31.2.1平行线分线段成比例（分层作业，5大题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.2.1 平行线分线段成比例 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 题型03 利用平行判定相似 B组 能力进阶 题型 利用平行判定相似求线段长度或者比值 C组 思维拔高 题型 平行线分线段成比例·创新性问题 由平行判断成比例的线段题型01 1．（26-27九年级上·湖南湘潭·月考）如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·月考）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 8．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 由平行截线求相关线段的长或比值题型02 1．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，已知，，，则EC的长是（    ） A．14 B．6 C．10 D．8 2．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为(　　) A．12.5 B．12 C．8 D．4 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，，如果，则的值为（） A．2 B．3 C． D． 4．如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7 5．如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则______． 6．如图，锐角内接于，在上，，，过分别作的垂线交于点P，连结，若的半径为r，那么的长是________（用含r的代数式表示）． 7．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 8．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 利用平行判定相似题型03 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 4．已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 5．如图，画一个三角形，使它与相似，且相似比为． 6．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 利用平行判定相似求线段长度或者比值题型 1．如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26九年级上·黑龙江·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 3．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．    4．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 5．（25-26九年级上·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·联考）在中，，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 8．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 平行线分线段成比例·创新性问题题型 1．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____． 2．如图，将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠，使边翻折至再展开，点P为线段上一点，将沿翻折，得到，连接，，使得恰好是以为底的等腰三角形，则______． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）（1）如图①，在中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”） （2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数． 4．如图，是上的四个点，连接交于点，过点作交的延长线于点，延长交直线于点 （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）求证:是的切线: （3）若求的长. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． 当时，求的长； 若，，的面积分别为，，，且满足，求点的横坐标． 6．（24-25九年级·陕西咸阳·月考）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 7．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同； (1)求点D的坐标； (2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由． 8．如图，已知抛物线，点，在此函数图象上，动点P位于点O、B之间的抛物线上（不与点O，B重合），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． (1)如图1，求该二次函数的解析式； (2)尺规作图：当最大时，在图2中作出此时的点P； (3)如图3，连接OB，交直线AP于点M，直接写出的最大值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.1 平行线分线段成比例 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 题型03 利用平行判定相似 B组 能力进阶 题型 利用平行判定相似求线段长度或者比值 C组 思维拔高 题型 平行线分线段成比例·创新性问题 由平行判断成比例的线段题型01 1．（26-27九年级上·湖南湘潭·月考）如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 2．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例． 故选：C． 3．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断. 解：∵l1∥l2∥l3， ∴，，，. ∴选项A、B、C正确，D错误. 故选D. 点睛：本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键 4．（25-26九年级上·上海·月考）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 6．如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，联系起来，得出结论． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证． 7．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键． 8．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】(1)成立 (2) 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【详解】（1）成立．证明：∵  ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, （2）关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由平行截线求相关线段的长或比值题型02 1．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，已知，，，则EC的长是（    ） A．14 B．6 C．10 D．8 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理得=，代入数据计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴=， 即=， 解得EC=8， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 2．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为(　　) A．12.5 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴, ∴, 解得，EF=8， 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，，如果，则的值为（） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，再结合已知条件，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 设，则， ， ， ． 4．如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7 【答案】A 【分析】过点D作DHAE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根据平行线等分线段定理即可得． 【详解】解：如图，过点D作DHAE交BC于H， ∵BF＝DF，FEDH， ∴BE＝EH， ∴BE：BC＝2：7， ∴EH：CH＝2：3， ∵AEDH， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题． 5．如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，作轴于D，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，由平行线分线段成比例定理，三角形面积公式，求出的面积即可． 【详解】解：作轴于D， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，锐角内接于，在上，，，过分别作的垂线交于点P，连结，若的半径为r，那么的长是________（用含r的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理证明共线．作直径，假设分别交直线于和，连接，由圆周角定理推出，而，，得，由平行线分线段成比例定理推出，得到，因此，得到和重合于，于是、、共线，由，得到，即可求出，得到即可求解． 【详解】作直径，设分别交直线与，连接如图所示： 与重合于点P， 三点共线， 故答案为：． 7．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 8．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 【答案】厘米. 【详解】分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF的长． 详解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以①，同样．在△DBC中有②，①+②得=1③．     ∵AB=6厘米，CD=9厘米，     ∴，解得：EF=．     故EF=厘米． 点睛：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算． 利用平行判定相似题型03 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 3．已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴． 【分析】分析题意，由“”，利用“同位角相等，两直线平行”可得到； 然后结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证明结论． 【详解】证明：略 4．已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 【答案】证明：， ， ． 【分析】根据“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”，证明即可． 【详解】略 5．如图，画一个三角形，使它与相似，且相似比为． 【答案】 如图，即为所求 【分析】取三边中点两两连接，得到的小三角形均满足要求；也可以通过在外部作角、截取边长的方式构造符合要求的相似三角形，只要满足新三角形的三边均为原三角形对应边长的、对应角相等即可； 【详解】解：作边的中垂线，找出的中点D，的中点E， 则为的中位线， ∴， ∴，且相似比为，图略． 6．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即为所求．（答案不唯一） 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】解：证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】 证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】略 利用平行判定相似求线段长度或者比值题型 1．如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 即， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 2．（25-26九年级上·黑龙江·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．    【答案】2：5 【分析】过点A作辅助线构造相似三角形,借助相似三角形的性质,可以得到对应边成比例,进而得到的值． 【详解】解：如图,过点A作AG∥BC,交ED于点G,    ∵AG∥BC ∴△AGF∽△CEF,△DAG∽△DBE． ∴ ,． ∵． ∴． ∵点是的中点． ∴BE=EC． ∴． ∴． 即:=2：5． 故答案为：2：5 【点睛】该命题以三角形为载体,以平行线分线段成比例定理及平行线与相似三角形关系为考查对象,对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】延长和交于点，作交于点，设，则，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形，从而，，利用，可得，可求，再根据角平分线的定义和平行线的性质，得，进而，利用勾股定理，列方程，求出，最后根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：延长和交于点，作交于点， 设，则， ，， ，即四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ，， ． 5．（25-26九年级上·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值，且最大值为6 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量关系是解题的关键． （1）由平行线得，根据相似形的性质得关系式； （2）根据，列函数关系式即可； （3）运用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，则， ， ．     ，即． ． 自变量的取值范围为． （2）． （3）， 当时，有最大值，且最大值为6． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·联考）在中，，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关定理是解题的关键． （1）过点作交于，利用等腰三角形和平行线的性质，得到，结合已知条件进而得到，同时根据两直线平行，内错角相等，证明，进而得到，完成证明． （2）利用，得到，根据线段的比例关系求出的值，并根据第一步得到结论，求出的值，最终得到的值． 【详解】（1）证明：过点作交于， 故，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． 答：的长为． 8．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2） ，理由如下： ， ， ； （3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 平行线分线段成比例·创新性问题题型 1．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____． 【答案】 【分析】如图，设AH=x，GB=y，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x，y即可解决问题． 【详解】解：如图，设AH＝x，GB＝y， ∵EH∥BC， ， ∵FG∥AC， ， 由①②可得x＝，y＝2， ∴AC＝，BC＝7， ∴S△ABC＝， 故答案为． 【点睛】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠，使边翻折至再展开，点P为线段上一点，将沿翻折，得到，连接，，使得恰好是以为底的等腰三角形，则______． 【答案】或 【分析】过点作，交于点，交于点，根据正方形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形三线合一推出为的中点，平行线分线段成比例，得到为的中点，设，得到，勾股定理求出的长，进而表示出的长，中位线定理表示出的长，再利用勾股定理求出的值，进而求出的值，利用，即可得出结果． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∵恰好是以为底的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，矩形的判定和性质，斜边上的中线，平行线分线段成比例，三角形的中位线，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作出辅助线，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）（1）如图①，在中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”） （2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数． 【答案】（1）＝； （2）成立．证明： ，， ， 由旋转性质可知， 在和中， ， ， ； （3）． 【分析】（1）由，得到，结合，得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）由旋转构造出，再用勾股定理计算出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，将绕点旋转得，连接， ， ，，， ， 在中，由勾股定理可得，， 在中，，，， ， 是直角三角形 ， ， 又， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 4．如图，是上的四个点，连接交于点，过点作交的延长线于点，延长交直线于点 （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）求证:是的切线: （3）若求的长. 【答案】（1）四边形ABCO是菱形， 理由如下：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， 为等边三角形， 同理，为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 是的切线； （3） 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答； （2）根据菱形的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，得到，根据切线的判定定理证明； （3）证明四边形为矩形，，，根据含的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3），，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的判定、矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． 当时，求的长； 若，，的面积分别为，，，且满足，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)；点的横坐标为． 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）求出直线的表达式为：，得到点，进而求点，即可求解； 证明，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 即抛物线的表达式为：； （2）令，则或， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 由点、得，直线的表达式为：， 当时，，即点， 则， 由点、的坐标得直线的表达式为：， 联立得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，， ，即， 解得：（舍去）或， 则； 过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， ∵，，同高，则其面积比为边的比， 即， ∵， 则，， 则， 即， 整理得：， 由①知，，， 则， 解得：，（舍去）， 经检验，是方程的根， 则点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，面积的计算等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6．（24-25九年级·陕西咸阳·月考）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 【答案】 （1）解：，理由如下： 如图所示，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）正方形的边长为； （3）的长度． 【分析】本题是一道四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，即可得证； （2）在中，求出，由（1）可推出，，则，即可求出正方形的边长； （3）取、的中点，，连接交于点，连接，则四边形是正方形，由勾股定理得出，设，则，，根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）∵在中，，， ， 由（1）得，， ； ， ∴在正方形中，，即边长为； （3）如图所示，取、的中点，，连接交于点，连接， 四边形为矩形， ，，，，， ∵点，分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， 四边形为正方形， ， ， ∵在中，，， ， ， ， 由（1）同理可得，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 7．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同； (1)求点D的坐标； (2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由． 【答案】（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4； （3）存在，其坐标为（，）或（14，-16） 当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4， ∵∠BPQ=90°， ∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°， ∴∠OPB=∠QPM， 在△BOP和△PMQ中， ∴△BOP≌△PMQ（AAS）， ∴BO=PM=2，OP=QM=t， ∴Q（2+t，t）， 又Q在直线CD上， ∴t=-2（t+2）+12， ∴t= ， ∴Q（，）； 当t＞4时，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图5， 同理可证明△BOP≌△PNQ， ∴BO=PN=2，OP=QN=t， ∴Q（t-2，-t）， 又∵Q在直线CD上， ∴-t=-2（t-2）+12， ∴t=16， ∴Q（14，-16）， 综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（，）或（14，-16）． 【分析】（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标； （2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式； （3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b， 将A（-4，0）、B（0，2）两点代入， 解得，k＝ ，b=2， ∴直线AB解析式为y＝x+2， ∵D点横纵坐标相同，设D（a，a）， ∴a＝a+2， ∴D（4，4）； （2）设直线CD解析式为y=mx+n， 把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12， ∴直线CD的解析式为y=-2x+12， ∴AB⊥CD， 当 0≤t＜4时，如图1， 设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t， ∴PC=6-t，AP=4+t， ∵PF∥OG， , , , , 当4＜t≤6时，如图2， 同理可求得PE=2+ ，PF=12-2t， 此时y=PE-PF= t+2−(−2t+12)＝t−10， 当t＞6时，如图3， 同理可求得PE=2+，PF=2t-12， 此时y=PE+PF=t-10； 综上可知y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4； （3）略． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合应用．求得点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中利用t表示出相应线段，化动为静是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题难度较大，知识点较多，注意分类讨论思想的应用． 8．如图，已知抛物线，点，在此函数图象上，动点P位于点O、B之间的抛物线上（不与点O，B重合），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． (1)如图1，求该二次函数的解析式； (2)尺规作图：当最大时，在图2中作出此时的点P； (3)如图3，连接OB，交直线AP于点M，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) 如图，点P即为所求作的点； (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）作以线段为直径的圆，作线段的垂直平分线角抛物线于点P，角圆于点Q，点P即为所求作的点； （3）作于点H，先证明点O在上，得，可知最大时，的值最大． 作于点，则，要使最大，只要最大即可，在点Q在过圆心且与的垂线上．作交于点，交于点，则．然后求出，即可求出的最大值． 【详解】（1）把代入，得 ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴点Q在为直径的上． 设点Q到的距离为h， ∵， ∴， ∴当最大时，最大，点Q在线段的垂直平分线上． 作以线段为直径的圆，作线段的垂直平分线交圆于点Q，连接交抛物线于点P，点P即为所求作的点； （3）作于点H， ∵在上， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点O在上，， ∴， ∵是定值， ∴最大时，的值最大． 作于点，则四边形是矩形， ∴， ∴要使最大，只要最大即可，在点Q在过圆心且与的垂线上． 作交于点，交于点，则． ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，圆周角定理，三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $