31.4位似（分层作业，12大题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.4 位似 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 位似图形的识别 题型02 判断位似的方法 题型03 判断位似中心 题型04 求两个位似图形的相似比 题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型06 求位似图形的对应坐标 题型07 在坐标系中画位似图形 B组 能力进阶 题型01 求位似图形的线段长度 题型02 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型03 在坐标系中画位似中心 题型04 位似的性质 C组 思维拔高 题型 与位似有关的规律探究 位似图形的识别题型01 1．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 2．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 3．下列命题中，正确的是 A．全等的图形一定是位似图形 B．相似的图形一定是位似图形 C．位似图形一定是全等图形 D．位似图形一定是相似图形 【答案】D 【分析】利用位似图形的性质以及相似图形的性质分别分析即可得出结论． 【详解】A．全等的图形不一定是位似图形，故此选项错误； B．相似的图形不一定是位似图形，故此选项错误； C．位似图形不一定是全等图形，故此选项错误； D．位似图形一定是相似图形，正确． 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，正确把握相关定义是解题的关键． 4．关于对位似图形的4个表述中： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误； 位似图形一定有位似中心，②正确； 根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，③错误； 反例如下图,△ABC∽△A1B1C1，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两个三角形不是位似图形.    位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误． 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 5．在如图所示的网格中，的位似图形是______． 【答案】 【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段经过点，确定位似中心为点，进而求解即可． 【详解】如图，线段经过点，并且，则位似中心为点， 连接并延长到点，连接并延长到点， 连接、、， 由图可知：， ， ∴， ∴的位似图形是，位似中心为点； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键． 判断位似的方法题型02 1．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 2．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【答案】(1)不是； (2) 【分析】（1）求出两个长方形的长宽之比，即可判断． （2）利用位似图形的性质，推出两个长方形的边长之比，即可解答． 【详解】（1）解：外部大长方形的长和宽之比为， 中空的长方形铁板的长，宽， 中空的长方形长和宽之比为， ， 大、小两个长方形不是位似图形； （2）解：中空的长方形铁板的长，宽， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得， 整理可得， 所以当m和的比值是时，大、小两个长方形是位似图形． 判断位似中心题型03 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为_____．    【答案】 【分析】根据题意，位似中心在轴上，如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，    ∵，， ∴设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴位似中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查位似与一次函数的综合，掌握位似的定义，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 3．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 4．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．求正方形与正方形的位似中心的坐标． 【答案】或 【分析】连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，证明，根据相似三角形的性质求出；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 四边形为正方形，点的坐标为， 点的坐标为． ， ，， ， ，即， 解得， 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标为或. 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要分情况讨论． 求两个位似图形的相似比题型04 1．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1＝(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，根据作图的方法可知AB：A1B1=PA：PA1，PA1= PA，从而求得AB：A1B1=3：2． 【详解】解：∵PA1=PA， ∴PA：PA1=3：2， 又∵AB：A1B1=PA：PA1， ∴AB：A1B1=3：2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似变换的作图，及性质相似比相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且，则与的比值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似变换的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】四边形与四边形位似， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 3．如图，正方形中，对角线交于点O，分别延长，到点E，F，连接．若，且与的相似比为，则在图中，以点D为位似中心．和它位似的三角形的位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用正方形的性质和相似三角形的性质可得到，由题意，以点D为位似中心，与位似，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵与的相似比为， ∴ 设，则， ， ， ∵， ∴以点D为位似中心，与位似， ． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质、位似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义，得到与位似是解答的关键． 4．（2025·山西侯马·一模）如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与位似，与的面积比为， ∴与位似的位似比是， ∴． 故答案为：． 5．如图，四边形和四边形位似，相似比，四边形和四边形位似，相似比.四边形和四边形是位似图形吗？相似比是多少？ 【答案】四边形和四边形是位似图形，相似比是 【分析】根据图形位似的性质得到四边形四边形，.根据位似的传递性得到四边形四边形.再结合题意由相似图形的性质得到.最终得到答案. 【详解】∵四边形和四边形位似，相似比， ∴四边形四边形，. ∵四边形和四边形位似， 相似比， ∴四边形四边形， . ∴四边形四边形. 又∵，，，相交于点O， ∴四边形与四边形位似. ∵，， ∴. ∴四边形和四边形是位似图形，相似比是. 【点睛】本题考查位似图形的判定和性质，解题的关键是掌握位似比等于相似比. 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形题型05 1．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G 【答案】A 【分析】作射线，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可． 【详解】解：作射线， ， 射线经过点D和点G，且，， ∴点A的对应点为点D或点G， 故选：A． 【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键． 2．把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为______． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得______； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 【答案】 1:2 【解析】略 3．在如下图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上．请以点A为位似中心，仅用无刻度的直尺画出四边形，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】 如图，四边形即为所求． 【分析】本题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键． 延长到，使，得到的对应点，同样得到、的对应点，，再顺次连接即可. 【详解】略 4．（25-26九年级上·江西九江·月考）下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分． (2)如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求； (2) 如图所示，即为所求； 【分析】本题考查了三角形中线的性质，画位似图形． （1）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解； （2）根据题意找到上的靠近点的三等分点，连接即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取格点，连接交于点，根据网格作 ∵ ∴ ∴ ∴， 同理可得，则 ∴ 又∵， ∴． ∴与位似，且相似比为． 求位似图形的对应坐标题型06 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的性质，即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小， ∴点的对应点的坐标是， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A（2，3）．若以原点 O 为位似中心，画三角形 ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则 A′的坐标为（    ） A．(3,  ) B．( ,6) C．(3,  )或(-3,-  ) D．( ,6)或(- ,-6) 【答案】C 【分析】由于△ABC与△A′B′C′的相似比为，则是把△ABC放大倍，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，于是把A（2，3）都乘以或-即可得到A′的坐标． 【详解】∵△ABC与△A′B′C′的相似比为， ∴△A′B′C′与△ABC的相似比为， ∵位似中心为原点0， ∴A′（2×，3×）或A′（-，-）， 即A′（3，）或A′（-3，-）． 故选C． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于原点位似，且的面积是面积的， 与的相似比为， ∵的对应点为，的对应点为，则 ∴点的对应点为C， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故选：D 4．在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为_________． 【答案】(2，3)或(0，-1) 【分析】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，得知C点在新的直角坐标系中的坐标，再根据相似比，可求出C1在新的直角坐标系中的坐标，最后即可知道点C1在原坐标系中的坐标． 【详解】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，则在新的直角坐标系中，C点的坐标为(3-1，5-1)，即C(2，4)． 根据题意可知在新的直角坐标系中是以点A为位似中心，相似比为1：2，把缩小后得到的三角形． ∵点C在新的直角坐标系中的坐标为(2，4)， ∴点C的对应点C1在新的直角坐标系中的坐标为或，即(1，2)或(-1，-2)． ∴点C1在原坐标系中的坐标为(1+1，2+1)或(-1+1，-2+1)，即(2，3)或(0，-1)． 故答案为(2，3)或(0，-1)． 【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； (2)若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______． 【答案】(1) 如图，即为所求； ； (2)或 【分析】本题考查了作图—旋转变换和位似变换． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点，即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标，再根据位似的性质写出的坐标即可； 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点的坐标为， ∴或． 故答案为：或． 在坐标系中画位似图形题型07 1．（25-26九年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点为位似中心，画出的位似图形，使得点的对应点的坐标为（点的对应点分别为点）． 【答案】见解析 【分析】本题考查位似作图，掌握好位似的性质是关键．根据、得出位似比，根据位似比得出、，顺次连接即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即位似比为， ∵，， ∴、， ∴如图，即为所作． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1) 解：连接、、相交于点，作图如下 (2) 解：取、、的中点、、，顺次连接各点，作图如下 【分析】（1）连接、、相交于点即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26九年级上·陕西·月考）如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为3，位似图形对应点的坐标比等于：，本题在第一象限所以只取位似图形对应点的坐标比等于3，求出坐标即可画出图形． 【详解】（1）略 （2）略 求位似图形的线段长度题型01 1．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图所示，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是，，，则和的长分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据矩形的性质得到，根据位似变换的性质得到，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．熟练掌握位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关键．也考查了平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵矩形的周长是24， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，， 则， 故选：B． 3．如图，四边形与四边形位似，位似中心为点，，则_______． 【答案】 【分析】根据位似的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的概念及性质是解题的关键． 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比题型02 1．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， ∵的周长为5， 的周长， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与的面积的比为， ∴． 故答案为：． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点A以点为位似中心得到的． (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的位似比为__________； (3)的周长为__________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) (3) 【分析】（1）根据位似图形的性质求解即可； （2）根据（1）画出的位似图形，即可求得与的位似比； （3）根据勾股定理求出和的长度，即可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴与的位似比为， 故答案为：． （3）解：根据勾股定理得，， ， ∴的周长＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了位似图形的性质和作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质和勾股定理． 在坐标系中画位似中心题型03 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在单位长度为1个单位的8×11网格图中，与，是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为， (1)将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出； (2)作出与的位似中心P，写出P的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求，由图可知：； 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移作图，位似图形： （1）根据平移规则，画图即可； （2）根据点的坐标确定坐标系，根据位似图形的性质，确定点的位置，进而得到点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、是的边上一点． (1)画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求； 由图和题意，可知：； (2) 如图，即为所求； ∵与的相似比为， ∴ (3) 和关于某点为位似中心的位似图形，如图，位似中心即为所求； 由图可知：． 【分析】本题考查坐标与图形变换---平移和位似，熟练掌握平移规则，位似的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则画出，进而写出对应点的坐标即可； （2）根据位似的性质，画出，进而写出对应点的坐标即可； （3）连接，并延长，交点即为点，进而写出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3） 略 3．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1) 即为所求； ，，； (2) 即为所求； (3) 点即为所求． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， （2）如图，延长，，然后连接， （3）如图，连接，相交于点， 4．如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)，， (2)如图所示： (3) 【分析】（1）利用点和的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标，连接，，其交点即为位似中心，由计算位似比； （2）分别取中点为，中点为，连接即可； （3）求出直线，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为， ，交于原点，则与的位似中心的坐标为， 已知，， 故与的位似比为． （2）略 （3）解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为． 位似的性质题型04 1．（25-26九年级上·上海·月考）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 【答案】B 【分析】放大镜观察三角形时，相当于进行相似变换，相似变换中三角形的内角大小保持不变，而周长、面积和各边长度都会按比例变化．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】放大镜观察相当于相似变换， 三角形的形状不变，内角大小不变， 但各边长度、周长和面积都会按比例放大或缩小，故选项错误； 一定不发生变化的是三角形的内角大小，故选项B正确； 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 3．位似图形的性质 （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于______． （2）位似图形______相似图形，但相似图形______位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质． （3）位似图形的对应边互相平行或______． （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于______． 【答案】 一点 是 不一定是 共线 相似比 【分析】根据位似图形的性质直接作答即可． 【详解】解：根据位似图形的性质： （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点． （2）位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质． （3）位似图形的对应边互相平行或共线． （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 故答案为：一点，是，不一定是，共线，相似比． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 4．请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 【答案】如图所示， 两个三角形关于点P成中心对称 【分析】本题主要考查了画位似图形，中心对称图形的识别，如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求；再根据位似图形的性质和中心对称图形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 由位似图形的性质可得，且点P是的交点， ∴与关于点P成中心对称． 5．如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 【答案】(1) 如图1，即为所求；    (2) 如图1，即为所求； (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称； （2）根据位似进行作图即可； （3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由中心对称、位似的性质可知，，． 【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键． 与位似有关的规律探究题型 1．（2026·江西宜春·模拟）如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 2．如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，其中第一个的边长为1，点O是中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点都在边上． (1)试写出和的相似比和位似中心； (2)求出第n个三角形的周长． 【答案】(1)相似比为，它们的位似中心为点O (2) 【分析】（1）观察图形，找出变化规律即可进行解答； （2）观察图形，总结出一般规律，用含n的式子表示即可． 【详解】（1）解：∵的边长为1，点O是中点，是的中点， ∴正的边长为 ， 正的边长为 正和的边长为，正的边长为， ∴正和正的相似比= ；它们的位似中心为点O； （2）∵第n个三角形的边长为， ∴第n个三角形的周长为． 【点睛】本题主要考查了图形的位似，以及图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握位似的定义，仔细观察图形总结出图像变化的一般规律． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.4 位似 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 位似图形的识别 题型02 判断位似的方法 题型03 判断位似中心 题型04 求两个位似图形的相似比 题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型06 求位似图形的对应坐标 题型07 在坐标系中画位似图形 B组 能力进阶 题型01 求位似图形的线段长度 题型02 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型03 在坐标系中画位似中心 题型04 位似的性质 C组 思维拔高 题型 与位似有关的规律探究 位似图形的识别题型01 1．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 2．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 3．下列命题中，正确的是 A．全等的图形一定是位似图形 B．相似的图形一定是位似图形 C．位似图形一定是全等图形 D．位似图形一定是相似图形 4．关于对位似图形的4个表述中： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在如图所示的网格中，的位似图形是______． 判断位似的方法题型02 1．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 判断位似中心题型03 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为_____．    3．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 4．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．求正方形与正方形的位似中心的坐标． 求两个位似图形的相似比题型04 1．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1＝(　　) A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且，则与的比值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，正方形中，对角线交于点O，分别延长，到点E，F，连接．若，且与的相似比为，则在图中，以点D为位似中心．和它位似的三角形的位似比为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西侯马·一模）如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________． 5．如图，四边形和四边形位似，相似比，四边形和四边形位似，相似比.四边形和四边形是位似图形吗？相似比是多少？ 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形题型05 1．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G 2．把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为______． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得______； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 3．在如下图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上．请以点A为位似中心，仅用无刻度的直尺画出四边形，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2（不写画法，保留画图痕迹）． 4．（25-26九年级上·江西九江·月考）下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分． (2)如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为． 求位似图形的对应坐标题型06 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A（2，3）．若以原点 O 为位似中心，画三角形 ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则 A′的坐标为（    ） A．(3,  ) B．( ,6) C．(3,  )或(-3,-  ) D．( ,6)或(- ,-6) 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为_________． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； (2)若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______． 在坐标系中画位似图形题型07 1．（25-26九年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点为位似中心，画出的位似图形，使得点的对应点的坐标为（点的对应点分别为点）． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 3．（25-26九年级上·陕西·月考）如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 求位似图形的线段长度题型01 1．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是，，，则和的长分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，四边形与四边形位似，位似中心为点，，则_______． 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比题型02 1．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（   ） A．2 B．5 C．10 D．20 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则_____． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点A以点为位似中心得到的． (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的位似比为__________； (3)的周长为__________． 在坐标系中画位似中心题型03 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在单位长度为1个单位的8×11网格图中，与，是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为， (1)将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出； (2)作出与的位似中心P，写出P的坐标． 2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、是的边上一点． (1)画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 3．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 4．如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 位似的性质题型04 1．（25-26九年级上·上海·月考）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 2．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．位似图形的性质 （1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于______． （2）位似图形______相似图形，但相似图形______位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质． （3）位似图形的对应边互相平行或______． （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于______． 4．请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 5．如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 与位似有关的规律探究题型 1．（2026·江西宜春·模拟）如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，其中第一个的边长为1，点O是中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点都在边上． (1)试写出和的相似比和位似中心； (2)求出第n个三角形的周长． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $