6.7用相似三角形解决问题（题型专练）数学苏科版九年级下册

6.7 用相似三角形解决问题 题型一 影长问题与标杆测量问题 1．（2024·姑苏区·开学）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 2．（2024·亭湖区·校级模拟）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8m，AB＝1.6m．若“矩”的边EF＝a＝30cm，边AF＝b＝60cm，则树高CD为（　　） A．4m B．5.3m C．5.6m D．16m 3．（2025·启东市·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为　　． 4．（2025·泰兴市·校级三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为　　步． 5．（2025·泰州·期中）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是　　m． 6．（2025·连云港·一模）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是　　． 7．（2025·苏州·期末）校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，连接DE，使得DE∥BC．经测量，BC＝8米，DE＝14米，且点E到河岸BC的距离为7.5米．过点A作AF⊥BC于点F（AF即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 8．（2024·浦口区·校级月考）某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度． 题型二 镜子问题 1．（2024·崇川区·校级月考）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 2．（2024·锡山区·校级期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 3．（2025·栖霞区·月考）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度AB． 题型三 路灯问题 1．（2025·镇江·一模）如图，路灯AB、树CD的底端与小明的站位点E在同一条直线上，灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点E重合，小明的影长EH为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 题型四 影子上墙问题 1．（2025·姑苏区·期末）如图，在阳光下，旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在建筑物墙面上的影长CD为4m．同一时刻，测得直立于地面长1m的木杆影长为0.8m，则旗杆AB的高度为　　m． 题型五 光学成像问题 1．（2025·沭阳县·校级模拟）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板在刻度尺70cm处，光屏在刻度尺80cm处，量得像高3cm，则蜡烛的长为（　　） A．5cm B．6cm C．4cm D．4.5cm 2．（2024·鼓楼区·校级模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 3．（2023·常州·期末）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　） A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm 题型六 其他问题 1．（2025·天宁区·校级模拟）如图，衣夹简化的示意图中夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝15mm，CM＝DN＝20mm，MN＝8mm．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A．mm B．16mm C．14mm D．mm 2．（2025·江阴市·二模）如图，已知零件的外径为10cm，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝4cm，则零件的厚度m等于　　cm． 3．（2024·玄武区·期末）如图，古城墙进出口的道闸杆AB水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离OA＝1.2m，与另一端点B之间的距离OB＝18m．道闸杆AB绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点A′时，测得点A′到AB的距离为0.8m，此时，点B′到AB的距离是多少？ 题型一 标杆测量问题——探究综合题 1．（2025·梁溪区·校级月考）风力发电是我国电力资源的重要组成部分．嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算．如图（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段OA，OB，OC表示三片风叶，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，某时刻OA，OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE＝36m，EF＝20m．同一时刻测得高4m的标杆MN影长为3m． （1）直接写出∠ABO的度数及OD的长； （2）求风叶转动时点B到地面DF的最小距离． 2．（2025·工业园区·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的20m的地面垂直放置一根标杆EF，然后沿水平直线AE后退2m至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度CD＝1m，标杆EF＝2m，求雕塑顶部距离地面的高度AB． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高MN＝1.7m，此时相机镜头距离地面的高度GH＝1m．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高MP＝1.6m，求此时相机镜头距离地面的高度GQ（精确到0.1m）． 3．（2025·无锡·中考）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． 题型二 光学成像中的测量问题——探究综合题 1．（2025·无锡·校级月考）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上． （1）如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6cm． （i）填空：的值为　　； （ii）求此时虚像CD的高度； （2）如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且时，求此时物距OB的长． 2．（2025·工业园区·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中AB为井口直径，AB＝80cm，CD为水面直径，且AB∥CD．A′B′为AB经水面所成的虚像（A′B′与AB关于CD对称），点P为观测点，PA′，PB′分别与CD相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在AB上自由移动时，MN的长度是否会发生改变？如果不变，求出MN的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方1m处（即图④中的PQ＝1m）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径C′D′＝5.6cm，井口的倒影直径M′N′＝3.3cm．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 题型三 汽车盲区问题 1．（2025·无锡·月考）请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2s的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22m，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32m，小汽车车尾盲区为正后方长为5m的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持　　m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 题型一 相似形综合题 1．（2025·南通·中考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G． （1）求证：AG＝2GC； （2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I． ①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离； ②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值． 2．（2025·连云港·校级三模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC，AB，AC上，联结PD，DE，PE． （1）如图1，P是BC中点，PD∥AC，PE∥AB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形； （2）如图2，当AB＝AC，BP＝2PC，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE．求的值； （3）如图3，如果∠A＝∠DPE＝90°，BP＝2，PC＝3，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB不平行，求AB的长． 3．（2024·东海县·一模）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则　　； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.7 用相似三角形解决问题 题型一 影长问题与标杆测量问题 1．（2024·姑苏区·开学）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 【详解】解：如图，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m， ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16，解得：CD＝4m． 故选：B． 2．（2024·亭湖区·校级模拟）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8m，AB＝1.6m．若“矩”的边EF＝a＝30cm，边AF＝b＝60cm，则树高CD为（　　） A．4m B．5.3m C．5.6m D．16m 【详解】解：由题意可知：EF∥CH， ∴△AFE∽△AHC， ∴， ∴， ∴CH＝400cm＝4m， ∴CD＝CH+DH＝4+1.6＝5.6（m）． 故选：C． 3．（2025·启东市·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为　　． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺， ∴，解得：x＝45（尺）， 45尺＝四丈五尺． 故答案为：四丈五尺． 4．（2025·泰兴市·校级三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为　　步． 【详解】解：如图， 设该城堡的边长为x步，则BE＝BCx步， 由题意可得：DE＝100步，AC＝225步， ∵BE∥AC， ∴∠DBE＝∠BAC， ∵∠DEB＝∠BCA＝90°， ∴△DBE∽△BAC， ∴DE：BC＝BE：AC， ∴100：xx：225， ∴x＝300（舍去负值）， 答：该城堡的边长为300步． 故答案为：300． 5．（2025·泰州·期中）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是　　m． 【详解】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M， ∵BC∥EF， ∴AM⊥BC于M， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12， ∴EF6（m）， 答：电线杆的高度是6m． 故答案为：6． 6．（2025·连云港·一模）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是　　． 【详解】解：∵两根电线杆AB、CD都竖直，EF垂直于地面， ∴△ABD∽△EFD，△BCD∽△BEF， ∴，， ∴，即1，解得：EF＝3． 故答案为：3． 7．（2025·苏州·期末）校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，连接DE，使得DE∥BC．经测量，BC＝8米，DE＝14米，且点E到河岸BC的距离为7.5米．过点A作AF⊥BC于点F（AF即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【详解】解：如图，过E作EG⊥BC于G， ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴AF∥EG， ∴△ACF∽△ECG， ∴，即，解得：AF＝10， 答：河流的宽度为10米． 8．（2024·浦口区·校级月考）某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度． 【详解】解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m， ∵AB⊥BC，EF⊥BC， ∴AB∥EF， ∴△ABD∽△FED， ∴，即， 同理可证：△ABC∽△HGC， ∴，即， ∴，解得：x＝48， 经检验，x＝48是原方程的解， ∴， ∴AB＝36m， 答：该古建筑AB的高度为36m． 题型二 镜子问题 1．（2024·崇川区·校级月考）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【详解】解：由题意可得：BE＝BD﹣DE＝10，∠AEB＝∠CED，DE＝2，CD＝1.6， ∵∠EDC＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 答：塔高AB为8米． 故选：D． 2．（2024·锡山区·校级期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 【详解】解：（1）∵FC∥DE， ∴△BFC∽△BED， ∴，即，解得：BC＝3m； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴，解得：AG＝1.2m， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 3．（2025·栖霞区·月考）《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED＝∠FEG），GE＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米．已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度AB． 【详解】解：∵∠CED＝∠FEG，∠CDE＝∠FGE＝90°， ∴△CDE∽△FGE， ∴， ∴， ∴DE＝6米， ∴BE＝BD+DE＝64.5+6＝70.5（米）， ∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB＝47米， 答：飞虹塔的高度AB为47米． 题型三 路灯问题 1．（2025·镇江·一模）如图，路灯AB、树CD的底端与小明的站位点E在同一条直线上，灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点E重合，小明的影长EH为3米，已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 【详解】解：∵AB⊥AH，EF⊥AH， ∴AB∥EF， ∴△EFH∽△ABH， ∴， ∴， ∴AB＝7， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设B（m，7），F（m+9，1.75） ∵灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴7m＝1.75（m+9）， ∴m＝3， ∴B（3，7）， 设双曲线的解析式为y， ∴k＝21， ∴双曲线的解析式为y， 设D（n，）， ∴AC＝n﹣3，CD， ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴n＝9或n＝3（不合题意舍去）， 答：树与路灯相距6米． 题型四 影子上墙问题 1．（2025·姑苏区·期末）如图，在阳光下，旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在建筑物墙面上的影长CD为4m．同一时刻，测得直立于地面长1m的木杆影长为0.8m，则旗杆AB的高度为　　m． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E， ∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B， ∴四边形BCDE为矩形， ∴DE＝BC＝20m，BE＝DC＝4m， ∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似， ∴，解得：AE＝25m， ∴AB＝25+4＝29（m）， 答：旗杆的高度为29m． 故答案为：29． 题型五 光学成像问题 1．（2025·沭阳县·校级模拟）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板在刻度尺70cm处，光屏在刻度尺80cm处，量得像高3cm，则蜡烛的长为（　　） A．5cm B．6cm C．4cm D．4.5cm 【详解】解：如图， 由题意可知：OA＝70﹣50＝20（cm），OC＝80﹣70＝10（cm），CD＝3cm，AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴，解得：AB＝6， 答：蜡烛的长为6cm． 故选：B． 2．（2024·鼓楼区·校级模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO， ∴∠AHO＝∠BOH＝90°， ∵∠AF1H＝∠BF1O， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴BOAH， ∴CGAH， ∴物体被缩小到原来的． 故选：D． 3．（2023·常州·期末）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　） A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm 【详解】解：∵AB∥A′B′， ∴△A′B′O∽△ABO， ∴， ∴， ∴AB＝24m， 答：物体AB的宽是24m． 故选：C． 题型六 其他问题 1．（2025·天宁区·校级模拟）如图，衣夹简化的示意图中夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝15mm，CM＝DN＝20mm，MN＝8mm．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A．mm B．16mm C．14mm D．mm 【详解】解：如图，连接CD， ∵AM＝BN＝15mm，CM＝DN＝20mm，MN＝8mm， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ACD， ∴， ∴CDmm， ∴能夹衣物的最大厚度是mm． 故选：A． 2．（2025·江阴市·二模）如图，已知零件的外径为10cm，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝4cm，则零件的厚度m等于　　cm． 【详解】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD＝2， ∴AB：4＝2， ∴AB＝8cm， ∴8+2m＝10， ∴m＝1cm． 故答案为：1． 3．（2024·玄武区·期末）如图，古城墙进出口的道闸杆AB水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离OA＝1.2m，与另一端点B之间的距离OB＝18m．道闸杆AB绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点A′时，测得点A′到AB的距离为0.8m，此时，点B′到AB的距离是多少？ 【详解】解：如图，A′M⊥AB于点M，B′N⊥AB于点N， 由题意可得：OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m， ∵A′M⊥AB，B′N⊥AB， ∴A′M∥B′N， ∴△A′OM∽△B′ON， ∴，即， ∴B′N＝12m， 答：点B′到AB的距离是12m． 题型一 标杆测量问题——探究综合题 1．（2025·梁溪区·校级月考）风力发电是我国电力资源的重要组成部分．嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算．如图（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段OA，OB，OC表示三片风叶，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，某时刻OA，OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE＝36m，EF＝20m．同一时刻测得高4m的标杆MN影长为3m． （1）直接写出∠ABO的度数及OD的长； （2）求风叶转动时点B到地面DF的最小距离． 【详解】解：（1）如图， 由题意可得：OE∥NG，∠ODE＝∠NMG＝90°， ∴∠OED＝∠G， ∴△ODE∽△NMG， 由三角形相似性质可得：， ∴，解得：DO＝48m， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴； （2）如图，过点O作OH⊥AB于点H，过点E作EI⊥AF于点I， 在Rt△NMG中，由勾股定理可得：NG＝5m， 同理可证：△EIF∽△NMG， ∴， ∴，解得：EI＝16m， 由题意可得：OE∥AF，而OH⊥AF，EI⊥AF， ∴OH＝EI＝16m， ∵在Rt△OBH中，∠ABO＝30°， ∴BO＝2OH＝32m， ∴当OB⊥DF时，48﹣32＝16（m）， 答：风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m． 2．（2025·工业园区·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的20m的地面垂直放置一根标杆EF，然后沿水平直线AE后退2m至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度CD＝1m，标杆EF＝2m，求雕塑顶部距离地面的高度AB． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高MN＝1.7m，此时相机镜头距离地面的高度GH＝1m．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高MP＝1.6m，求此时相机镜头距离地面的高度GQ（精确到0.1m）． 【详解】解：【测高】设AB＝x m， ∵S梯形ABDC＝S梯形ABFE+S梯形CDFE， ∴（20+2）×（1+x）20×（2+x）2×（1+2），解得：x＝12， 答：雕塑顶部距离地面的高度AB为12m． 【应用】设AM＝a m，MG＝b m，GQ＝y m， ∵S梯形ABHG＝S梯形ABNM+S梯形MHHG， ∴（a+b）（12+1）a×（12+1.7）b×（1.7+1），整理得：7a＝103b， ∵S梯形ABQG＝S梯形ABPM+S梯形MPQG， ∴（a+b）×（12+y）a×（12+1.6）b×（1.6+y），解得：y1.60.9， 答：此时相机镜头距离地面的高度GQ约为0.9m． 3．（2025·无锡·中考）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． 【详解】解：（1）如图，过点P作PH⊥MN于点H，交EF于点K， 则四边形HKFN，四边形PQNH，四边形PQFK为矩形， ∴PQ＝KF＝HN＝1.4m，HK＝FN＝16m，PK＝QF＝2m， ∴EK＝EF﹣KF＝1.4m，PH＝PK+HK＝18m， ∵EF∥MN， ∴△PEK∽△PMH， ∴， ∴， ∴MH＝12.6m． ∴MN＝MH+HN＝14m， 答：旗杆MN的高度为14m． （2）如图，连接EE′并延长交AB于点M，连接PP′并延长交AB于点N，交EF于点H，交E′F′于点K， 则四边形BMEF，四边形BNPQ，四边形P′Q′BN，四边形BNKF，四边形PQQ′P′为矩形， ∴BM＝EF＝E′F′＝2.8m，HF＝KF′＝BN＝PQ＝P′Q＝1.4m，HP＝FQ＝1.2m，QQ′＝PP′＝30m，P′K＝F′Q′＝2.2m， ∴MN＝HE＝KE′＝EF﹣HF＝1.4m， 设HN＝x m，AM＝y m，则PN＝HN+HP＝（1.2+x）m，AN＝AM+MN＝（1.4+y）m，P′N＝PP′+PN＝（31.2+x）m， ∵EF∥AB， ∴△PEH∽△PAN， ∴， ∴． ∵E′F′∥AB， ∴△PEK∽△P′AN， ∴， ∴， ∴，解得：x＝34.8． ∴，解得：y＝40.6， ∴AB＝AM+BM＝43.4m， 答：妙光塔AB的高度43.4m． 题型二 光学成像中的测量问题——探究综合题 1．（2025·无锡·校级月考）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上． （1）如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6cm． （i）填空：的值为　　； （ii）求此时虚像CD的高度； （2）如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且时，求此时物距OB的长． 【详解】解：（1）（i）如图1，∵∠ABO＝∠EOB＝∠AEO＝90°， ∴四边形OBAE为矩形， ∴AE＝OB＝6cm， ∵AE∥OF， ∴△CAE∽△COF， ∴， 故答案为：； （ii）∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵； ∴， ∴， ∴CDAB8＝20（cm）， 答：此时虚像CD的高度为20cm； （2）如图2，∵OE＝AB， ∴CDABOE，即， ∵OE∥CD， ∴△CFD∽△EFO， ∴， ∴DFOF10（cm）， ∴OD＝OF+DF＝10（cm）， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴OBOD（cm）， 答：此时物距OB的长为cm． 2．（2025·工业园区·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中AB为井口直径，AB＝80cm，CD为水面直径，且AB∥CD．A′B′为AB经水面所成的虚像（A′B′与AB关于CD对称），点P为观测点，PA′，PB′分别与CD相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在AB上自由移动时，MN的长度是否会发生改变？如果不变，求出MN的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方1m处（即图④中的PQ＝1m）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径C′D′＝5.6cm，井口的倒影直径M′N′＝3.3cm．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【详解】解：【发现】MN的长度不会发生改变，且MN＝40cm，理由如下： ∵A'B'与AB关于CD对称，AB∥CD∥A'B'，且PA'，PB'分别与CD相交于点M，N， ∴，MN∥A'B'， ∴△PMN∽△PA'B'， ∴， ∵AB＝A'B'＝80cm， ∴MN＝40cm． 【探索】由题意画图，然后延长PQ交A'B'与点L，交CD于点K， 则PL＝PQ+AC＝（100+AC）cm，PK＝PQ+2AC＝（100+2AC）cm， 同理可知：△PMN∽△PA'B'，△PM'N'∽△PC'D'， ∴，即，解得：AC＝230cm＝2.3m， 答：井口到水面距离AC的长2.3m． 题型三 汽车盲区问题 1．（2025·无锡·月考）请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2s的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22m，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32m，小汽车车尾盲区为正后方长为5m的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持　　m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【详解】解：（1）①由题意可得：AB⊥BF，CD⊥BF，BE＝2m，DE＝0.5m， ∴BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5（m）， ∴△FCD∽△FAB， ∴，且FB＝FD+BD＝FD+1.5， ∴，解得：FD＝3m， 经检验，FD＝3m是原方程的解， ∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5（m）； ②如图，过点M作MN⊥FB交AF于点N， ∴FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7（m），FD＝3m，MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3（m）， ∴△FMN∽△FDC， ∴， ∴MN0.57（m）， ∵0.57＞0.5， ∴不能观察到物体； （2）∵摩托车的速度为90km/h＝25m/s， ∴摩托车在1.2秒的反应时间里的路程为25×1.2＝30（m）， 由题意可得：30+32﹣22+5＝45（m）， 答：摩托车应与小汽车至少保持45米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区， 故答案为：45． 题型一 相似形综合题 1．（2025·南通·中考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G． （1）求证：AG＝2GC； （2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I． ①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离； ②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADG∽△CMG， ∴， ∵M是BC的中点， ∴BC＝2CM， ∴AD＝2CM， ∴， ∴AG＝2GC； （2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∴BD＝AC＝10， 如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H， 设IH＝r，则（BC+CD+BD）•rBC•CD， ∴r＝2，即IH＝2， ∴点I到BC的距离为2； ②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q， 设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b， 由AB+AC＝2BC可得：， 在△BCD中，， ∴， ∵GQ∥AB， ∴△CGQ∽△CAB， ∴， ∵AG＝2GC， ∴AC＝3GC， ∴， ∴， ∴GQ＝IH， ∵IH⊥BC，GQ⊥BC， ∴GQ∥IH， ∴四边形GQHI是平行四边形， ∴GI∥BC，即EF∥BC， ∴， ∴△DEF∽△DBC， ∴， ∴． 2．（2025·连云港·校级三模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC，AB，AC上，联结PD，DE，PE． （1）如图1，P是BC中点，PD∥AC，PE∥AB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形； （2）如图2，当AB＝AC，BP＝2PC，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE．求的值； （3）如图3，如果∠A＝∠DPE＝90°，BP＝2，PC＝3，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB不平行，求AB的长． 【详解】（1）证明：∵PD∥AC，PE∥AB， ∴，， ∵P是BC中点， ∴BP＝PC， ∴AD＝BD，CE＝AE， ∴， ∴△PDE∽△ABC， ∴△PDE是△ABC的镶嵌相似形； （2）解：∵△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE， ∴△PDE也是等腰三角形，∠B＝∠C＝∠DPE， ∴，即， ∵∠DPC＝∠DPE+∠CPE＝∠B+∠BDP， ∴∠CPE＝∠BDP， ∴△BDP∽△CPE， ∴， ∴， ∴， ∵BP＝2CP， ∴， ∴， ∴1； （3）解：∵△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠DPE＝90°， ①当△PDE∽△ABC时，有， 如图，过点P作PH⊥AB于H，作PI⊥AC于I，则∠PHD＝∠PIE＝90°， ∵∠A＝∠DPE＝90°， ∴∠DPE＝∠HPI＝90°， ∴∠DPH＝∠EPI＝90°﹣∠HPE， ∴△DHP∽△BIP， ∴， ∵， ∴， ∵HP∥AC， ∴， 则可设HP＝2k，AC＝5k， ∵IP∥AB， ∴， 则可设IP＝3a，AB＝5a， ∴，得， ∴， ∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝5， ∴； ②当△PDE∽△ACB时， 此时∠PED＝∠APC＝∠PAB，则AP＝BP＝CP，显然不成立，舍去； 综上，AB． 3．（2024·东海县·一模）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则　　； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵AD＝8，CD＝5， ∴， 故答案为：； （2）当∠FOC＝∠A时，成立，理由如下： ∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC， ∴∠DOE＝∠A， 又∵∠ODE＝∠ADF， ∴△ODE∽△ADF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， 又∵∠FOC+∠COD＝180°， ∴∠ADC＝∠COD， ∵∠DCE＝∠OCD， ∴△DCE∽△OCD， ∴， ∴， ∴，即； （3）如图，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形， ∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，， 同（2）可得：， 在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP， ∵AD∥MN，∠A＝120°， ∴∠N＝60°， ∴△NBP是等边三角形， ∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°， ∴∠BPC＝120°＝∠M； ∵∠BCD＝120°， ∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD， ∴∠PBC＝∠MCD， ∴△PBC∽△MCD， ∴， 设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣7， ∴， ∵， ∴，解得：x＝3， ∴DM＝3x＝9， ∴． 1 / 10 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