31.3相似三角形的应用（分层作业，14大题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.3 相似三角形的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 相似三角形实际应用 题型02 影长问题 题型03 河宽问题 题型04 标杆测量问题 题型05 利用镜子进行测量 B组 能力进阶 题型01 杠杆问题 题型02 实验问题 题型03 九章算术 题型04 灯光下的测量问题 题型05 利用视线进行测量 题型06 光学成像中的测量问题 题型07 裁剪问题 题型08 三角形内接矩形问题 题型09 实物抽象出相似问题 相似三角形实际应用题型01 1．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为_____． 【答案】1：16 【分析】根据相似三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答即可． 【详解】∵原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形， ∴放大前后的两个三角形的面积比为（5:20）2=1：16， 故答案为1：16． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 2．（2026·江苏无锡·模拟）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 3．如图，点分别在上，如果测得，，，，， （1）与相似吗？为什么？ （2）求两地间的距离． 【答案】（1）相似， 理由如下： ∵，，，，， ，， ， ， ， ， ； （2）． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定定理及性质是解答此题的关键． （1）根据，，，，可求出及的长，再根据相似三角形的判定定理进行判断即可； （2）由（1）中得出，再由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：（1）略 （2）， ， 即， 解得． 影长问题题型02 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得3米高的标杆在地面上的影子长为4米，则教学楼的高度是（   ） A．16米 B．18米 C．28米 D．36米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据相似三角形的性质，同一时刻物体的高度与影长成正比． 【详解】解：∵标杆高3米，影长4米；教学楼影长24米，设教学楼高为米， ∴， ∴（米）， ∴教学楼高18米． 故选：B． 2．如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下宽的亮区．已知亮区一边到窗下的墙角的距离，窗口高，那么窗口底边离地面的高等于________． 【答案】 【分析】由太阳光线平行得到，则可判断，根据相似三角形的性质得，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 即窗口底边离地面的高等于． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用太阳光线平行证明三角形相似，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 3．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 【答案】7 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 4．（25-26九年级上·山西运城·月考）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米； （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米． 5．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）． 已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）． 【答案】楼高约为20.0m 【详解】解：过点作，分别交于点，则 m， m． ， ∴△BGD∽△FHD， ． 由题意，知． ， 解之，得BG=18.75m． m． 楼高约为20.0 m． 河宽问题题型03 1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（  ） A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】∵M、N分别是AC，BC的中点， ∴MN∥AB，MN=AB， ∴AB=2MN=2×12=24m △CMN∽△CAB ∵M是AC的中点 ∴CM=MA ∴CM：MA=1：1 故描述错误的是D选项． 故选D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 【答案】40 【分析】本题主要考查相似三角形的应用：证明，得到即可求解． 【详解】解：∵在点正南方，在点正东方， ， ， ， ， ， ，即，解得， 故答案为：40． 3．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 【答案】河的宽度大致为96.7米 【分析】观察图中的对顶角相等和一组直角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，然后根据“相似三角形对应边成比例”，求解未知边长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度． 【答案】小河的宽度为10 m． 【分析】由BC⊥AD，ED⊥AD，可得∴△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】设小河的宽度AB＝xm，根据题意得：BC⊥AD，ED⊥AD，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：ED，∴x：（x+5）＝1：1.5，解得：x＝10，∴AB＝10． 答：小河的宽度为10 m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽． 【答案】37.5m. 【分析】画出图形，找出题中的相似三角形，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】如图所示：AF=25m，BC=5×4=20m，DE=50m. ∵BC∥DE， ∴ ， 即 ， 解得：FG=37.5m. ∴河宽37.5m. 故答案为37.5m. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质. 标杆测量问题题型04 1．如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 【答案】9 【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意得，CDAB， ∴△OCD∽△OAB， ∴， 即， 解得AB=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键． 2．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长___________米． 【答案】24 【分析】如图，延长交的延长线于，设米，米．利用相似三角形是性质分别求出，即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，设米，米． 由题意，米，米，米． ， ， ， ， 解得， 经检验是分式方程的解， ， ， ， ， ， 经检验是分式方程的解， （米， 故答案为：24． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 3．为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度． 【答案】1.3米 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 延长交于Q，则，，证明和，可得和的值，最后由线段的和差可得结论． 【详解】解：如图，延长交于Q，则，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 同理得：， ∴，即， 解得， ∴ (米)． 答：旗帜的宽度是1.3米． 4．（2026·河南驻马店·模拟）周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． (1)过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)帮该小组求出崇法寺塔的高度； (3)写出一条你在活动中的收获或反思． 【答案】(1)② (2)米 (3)测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一) 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形判断即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （3）言之有理即可． 【详解】（1）解：由题意，， ， ， 四边形是矩形． 得出四边形是矩形的直接依据是有三个角是直角的四边形是矩形． （2）解：如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 米， 米． 崇法寺塔的高度为米． （3）解：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一)． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 【答案】山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据垂直的定义得到，利用相似三角形的判定得到和，根据相似三角形的性质分别得到，，再联立解方程即可得到结论． 【详解】解：由题意得：，，， ， 又，， ，， ，， ，， 解得：米，米， 答：山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米． 利用镜子进行测量题型05 1．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点作， 由图可知，， ， ∵根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ， ， ， 故选：A． 2．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝2m，问这栋楼有多高？ 【答案】10m 【分析】根据镜面反射的性质，△KLM∽△TSM，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意得，∠LMK＝∠SMT， ∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS， ∴△KLM∽△TSM， ∴， ∴ ∴TS＝10（m） 所以这栋楼高为10m． 3．（2025·陕西西安·三模）小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 【答案】12.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，连接并延长交于点H，易得四边形为矩形，四边形与四边形都为矩形，设，，证明，得到，证明，得到，解方程组求出的值，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：连接并延长交于点H ∵、、且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形与四边形都为矩形， ∴，， 设，，则，， ∵在与中， ， ∴ ∴，即，整理得：， ∵根据平面镜反射原理可推得， ∵在与中， ， ∴， ∴，即，整理得：， 联立得：，解之得： ∴米； 答：旗杆的高为12.6米． 杠杆问题题型01 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 2．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 3．（2025·贵州遵义·模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 实验问题题型02 1．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面的同一直线上，则灯泡的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，． ． ， ． ． ，解得． ． 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ． ， ． ． ，解得． 故选：A． 2．（25-26九年级上·质检）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先得出相似三角形，再列出比例求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∴， ∴， 解得：（）， ∴的长为． 3．（25-26九年级上·山东聊城·月考）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，代入数据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴，即， ∴． 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，即， ∴． 答：的长为． 九章算术题型03 1．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． 2．（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为______步． 【答案】 【分析】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【详解】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 灯光下的测量问题题型04 1．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交轴于，作轴于，交于，由题意知，，，证明，则，即，可求，进而可求点B的坐标． 【详解】解：如图，延长交轴于，作轴于，交于， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：B． 2．如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是_______米． 【答案】5.6 【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由图知，DE=2米，CD=1.6米，AD=5米， ∴AE=AD+DE=5+2=7米 ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EBA， ，即 解得AB=5.6（米）． 故答案为5.6 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键． 3．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度是9米 【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值． 【详解】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′， ∴SO∥AB， ∴△ABC∽△SOC， ∴＝，即， 解得OB＝h﹣1①， 同理，∵A′B′⊥OC′， ∴△A′B′C′∽△SOC′， ∴，②， 把①代入②得， ， 解得：h＝9（米）． 答：路灯离地面的高度是9米． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 4．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 5．项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判定和，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． （2）判定，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． 本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质解方程是解题关键． 【详解】（1）解：由题可知，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 联立两式可知，， 故路灯的高度为． （2）解： 由题可得图，由题可知，，，， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 故的长为． 利用视线进行测量题型05 1．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则关于的函数解析式为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 【答案】 【分析】由可得即，易得；同理依次求出、、、． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：． 4．某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合与实践活动． 活动主题 测量校园树木的高度 实物与测量示意图    实践操作 （1）图1为小组成员制作的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中为了便于校正竖直位置，在点B，处各悬挂一个相同的铅锤． （2）图2为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C端朝上，D端朝下，调整他到树的距离，使得A，C和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E． （3）小组成员乙将另一个测高仪端朝下，D1端朝上，调整他到树的距离，使得和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F 测量数据 ，，（接头处及木条宽度忽略不计）．， 备注 图中所有点在同一平面内 解决问题 求树木的高 【答案】树木的高为 【分析】延长交MN于点H，则，设，则，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，然后结合图形求解即可． 【详解】解：如解图，延长交MN于点H，则． 设，则． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴， 解得． ∴． ∴． 根据题意得：． ∴． 答：树木的高为． 5．（2025·陕西·模拟）位于曲江万象城的西安新地标“生命之树”（图1），由60片巨型叶片构成，是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，在向下探寻古都文化根基的同时，用建筑和自然结合的方式，打造的城市生态和谐共生的绿色建筑．小强所在数学兴趣小组的同学们开展了测量该“生命之树”高度的实践活动． 课题 测量“生命之树”的高度 工具 皮尺、自制的菱形测角仪等 示意图 说明 如图2，数学兴趣小组用自制的菱形测角仪测量“生命之树”的高，其边长为（即），较短的对角线的长为，为对角线的交点，当测角仪的顶点、顶点与“生命之树”顶端在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直． 测量数据 ， 请你帮助该小组求出“生命之树”的高． 【答案】57 【分析】本题考查菱形的性质、相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质测高是解答的关键．延长交于点H，先利用菱形的性质和勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由题意得：，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 答：“生命之树”的高为． 光学成像中的测量问题题型06 1．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 2．（2025·山西忻州·二模）小文在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（   ）（小孔大小和厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   ， ，， ， ， ， ，解得， 故选：C． 4．（2026·河南周口·二模）投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 【答案】B 【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项． 【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，， 故C正确，不符合题意； ， ， ，故D正确，不符合题意；   ，， ， 由图可知，当时，， ， 解得， 故B错误，符合题意． 5．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm． 【答案】18 【分析】根据题意可画出图形，根据相似三角形的性质对应边成比例解答． 【详解】解：如图， ∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC． ∴． 设屏幕上的小树高是x，则． 解得x=18cm． 故答案为：18． 裁剪问题题型07 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为， 则， 解得， 所以另一段长为， 因为，所以是第5张． 故选：A． 2．三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积__________分米． 【答案】8 【分析】设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴正方体礼品盒的棱长为2， ∴体积为立方分米， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 三角形内接矩形问题题型08 1．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为(     ) A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2 【答案】B 【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】如图所示： 设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x， ∵矩形的对边DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴， 即， 解得DG=（8-x）， 四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20， 所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2． 故选B． 【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键． 2．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可． 【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， ∵△ABC的面积是6， ∴BC•AH=6， ∴AH==3， 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴，即，解得x=， 即正方形DEFG的边长为， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键. 实物抽象出相似问题题型09 1．如图，某同学在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为(        ) A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 【答案】A 【分析】如图，根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=2.7（m）． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为，，则容器的内径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意，证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江温州·月考）如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．由得，再根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得． 故答案为：． 4．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m． 【答案】1.8 【分析】根据题意易知△ABC∽△GFA，即＝，代入即可求解． 【详解】根据题意有AF∥BC， ∴∠ACB=∠GAF， 又∠ABC=∠AFG=90°， ∴△ABC∽△GFA． ∴=， 又AB=2.8， AF=2， FG=1.75 ∴BC＝3.2， ∴CD＝(2＋3)－3.2＝1.8． 故答案为∶ 1.8． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到相似三角形． 5．（25-26九年级上·甘肃·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 【答案】①证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②； （2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质； （1）①由矩形得到，，根据，得到，则，即可证明； ②由中点得到，根据，得到，则，据此解方程即可； （2）延长交于，先证明，得到，设，则，再证明得到，代入即可得到，，则，最后求小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 【详解】解：（1）①略 ②∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （2）延长交于，如图， ∵矩形，， ∴，，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.3 相似三角形的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 相似三角形实际应用 题型02 影长问题 题型03 河宽问题 题型04 标杆测量问题 题型05 利用镜子进行测量 B组 能力进阶 题型01 杠杆问题 题型02 实验问题 题型03 九章算术 题型04 灯光下的测量问题 题型05 利用视线进行测量 题型06 光学成像中的测量问题 题型07 裁剪问题 题型08 三角形内接矩形问题 题型09 实物抽象出相似问题 相似三角形实际应用题型01 1．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为_____． 2．（2026·江苏无锡·模拟）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 3．如图，点分别在上，如果测得，，，，， （1）与相似吗？为什么？ （2）求两地间的距离． 影长问题题型02 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得3米高的标杆在地面上的影子长为4米，则教学楼的高度是（   ） A．16米 B．18米 C．28米 D．36米 2．如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下宽的亮区．已知亮区一边到窗下的墙角的距离，窗口高，那么窗口底边离地面的高等于________． 3．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 4．（25-26九年级上·山西运城·月考）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 5．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）． 已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）． 河宽问题题型03 1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（  ） A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 3．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 4．如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度． 5．一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽． 标杆测量问题题型04 1．如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 2．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长___________米． 3．为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度． 4．（2026·河南驻马店·模拟）周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． (1)过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)帮该小组求出崇法寺塔的高度； (3)写出一条你在活动中的收获或反思． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 利用镜子进行测量题型05 1．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 2．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝2m，问这栋楼有多高？ 3．（2025·陕西西安·三模）小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 杠杆问题题型01 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 2．（2025·江西宜春·三模）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州遵义·模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为___________． 实验问题题型02 1．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面的同一直线上，则灯泡的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·质检）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 3．（25-26九年级上·山东聊城·月考）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． (1)求点B到木板的距离的长． (2)求点E到地面的高度． 九章算术题型03 1．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 2．（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为______步． 灯光下的测量问题题型04 1．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是_______米． 3．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度． 4．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 5．项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 利用视线进行测量题型05 1．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则关于的函数解析式为（     ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 3．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 4．某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合与实践活动． 活动主题 测量校园树木的高度 实物与测量示意图    实践操作 （1）图1为小组成员制作的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中为了便于校正竖直位置，在点B，处各悬挂一个相同的铅锤． （2）图2为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C端朝上，D端朝下，调整他到树的距离，使得A，C和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E． （3）小组成员乙将另一个测高仪端朝下，D1端朝上，调整他到树的距离，使得和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F 测量数据 ，，（接头处及木条宽度忽略不计）．， 备注 图中所有点在同一平面内 解决问题 求树木的高 5．（2025·陕西·模拟）位于曲江万象城的西安新地标“生命之树”（图1），由60片巨型叶片构成，是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，在向下探寻古都文化根基的同时，用建筑和自然结合的方式，打造的城市生态和谐共生的绿色建筑．小强所在数学兴趣小组的同学们开展了测量该“生命之树”高度的实践活动． 课题 测量“生命之树”的高度 工具 皮尺、自制的菱形测角仪等 示意图 说明 如图2，数学兴趣小组用自制的菱形测角仪测量“生命之树”的高，其边长为（即），较短的对角线的长为，为对角线的交点，当测角仪的顶点、顶点与“生命之树”顶端在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直． 测量数据 ， 请你帮助该小组求出“生命之树”的高． 光学成像中的测量问题题型06 1．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B．6 C． D．8 2．（2025·山西忻州·二模）小文在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（   ）（小孔大小和厚度忽略不计） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（   ）    A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·二模）投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 5．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm． 裁剪问题题型07 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（   ） A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 2．三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积__________分米． 三角形内接矩形问题题型08 1．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为(     ) A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2 2．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 实物抽象出相似问题题型09 1．如图，某同学在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为(        ) A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 2．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为，，则容器的内径的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·月考）如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为______． 4．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m． 5．（25-26九年级上·甘肃·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $