专题05 数列求和（专项训练8大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题05 数列求和 （题型突破·举一反三） 题型一：观察法 题型二：并项求和法 题型三：分组求和法 题型四：错位相减法 题型五：裂项相消法之等差模型 题型六：裂项相消法之等比模型 题型七：裂项相消法之其它模型 题型八：倒序相加法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型01 观察法 【典例1】已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2026·高三·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足，，则其前6项之和是（　　） A．16 B．20 C．33 D．120 【变式1-2】（2026·高三·广东广州·阶段检测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，记数列的前项和为，当100时，的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式1-3】（2026·高二·浙江杭州·期末）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前n项和为，且，则k的值可能是（    ） A．35 B．32 C．29 D．26 题型02 并项求和法 【典例2】（2026·高二·河南郑州·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【变式2-1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和． 【变式2-2】（2026·高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，， 是数列的前项和.求 【变式2-3】（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前40项的和. 题型03 分组求和法 【典例3】（2026·高二·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式3-1】（2026·高二·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 【变式3-2】（2026·高二·广东深圳·期末）设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式3-3】（2026·高一·上海·期末）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 题型04 错位相减法 【典例4】（2026·高二·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式4-1】（2026·高二·安徽·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式4-2】（2026·高二·浙江湖州·期末）已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式4-3】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (3)求数列的最大值. 题型05 裂项相消法之等差模型 【典例5】（2026·高二·四川南充·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式5-1】（2026·高二·广东潮州·期末）设等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式5-2】（2026·高二·云南昆明·期中）已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式5-3】（2026·高二·山东济宁·期末）在数列中，，，记． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 题型06 裂项相消法之等比模型 【典例6】（2026·高三·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【变式6-1】（2026·高二·山东威海·期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-2】（2026·高三·江苏南京·期中）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【变式6-3】（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型07 裂项相消法之其它模型 【典例7】（2026·高三·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 【变式7-1】（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式7-2】（2026·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【变式7-3】（2026·高二·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 题型08 倒序相加法 【典例8】（2026·高二·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【变式8-1】（2026·高三·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【变式8-2】（第1篇知识技能篇第5讲数列要求和通法很重要）设，，求的值． 【变式8-3】（2026·高二·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列求和 （题型突破·举一反三） 题型一：观察法 题型二：并项求和法 题型三：分组求和法 题型四：错位相减法 题型五：裂项相消法之等差模型 题型六：裂项相消法之等比模型 题型七：裂项相消法之其它模型 题型八：倒序相加法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型01 观察法 【典例1】已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由，得，所以数列是周期为4的数列， 所以由，，得，， 所以， 所以， 故选：D． 【变式1-1】（2026·高三·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足，，则其前6项之和是（　　） A．16 B．20 C．33 D．120 【答案】C 【解析】因为， ∴，，，，， ∴其前6项之和是. 故选：C． 【变式1-2】（2026·高三·广东广州·阶段检测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，记数列的前项和为，当100时，的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【解析】因，可得是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，因为数列的各项均为正数， 所以，因为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 则. 说明当100时，的值为30. 故选：C. 【变式1-3】（2026·高二·浙江杭州·期末）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前n项和为，且，则k的值可能是（    ） A．35 B．32 C．29 D．26 【答案】B 【解析】斐波那契数列中的项如下表： 由题意可得数列中的项如下表： 所以数列的最小正周期为，一个周期内三项的和为， 由，则，解得. 故选：B. 题型02 并项求和法 【典例2】（2026·高二·河南郑州·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 因为成等比数列，所以， 由于， 所以，化简得. 解得或，又，所以. 故数列的通项公式为； （2）由（1）得，则， 则， 所以， 则 . 【变式2-1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则， 解得， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以. 【变式2-2】（2026·高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，， 是数列的前项和.求 【解析】（1）为等差数列，设公差为，，， ，，成等比数列，， 即， 整理得，解得或， 当时，，， 当时，，， 数列的通项公式为或； （2），由（1）知，，， ， . 故. 【变式2-3】（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前40项的和. 【解析】（1）设公差为且，又，则， 由， 所以，故，则. （2）由（1）知：，则， 所以 . 题型03 分组求和法 【典例3】（2026·高二·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 【变式3-1】（2026·高二·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. （2）因为， 设数列的前项和为，则         所以数列的前项和为. 【变式3-2】（2026·高二·广东深圳·期末）设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则得，解得， ； （2） ， 的前n项和 ． 【变式3-3】（2026·高一·上海·期末）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【解析】（1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以， 所以， 即. 题型04 错位相减法 【典例4】（2026·高二·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 【变式4-1】（2026·高二·安徽·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . （2）依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 【变式4-2】（2026·高二·浙江湖州·期末）已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 【变式4-3】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (3)求数列的最大值. 【解析】（1）由题意知，即，解得，则. （2）因为， 则， 可得， 两式相减得 即， 所以. （3）由（2）知 当为奇数时，， 当为偶数时，令，，令， ， 时，因为，所以，即是递减函数， 则是递减数列，， 综上，数列的最大值为：. 题型05 裂项相消法之等差模型 【典例5】（2026·高二·四川南充·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. （2）由题意得， 则 . 【变式5-1】（2026·高二·广东潮州·期末）设等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，即； 又因为，即，即； 解得，， 故的通项公式为． （2）因为， 所以 ． 【变式5-2】（2026·高二·云南昆明·期中）已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． （2）因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 【变式5-3】（2026·高二·山东济宁·期末）在数列中，，，记． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 【解析】（1） 因为， 所以，则， 又，即， 所以数列是首项，公差为的等差数列． 所以，即， 所以，即数列的通项公式为． （2）因为，所以， 所以 所以 . 题型06 裂项相消法之等比模型 【典例6】（2026·高三·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【解析】（1）已知，所以， 两式作差得：，即，， 所以，所以等比数列的公比为， 当时，， 又有，所以，， 综上，； （2）由知，， 所以， 则， 所以. 【变式6-1】（2026·高二·山东威海·期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意知，， 解得， 所以， 所以. （2）， ， 所以 . 【变式6-2】（2026·高三·江苏南京·期中）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 【变式6-3】（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）当时，， 当时， ①， ②， ①－②得，即， 由于数列为等比数列，则等比数列公比，所以， 即得，解得， 所以数列是首项，公比的等比数列，通项公式为； （2） ， . 题型07 裂项相消法之其它模型 【典例7】（2026·高三·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 【解析】（1）由递推关系，变形得， 因此数列是首项为、公比为的等比数列. 故，即. （2） ① ， 两边同乘得： ② ， ①②得： ， 因此，则，故. ， 当时，，即； 当时，，即从第2项起单调递减， 因此的最大值为. 由对任意恒成立，得，即的取值范围为. （3）由（2）得， ，因此. 前项和. 又为单调递增数列，故，且. 由对恒成立， 所以，. 即实数的最大值为，整数的最小值为 1. 【变式7-1】（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 【变式7-2】（2026·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 【变式7-3】（2026·高二·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 【解析】（1）由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； （2） 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． （3）证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 题型08 倒序相加法 【典例8】（2026·高二·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【解析】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 【变式8-1】（2026·高三·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【解析】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 【变式8-2】（第1篇知识技能篇第5讲数列要求和通法很重要）设，，求的值． 【解析】 因为， 所以 ． 故 ， 所以． 【变式8-3】（2026·高二·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【解析】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05数列求和参考答案 题型01观察法 典例精析 【典例1】【答案】D 【解析】由a+2=-a,得a4=-a2=a,所以数列{a,}是周期为4的数列， 所以由4=1,4=2，得43=-a=-1,a4=-42=-2, 所以4+a2+a3+a4=0」 所以S222=(a+a2+a3+a4)×505+a+a2=3, 故选：D 上举一反三 【变式1-1】【答案】C 2an,(n=2k-l,k∈N） 脾折】因为。=，·+1三 a,+l,(n=2k,kEN') .a2=2a=2,a3=a2+1=2+1=3,a4=2a3=6,a=a,+1=7,a。=2a=14, ∴.其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33 故选：C 【变式1-2】【答案】C 【解析】因a-a=1,可得a}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以=1+(n-l)×1=n,因为数列{a}的各项均为正数， 所以an=Vn,因为neN, 当1≤n<4时，[V]=l,当4≤n<9时，[同=2， 当9≤m<16时，[V]-3,当16≤m<25时，[=4， 当25≤n<36时，[可=5，当36≤m<49时，[V同]=6， 当49≤n<64时， [=7, 1/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则a]+[a,]+…+[a]=1x3+2×5+3x7+4×9+5x6=100 说明当，=100时，n的值为30. 故选：C. 【变式1-3】【答案】B 【解析】斐波那契数列{}中的项如下表： 2 4 6 8 2 3 5 8 13 21 34 由题意可得数列{a,}中的项如下表： 2 3 4 5 6 8 9 0 0 0 0 所以数列a}的最小正周期为3，一个周期内三项的和为1， 由5=10.划片3>kè9。 ×3,解得30≤k<33 故选：B. 题型02并项求和法 三典例精析 【典例2】【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0, 因为S,S+1,S,-3成等比数列，所以(S+1)=S,S,-3), 自于8=34+22=9438=24+2=6+8=+ ×4d=15+10d, 2 所以(9+3d+1)2=(6+d15+10d-3),化简得d+12d-28=0: 解得d=-l4或d=2,又d>0,所以d=2. 故数列{a,}的通项公式为a,=a+(n-l)d=3+2(n-)=2n+1, (2)由(1)得an=2n+1,则aa=2n+3, 2/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :数列{a}的通项公式为a.=n+7或a,=2n-1: (2)a∈N,由(1)知，an=2n-l,b.=（-an+l=(-(2n-l)+1, b+bn=[-02m(4n-3)+1]+[-2(4n-)+1=4, .7n=(6+b)+(6+b)+…+(bn1+bn)=4+4+…+4=4n 故Tm=4n 【变武231【解折】(a)设a}公室为，H>0:又G=44,则%+3-aa+12→4=， 由，=25→a)-25→4+4，=4+0，=10， 2 所以2a+2d=5d=10→d=2,故4=3，则an=a+(n-2)d=2n-1. 2由知：及=+2n=㎡，则6=r, 2 所以T0=h+b2+…+b,+bo=(22-1)+(42-32)+.+(402-392) =1+2+3+4+.+39+40=40×0+40=820 2 题型03分组求和法 三典例精析 【典例3】【解析】(1)数列{a}是等比数列，a,=2,a,=16,得数列{a}的公比9满足 g=g-公1-8，解得g=2 432 则{a}的通项公式为a.=4,92=2×22=2(neN). (2)将数列{a.+2n}的前n项和T,分成等比数列和等差数列分别求和. 期2-20242刘-2+24=2-1+242”n-2++n-1 举一反三 4/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式31】【解析】(1)设等差数列{a,}的公差为d,则d=4二只-2， 4-1 由等差数列求和公式得Sn=na+ n-)d=2n+n(n-), 2 化简得Sn=n+n, bu=3是常数， 因为b=3b且h=1≠0所以b, 因此b是等比数列，设其公比为9，则q=3, 即数列{b}是以=1为首项，9=3为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得b=bg=3, 所以Sn=+n,bn=3 1 n(n+1) 设数列{cn}的前n项和为T,则 T=c+c2+c3+...+Cm -[日rg》r6+日小es4s+ 3”+n-1 2'n+12 3”+n-1 所以数列{c}的前n项和为2+n+12 【变式3-2】【解析】(1)设等差数列{a}的首项为4，公差为d, a+2d=3 a=1 则得13a+3d=6解得d=1' ..an=n: (2)b=2+an=2”+n, ÷{b}的前n项和Tn=(2+22+2…+2）+1+2+3+n) 2-2）,1+m-2-2+0+m 1-22 2 5/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-3】【解析】(1)当n=1时，S+1=2a,得a=1, 当n≥2时，由Sn+l=2an得，Sn+1=2an, 两式相减得：an=2an-2an,an=2a1, 所以数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，且a。=2" (2)由(1)知b,=an+(2n-1)=2+2n-1, 所以Tn=6+b,+h+…+b=2°+1+2+3+22+5+…+2+(2n-), _1-2",(1+2n-1)n 所以T,=2°+2+22++2+1+3+5+…+(2n-1)=1-2 即Tn=2”+n2-1, 题型04错位相减法 三典例精析 【典例4】【解析】(1)由题意，设等比数列{a}的公比为9(g>), a2+a,=a9+ag3=20 则 +g25 1 a3=ag2=8 两式相除得 9=2,解得g=2或9=2 (舍去)， 则4=2，即an=22=2”」 (2)由6=n0,=n-2”,得S,=12+222+3-22+…+n-2” 所以2Sn=122+223+324+…+n-2m, 两式相减得-S,=2+2+2+…+2”-n-2州_2-2） n-21=(（1-n）21-2, 1-2 则Sn=(n-1)2+2. 举一反三 1 【变式4-1】【解析】(1) 20m=S+lhS=20m-1, 当n=1时，24=8+1，即24=4+l,① 6/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 an ~{a}是等比数列，公比9=3，.4=3a② 3 将②代入①得：24=4+1→4=2， {a}是以2为首项，3为公比的等比数列， .an=2-3-(neN） (2)依题意，b=(n+)小2.3=2(n+)3, Tn=b+b2+b+…+bn, T,=2[2x3°+3×3+4×32+…+(n+1)x3m-]③ 将③×3得 ∴3江，=2[2×3'+3×32+4×3++n×3+(n+1)×3]④. 由③-④得 -2Tn=2[2+3+32+…+3-(n+1)×3], -=2430--a+0xg, 1-3 -=2+3-小-+0k3, z-(g*小 【变式4-2】【解析】(1)根据已知条件，2a。-S。=1,令n=1,解得4=1， 同理，易得4=2,4=4」 当n≥2时，2a-Sn=1(n∈N), 与2a。-Sn=1(neN)两式相减，得a,=2a, 所以数列{a,}是以4=1为首项，9=2为公比的等比数列，所以a,=2. 2由山知a,=2,所以么2” 7/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12,3 2” 1 2) 22 ”=2-1-n 2 22" 1 2 整理得T,=4-n+2 2-1. 【变式4-3】【解析】(1)由题意知S,2=SS4,即(2a+22=a(4a+12),解得a=1,则a,=2n-1. 2)因为-受=2m-x(分， g=(+3(+5x(++-x(r+n-0x(2. 可得2，=1x(+3x(+5x(++2n-3到x(+2m-0x(", 两减得=-+++门-( 即-2x40-之 2 1+ m-x名2+3（分” 2 所以=+x(r 9 9 9'9×(-2)” 当n为奇数时，Tn<0, 当n为版，令=2五=-+，◆闭=1。 4 fk+)-f=12k+)+1_12k+1-36k+9 4+1 4 4+1, k≥1时，因为-36k+9<0,所以fk+)-f)<0,即f是递减函数， 则红提造浅数列，子>7>无> 综上，数列{T}的最大值为：4 8/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05裂项相消法之等差模型 三典例精析 【典例5】【解析】(1)设数列{a,的公差为d, 由a=6得a5=41+4d=6, 由S4=2a,得4a+6d=2(a+5d,即4=2d, 所以有2d+4d=6,解得d=1,a=2, 所以an=2+(n-1)x1=n+1, 1 111 (2)由题意得a,a,n+0n+2)n+1n+2' nn+1' n+1 n+2 11 n 2n+22(n+2) 三举一反目 【变式5-1】【解析】(1)设等差数列{a,}的公差为d, 由S,=2S,+5,可得5a+10d=2(3a+3d)+5,即a=4d-5: 又因为4=2a-1,即a+d=2a,-l,即a=d+l: 解得4=3，d=2, 故{a}的通项公式为a,=a+(n-)d=2n+1 所-06》0》+乱a12x4 2n+12n+3 -043 9/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n 6n+9· an 【变式5-2】【解析】(1)证明：显然a,≠0，对a2a,+1两边同时取倒数， 241=+2,即a 得d 1-1=2」 an an 1 所以数列 a 是公差为2的等差数列， 1 1=1+n-2)x2=2n, 又4=4所以a,4 1 所以a.=2 1 (2)因为0.=2 -,bn=andntl, 玄0安非 则数列a3的前n项和-0-引G+6》…+日+】 所--产4 【变式5-3】【解析】(1) 因为nan1=(n+l)an+2n2+2n. 所以0-(n+l)a,=2nm(a+l）,则2-=2， n+l n 又6=只，即h-b=2, 所以数列么，}是首项么=号-3，公差为2的等差数列. 所以bn-0=3+2(n-)=2n+1,即b=8=2n+1, n n 所以an=2n2+n,即数列{an}的通项公式为an=2n2+n. (2因为6=2n+1,所以8.-2+9=+2， 2 10119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -是6》+2 0+}+4 2n+3 题型06裂项相消法之等比模型 三典例精析 【典例6】【解析】(1)已知S,=a+1-2,所以S4=a2-2, 两式作差得：Snl-Sn=a+2-al,即an1=a2-al,a+2=2al, 所以9=-2，所以等比数列a}的公比为2 antl 当n=1时，S=a=a2-2,, 又有4=24，所以4=2a-2,4=2, 综上9=2,4=2； (2)由(0)知，a,=2×2=2, 所以8，-20-2）-2"-2. 1-2 -及em4ge 2” 北-》小可 三举一反三 11/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a0-2)=14, 【变式61】【解析】(1)由题意知，2 解得4=2， 所以a=2”", 所以7=2x2x2xx2=2-22。 （2)8,=2×029=22-0. 1-2 2n 11 bn=Sn3(2"-2m1-D2”-12-1, 1111 11 所以4，=222-+22++2一2 =1- 2*1-1 【变式6-2】【解析】(1)设{a}的公比为9，则4G=4,a4,而G=3a4,得4=3， 已知S=4+0=4,所以4=b9=g=3 a 所以a=3,则3=1x0-3”_3”-1 1-32 3” (2)b=01=3”-13-1=43” s226-8m-=2 3”-13-）1 -2对对 11 -1、、2 3H-1· 【变式6-3】【解析】(1)当n=1时，4=4+2， 当n≥2时，a1=Sn+2①，an=S+2②， ①-②得an+1-an=Sn-Sm1=an,即an1=2an, 由于数列{a}为等比数列，则等比数列公比9=2，所以a2=2a, 即得4+2=2a,解得4=2， 所以数列{a}是首项a=2,公比9=2的等比数列，通项公式为a,=2”: 12119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -1 an (2)62a,+1-32a-3at1a,-2a.-可 a 1111 an-12an-12"-12-1, 111 T.-6+. g》 题型07裂项相消法之基它模型 典例精析 【典例7】【解折】()由速推关系“，三？。 ant!I an a,meN),变形得n+l2n1 因此数列 只}是首项为子-分公比为号的等比数列 2nEN'. 2)=t2+3 n 2+22+2+…+ m①， 2 +2m②， 11+-”=22分 21+2 21, 2 aeN心，2-成=”牛2，故4=2-S)=a+2到 因此S。=2-n+2 2 61-.=a++3》nn+2)=-n2+3 2n+l 2 21，当nm=1时，4，-b>0,即b>h: 当n≥2时，b1-b.<0,即b,}从第2项起单调递减， 因此6的设大值为4-24-2 由bn≤元对任意neN恒成立，得≥2，即几的取值范围为[2，+o. 13119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,2-Sn_n+2 (3)由(2)得c,=n+nm+02, n+2=2n+)-n_2_1 n(n+1) m+)nn+1,因此c,=-。1 n-2▣n+10-2: -子a女小1证 又红为单调逼活数到，故工≥T-}且=0 3 由m≤Tn<k对VneN恒成立， 所以m≤ 4’k≥1 3 即实数m的最大值为4，整数k的最小值为1. 三举一反目 【变式74】【解折1少由腿意知+a--2+a--0, 2,所以2Sn=3n2+n 当n≥2时，2S=3(n-}2+n-1, 作差得2S。-2S=3m+n-3(n-1)2-n+1, 所以2an=6n-2,即an=3n-1；1 当n=1时，4=S=2,符合上式. 所以数列{a}的通项公式为an=3n-1. (2)由(1)知a.=3n-l，则a1=3n+2, a-r6-(rr x-r传G+2) 【变式7-2】【解析】(1)由题意得{a}是公差为2的等差数列，且S4=S·S2, 即4a,+12=a(2a+2),又因为a>0,所以a=3, 所以数列a}的通项公式an=a+(n-1)d=2n+1. 14119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4(n+1) 2由如-o(e)(()(22】 n为题，工-6传引H传动+2 111111 当n为奇数时，X=7+62n+132n+12n+32n+33m≥3》， 11 经检验，n=1时，满足7=2n+33 11 综上，当n为偶数时，72n+33 11 当n为奇数时，X,=2m+33 an 【变式7-3】【解析】(1)由(a+1a,+1)=2a,+1可得a1+a., 43>0,4三0>0.依此类推可得a》 -1+a1 11+aa=1+l, 1_1=1, antl an an ant an 1 数列a∫是首项为3，公差为1的等差数列， 1 =n+2,即a.= 1 n+2: 用错位相减法求和： =34+s++a+2j周 8=得+4周+sx周++a+2 阿式藏：8-3x周得+…周a得。 其中等比数列部分： 球g ,代入得： 15119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8=x+名-a+2周 (3)证明：由上分析a=, n+2, 教对-2。a3+9两-号2+ 1 [1 ∴aa243+a2a3a4+…+ana+1an+2 aado3oo时o可】 B4a+3+42o+o* 111 11 1 因为2n+3m+4>0,所以242a+3j0a+④24 即a4a,+a,4a,+…+a,ana2<24 题型08倒序相加法 上典例精析 【奥例81【解折】（山点似5eN)s在强数f闭-+的图象上.8=+宁. 当n时8=号1，即g=1 2.a=8-r+0-+a) 2g2 45,4x4,44 2 8()+8-)=4+2+4+24+2+4+2x44+24+21, “十 十 16119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 an d=n' :b.=82027) n 82027eN). 1 T6=6+b,+6,+…+bos+b26 又T026=b2026+b2025+b2024+…+b2+b 2026 2025 2024 2） 1 =8 2027 +g 2027 +8 2027 +…+8 2027十82027J②， ①，②，得2T6=2026 1 2026 =2026 (2027 +8 2027 .T2026=1013 三举一反主 【变式8-1】【解析】(1)显然8(x)的定义域为R,又8(x)为奇函数， 所以g0=0ra2a-0, 解得a=-1此时8y 4142×41_41 2 4片+224×4+224+12 州0+ae0=+ig1-0 即g(-x)=-g(x),g(x)为R上的奇函数，故a=一2为所求. (2)由(1)知8(-x)=-g(x)」 x=f+》所以(x+》分+2 即f(x)+f(1-x)=1. 2025 +f 2026 2025 又S=f 2026 +f八2026】 2S=1+1+1+…+1+1=2025 两式左、右两边分别相加，得 2025项 17119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以S=】 i 2025 (2026 2· 【变式8-2】【解析】因为f)=4华 4+2 44- 所以f(x)+fI-x)= 4"+24-*+2 4* 44+2-1. 4'+24+2×44+2 枚2s-+( [/-[品0++0/】00. 所以S=1010 【变式83】【解折】（④）由数列a,}满是：号+受+受++受=a如eN), 两式相减，可得受=山，所以口，=2 当n=1可得受山，所以4=2，适合上式， 所以数列a}的通项公式为a,=2. 2)由数列6}满足%=。 1 .+202”+20, 1 1 1 2" 1 2" 2"+250 1 则6.+hm2+20+2w”+2020+2西+20+2022”+2西+2+2”20-(2+2”20-2m. 1 (3)由(2)知6，+60n=2西， 1 1 可得6+6+6+…+=2+20+2+20+…+2 1 29+20, 1 1 1 则6，+b+6,++6=2”+20+20+20+…+2+20, 两式相加可得2（亿+b2+b+…+b) 2”,所以4+6+么+…+=90 9 Γ21 18119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19119