31.1图形的相似（分层作业，13大题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.1 图形的相似 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 相似图形 题型02 相似多边形 题型03 求相似多边形的相似比 题型04 比例线段 题型05 成比例线段 题型06 相似多边形的性质 B组 能力进阶 题型01 比例的性质 题型02 利用比例性质求值 题型03 利用比例性质判断等式成立 题型04 求相似多边形的有关应用 题型05 相似矩形的判定 题型06 比例的应用 C组 思维拔高 题型 图形的相似·创新性问题 相似图形题型01 1．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确; C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误； D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2．（25-26九年级下·广东深圳·质检）下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 3．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 4．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 5．形状相同的图形叫做_________． 两个图形相似是指它们的_________相同，与它们的位置无关； __________是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 【答案】 相似图形 形状 全等图形 【解析】略 相似多边形题型02 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．任意两个菱形 B．任意两个矩形 C．任意两个三角形 D．任意两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的定义．相似图形需对应角相等且对应边成比例，菱形的内角不一定相等, 矩形边不一定成比例，三角形不一定相似，而正方形所有角均为且所有边相等，故一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四边相等，但菱形的内角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，不符合题意； B、矩形的内角都是90度，但边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，不符合题意； C、任意两个三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故任意两个三角形不一定相似，不符合题意； D、正方形所有角均为且所有边相等，故任意两个正方形一定相似，符合题意； 故选：D 2．下列说法中，错误的是（      ） A．菱形都相似 B．正三角形都相似 C．正方形都相似 D．等腰直角三角形都相似 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的定义，根据相似多边形的定义，需对应角相等且对应边成比例．菱形虽四边相等，但角不一定相等，因此不一定相似；而正三角形、正方形和等腰直角三角形均满足对应角相等且对应边成比例，因此都相似． 【详解】∵相似多边形需对应角相等且对应边成比例， ∵菱形只保证边对应成比例，但角不一定对应相等， ∴菱形不一定都相似，故A错误； ∵正三角形所有角均为，且三边成比例， ∴正三角形都相似，故B正确； ∵正方形所有角均为，且四边成比例， ∴正方形都相似，故C正确； ∵等腰直角三角形两底角均为，顶角，且对应边成比例， ∴等腰直角三角形都相似，故D正确． 故选：A． 3．各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 4．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】 解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】略 5．如图，在平面直角坐标系（每个小方格的边长都为1个单位长度）中， (1)描出下列各点：，，，，． (2)用线段顺次连接点A，B，C，D，E，A，得到多边形． (3)将各点的横坐标和纵坐标都乘2，描出对应的点，再用线段顺次连接各对应点，得到多边形． (4)多边形和多边形是相似图形吗？ 【答案】(1) (2) (3) (4)多边形和多边形是相似图形 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，，，，， 各点的横坐标和纵坐标都乘2，得，，，，，描点，连线略． （4）解：多边形和多边形是相似图形； 理由：，，，，，，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ， 由图可知，，， 多边形和多边形是相似图形． 求相似多边形的相似比题型03 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，矩形矩形，若，，则矩形与矩形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的相似比等于对应边的比即可得解，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形矩形，且，， ∴矩形与矩形的相似比为， 故选：A． 2．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 3．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 4．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，由折叠的性质可得，根据相似的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质可得， ∵这两种规格的矩形纸片相似， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴“白银”比为． 5．（26-27九年级上·山东聊城·学情自测）四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【分析】首先确定两个相似四边形的对应最长边，因为相似多边形的对应边成比例，所以最长边是对应边．提取四边形ABCD的最长边，以及四边形的已知最长边．根据相似比的定义，即相似多边形对应边的比值，代入两条最长边的数值计算即可． 【详解】四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 比例线段题型04 1．已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段与的比为． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在A、B之间．若，，则下列b、c的关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点与数的关系及比例线段的应用，熟练掌握相关概念是解题关键． 由且C在A、B之间，可知点A和点B关于原点对称．设，根据，利用距离比列出方程求解，进而得到|b|与|c|的关系． 【详解】解：∵，且C在A、B之间， ∴设， ∵ C在上，， ∴ ，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海·期末）若线段，，则、的比例中项为_____________． 【答案】 【分析】本题考查比例中项的定义，设比例中项为，根据比例关系列方程，求解即可． 【详解】解：设、的比例中项为， 则， 即， 由比例的性质，得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 4．如图，已知，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长． 【答案】9.8cm 【分析】根据，可以先求出AE的长，即可得到AC的长． 【详解】解：∵， ∴， 解得：AE=5.6cm． 则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8cm． 【点评】本题主要考查了比例的基本性质，在比例式中，已知三个就可求得第四个的量． 5．如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 成比例线段题型05 1．已知线段，，线段是线段、的比例中项，线段的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义得到b2=ac，然后把a=1，c=5代入后求算术平方根即可． 【详解】∵线段b是线段a、c的比例中项， ∴b2=ac， 即b2=1×5，解得b=-（舍去）或b=， ∴线段b的值为． 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·联考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故，，，是成比例线段，符合题意； B、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； C、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； D、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知线段，，，且线段成比例，则______． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的概念，得，把，，代入求出的值，正确理解比例线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）（1）已知，求的值． （2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查比例的基本性质，比例中项的定义，掌握比例中项的数量关系是解题关键． （1）根据，用表示，再代入中进行计算； （2）根据比例中项的定义，列式，将、代入算出． 【详解】（1）解：， ， ． 答：． （2）解：由条件可知， ， ，， ， ， 又， 线段的长为． 答：． 5．如图，在线段上取，两点．已知，，且四条线段，，，是成比例线段，求线段的长． 【答案】或 【分析】设，即可表示出，然后根据成比例线段的定义即可得到一个关于的方程，从而求解． 【详解】解：设，则． ，，，是成比例线段， 即， ， 解得，． 经检验，，均为原方程的根． 故线段的长为或． 相似多边形的性质题型06 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例． 【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x， 根据题意得：， 解得：， 即另一个多边形的最短边长为8． 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质得到，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）根据相似多边形对应边成比例可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 3．一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可； （2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 4．如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行解答即可． 【详解】解：设，，，都与相似， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 5．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF． （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD. ∴∠FAE＝∠AEB. ∵EF∥AB， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE＝∠BAE. ∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝EB. ∴四边形ABEF是菱形． ∴BF平分∠ABC； （2） 【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可； （2）根据相似列出比例式求解即可． 【详解】解：(1)略 (2)∵四边形ABEF为菱形， ∴BE＝EF＝AB＝6. ∵四边形ABCD与CEFD相似， ∴＝，即＝. 解得,BC＝3±3． ∵BC＞0， ∴BC＝ 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算． 比例的性质题型01 1．如图，是线段上的一点，且，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC=2x，则CB=3x，AB=5x，据此即可求解． 【详解】∵AC：CB=2：3， ∴设AC=2x，则CB=3x，AB=5x， 则AB：BC=5：3． 故选:B． 【点睛】本题考查比例的有关知识，解答本题的关键是等量代换； 2．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．﹣2或＋1 D．﹣1或＋2 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，再把三式相加得出，然后分两种情况当时和当时讨论，即可得出k的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分类讨论①当时， 则有：； ②当时，则， 则有：． ∴k的值为2 或-1． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决此题关键是把等式变形，进而通过分析的取值，确定k的取值． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）若，且，则 ________ ． 【答案】 【分析】由等式变形求解比例关系解答即可． 本题考查了比例性质的应用，熟练掌握变形是解题的关键． 【详解】解：由已知条件， 移项得， 因为， 所以两边同除以 ，得 ，即 ， 故答案为：． 4．如果，那么=__________． 【答案】. 【详解】解：∵，∴，∴，∴=．故答案为． 5．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）已知，，求． 【答案】 【分析】根据题意可得，，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 解得， ∴ ． 利用比例性质求值题型02 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积进行解答即可． 【详解】解：由得：，则， ∴==， 故选：B． 【点睛】本题考查比例的性质、代数式求值，解答的关键是熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意得出，，，代入化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，然后代入求出k，进而可求出a； （2）设，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设， ∴． 4．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 5．若实数满足，求的值． 【答案】8或． 【分析】观察 与 发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设，通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则， ， ， 即， 所以或， 当时，则， ，同理，， 所以 ； 当时， 所以 ， 综上，值为8或． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设得到或． 利用比例性质判断等式成立题型03 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2．若＝，则下列各式不成立的是（    ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】D 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k， A．，正确，故本选项错误； B．，正确，故本选项错误； C．，正确，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便． 3．已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，由题意得出是解题的关键．根据，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：线段，满足， ∴，，， 故A、B正确； 若， 则， ∴， 由已知无法得出，故C不一定正确； 若， 则， ∴， 故D正确， 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海·月考）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 5．（25-26九年级上·河南开封·联考）若，则是否成立？______（填“是”或“否”）． 【答案】是 【分析】该题考查了比例的性质，利用比例的性质，即可解答． 【详解】解：由已知，可得， 即，故成立． 故答案为：是． 求相似多边形的有关应用题型04 1．如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：设放大后的宽是， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：． 2．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D 【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可． 【详解】解：∵6：2=3：1， ∴三个矩形的长宽比为3：1， 甲方案：如图1所示， 3a+3b=6， ∴a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 乙方案：如图2所示， a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 如图3所示， 矩形①的长为2，则宽为2÷3=； 则矩形②的长为6-=，宽为÷3=； ∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=； ∵16， ∴周长和的最大值为； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握相似的图形对应边成比例．根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得：或（不合题意舍去）． 故答案为：9 ． 4．如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【答案】(1)不相似 (2)相邻两条小路宽度的比值为 【分析】（1）根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可． （2）设横向小路的宽度为，纵向小路的宽度为，根据两矩形相似得出比例式，求出相邻两条小路宽度的比值即可． 【详解】（1）解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长、宽， ∵， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． （2）解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是和． ∵相对两条小路的宽度相等， ，． ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论；②根据①中的结果求出模型中小直角三角形的面积，再根据模型和实际的比例关系进行求解即可； （2）设矩形的长为，宽为．根据矩形矩形相似，相似比为，得到矩形的长为，宽为，列出方程进行求解即可得到结论． 【详解】（1）①小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ，即： ②由①知：，， ∴小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为． （2）解：设矩形的长为，宽为． 矩形矩形相似，相似比为， 矩形的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 相似矩形的判定题型05 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）复印用纸中的纸对折后成为2张纸，纸对折后成为2张纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长宽之比为（    ）． A． B． C．2∶1 D．1∶2 【答案】A 【分析】本题侧重考查相似图形的性质，掌握其性质是解决此题的关键．纸和纸相似，那么纸和纸的对应边成比例．设纸的宽为，长为，则的宽为，长为，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：设纸的宽为，长为，则的宽为，长为， 得到的两个矩形都和原来的矩形相似， ，即， ， 即纸的长与宽之比是． 故选：A． 2．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 3．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________． 【答案】或2 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解． 【详解】∵ABFE是正方形， ∴AB=EF=AE， ∵矩形GFCH和矩形EGHD全等， ∴EG=DH=GF=HC，设ED=，EG=， ∴AD=，AB=， ∵矩形ABCD和矩形EGHD相似， ∴或， ①当时， ∴，解得：， ∴AD：AB=， ②当时，， 解得：， ∴AD：AB=， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 4．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1) 不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）略 （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 5．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）同意，如图所示：    （4）共有四种情况： ①如下图，；    ②如下图，；    ③如下图，；    ④如下图，；    【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形， 四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分， 小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 比例的应用题型06 1．在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，则甲，乙的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的应用，根据在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，进行列式计算得出，再进行单位换算，即可作答． 【详解】解：∵在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离， ∴ 则， 故选：C． 2．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 3．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程． 【详解】解：设这个图距是， 则， 解得， 故答案为：． 5．《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是______． 【答案】150 【分析】本题考查比的应用及直角三角形面积公式的应用，解题的关键是根据三边比例关系求出两条直角边的长度． 先根据三边比例和斜边长度求出直角边长度，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】 () () () () 故答案为：150 图形的相似·创新性问题题型 1．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．设矩形与矩形相似时，运动时间为，分矩形矩形和矩形矩形两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设矩形与矩形相似时，运动时间为， 当矩形矩形时，， ∴ 解得， 当矩形矩形时， ∴， 解得：． 故选：． 2．（25-26·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 3．已知菱形的边长为2，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，，，…，，则点的坐标为________．      【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似多边形的性质、勾股定理及坐标规律探究，掌握利用相似比与勾股定理递推坐标规律是解题的关键． 先由菱形性质和角度求出初始点的坐标，再利用相似菱形的边长比例与勾股定理，依次求出的坐标，归纳出的坐标规律． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴是等边三角形，对角线 ∵对角线相交于点，且互相垂直平分， ∴ ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 ∵在中，， ∴ ∵菱形菱形，且新菱形的对角线为， ∴新菱形的边长与原菱形的边长的比，等于新菱形的对角线与原菱形的对角线的比，即 ∵， ∴，解得 在中，斜边，直角边 ∴ ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 同理，以为对角线作菱形菱形 ∵， ∴新菱形的边长满足 ，即 ，解得 在中， 再以为对角线作菱形菱形 ∵， ∴新菱形的边长满足 ，即，解得 在中， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 综上所述，我们得到一系列点的坐标： 点的坐标为 ，即 点的坐标为 ，即 点的坐标为，即 以此类推，可以得到点的坐标为 故答案为：． 4．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） (1) (2) 【答案】(1) 作图如下： (2) 作图如下： 【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可； (2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键． 5．把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等．请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法）． 【答案】 由题意，分割如下：（画出其中任意4个即可） 【分析】本题考查相似图形和全等图形，根据相似图形的形状相同，全等图形的形状和大小均相同，进行求解即可． 【详解】略 6．（25-26九年级·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 【答案】(1) (2) 证明：时，即， 时，即， 则，， ， ， 又与的相似比为， 与的“视觉比”为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可． 【详解】（1）由题可知，时，， ，解得， 答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为； （2）略 7．（1）观察下列式子： ，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想： 由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题： 某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了    B．变好了    C．没有改变 （4）联想拓展： 如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否 【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可； （2）利用作差法比较与的大小，即可解答； （3）设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较、的大小解答； （4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可； 【详解】解：（1）∵，，，… ∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大， 故填：变大； （2）由（1）得：＜，理由如下： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ＜0， ∴ ； （3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m， 则-＜0， ∴ ＜， ∴ 采光条件变差， 故选A ； （4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似， 故填：否． 【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键． 8．（25-26九年级·期末）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质如下：连接并延长，交于点E，则 【问题解决】如图②，在 中，D 为的中点，E为的中点，的延长线交于点F，连接． (1)找出以 为公共边的所有“共边三角形”．若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积． (2)求证： (3)若将“D为的中点”改为“”，则= ． 【答案】(1)，，， (2) 证明：由（1），知 ， 由“共边三角形”的性质，得， ∴， ∴，即； (3) 【分析】本题考查比例的计算，理解题干中的共边三角形的概念和性质是解题关键． （1）根据“共边三角形”的概念找到以为边的三角形，由性质可知求解即可； （2）由（1）中的面积关系求解即可； （3）由题意易得求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得以为公共边的“共边三角形”有，，， ∵D，E分别为，的中点， ， 由“共边三角形”的性质，得， ∴， ∵， ， ； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由“共边三角形”的性质，得 ， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.1 图形的相似 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 相似图形 题型02 相似多边形 题型03 求相似多边形的相似比 题型04 比例线段 题型05 成比例线段 题型06 相似多边形的性质 B组 能力进阶 题型01 比例的性质 题型02 利用比例性质求值 题型03 利用比例性质判断等式成立 题型04 求相似多边形的有关应用 题型05 相似矩形的判定 题型06 比例的应用 C组 思维拔高 题型 图形的相似·创新性问题 相似图形题型01 1．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·广东深圳·质检）下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 4．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 5．形状相同的图形叫做_________． 两个图形相似是指它们的_________相同，与它们的位置无关； __________是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 相似多边形题型02 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．任意两个菱形 B．任意两个矩形 C．任意两个三角形 D．任意两个正方形 2．下列说法中，错误的是（      ） A．菱形都相似 B．正三角形都相似 C．正方形都相似 D．等腰直角三角形都相似 3．各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 4．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系（每个小方格的边长都为1个单位长度）中， (1)描出下列各点：，，，，． (2)用线段顺次连接点A，B，C，D，E，A，得到多边形． (3)将各点的横坐标和纵坐标都乘2，描出对应的点，再用线段顺次连接各对应点，得到多边形． (4)多边形和多边形是相似图形吗？ 求相似多边形的相似比题型03 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，矩形矩形，若，，则矩形与矩形的相似比为（　　） A． B． C． D． 2．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 4．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 5．（26-27九年级上·山东聊城·学情自测）四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 比例线段题型04 1．已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在A、B之间．若，，则下列b、c的关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期末）若线段，，则、的比例中项为_____________． 4．如图，已知，AD=6.4cm，DB=4.8cm，EC=4.2cm，求AC的长． 5．如图所示，已知，且．求的长． 成比例线段题型05 1．已知线段，，线段是线段、的比例中项，线段的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·联考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知线段，，，且线段成比例，则______． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）（1）已知，求的值． （2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求的值． 5．如图，在线段上取，两点．已知，，且四条线段，，，是成比例线段，求线段的长． 相似多边形的性质题型06 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 3．一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 4．如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 5．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF． （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长． 比例的性质题型01 1．如图，是线段上的一点，且，那么等于（ ） A． B． C． D． 2．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．﹣2或＋1 D．﹣1或＋2 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）若，且，则 ________ ． 4．如果，那么=__________． 5．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）已知，，求． 利用比例性质求值题型02 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知，则的值是_______． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 4．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 5．若实数满足，求的值． 利用比例性质判断等式成立题型03 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若＝，则下列各式不成立的是（    ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海·月考）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南开封·联考）若，则是否成立？______（填“是”或“否”）． 求相似多边形的有关应用题型04 1．如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（　　）    A． B． C． D． 2．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 3．（25-26九年级上·山东·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 4．如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 相似矩形的判定题型05 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）复印用纸中的纸对折后成为2张纸，纸对折后成为2张纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长宽之比为（    ）． A． B． C．2∶1 D．1∶2 2．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 3．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________． 4．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 5．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 比例的应用题型06 1．在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，则甲，乙的实际距离是（   ） A． B． C． D． 2．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 4．（24-25九年级上·上海·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______． 5．《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是______． 图形的相似·创新性问题题型 1．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 2．（25-26·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为2，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，，，…，，则点的坐标为________．      4．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） (1) (2) 5．把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等．请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法）． 6．（25-26九年级·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 7．（1）观察下列式子： ，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想： 由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题： 某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了    B．变好了    C．没有改变 （4）联想拓展： 如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 8．（25-26九年级·期末）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质如下：连接并延长，交于点E，则 【问题解决】如图②，在 中，D 为的中点，E为的中点，的延长线交于点F，连接． (1)找出以 为公共边的所有“共边三角形”．若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积． (2)求证： (3)若将“D为的中点”改为“”，则= ． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $