,根据y=+, x-’y=hxy=c*关 于直线y=x的对称，因此可知A,C对称，B,D对称，即可根据对称性判断CD 、【详解)由题意可知x是方程。二的一个根，则二x1’将八人将二二专二 1无+1，所 以-X也是方程心=+的一个根，所以-X=为，故5十5=0，故A正确， x-1 8知6及限片号文-全能号 也 X3 X 是方程ax一的一个根，所以气，放以=。故B正商 x, 设点P,)在两数y=上，则清是%=克即%%-气-1=0点化以)关于直线=的对 x-1 得66+1 称点为P(,),将P(,)代入y=+! 0-,即可%-名-1=0，因此可知P0)在 函数y=上，即y=+关于直线y=x的对称，又y=ny=心关于直线y=x的对称，因此可知 x-1 x-11 A,C对称，B,D对称， 故=y=n6和 x2=y4=Inxa =乃=e (x4=h2=e 所以e=考=」 ,xe=1,故D正确， 由于x=nx,x≠±l,故C错误， 故选：ABD x+1 y-x x g(x)=Inx fx)=e D A 3了1 2 X4 12.505 【分析】由诱导公式可得答案。 【详1号公式sm(暂+asm肾a小m（仔+a-m[臣（任©小-m&小 故答案为：】 13.[-1,+o) 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解 【详解】解：分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：2m-1<m+1, 解得：m<2, 答案第3页（共7页） B≤A,A={x|-3≤x≤4， ∴.2m-1≥-3且m+1≤4， 解得：-1≤m≤3，所以-1≤m<2, ②若B为空集，符合题意，可得：2m-1≥m+1, 解得：m≥2. 综上，实数m的取值范围是m≥-1. 故答案为：「-1，+o) 14.1-e2 【分析】由题意得f(x)-lrx-x2是定值，令f(x)-lx-x2=t,得到lnt+P+1=2,求出t的值，从而求出f(x) 的表达式，求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令x=0,计算 可得所求纵截距. 【详解】解：函数f(x)对定义域内的任意x,均有ff(x)-lx-x)=2, 则f(x)-lx-x2是定值， 不妨令f(x)-lr-x2=1, 则f)=lnt+2+1=2, 由g()=lx+x2+x在(0，+oo)递增，且g(1)=2, 可得l1+2+1=2的解为1=1， .f(x)=lr+x2+1, 则fm=1+2x, 在点(e,f(e》处切线的斜率为2e+2,切点为e2+e), 则在点(e,f(e》处切线方程为y-2+e)=(2e+-e), 可令x=0,可得y=1-e2. 故答案为：1-e2. 【点睛】本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式的求法和方程的解法，注意运用函 数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题 15.1)2:(2》景大值为4+42，最小值为-多-4h2 【分析】(1)求出函数的导函数，利用f(x)在x=1时取得极值，得f'()=0,从而求出a的值，注意检验： (2)利用导数得出函数（在4上的单调性，从而求出）在4上的最值 【详解】解：(1)")=x-3+ 由题意f'=0 得1-3+a=0得a=2, 当a=2时，经检验符合题意 (2)f)=x-3+2_x-10x-2) x f'(x)=0得x=1或x=2, (1,2) 2 (2,4) f'(x) × 0 / 0 f(x) 增 极大值 减 极小值增 ∫极大值(x)=f)= 2,&i(因=f2)=-4+2n2 r=贺42xf2) 因为f0)-f孕=6h2-4+ 32 >6ln2-4>0 f(4)=-4+41n2>f(①) 答案第4页（共7页） 以，f)在4上的最大值为f④=4+4n2,最小值为f=-24 16.(1)A=3:(2)5+W7. 【分析】(1)利用三角形内角和定理、和差公式、诱导公式求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得 角A的大小： (2)利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出. 【详解】解：(1)：A+B+C=π，∴.C=π-(A+B), .sin C=sin(A+B)=sin B+sin(A-B), .'sin A-cos B+cos A-sin B=sin B+sin A-cos B-cos Asin B,..2cos A-sin B=sin B, :0<B<元，∴simB>0,cosA=2' 1 .0<A<π，.A= 3 1 35 S。ABC=2 -bc-sin A= [bc=6 (2)依题意得： 2, a2=b2+c2-2bccos A 1b2+c2=13 (b+c)2=b+c2+2bc=25,∴.b+c=5,.a+b+c=5+V7, .△ABC的周长为5+V7. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、和差公式、诱导公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 17.(1) E D D B 连接BD交AC与点O,连接OP, ABCD为矩形，O为BD的中点， P为DF的中点，OP∥BF, BFa平面APC,OPc平面APC, ∴BFI平面APC. 242 14 【分析】(1)根据中位线的性质得到OP∥BF,然后利用线面平行的判定定理证明即可； (2)利用空间向量的方法求线面角的正弦值即可. 【详解】(1)略 (2) E B 如图，以A为原点，分别以AB,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 答案第5页（共7页） F00,.B00o,ct2o,E2o,1, D(0,2,0), D=-221,BF-(-L0),8c-020, 设平面BCF的法向量为m=(x,y,z), BF.m=-x+z=0 BC.m=2y=0 ，令x=1,则y=0,z=1,所以m=(0,1, +0- mED 2 √42 设直线ED与平面BCF所成角为O,则sinO= mED x v2i 14 2 18.(1)4x-y=0 (2)证明见解析 (3)[1,+∞) 【分析】(1)利用导数的意义求出斜率，再用点斜式求出直线方程： （2)恒成立间影，只需证明h(22x--多，构法网数8)=h()-2x++(x≥叭，求导判断 单调性，求出最小值即可证明： (3)恒成立问题，构造函数，得到p(1)≥0→1≥1，求导；再令分子等于h(x)=2x2-4x+1+1,由二次函 数的性质得到p(x)≥0，最后求出结果 【详解】①)当1=1时，f)=2x++3,了()-2+2x 所以f()=4,f'()=4. 所以函数y=f(x)的图像在点x=1处的切线方程为y-4=4(x-1),即4x-y=0 2)证明：当=0时，f()=lnx,f(x)=n(,即证n()≥2x-x-3 2 2 令g()=n()-2x+号x+3x≥0叭.则g-k-l≥0. 所以8()在+o)上单调递增，所以g(280=0,即()≥2x- 2 (3)由f(x)≥4x→(+l)1nx+x2+3t-4x20,令p(x)=(+1)lnc+x2+3t-4x 首先由0（≥0→1≥1，此时p()-2x-4r+1+1,令(）=22-4x+1+1 因为1≥1所以△=16-81(1+1)≤0，所以h(x)20恒成立，即p'(x)≥0. 所以p(x)在[l,+o)递增，故p(x)≥p(1)=41-4≥0 综上：t的取值范围[1，+o). 19,1D闭=2x+1是位差奇函数，详见解折8)-2严不是位差奇函数：2)p=k:-牙，k∈Z,3)b> c∈R, 【分析】(1)根据“位差奇函数”的定义，考查∫(x+)-f(m)=2x,和h(x)=g(x+)-g(m)= 2x+m-2m=2m（2x-1)是否为奇函数即可， (2)依题意， f+}(日)m++pm任+p是奇数，课出 (3)记h(x)=f(x+)-f()=(x+)3+b(x+m)2+c(x+)-m3-bm2-cm=x3+(3tb)x2+ (3m-2bm。),假设hc)是奇图数，则3rb=0,此时6=-3m≤，枚要使力c)不是奇函数，必 须且只需b>3 2 【详解】(1)对于f(x)=2x+1,f(x+m)-f(m)=2(x+)+1-(2+1)=2x, 答案第6页（共7页） ∴.对任意实数，f(x+m)-f(m)是奇函数， 即f(x)是位差值为任意实数的“位差奇函数”； 对于g（x)=2x,记h(x)=g(x+)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1), 由h(x)+h(-x)=2m(2x-1)+2m(2x-1)=0,当且仅当x=0等式成立， ∴.对任意实数，g(x+)-g(m)都不是奇函数，则g(x)不是“位差奇函数”； a应，+引)m++小m(任+p足有数， 4+p=kr→p=kr-不(keZ. 4 (3)记h(x)=f(x+)-f()=(x+)3+b(x+m)2+c(x+m)-3-b2-cm =x3+(3+b)x2+（32+2btc)x. 1 依题意，h(x)对任意m2+0都不是奇函数， 若G)是奇函数，则3+b=0,此时b=-3m≤号 故要使()不是奇函数，必须且只需>？，且cR 【点睛】本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题 答案第7页（共7页）莆田砺志学校2026-2027学年（上）高三数学 10月月考答题卡 班级： 姓名： 座号： 注意事项 准考证号 1.答题前填写姓名、班级、考场、座号和 准考证号。 [0] [0] [0] [0][0][0] [0] [0] 2.选择题须用2B铅笔填涂，修改请擦净。 [1] C1] [1] [1][1][1] [1] [1] 3. 非选择题须用黑色签字笔作答。 [2] [2] [2] [][2][2] [] [2] [3] [3] [3] [3][3][3] [3] 4. 请在对应题号的答题区域内作答。 [3] [4] [4] [4] [4] [4][4] [4] [4] 5. 超出答题区域书写无效，并保持答卷整洁 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7][7] [7] [7] 正确填涂■ 缺考标记口 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9][9] [9][] 一.选择题(40分) 1[A][B][c][D] 4[A][B][c][D] 7[a][B][c]] 2[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 8[A][B][c][D] 3[A][B][c][D]6[A][B][C][D] ■■■■ 二多选题(18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 11[a][B][c][D] ■■■■ 三.填空题(15分) 12 13 请勿在此区域作答 ▣ 口 ID:4218872 ▣南 四解答题(81分) 15(13分) 第1页共2页 16(15分) ■ 17(15分) B 回 ▣ ■口 ID:4218872 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 18(17分) 第2页共2页 (LI)61